говно собачее. Сборник лабораторных работ по ядерной физике часть третья элементарные частицы свойства и взаимодействия
 Скачать 1.88 Mb.
|
|
-Распределение. Если х i – независимые нормально распреде- ленные случайные величины со средним значением, равным нулю, и средним квадратичным отклонением, равным единице, то сумма квадратов этих величин ∑ = = n i i x m 1 2 2 подчиняется χ 2 -распределению с n степенями свободы: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ χ − χ Γ = χ − 2 exp ) ( ) 2 / ( 2 1 ) ( 2 1 2 / 2 2 / 2 n n n P . (П.2.4) Здесь Γ(n/2) – гамма-функция. Среднее значение n = χ 2 , дисперсия D ( χ 2 ) = 2 n. χ 2 -Распределение используется при рассмотрении согласия ме- жду теоретическими расчетами и результатами эксперимента, при аппроксимации экспериментальных данных аналитическими функ- циями. 117 П.2.2. Расчет среднеквадратичных погрешностей Критерием точности выполняемых измерений является средне- квадратичная погрешность, или стандартное отклонение σ, равное положительному значению квадратного корня из дисперсии. От- ношение погрешности к истинному значению измеряемой величи- ны (если последняя не равна нулю) называется относительной по- грешностью. Относительная погрешность лучше характеризует достоверность результата, чем абсолютная. Необходимо различать прямые и непрямые измерения, когда значение исследуемой величины вычисляется на основании резуль- татов измерений других величин. Погрешность непрямых измере- ний вычисляется с помощью соотношений, связывающих искомую физическую величину с непосредственно измеряемыми величина- ми. Эти соотношения могут выражать известные физические зако- ны, в некоторых случаях они должны быть установлены на основа- нии полученных экспериментальных данных. Пусть искомая вели- чин Z связана с несколькими непосредственно измеренными вели- чинами х 1 , ..., х m функцией Z = f(х 1 , ..., х m ). Разлагая Z в ряд Тейлора в окрестности истинных значений Z 0 и x 0i , составляя соотношение Z – Z 0 , возводя его в квадрат и усредняя по распределениям величин х 0i , можно получить при пренебреже- нии членами второго порядка, что ( ) ∑ ∑ = = σ σ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ + σ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = σ = − m j i x x ij j i x n i i j i i x f x f x f Z Z 1 , 2 2 1 2 2 0 , где коэффициент корреляции ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 1 0 0 − σ σ ⋅ − ⋅ − = ρ j i j j i i ij x x x x x x Если погрешности измерений х i не коррелированы друг с дру- гом, то ρ ij = 0, тогда стандартное отклонение непрямых измерений будет иметь хорошо известный вид: ∑ = σ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = σ m i x i Z i x f 1 2 2 . (П.2.5) 118 Практическое следствие этого соотношения: для создания опти- мальных условий основные усилия должны быть направлены не на дальнейшее уточнение тех результатов измерений, которые и так являются наиболее точными, а на совершенствование наименее точных измерений. В табл. П.2.1 приведены соотношения между среднеквадратич- ными погрешностями для некоторых функций. Таблица П.2.1 Функция Соотношения между среднеквадратичными погрешностями Z = A ± B 2 2 2 B A Z σ + σ = σ Z = A ×B, Z = A/B ( ) ( ) ( ) 2 2 2 / / / B A Z B A Z σ + σ = σ Z = A n A n Z A Z / / σ = σ Z = e A σ Z /Z = σ A Z = lnA σ Z = σ A /A П.2.3. Учет фона Практически всегда при работе со счетными физическими при- борами приходится исключать фон. Фон находится как разность двух измерений: суммарного N в течение времени t (полезный эф- фект плюс фон) и фонового N в течение времени t ф (без источника излучения, при введенном в прибор экранирующем фильтре и пр.). Исследуемый эффект представляет собой разность результатов двух измерений, отнесенных к одинаковым интервалам времени, например к единице времени: , ф ф ф n n t N t N A − = − = (П.2.6) ф ф 2 ф ф 2 2 2 / / / / ф t n t n t N t N n n A + = + = σ + σ = σ . (П.2.7) Наиболее удобно выразить фон в единицах времени измерения суммарного эффекта, например если времена t и t ф кратны, то эф- фект 119 ф ф N t t N A − = , его погрешность ф 2 ф ) / ( N t t N A ⋅ + = σ Предполагается, что время измеряется с точностью много лучшей, чем число импульсов. Поэтому величина t не имеет дисперсии. Следует заметить, что соотношение σ N = N N = σ применимо только к величинам, непосредственно измеренным на опыте. По- грешность скорости счета, например, зависит от того, каким спосо- бом получена эта величина, и может быть, в принципе, сделана как угодно малой при увеличении времени измерения. П.2.4. Рациональный выбор времени измерения К этой задаче можно подойти с двух сторон. Во-первых, можно найти то наименьшее время всех измерений, которое необходимо для получения заданной относительной погрешности δ = σ А /A окончательной расчетной величины. Во-вторых, при заданном общем времени, которое отводится для проведения всех измерений, можно найти распределение вре- мени между измерениями, дающее наименьшую относительную погрешность исследуемой величины А. В реальных экспериментах обычно ставят пробные опыты, в ко- торых проверяется работа отдельных элементов установки, опреде- ляются интервалы значений каждой из величин и оцениваются их возможные погрешности. Последнее оказывает непосредственное влияние на проведение всего эксперимента. Большое внимание следует уделять измерению тех величин, погрешности которых вносят основной вклад в погрешность конечного результата. По- этому при проведении эксперимента следует, априори, расчетным путем оптимизировать времена каждого из измерений с точки зре- ния их допустимых погрешностей, по возможности провести пред- варительные измерения, а затем составить план с указанием вели- чин, которые необходимо измерить, и времени, отводимого на ка- ждое измерение. 120 Рассмотрим случай измерения интенсивности при наличии фо- на. Если измеряемый эффект определяется по формуле (П.2.6), а его дисперсия по формуле ф ф 2 ф 2 2 / / t n t n D A + = σ + σ = σ = , то соотношение между временами двух измерений t и t ф , обеспечи- вающее наименьшую относительную погрешность величины А при заданном полном времени Т = t + t ф , находится из условия 0 / ф = ∂ ∂ t D : / / / ) ( , 0 / ) /( / , / ) /( ф ф ф ф 2 ф ф 2 ф ф ф ф ф n n t t t t T t n t T n t D t n t T n D = = − = − − = ∂ ∂ + − = (П.2.8) Таким образом, для измерения меньшей интенсивности нужно затратить меньше времени, чем для измерений большей интенсив- ности. Физически это понятно: если одна из интенсивностей мала, то и связанные с ней флуктуации малы по абсолютной величине; поэтому с ними можно считаться меньше, выгоднее потратить ос- новную часть времени на измерение большей интенсивности. Условие (П.2.8) определяет также наименьшее Т, необходимое для получения заданной относительной погрешности δ = σ n /n. В том случае, когда фон точно известен, время, необходимое для из- мерения интенсивности с заданной степенью точности, определя- ется соотношением δ 2 = n / t (n – n ф ) 2 . (П.2.9) Часто ставится задача определения отношения двух интенсив- ностей Y = (N 1 /t 1 )/(N 2 /t 2 ) = n 1 /n 2 , измеренных за время t 1 и t 2 соот- ветственно. Квадрат относительной погрешности равен сумме квадратов относительных погрешностей делимого и делителя: ( ) 2 2 2 2 1 n n δ + δ = δ Так как погрешность скорости счета t N n / = σ , то 2 2 1 1 2 / 1 / 1 t n t n + = δ 121 Если фиксировано полное время измерения Т = t 1 + t 2 , то опти- мальная точность получится при минимальном δ 2 = 1/n 1 t 1 + + 1/n 2 (T – t 1 ): ( ) 0 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 = + − = − + − = ∂ δ ∂ t n t n t T n t n t ; 1 2 2 1 / / n n t t = Таким образом, при определении отношения двух интенсивно- стей меньшую интенсивность следует измерять в течение большего времени, в противоположность случаю разностного опыта. П.2.5. Метод наименьших квадратов Целью эксперимента может быть изучение функциональной за- висимости измеряемых на опыте параметров. Сама функция из- вестна априори (например, закон радиоактивного распада) или по- лучена из разрабатываемой гипотезы. При обработке эксперимен- тального материала задача исследователя – разработка (или ис- пользование известной) методики определения таких параметров, входящих в предложенную функцию, при которых значения функ- ции наилучшим образом соответствовали бы всей совокупности экспериментально измеренных значений исследуемой зависимости. Одним из наиболее мощных, а потому и наиболее часто употреб- ляемых методов, является метод наименьших квадратов, кратко – МНК. Обозначим через F(a j , х) функцию, которая должна быть сопос- тавлена с экспериментальным массивом данных Y i = Y(х i ), где х i – параметр (или набор параметров), в зависимости от которого был получен набор {Y i }. Задача сводится к нахождению таких * j a , ко- торые наилучшим образом соответствуют экспериментальным данным. В случае, когда Y i распределены нормально со стандарт- ным отклонением σ i , эта задача решается методом наименьших квадратов Если F(a j , х) = F i есть ожидаемое значение Y i , то вероятность получения Y i 122 ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ σ − − π σ = ϕ 2 2 2 exp 2 1 i i i i i F Y Y Вероятность полного набора {Y i } по k экспериментальным точ- кам х i , (1 ≤ i ≤ k) определяется выражением ( ) ( ) ∏ = ϕ = k i i j Y a L 1 * Функция L(a) носит название функции правдоподобия. Отыска- ние наилучших * j a сводится к нахождению максимума величины L (a j ). Практически задача решается следующим образом. Пролога- рифмируем L(a j ): ( ) ( ) ∑ = π σ − − = k i i j S a L 1 2 ln 2 1 ln , где ( ) ∑ σ − = k i i i F Y S 1 2 2 Очевидно, что L(a j ) имеет максимум, когда S минимальна. Вели- чина S называется суммой наименьших квадратов, если выполнено условие 0 = ∂ ∂ j a S . (П.2.10) Система уравнений (П.2.10) является исходной для вычисления коэффициентов * j a . Для определения погрешностей * j a σ восполь- зуемся свойством суммы S: ΔS равна 1, если отклонение ΔY i = = |Y i – F i | = σ i . Разложим S(a i ) в ряд Тейлора в окрестности * j a : ( ) 2 1 ) ( 1 1 1 * * + Δ Δ − ∂ ∂ + = ∑ ∑ ∑ = = = = M n n M n a a M j j j j a a H a S a S a S j j (П.2.11) Здесь М – число параметров а j , Δа = а – а*, 123 * , , 2 n n a a n n a a S H = ∂ ∂ ∂ = . (П.2.12) Второй член в (П.2.11) равен нулю по условию (П.2.10). Из (П.2.11) получаем 1 − = σ × σ = Δ × Δ n a a n H a a n . (П.2.13) Здесь 1 − n H – элемент матрицы ошибок, которая определяется как обратная матрице H (П.2.12). В случае нелинейной зависимости F(a j , х) от а j нахождение а j и σ j аналитически невозможно, и поэтому применяются численные методы с применением ЭВМ. Рассмотрим случай линейной зависимости F(a j , х) от а j , который часто встречается в лабораторном практикуме: ∑ = ⋅ = M j x f a x a F 1 ) ( ) , ( Используя соотношения (П.2.10) и (П.2.12), имеем ( ) ( ) i j k i i M i i j x f x f a Y a S ⋅ σ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ − − = ∂ ∂ ∑ ∑ = = 1 2 1 2 , ( ) ( ) ∑ = σ ⋅ = k i i i i n n x f x f H 1 2 Определим ( ) 2 1 i i j i k i j x f Y U σ = ∑ = Тогда 0 2 1 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ − − = ∂ ∂ ∑ = M j j j H a U a S В общем случае удобнее записать систему М уравнений в матрич- ной форме: 1 1 ; * − − = Δ ⋅ Δ = j i j i H a a UH a 124 Для примера рассмотрим случай, когда F(a, х) является парабо- лой F(a, х) = а 1 + a 2 x 2 : f 1 = 1; f 2 = x 2 ; ; / ; / ; / 1 1 2 4 22 1 1 2 2 21 12 2 11 ∑ ∑ ∑ = = = σ = σ = = σ = k i i i k i k i i i i x H x H H H ∑ ∑ = = σ = σ = k i k i i i i i i x Y U Y U 1 1 2 2 2 2 1 ; / ; / ; 1 11 12 21 22 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − H H H H D H 2 12 22 11 H H H D − ⋅ = ; ( ) ( ) 1 2 1 * 2 * 1 − ⋅ = H U U a a ; D H a D H a / ; / 11 2 22 1 = Δ = Δ Критерием соответствия используемой функции F(а j , х) экспе- риментальным данным является величина ( ) * ) ( j j a S a S = . Если Y i нормально распределены, то S описывается χ 2 -распределением с k – М – 1 = Р числом степеней свободы (здесь, как и раньше, k – число измеренных точек, М – число искомых параметров). Ожи- даемое значение P S = χ = 2 ож ож . Дисперсия D( χ 2 ) = 2P. Уровень соответствия выбранной функции F(а j , х) экспериментальным дан- ным определяется по таблице вероятности получения χ 2 больше данного при Р степенях свободы. При Р ≥ 30 распределение χ 2 пе- реходит в нормальное с P 2 = σ . Сильное (например, за ±4 σ, что соответствует вероятности реализации менее 10 –4 ) отклонение χ 2 от ожидаемого не должно без дополнительного анализа служить основанием к отказу от проверяемой гипотезы Y(х) = F(а j , х). При- чинами такого отклонения могут быть: при σ − < χ 4 2 эксп P – неправильные (завышенные) погрешности, приписываемые измеренным Y i ; при σ + > χ 4 2 эксп P : а) та же причина, что и в первом случае, но σ i занижены, 125 б) грубые ошибки, возникшие при измерениях некоторых из Y i Для проверки этой гипотезы следует вычислить вклад каждой точки ( ) 2 2 2 / i i i i F Y σ − = χ в ∑ χ = χ 2 2 эксп i . В среднем 2 i χ должны быть порядка единицы. Точки с недопустимо большими 2 i χ при данном Р должны быть перемерены. 126 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Росси Б. Частицы больших энергий. М.: Изд-во. техн.-теор. литературы, 1955. 2. Окунь Л.Б. Лептоны и кварки. М.: ЛКИ, 2013. 3. Окунь Л.Б. Физика элементарных частиц. М.: ЛКИ, 2013. 4. Сборник лабораторных работ по ядерной физике / Под ред. К.Н. Мухина. М.: Атомиздат, 1979. 5. Гольданский В.И., Никитин Ю.П., Розенталь И.Л. Кинемати- ческие методы в физике высоких энергий. М.: Наука, 1987. 6. Мухин К. Н. Экспериментальная ядерная физика. В 3-х т. Т. 1. Физика атомного ядра , Т.2. Физика ядерных реакций, Т.3. Физика элементарных частиц. Санкт-Петербург – Москва – Краснодар: Лань, 2009. 7. Перкинс Д. Введение в физику высоких энергий. М.: Энерго- атомиздат, 1991. 8. Hagiwara K. et. al. Review of Particle Properties // Phys. Rev. D66. 010001. 2002. 9. Копылов Г.И. Основы кинематики резонансов. М.: Наука, 1970. 10. Гайтлер В. Квантовая теория излучения. М.: Изд-во ино- странной литературы, 1956. 11. Wu C.S., Shakhov J. // Phys. Rev. 1950. 77. 136. 12. Матвеев В.А., Мачулина В.И. Комплексная система измере- ний и пространственного восстановления треков для ксеноновой камеры ДИАНА: Препринт ИТЭФ 14-93. М., 1993. 13. Методы анализа данных в физическом эксперименте / Под ред. М. Реглера. М.: Мир, 1993. С О Д Е Р Ж А Н И Е Работа 13. Оценка средней энергии мюонов космического излучения на поверхности Земли……………………………………3 Работа 14. Определение константы слабого взаимодействия и масс промежуточных бозонов из среднего времени жизни мюона ........................................................................................ 10 Работа 15. Определение масс и времени жизни К-мезонов и Λ-гиперона ......................................................................................... 24 Работа 16. Изучение pp-рассеяния при энергии протонов 660 МэВ ................................................................................................. 35 Работа 17. Изучение распадов долгоживущего 0 L K -мезона ............................................................................................ 44 Работа 18. Определение массы нейтрального π 0 -мезона ................. 59 Работа 19. Сохранение Р-четности при аннигиляции позитронов ............................................................................................ 68 Работа 20. Изучение схемы распада положительного пиона ........... 77 Работа 22. Система измерений и обработки трековой информации методами компьютерной графики ............................... 87 Приложение 1. Электронный альбом кандидатов в распады Λ-гиперонов…………………………………………………………100 Приложение 2. Статистическая обработка результатов измерений ........................................................................................... 112 Список рекомендуемой литературы ............................................ 126 Сборник лабораторных работ по ядерной физике Часть третья Элементарные частицы: свойства и взаимодействия Под редакцией Ю.П.Добрецова Редактор Е.Г.Станкевич Подписано в печать 14.06.2013. Формат 60х84 1/16. Объем 8,0 п.л. Уч.-изд.л. 8,0. Тираж 150 экз. Изд. № 020-1. Заказ № Национальный исследовательский ядерный университет ‹‹МИФИ››. Типография НИЯУ МИФИ. 115409, Москва, Каширское ш., 31 |