ОФС_Статистическая_обработка_результатов_физических__физико-хими. Статья статистическая обработка результатов физических, физикохимических и химических испытаний
![]()
|
1.4. Объединение однородных выборок 1.4.1.Объединенная дисперсия и объединенное среднее значение Если имеется g выборок из одной и той же генеральной совокупности с порядковыми номерами k (1 ≤ k ≤ g), расчет объединенной дисперсии ![]() ![]() ![]() или для объединенных относительных величин: ![]() ![]() ![]() ![]() При этом объединенное число степеней свободы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если g выборок из одной и той же генеральной совокупности с порядковыми номерами k (1 ≤ k ≤ g) характеризуются выборочными средними значениями ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Необходимым условием совместной статистической обработки нескольких однородных выборок является отсутствие статистически значимой разницы между отдельными значениями ![]() ![]() ![]() ![]() 1.4.2. Критерий Бартлетта Для проверки гипотезы, что все ![]() ![]() ![]() ![]() При этом величины s2и ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где : С= ![]() и снова сравнивают с процентной точкой хи-квадрат распределения ![]() ![]() ![]() Описанный критерий Бартлетта применим только при условии, что число степеней свободы у всех объединяемых дисперсий больше 3, т.е. все ![]() 1.4.3. Критерий Кохрена В том случае, когда все объединяемые дисперсии имеют одинаковое число степеней свободы (т.е. f1 = f2 = …= fg = f) для проверки гипотезы равенства дисперсий (однородности дисперсий) можно применять значительно более простой критерий Кохрена со статистикой: G = ![]() где: ![]() В формулах (1.17) и (1.20) вместо абсолютных величин ![]() ![]() Критические точки критерия Кохрена приведены в таблице 7.6. Приложения. Для подтверждения гипотезы об однородности дисперсий рассчитанное значение Gна выбранном уровне значимости (95 % или 99 %) не должно превосходить табличное значение (Gрассчитанное ≤ Gтабличное. В противном случае гипотеза равенства дисперсий не может быть принята: формулы (1.15) - (1.17) объединения выборок не являются корректными, наибольшую дисперсию в исследуемом наборе дисперсий считают выболсом.. 1.5. Доверительные интервалы и оценка их величины Если случайная однородная выборка конечного объема n получена в результате последовательных измерений некоторой величины А, имеющей истинное значение µ, то среднее этой выборки ![]() ![]() ![]() Данный доверительный интервал не характеризует погрешность определения величины µ, поскольку найденная величина ![]() Расчет граничных значений доверительного интервала при известном значении стандартного отклонения s или для выборок большого объема проводят по уравнению: ![]() предполагая, что варианты, входящие в выборку, распределены нормально. Здесь U(P) – табличное значение функции нормального распределения. Для выборок небольшого объема расчет граничных значений доверительного интервала проводят с использованием критерия Стьюдента, предполагая, что варианты, входящие в выборку, распределены нормально: ![]() или с использованием относительных величин: 1 ![]() Здесь t (P, f) – табличное значение критерия Стьюдента (таблица 7.2. Приложения). Распределение по критерию Стьюдента ![]() ![]() ![]() Полуширины относительных доверительных интервалов единичного ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если при измерении одной и той же методикой двух близких значений А были получены две случайные однородные выборки с объемами n и m, то при m < n для выборки объема m справедливо уравнение: ![]() где индекс указывает принадлежность величин к выборке объема mили n. Уравнение (1.23) позволяет оценить величину доверительного интервала среднего ![]() ![]() Аналогично уравнениям (1.21)-(1.22) определяют доверительный интервал результата отдельного определения. Подставляя n= 1 в уравнение (1.22б) или m = 1 в уравнение (1.23), получают: ![]() или с использованием относительных величин: ![]() Этот интервал является доверительным интервалом результата отдельного определения. Для него с доверительной вероятностью Р выполняются взаимосвязанные условия: ![]() ![]() Значения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример расчета доверительных интервалов в процентах и относительных неопределенностей приведен в разделе 6.3. Если при измерениях получают логарифмы исходных вариант, то уравнения (1.22б) и (1.24) принимают вид: lg ![]() lg ![]() Потенцирование выражений (1.29) и (1.30) приводит к несимметричным доверительным интервалам для значений ![]() ![]() antilg(lg ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() antilg(lgxi – ![]() ![]() ![]() где: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При этом для нижних и верхних границ доверительных интервалов ![]() ![]() ![]() 1.5.1. Односторонние и двусторонние доверительные интервалы Выражения (1.21) - (1.35) характеризуют так называемые «двусторонние» доверительные интервалы. Они основаны на двустороннем t-распределении и широко применяются при оценке правильности и прецизионности методик и представлении результатов. Вместе с тем, при решении некоторых задач, например, при контроле готовой продукции, в частности, при контроле качества лекарственных средств, нередко возникает необходимость использования так называемых «односторонних» доверительных интервалов. Например, для какого-нибудь лекарственного препарата допуски количественного содержания действующего вещества установлены от 90 % до 110 % от номинального. В процессе анализа получено среднее значение содержания ![]() ![]() Аналогичное выражение можно записать для случая, когда ![]() ![]() ![]() Выражения (1.36а) и (1.36б) характеризуют односторонние доверительные интервалы, поскольку величина µ ими ограничивается только с одной стороны. Это отличает их от выражения (1.21), где величина µ ограничивается с обеих сторон. Существует следующее соотношение между двусторонним (Р2) и односторонним (Р1) критериями Стьюдента: t[P2, f] =t[(2P1-1) f] (1.37) В частности, односторонний критерий Стьюдента для вероятности 0,95 (т.е. 95 %) совпадает с двусторонним критерием Стьюдента для вероятности 0,90 (т.е. 90 %). Таким образом, Р2 ‒ это вероятность того, что математическое ожидание (или истинное значение) оцениваемой величины находится в двусторонне ограниченных пределах (1.21) - (1.35), а Р1 ‒ это вероятность того, что оно находится в односторонне ограниченных пределах (1.36) - (1.35). Также могут использоваться величины, обозначаемые (1-P2) и (1-P1), которые характеризуют вероятность того, что математическое ожидание (или истинное значение) оцениваемой величины выходит за вышеуказанные пределы. Во многих случаях такие величины являются более удобными. |