Самарский государственный аэрокосмический университет имени С. П. Королева (национальный исследовательский университет) Межвузовская кафедра космических исследований
 Скачать 2.46 Mb.
|
|
2.5 Движение по гиперболическим траекториям Движение по гиперболическим орбитам редко наблюдается в природных явлениях. Вместе с тем полеты на околопланетных участках траекторий межпланетных перелетов всегда совершаются по гиперболическим орбитам. Геометрия гиперболической орбиты Каноническое уравнение гиперболы в прямоугольных координатах OXY с началом координат в центре гиперболы (рис.18) имеет вид 1 2 2 2 2 b y a x , где a и b – действительная и мнимая полуоси гиперболы. Рис.18 Движение по гиперболической траектории Из уравнения гиперболы в полярных координатах cos 1 e p r , e > 1 Следует, что при 0 cos 1 , пр e r Отсюда e пр 1 cos , e 1 cos Геометрические характеристики гиперболической орбиты e p r 1 ; e p r 1 1 1 1 2 1 2 2 e p e p e p r r a 2 1 2 2 1 1 1 r r p p pe c e e e p e r 1 p F 1 - прицельная дальность – кратчайшее расстояние от притягивающего центра (фокуса гиперболы) до асимптоты гиперболы. O B OPF 1 2 2 2 b a c , b P F 1 r a r a r a r a e a a c b 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 e a p e r a r e 1 r a r b P F 2 1 1 - прицельная дальность a b p 2 , 1 2 2 2 e a b Следует помнить, что при полете вокруг притягивающего центра по гиперболе вектор скорости на бесконечности V поворачивается на угол 2 , который находится из соотношения : 1 sin 1 а а a ОВ с a r r а Интеграл энергии для гиперболической орбиты Выведем частный вид интеграла энергии для движения по гиперболической траектории. Из интеграла энергии следует, что константа h равна квадрату гиперболического избытка скорости V . С другой стороны, эта константа может быть выражена через действительную полуось гиперболы: h r V 2 2 2 2 2 b V C , p C 2 a p h C 2 , a p h p a h Из интеграла энергии определяется скорость при движении по гиперболе a r r V гип 2 Определение времени движения по гиперболической орбите Для определения зависимости времени движения от положения на гиперболической орбите используется формула 0 2 1 d r c t , справедливая для любой орбиты. Вводится гиперболический аналог угла эксцентрической аномалии ν → F . F a X cos , 2 F 0 F 0, праз Уравнение гиперболы 1 2 2 2 2 b y a x Координаты тела в орбитальной системе координат и величина его радиуса-вектора находятся по формулам: tgF e a tgF b F b a x b Y 1 1 cos 1 1 2 2 2 2 F F e a F a e a X C X cos 1 cos cos F F e a F F e F e a y x r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos sin 1 1 cos В результате преобразований F e F e r y cos sin 1 sin 2 F e F e r x cos 1 cos cos dF F e F F F e e d d cos sin cos cos 1 cos sin 2 2 F e dF e d cos 1 2 F F F F dF F dF e a dF F F e p e a t 0 0 2 3 0 2 2 2 cos cos cos cos 1 выводится формула Кеплера для гиперболической орбиты 4 2 ln 2 3 F tg tgF e a t 2 1 1 2 tg e e F tg Из нее следует трансцендентное уравнение, которое используется при прогнозировании движения по гиперболической орбите t a N N F tg tgF e 3 4 2 ln 2.6 Характерные космические скорости Характерные космические скорости определяют минимальные энергетические затраты для реализации различного типа миссий. Круговая и первая космические скорости Круговая скорость (V кр ) – скорость, которую должен иметь спутник для того, чтобы двигаться по круговой орбите. Рис.19. Круговая скорость движения Из выражения h C f 2 2 2 следует, что r V C e 2 1 2 2 2 Тогда в случае, если e = 0, θ = 0 (угол между скоростью и нормалью к радиусу- вектору), кр V r C Отсюда находится выражение для круговой скорости r V V r кр кр 2 1 0 2 2 2 0 2 2 2 2 4 r V r V кр кр r V кр 2 Круговая скорость по орбите радиуса r r V кр Таким образом, чем меньше r, тем больше V кр Первая космическая скорость относительно Земли – круговая скорость у ее поверхности r = R с км 912 , 7 I V - первая космическая скорость (R = 6371 км - радиус Земли). Параболическая скорость и вторая космические скорости Параболическая скорость – скорость, которую нужно сообщить телу на заданном расстоянии r от центра притяжения,чтобы оно начало двигаться по параболической орбите и покинуло поле тяготения. е = 1, r V C пар 2 1 1 2 2 2 ; r V пар 2 = кр V 2 , При r = R, находится вторая космическая скорость I II V R V 2 2 с км 190 , 11 II V - вторая космическая скорость –параболическая скорость у поверхности Земли. Третья космическая скорость Третья космическая скорость - скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно могло покинуть не только поле тяготения Земли,но и поле тяготения Солнца, т.е. вышло за пределы Солнечной системы (рис.20). Рис. 20 Космические скорости Введем понятие сферы действия Земли – область пространства, внутри которой поле притяжения Земли является преобладающим настолько, что действием Солнца можно пренебречь. Сфера действия Земли 925000 149.600 км r млн км 29, 77 кр V V км с r V r V V пар 2 V V V Из интеграла энергии: 2 2 2 V R V III с км 86 , 16 1 2 2 2 2 2 2 2 2 II I II III V V V V R V V - третья космическая скорость Четвертая космическая скорость Четвертая космическая скорость – скорость, которую нужно сообщить телу около Земли, чтобы остановить его движение относительно Солнца и оно начало вертикальное падение на Солнце. V V , 2 2 4 2 V V R 2 4 2 2 32,8 / V V V км с - четвертая космическая скорость 3. Элементы орбит в пространстве Элементами орбиты назовем 6 постоянных интегрирования уравнений движения, которые удобны и наглядны для характеристики пространственных орбит (рис.21): Ω – долгота восходящего узла (угол между осью n OX инерциальной системы координат, направленной в точку весеннего равноденствия, и линией восходящего узла), ω – аргумент перицентра (угол между направлением на перицентр и линией узлов; i – наклонение орбиты (угол между плоскостью орбиты и плоскостью экватора); р – фокальный параметр орбиты; e – эксцентриситет орбиты; τ – момент времени прохождения через перицентр. Ω, i – определяют ориентацию орбиты в пространстве; ω – определяет ориентацию большой оси орбиты в плоскости орбиты относительно линии узлов; р и e – характеризуют геометрию орбиты; τ – обеспечивает временную привязку. Рис.21 Элементы орбиты Элементы орбиты и начальные условия движения, например, в геоцентрической системе координат, связаны взаимно-однозначным соответствием. Выразим координаты движения через элементы орбиты. Для чего спроектируем радиус-вектор r на линию узлов и в плоскость перпендикулярную линии узлов. Рис.22. Проекции на плоскость экватора . U = θ + ω – аргумент широты (характеризует угловое положение тела относительно линии узлов) Тогда координаты тела будут находиться по соотношениям sin cos sin cos cos i U U r x cos cos sin sin cos i U U r y i U r z sin sin Выразим проекции скорости движения, для чего выполним дифференцирование dt d dt dU В результате преобразований получим sin cos cos cos sin sin cos sin cos cos i U U dt d r i U U dt dr x ; cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos i U U dt r d r i U U dt dr y dt d i U r i U dt dr z sin cos sin sin sin e p V dt dr r ; cos 1 e p V dt d r n t выражается из уравнения Кеплера. Основные формулы сферической тригонометрии ) sin , cos sin , (cos ); 0 , sin , (cos ); 0 , 0 , 1 ( A simb A b b C O C C B O A O ; 1) Формула косинуса стороны A C b c b B O C O a cos sin sin cos cos * cos ; 2) Формула синусов. C b a B a c A b c A b A b b c c С О В О А О sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos 0 sin cos 0 0 1 ) ( c C b B a A sin sin sin sin sin sin - синусы углов пропорциональны синусам сторон. 3) Формула cosB , cos sin sin cos cos cos b C A C A B Косинус угла равен произведению косинусов двух других углов плюс произведение синусов этих углов на косинус стороны между ними. 4) Формула котангенсов. sin cos cos sin BctgA c B C ctga Котангенс крайней стороны, умноженный на синус внутренней стороны с равен произведению косинусов внутренних элементов сложенного с произведением синуса внутреннего угла и котангенса внешнего угла. Выразим элементы орбиты через начальные значения параметров движения (рис.23). Рис. 23 Связь элементы орбиты с геоцентрическими координатами Пусть известны положение ЛА и проекции его абсолютной скорости в конце активного участка, которые соответствуют начальным условиям орбитального движения ). , , ( ), , , ( 0 0 0 0 0 0 0 z y x V z y x r в инерциальной геоцентрической системе координат. Определение долготы восходящего узла Ω и наклонения орбиты i. Спроецируем ; C C n на оси геоцентрической системы координат и найдем направляющие косинусы нормали ; C C n x x ; C C n y y ; C C n z z где ); ( 0 0 V r C ; 2 2 2 z y x C C C C 0 0 0 y z z y C x ; ; 0 0 0 0 z x x z C y ; 0 0 0 0 x y y x C z ? cos( ; ) cos cos sin sin cos sin cos( ) x n n x b a c a c B a i ? cos( ; ) cos cos sin sin cos cos ( sin ); y n u y b a C a c B i cos ; sin cos ; sin sin C C i n C C i n C C i n z z y y x x |