методы принятия управленческих решений. методы принятия УР. Содержание введение 5 1 Основы методологии теории принятия решений 7

• Название: Содержание введение 5 1 Основы методологии теории принятия решений 7
• Анкор: методы принятия управленческих решений
• Дата: 10.01.2020
• Размер: 5.15 Mb.
• Имя файла: методы принятия УР.doc
• Тип: Реферат; #103439
• страница: 13 из 27

4.3 Задачи принятия решений на основе бинарных отношений предпочтений

Важным предположением в языке бинарных отношений является независимость предпочтения двух альтернатив от любой третьей [3]. Бинарные отношения могут быть установлены на множестве альтернатив и множестве критериев. И в том и в другом случае для каждой пары сравниваемых объектов некоторым образом можно установить, что один из них предпочтительнее другого либо они равноценны или несравнимы.

В общем виде для задания бинарного отношения R на множестве Х необходимо тем или иным способом указать все пары (x, y) множества Х, для которых выполнено отношение R.

Существует четыре способа задания отношений:

1) непосредственное перечисление пар,

2) матричный,

3) графовый,

4) сечением.

Рассмотрим пример отношений в студенческой группе, состоящей из трех человек. На множестве студентов зададим отношение R — «учится лучше». Пусть первым способом задано отношение R следующим образом: Тогда можно составить матрицу А отношений R, состоящую из нулей и единиц, в которой

	0	1	1
	0	0	0
	0	0	0

Граф отношений, в котором стрелки направлены в сторону менее предпочтительного студента, показан на рис. 4.5.

Сечения задаются по каждому элементу множества Х. Различают верхнее сечение и нижнее — Верхним сечением для х называется множество элементов из Х, предпочтительных относительно рассматриваемого х. Нижним сечением для х называется множество элементов из Х менее предпочтительных х.

{Ø — пустое множество};

{Ø}; {Ø}.

В приведенном примере отношения R заданы не на всем множестве Х. Если не все элементы сравнимы по отношению R, то оно называется неполным (несовершенным, нелинейным, частичным). На всем множестве объектов Х могут быть установлены отношения эквивалентности, строгого порядка и нестрогого порядка. В [3, 4, 6] даны определения данных отношений. Напомним, что отношение эквивалентности содержательно интерпретируется как взаимозаменяемость, одинаковость объектов. Часто отождествляют понятия эквивалентности, равноценности и несравнимости. Отношение эквивалентности порождает разбиение множества объектов на классы, объединяющие неразличимые объекты по одному либо группе критериев. В приведенном примере и находятся в отношении эквивалентности .

Отношение строгого порядка может интерпретироваться как предпочтительность одного объекта по сравнению с другим, например «лучше», «важнее», «старше» и т.д. В приведенном примере учится лучше и , и . Отношение строгого порядка порождает строгое упорядочение по предпочтительности. Если бы добавили, например, отношение , то получили бы строгий порядок .

В случае строгого упорядочения объектов по предпочтительности П. Фишберном [22] доказана теорема, что можно построить функцию полезности , такую, что для Определение функции позволяет перейти от языка бинарных отношений к критериальному языку, взяв в качестве критериальной функции.

Отношение нестрогого порядка есть объединение отношений строгого порядка и эквивалентности, оно интерпретируется как предпочтительность либо эквивалентность объектов ( не хуже ). Отношение полного нестрогого порядка порождает строгое упорядочение классов эквивалентности объектов. Если добавим отношения и получим порядок ).

Альтернатива в ЗПР может быть представлена описанием в критериальном пространстве. Через критериальное пространство на множестве альтернатив можно установить бинарные отношения.

Обозначим:

— вектор оценок альтернативы х;

— вектор оценок альтернативы y.

Введем на альтернативах x и y отношения строгого предпочтения (отношение Парето), равноценности и несравнимости для равнозначных критериев.

Отношение Парето Р

Объекты х и y находятся в отношении Парето Р (строгого предпочтения), если для всех критериев оценки и хотя бы по одному критерию j оценка

.
Пример

Установить отношения Парето для x, y, z, если х = (5,5,5,5); у = (5,4,5,5); z = (5,5,5,4). Сравнивая попарно критерии для всех альтернатив, получим


Отношение равноценности I

Объекты х и у находятся в отношении равноценности I, если для всех критериев оценки

Отношение несравнимости N

Объекты х и y находятся в отношении несравнимости N, если хотя бы по одному критерию i оценка и найдется другой критерий j, для которого оценка .

.

Отношение Парето на всем множестве альтернатив позволяет установить множество предпочтительных (недоминируемых) альтернатив, верхнее сечение которых пусто. Данное множество называют множеством Парето, внутри него выполняются отношения несравнимости. При необходимости же выбора из множества Парето более предпочтительных следует привлекать дополнительные соображения: вводить новые отношения (например, мажоритарное, лексиграфическое и др. [42]), новые критерии и ограничения, привлекать экспертов либо бросать жребий.

Выбор альтернатив в целом целесообразно производить в два этапа: определение множества Парето, затем определение подмножества более предпочтительных альтернатив из множества Парето.

Ниже рассмотрим некоторые из отношений, которые позволяют «сузить» множество Парето.
Мажоритарное отношение

Идейная основа мажоритарного отношения — это принцип выбора лучшего решения на основе голосования. Предполагается, что критерии равнозначны и утверждение «x предпочтительней y» выполняется тогда и только тогда, когда x превосходит y по большему числу оценок, чем y превосходит x. Формально определяется:

где

Пример

Пусть Очевидно, что имеет место
Отношение лексикографии

Предполагается, что критерии упорядочены по важности значимости. Пусть критерий первый важнее второго, второй — третьего и т.д. Отношение лексикографии определяется:


Отношения Подиновского

а) для равноважных критериев имеет место отношения предпочтения и эквивалентности по Подиновскому:

б) для разноважных критериев (пусть упорядочены по убыванию важности) имеет место отношения:
Пример

Пусть

а) для равноважных —

б) для разноважных —