Эконометрика. эконометрика_presentation. Структура курса

• Название: Структура курса
• Анкор: Эконометрика
• Дата: 05.10.2021
• Размер: 1.93 Mb.
• Имя файла: эконометрика_presentation.ppt
• Тип: Литература; #241656
• страница: 8 из 11

Тема 11. Обобщенный метод наименьших квадратов

ОМНК

Темы лекции

Обобщенная линейная регрессионная модель
Обобщенный метод наименьших квадратов
Доступный обобщенный метод наименьших квадратов


модель


в матричной форме


- матрица ковариаций 


Матрица  предполагается положительно определенной

КМЛРМ

Гетероскедастичность

Автокорреляция первого порядка

Применение МНК

МНК-оценки несмещенные
МНК-оценки коэффициентов неэффективны, т. е. не обладают наименьшей дисперсией из всех возможных линейных несмещенных оценок
МНК-оценки дисперсий оценок коэффициентов смещены и несостоятельны
Можно повысить эффективность оценок за счет дополнительной информации о матрице 

Получение эффективных оценок

Для любой положительно определенной матрицы  существует невырожденная матрица Н такая, что


Перепишем это равенство следующим образом:


Откуда


преобразуем исходную модель:


или


найдем матрицу ковариаций нового случайного члена:


матрица ковариаций преобразованной модели удовлетворяет условиям Гаусса-Маркова. Поэтому, для оценки этой модели можно применять обычный метод наименьших квадратов:


эта оценка является несмещенной и эффективной


матрица ковариаций вектора

Теорема Айткена

В классе линейных несмещенных оценок коэффициентов уравнения оценка


является эффективной, т. е. обладает наименьшей матрицей ковариаций

Проблема

Для построения ОМНК-оценки нам необходимо знать матрицу 
МЫ ЕЕ НЕ ЗНАЕМ
Поэтому матрицу  тоже надо оценить
Поскольку в этой матрице всего N(N-1)/2 элементов, то нет никакой надежды получить состоятельные)оценки, имея всего N наблюдений.
Для получения состоятельной оценки матрицы  необходимо наложить некоторые ограничения на ее структуру


Пусть V – состоятельная оценка матрицы , тогда, подставляя ее, осуществляем Доступный обобщенный метод наименьших квадратов (feasible GLS),


.

Свойства оценок по ДОМНК

смещены состоятельны асимптотически эффективны так что ДОМНК-оценки ведут себя непредсказуемым образом на малых выборках, поэтому в некоторых ситуациях лучше использовать МНК-оценки с состоятельными стандартными ошибками

Коэффициент детерминации

Для обобщенной регрессионной модели нельзя использовать R2 в качестве удовлетворительной мерой качества подгонки. Он не обязательно лежит в интервале [0;1], а добавление или удаление регрессоров не обязательно влечет за собой его увеличение или уменьшение. Так же нет смысла рассматривать коэффициент детерминации и для вспомогательной регрессии, поскольку среди преобразованных регрессоров уже может и не быть константы;
в общем случае трудно установить связь между качеством подгонки вспомогательной регрессии и исходной модели.

Вопросы для самопроверки

Какая модель называется Обобщенной линейной регрессионной моделью.
Как выглядит матрица ковариаций ошибок в случае КМЛРМ.
Как выглядит матрица ковариаций ошибок в случае гетероскедастичности
Как выглядит матрица ковариаций ошибок в случае автокорреляции первого порядка.
Выведите формулу коэффициентов по обобщенному методу наименьших квадратов.
Сформулируйте теорему Айткена.
Как оценивать матрицу ковариаций ошибок.
Что такое доступный обобщенный метод наименьших квадратов.

Тема 12. Гетероскедастичность

Темы лекции

Природа проблемы гетероскедастичности
Последствия гетероскедастичности
Обнаружение гетероскедастичности
Коррекция гетероскедастичности

Определение гетероскедастичности

Гетероскедастичность – это неоднородность наблюдений. Она характеризуется тем, что не выполняется 4-е условие Гаусса-Маркова:
.

Иллюстрация определения гетероскедастичности

Модели с гетероскедастичными остатками

Причиной непостоянства дисперсии эконометрической модели часто является ее зависимость от масштаба рассматриваемых явлений.


В модель ошибка входит как аддитивное слагаемое. В то же время часто она имеет относительный характер и определяется по отношению к измеренному уровню рассматриваемых факторов.

Пример модели с гетероскедастичным случайным членом

y


x

Примеры моделей с гетероскедастичным случайным членом

а)


в)


б)


а) Дисперсия 2 растет по мере увеличения значений объясняющей переменной X
б) Дисперсия 2 имеет наибольшие значения при средних значениях X, уменьшаясь по мере приближения к крайним значениям в) Дисперсия ошибки наибольшая при малых значениях X, быстро уменьшается и становится однородной по мере увеличения X

Перекрестные выборки

Чаще гетероскедастичность возникает в моделях, основанных на перекрестных выборках, но встречаются и во временных рядах.
Типичные «болезни»:
Перекрестные выборки – гетероскедастичность
Временные ряды – автокорреляция

Виды гетероскедастичности

1. Истинная гетероскедастичность
Вызывается непостоянством дисперсии случайного члена, ее зависимостью от различных факторов.


2. Ложная гетероскедастичность
Вызывается ошибочной спецификацией модели регрессии.

Источники гетероскедастичности

Истинная гетероскедастичность возникает в
перекрестных выборках при зависимости масштаба изменений зависимой переменной от некоторой переменной, называемой фактором пропорциональности (Z).

Источники гетероскедастичности – 1

Наиболее распространенный случай истинной гетероскедастичности – 1: дисперсия растет с ростом одного из факторов.

Источники гетероскедастичности

Истинная гетероскедастичность возникает также и во временных рядах, когда зависимая переменная имеет большой интервал качественно неоднородных значений или высокий темп изменения (инфляция, технологические сдвиги, изменения в законодательстве, потребительские предпочтения и т.д.).

Гетероскедастичность как следствие ошибки спецификации модели. Пример

Если вместо истинной (гомоскедастичной) модели используется линейная модель , то дисперсия остатков линейной модели пропорциональна квадрату переменной Xj:

Гетероскедастичность простейшего вида

Мы в дальнейшем будем рассматривать, главным образом, только гетероскедастичность простейшего вида:

Последствия гетероскедастичности

1. Истинная гетероскедастичность не приводит к смещению оценок коэффициентов регрессии
2. Стандартные ошибки коэффициентов
(вычисленные в предположении.
гомоскедастичности) будут занижены. Это приведет к завышению t-статистик и даст неправильное (завышенное) представление о точности оценок.


Обнаружение гетероскедастичности в каждом конкретном случае – довольно сложная задача.
Для знания необходимо знать распределение случайной величины Y/X=xi . На практике часто для каждого конкретного значения xi известно лишь одно yi, что не позволяет оценить дисперсию случайной величины Y/X=xi.


Предварительная работа:
1. Нет ли очевидных ошибок спецификации?
2. Можно ли содержательно предполагать какой-то вид гетероскедастичности?
3. Рассмотрение графиков остатков:


Тесты:
1. Тест ранговой корреляции Спирмена.
2. Тест Парка.
3. Тест Глейзера.
4. Тест Голдфелда-Квандта.
5. Тест Уайта.
6. Тест Бреуша-Пагана.

Тест Глейзера

Здесь предполагается, что дисперсии связаны с фактором пропорциональности Z в виде:
Т.к. средние квадратические отклонения неизвестны, то их заменяют модулями оценок отклонений .

Тест Глейзера. Алгоритм применения

1. Строится уравнение регрессии:
и вычисляются остатки .
2. Выбирается фактор пропорциональности Z и оценивают вспомогательное уравнение регрессии:
Изменяя , строят несколько моделей:
3. Статистическая значимость коэффициента 1 в каждом случае означает наличие гетероскедастичности.
4. Если для нескольких моделей будет получена значимая оценка 1 , то характер гетероскедастичности определяют по наиболее значимой из них.

Тесты Парка и Глейзера. Выводы

Отметим, что как в тесте Парка, так и в тесте
Глейзера для отклонений i может нарушаться условие гомоскедастичности.
Однако, во многих случаях используемые в тестах модели являются достаточно хорошими для определения гетероскедастичности.

Тест Голдфелда-Квандта

В этом тесте предполагается:
1. Стандартные отклонения остатков пропорциональны фактору пропорциональности
Z, т.е.
2. Случайный член  имеет нормальное распределение и отсутствует автокорреляция остатков (предпосылка 30).


1. Выделяют фактор пропорциональности Z = Xk.
Данные упорядочиваются в порядке возрастания величины Z.
2. Отбрасывают среднюю треть упорядоченных наблюдений. Для первой и последней третей строятся две отдельные регрессии, используя ту же спецификацию модели регрессии.
3. Количество наблюдений в этих подвыборках должно быть одинаково. Обозначим его l.


4. Берутся суммы квадратов остатков для регрессий по первой трети RSS1 и последней трети RSS3. Рассчитывают их отношение:
5. Используем F-тест для проверки гомоскедастичности.
Если статистика GQ удовлетворяет неравенству то гипотеза гомоскедастичности остатков отвергается на уровне значимости .

Тест Голдфелда-Квандта. Замечание

Тест Голдфелда-Квандта применим и для случая обратной пропорциональности:
При этом используется та же процедура, но тестовая статистика равна:

Тест Уайта

Предполагается, что дисперсии связаны с объясняющими переменными в виде:
где f() – квадратичная функция от аргументов.
Т.к. дисперсии неизвестны, то их заменяют оценками квадратов отклонений ei2.


1. Строится уравнение регрессии:
и вычисляются остатки .
2. Оценивают вспомогательное уравнение регрессии:


3. Определяют из вспомогательного уравнения тестовую статистику
4. Проверяют общую значимость уравнения с помощью критерия 2. Если то гипотеза гомоскедастичности отвергается. Число степеней свободы k равно числу объясняющих
Переменных вспомогательного уравнения. В частности,
Для рассматриваемого случая k = 9.

Тест Уайта. Замечания

Тест Уайта является более общим чем тест
Голдфелда-Квандта.


Неудобство использования теста Уайта: Если отвергается нулевая гипотеза о наличии гомоскедастичности то неясно, что делать дальше.

Средства при гетероскедастичности

1. Использовать обобщенный метод наименьших квадратов.
2. Переопределить переменные.
3. Вычисление стандартных ошибок с поправкой на гетероскедастичность (метод Уайта).

Обобщенный метод наименьших квадратов

При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции остатков рекомендуется вместо традиционного МНК
использовать обобщенный МНК. Его для случая устранения гетероскедастичности часто называют методом взвешенных наименьших квадратов.


Основан на делении каждого наблюдаемого значения на соответствующее ему стандартное отклонение остатков.


Метод применим, если известны дисперсии для каждого наблюдения.


Получили уравнение регрессии без свободного члена, но с дополнительной объясняющей переменной Z и с
«преобразованным» остатком . Можно показать, что для него выполняются условия Гаусса-Маркова 1 – 5.


На практике, значения дисперсии остатков, как правило, не известны. Для применения метода ВНК
необходимо сделать реалистичные предположения об этих значениях. Например:
Дисперсии пропорциональны Xi:
Дисперсии пропорциональны Xi2:

Вопросы для самопроверки

Что такое гетеровскедастичность
Из-за чего может возникнуть гетеровскедастичность в модели.
Какие последствия наличия гетеровскедастичности в модели.
Как выглядит матрица ковариаций ошибок в случае наличия гетеровскедастичности
Какие вы знаете еще тесты для обнаружения гетеровскедастичности.
Какова основная идея теста Уайта.
Что делать, если тест Уайта обнаружил гетероскедастичность.
Как обнаружить гетеровскедастичность графически.
Как корректировать модель при наличии гетеровскедастичность.
Что такое взвешенный метод наименьших квадратов.
Как осуществить двухшаговую процедуру коррекции гетероскедастичности.