Самарский государственный аэрокосмический университет имени С. П. Королева (национальный исследовательский университет) Межвузовская кафедра космических исследований

• Название: Самарский государственный аэрокосмический университет имени С. П. Королева (национальный исследовательский университет) Межвузовская кафедра космических исследований
• Анкор: Belokonov.pdf
• Дата: 28.12.2017
• Размер: 2.46 Mb.
• Имя файла: Belokonov.pdf
• Тип: Конспект; #13382
• страница: 9 из 10

8.2 Анализ перелёта с околоземной орбиты на орбиты спутников ближних
планет (Марса, Венеры)
Рассмотрим перелет на орбиту спутника Марса (перелет на внешнюю по отношению к Земле планету).
Считаются известными для планеты-старта (Земли) следующие исходные данные: радиус орбиты Земли, высота околоземной орбиты старта и радиус сферы действия, соответственно,
,
,
,





H
R
Аналогичные данные считаются известными для планеты-назначения (Марса):
R
♂
, H
♂
, ρ
♂
*
Принимаются следующие допущения:
- плоскости орбит планет компланарны;
- орбиты планет – околокруговые;
- радиусы сфер действия планет пренебрежимо малы, по сравнению с радиусами их орбит в гелиоцентрическом движении.
На рис.45 приведена иллюстрация методики расчета, где b – прицельная дальность.
Рис.45 Межпланетный перелет между орбитами искусственных спутников Земли и Марса
Первый этап: расчет гелиоцентрического движения.
Принимается, что он совершается по эллипсу Гомона-Цандера.

Тогда потребные скорости в перигее и апогее переходной гелиоцентрической орбиты находятся по соотношениям
2 2
;
(
)
(
)
r
r
V
V
r
r
r
r r
r






















Здесь радиус апогея эллипса Гомана-Цандера совпадает с радиусом орбиты Марса, а радиус перигея – совпадает с радиусом орбиты Земли.
Второй этап: расчет геоцентрического движения в сфере действия планеты
старта (Земля).
Геоцентрическое движение в сфере действия Земли происходит по гиперболе.
Находится гиперболический избыток скорости V (скорость, которую будет иметь
КА на выходе из сферы действия Земли) как разность между скоростью в перигее гелиоцентрической переходной орбиты и скоростью орбитального движения Земли вокруг Солнца.
Далее из интеграла площадей определяется скорость, которую должен иметь КА при старте с геоцентрической круговой орбиты заданной высоты (орбиты выведения) V
π
Затем определяется потребный импульс скорости перехода с геоцентрической орбиты старта на гиперболическую орбиту ∆V
1
, обеспечивающий достижение требуемой величины гиперболического избытка скорости на границе сферы действия Земли, и потребные затраты на топлива на маневр.
2 2
2 1
1 1
1 0
2 2
:
;
,
(
)
1
РБ
кр
кр
РБ
уд п
РБ
T
РБ
V
V
V
Интеграл энергий V
V
V
V
R
H
R
H
V
V
V
V
R
H
V
z
ехp
P
z
m
m
z










































Третий этап: расчет движения в сфере действия планеты назначения (Марса).
Марсоцентрическое движение осуществляется также по гиперболе.
Последовательность расчета аналогичная второму этапу.
Находится гиперболический избыток скорости V (скорость, которую будет иметь
КА на входе в сферу действия Марса) как разность между скоростью в апогее гелиоцентрической переходной орбиты и скоростью орбитального движения Марса вокруг Солнца.
Далее из интеграла площадей определяется скорость, которую должен будет иметь
КА в точке касания гиперболической марсоцентрической орбиты и целевой марсоцентрической круговой орбиты, высота которой задана (радиус перигея гипер- болической орбиты принимается равным радиусу целевой круговой орбиты) V
π

Затем определяется потребный импульс скорости маневра перехода с гиперболической орбиты на целевую круговую марсоцентрическую орбиту ∆V
2
и потребные затраты на топлива на маневр.
В результате КА переходит на требуемую орбиту спутника Марса (например, орбиту спутника Фобос радиуса 9850 км, если миссия ориентирована на его исследование) и процедура расчета завершается.
2 2
2 2
2 2
2
;
,
9850 2
;
фоб
фоб
фоб
кр
кр
фоб
V
V
V
V
V
где r
км
r
V
V
r
V
V
V
V
r






















Продолжительности всех этапов перелета рассчитываются по соответствующим соотношениям из раздела, посвященного невозмущенному движению: продолжительность гелиоцентрического участка равняется половине периода движения по переходному эллипсу Гомана-Цандера; продолжительности полета в сферах действия планет находятся из решения соответствующих уравнений
Кеплера.
Полные энергетические затраты на перелет определяются суммированием характеристических скоростей двух импульсов.
Рассмотрим перелет на орбиту спутника Венеры (перелет на внутреннюю по отношению к Земле планету).
Считаются известными для планеты-старта (Земли) следующие исходные данные: радиус орбиты Земли, высота околоземной орбиты старта и радиус сферы действия, соответственно,
,
,
,





H
R
Аналогичные данные считаются известными для планеты-назначения (Венеры):
R
♀
, H
♀
, ρ
♀
*
Принимаются допущения, аналогичные принятым для перелета на Марс:
- плоскости орбит планет компланарны;
- орбиты планет – околокруговые;
- радиусы сфер действия планет пренебрежимо малы, по сравнению с радиусами их орбит в гелиоцентрическом движении.
На рис.46 приведена иллюстрация методики расчета, где b – прицельная дальность.

Рис 46. Межпланетный перелет между орбитами искусственных спутников
Земли и Венеры
Первый этап: расчет гелиоцентрического движения.
Принимается, что он совершается по эллипсу Гомона-Цандера.
Находятся потребные скорости в перигее и апогее переходной гелиоцентрической орбиты. Здесь, в отличие от перелета на Марс, радиус апогея эллипса Гомана-
Цандера совпадает с радиусом орбиты Земли, а радиус перигея – совпадает с радиусом орбиты Марса.
Второй этап: расчет геоцентрического движения в сфере действия планеты
старта (Земля).
Геоцентрическое движение в сфере действия Земли происходит по гиперболе.
Находится гиперболический избыток скорости V (скорость, которую будет иметь
КА на выходе из сферы действия Земли) как разность между скоростью в апогее гелиоцентрической переходной орбиты и скоростью орбитального движения Земли вокруг Солнца.
Далее из интеграла площадей определяется скорость, которую должен иметь КА при старте с геоцентрической круговой орбиты заданной высоты (орбиты выведения) V
π
Затем определяется потребный импульс скорости перехода с геоцентрической орбиты старта на гиперболическую орбиту ∆V
1
, обеспечивающий достижение требуемой величины гиперболического избытка скорости на границе сферы действия Земли, и потребные затраты на топлива на маневр.
Третий этап: расчет движения в сфере действия планеты назначения (Венера).

Венероцентрическое движение осуществляется также по гиперболе.
Последовательность расчета аналогичная второму этапу.
Находится гиперболический избыток скорости V (скорость, которую будет иметь
КА на входе в сферу действия Венеры) как разность между скоростью в перигее гелиоцентрической переходной орбиты и скоростью орбитального движения Венеры вокруг Солнца.
Далее из интеграла площадей определяется скорость, которую должен будет иметь
КА в точке касания гиперболической венероцентрической орбиты и целевой венероцентрической круговой орбиты, высота которой задана (радиус перигея гиперболической орбиты принимается равным радиусу целевой круговой орбиты) V
π
Затем определяется потребный импульс скорости маневра перехода с гиперболической орбиты на целевую круговую венероцентрической орбиту ∆V
2
и потребные затраты на топлива на маневр.
В результате КА переходит на требуемую орбиту спутника Венеры и процедура расчета завершается.
Совокупность расчетных соотношений приведена нижеэ
1 1
1 2
2
;
(
)
(
)
,
кр
кр
r
r
V
V
r r
r
r
r
r
V
V
V
V
R
H

































2 2
2
:
;
V
V
V
Интеграл энергий V
V
R
H
















2 2
2 2
2 2
2
;
2
;
кр
кр
V
V
V V
V
R
H
V
V
R
H
V
V
V
V
R
H
























Продолжительности всех этапов перелета рассчитываются по соответствующим соотношениям из раздела, посвященного невозмущенному движению: продолжительность гелиоцентрического участка равняется половине периода движения по переходному эллипсу Гомана-Цандера; продолжительности полета в сферах действия планет находятся из решения соответствующих уравнений
Кеплера.
Полные энергетические затраты на перелет определяются суммированием характеристических скоростей двух импульсов.

8.3 Анализ пертурбационных маневров
В большинстве современных миссий к дальним планетам используются маневры в окрестности планет, мимо которых пролетает КА, что дает возможность существенно сократить потребные энергетические затраты за счет использования для маневра поля притяжения планеты и тем самым повысить массу научного оборудования КА.
Однако такие миссии достаточно длительные и требуют точного фазирования относительного расположения нескольких планет (по меньшей мере трех планет – старта, назначения и той, в окрестности которой предполагается осуществление пертурбационного маневра). Вследствие этого они могут быть осуществлены только в определенные календарные моменты времени (жестко привязываются к ограниченному числу возможных дат старта).
Цель применения пертурбационного маневра – изменение величины и направления гелиоцентрической скорости за счет использования потенциальной энергии планеты, вблизи которой совершается пролет.
Это изменение вызывает требуемый поворот вектора гиперболического избытка скорости в планетоцентрическом движении при облете планеты и выгодное его суммирование с орбитальной скоростью планеты.
Рассмотрим классификацию траектории планетоцентрического движения в зависимости от точки входа в сферу действия планеты.
Введем обозначения:
траектории П–класса - это, траектории, попадающие в планету;
траектории О–класса – это облётный класс траекторий (поворот вектора скорости осуществляется по часовой стрелке);
траектории Д–класса – это долётный класс траекторий (поворот вектора скорости осуществляется против часовой стрелки).
Таким образом, можно выделить два типа пертурбационных маневров:
– пертурбационный манёвр разгона на траекториях Д-класса (ПМР),
– пертурбационный манёвр торможения на траекториях О класса (ПМТ).
На рис.47 проиллюстрирован пертурбационный маневр и показаны области пертурбационного маневра разгона (ПМР) и торможения (ПМТ) в окрестности планеты, а на рис.48 – механизм сложения скоростей при пертурбационном маневре.

Рис 47. Примеры пертурбационных манёвров в сфере действия планеты
Рис 48. Треугольник скоростей
Расчет параметров пертурбационного маневра начинается с расчета прицельной дальности b


r
a
r
b
2 1

Подставляя в это выражение соотношение для большой полуоси планетоцентрической гиперболической орбиты, выраженное через гиперболический избыток скорости на границе сферы действия

2


V
a

:
a
V
h




2
, получаем в окончательном виде формулу
2 2
1



V
r
r
b
пл



Так как величина гиперболического избытка скорости на входе в сферу действия планеты равна величине гиперболического избытка скорости на выходе из сферы действия планеты после совершения пертурбационного маневраV
3∞
= V
2∞
то модуль вектора разности скоростей в гелиоцентрическом движении до входа и после выхода из сферы действия планеты (модуль вектора прироста скорости) оценивается по соотношению


2 3
2 3
V
V
V
V
V









После подстановки соотношений, описывающих механизм сложения скоростей на входе и выходе из сферы действия планеты, выражение для прироста скорости за счет пертурбационного эффекта
3 3



V
V
V
пл



,
2 2



V
V
V
пл





2 3
2 3







V
V
V
V
V
V
пл
пл






приводится к виду







sin
2 2
cos
1 2
2
cos
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 3
2 3
2 2
3





















V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V






где γ – угол поворота гиперболического избытка скорости.
На основании геометрических свойств гиперболической орбиты можно найти угол γ
пл
V
r
r
a
a




2 1
1
sin





где большая полуось гиперболы определяется выражением
2


V
a
пл

Тогда окончательное выражение для оценки прироста скорости после прохождения
КА в сфере действия планеты (эффективности пертурбационного маневра) принимает вид
2 2
2 2





V
r
V
V
пл
пл



Как следует из полученного соотношения, прирост скорости определяется величиной радиуса перигея гиперболической орбиты и величиной гиперболического избытка скорости при входе в сферу действия.
Предельное значение прироста скорости за счет выбора радиуса перигея гиперболической орбиты можно условно достигнуть, если радиус перигея гиперболической планетоцентрической орбиты совпадает с радиусом планеты
2 2
2
max
2





V
R
V
V
пл
пл
пл



Для отыскания максимума по величине гиперболического избытка скорости выполним дифференцирование



 



2 2
2 2
2
max
2 2
2



















V
R
V
R
V
R
V
R
V
V
R
V
R
V
V
пл
пл
пл
пл
пл
пл
пл
пл
пл
пл
пл
пл







Приравнивая нулю полученное выражение, находится оптимальное значение гиперболического избытка скорости, которое равно первой космической скорости для планеты «разгонщика»
пл
пл
opt
R
V



2
Этот гиперболический избыток скорости обеспечивает теоретический абсолютный максимум приросту скорости в результате пертурбационного маневра
пл
пл
пл
пл
пл
пл
пл
R
R
R
V







2
max
В табл.3 приведены оценки эффективности пертурбационных маневров разгона в окрестности планет Солнечной системы и Луны.
Таблица 3 Эффективность пертурбационного маневра разгона в окрестности планет
Небесное тело
ΔV
max
, км/с
ΔV
гомана
, км/с
Венера
7,3 5,0
Земля
8,0 6,0
Марс
3,8 3,5
Юпитер
42,6 10,8
Сатурн
25,0 10,4
Уран
15,3 10,0
Нептун
17,5 8,0
Луна
1,669 1,335
Во втором столбце приведены данные по абсолютным максимальным значениям прироста скорости, а в третьем столбце – значения прироста скорости, достигаемые при совершении гелиоцентрического перелета по эллипсу Гомана-Цандера (радиус перигея гиперболической орбиты также принимается равным радиусу планеты).
8.4 Анализ движения КА в системе Земля-Луна

Анализ космических миссий в системе Земля-Луна имеет свои особенности по сравнению с межпланетными миссиями.
Так как Луна является спутником Земли, то при рассмотрении космических миссий в системе Земля-Луна отсутствует участок гелиоцентрического движения.
При анализе миссий принимаются следующие допущения:
- центр масс системы (барицентр) Земля-Луна движется приблизительно по окружности;
- Земля и Луна являются сферическими телами со сферическим распределением масс, то есть создают центральные поля притяжения;
- пренебрегается влиянием Солнца и других небесных тел, а также атмосферой
Земли;
- масса КА несравнимо мала по сравнению с массами Земли и Луны.
Данная задача является ограниченной задачей 3-х тел, решение которой описывается векторным дифференциальным уравнением (рис.49) во вращающейся системе
1 2