Эконометрика. эконометрика_presentation. Структура курса
![]()
|
Тема 4. Оценка качества подгонки линии регрессии к имеющимся даннымТемы лекции.Коэффициент детерминации. Свойства коэффициента детерминации. Скорректированный коэффициент детерминации. Свойства скорректированного коэффициента детерминации. Насколько хорошо нам удалось объяснить изменение переменной Y нашей моделью. Разложим вариацию Y на две части. Насколько наше уравнение объясняет вариацию Y и какова часть Y, которую мы не можем объяснить нашим уравнением. Разложение отклонения от среднегоОбщая вариация переменной Yвеличина, являющаяся мерой вариации переменной Y вокруг ее среднего значения Разложение общей вариации переменной YВ этой сумме II = 0, если в уравнении есть свободный коэффициент I II III TSS – total sum of squares – вся дисперсия или вариация Y, характеризует степень случайного разброса значений функции регрессии около среднего значения Y ESS – error sum of squares – есть сумма квадратов остатков регрессии, та величина, которую мы минимизируем при построении прямой, часть дисперсии, которая нашим уравнением не объясняется RSS – regression sum of squares – объясненная часть общей вариации Коэффициент детерминацииКоэффициентом детерминации или долей объясненной нашим уравнением дисперсии называется величина в силу определения; в это м случае RSS = 0, т. е. наша регрессия ничего не объясняет, ничего не дает по сравнению с тривиальным прогнозом наши данные позволяют сделать вывод о независимости Y и X, изменение в переменной X никак не влияет на изменение среднего значения переменной Y (есть примеры, когда зависимость между переменными есть, а коэффициент детерминации равен нулю); в этом случае чем ближе R2 к 1, тем лучше качество подгонки кривой к нашим данным, тем точнее аппроксимирует Y в этом случае все точки (Xi, Yi) лежат на одной прямой (ESS = 0). Тогда на основании наших данных можно сделать вывод о наличии функциональной, а именно, линейной, зависимости между переменными Y и X. Изменение переменной Y полностью объясняется изменением переменной X Недостаток коэффициента детерминацииR2, вообще говоря, возрастает при добавлении еще одного регрессора, поэтому для выбора между несколькими регрессионными уравнениями не следует полагаться только на R2 Попыткой устранить эффект, связанный с ростом R2 при увеличении числа регрессоров, является коррекция R2 на число регрессоров - наложение "штрафа" за увеличение числа независимых переменных. , но может быть и < 0 УпражнениеПоказать, что статистика увеличится при добавлении новой переменной тогда и только тогда, когда t-статистика коэффициента при этой переменной по модулю больше 1. Следовательно, если в результате регрессии с новой переменной увеличился, это еще не означает, что коэффициент при этой переменной значимо отличается от нуля, поэтому мы не можем сказать, что спецификация модели улучшилась Вопросы для самопроверкиДля чего нужен коэффициент детерминации. Основная идея построения характеристики качества подгонки линии регрессии к имеющимся данным. Как связаны между собой коэффициент детерминации и коэффициент корреляции в парной модели. В каком случае коэффициент детерминации имеет смысл. Докажите, что второе слагаемое в разложении общей вариации равно нулю. Какие вы знаете свойства коэффициента детерминации В каких случаях нельзя использовать коэффициент детерминации для сравнения моделей. Что такое скорректированный коэффициент детерминации. Всегда ли скорректированный коэффициент детерминации увеличивается при добавлении новых переменных. Перечислите свойства скорректированного коэффициента детерминации Тема 4. Нелинейные моделиТемы лекцииНелинейная регрессия Преобразования переменных Экономическая интерпретация регрессионной модели Пример нелинейной зависимостиБананы, в фунтах Доход, в 10000 у.е. Направления анализа и развития парной линейной регрессииКлючевые точки (начало координат) Кривая или прямая Форма криволинейной зависимости Вспомогательные экономические показатели (скорость и темп роста, эластичность) Уточнение формы (экстремумы, пределы) Сравнение функциональных форм Этапы построения модели1. Выбор теоретических предпосылок 2. Формализация предпосылок 3. Построение математической модели 4. Анализ построенной модели Производственная функция Кобба-ДугласаМногие экономические процессы не являются линейными по сути. Их моделирование линейными уравнениями не даст положительного результата. Пример. Производственная функция Кобба – Дугласа Y – объем выпуска; K, L – затраты капитала и труда; , – параметры модели. Анализ экономического ростаАнализ теоретических предпосылок: прирост пропорционален накопленному потенциалу Формализация предпосылок: Интерпретация и анализ: коэффициент регрессии годовой темп роста, возможно сопоставление с реальными данными Классы нелинейных регрессийРазличают два класса нелинейных регрессий: 1. Регрессии, нелинейные относительно переменных, но линейные по оцениваемым параметрам. 2. Регрессии, нелинейные по оцениваемых параметрам. Регрессии, нелинейные относительно объясняющих переменных, всегда сводятся к линейным моделям. Альтернативные функциональные формы: правила выбораПравила выбора формы зависимости: 1. Исходить из экономической теории. 2. Оценивать формальное качество модели. 3. Дополнительно проверять по нескольким содержательным критериям. 4. Ответить на вопросы, возникающие при анализе модели: каковы признаки качественной модели; какие ошибки спецификации встречаются и каковы их последствия; как обнаружить ошибку спецификации; каким образом можно исправить ошибку спецификации и перейти к более качественной модели. Линейная формаИнтерпретация коэффициента регрессии предельный эффект независимого фактора Линейная формаДля полученных оценок a, b уравнения регрессии: Линейная формаКоэффициент регрессии b показывает прирост зависимой переменной при изменении объясняющей переменной на единицу. Коэффициент регрессии b – угловой коэффициент линии регрессии Коэффициент регрессии a – среднее значение зависимой переменной при нулевом значении объясняющей переменной Линейная форма от времениИнтерпретация коэффициента регрессии от времени ежегодный (ежемесячный и т.д.) прирост зависимой переменной Моделирование эластичностиНезависимо от вида математической связи между Y и X эластичность равна: Эластичность y по x рассчитывается как относительное изменение y на единицу относительного изменения x. Пример расчета эластичностиРассмотрим кривую Энгеля: где Y – спрос на товар, X – доход. Имеем: Эластичность = Например для модели эластичность спроса по доходу равна 0,3. Иными словами, изменение дохода (X) на 1% вызывает изменение спроса (Y) на 0,3% Эластичность – переменная величинаНапример, для линейной модели Эластичность не всегда бывает постоянной для различных значений X и Y Средний коэффициент эластичностиСредний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат Y от своей средней величины при изменении фактора X на 1% от своего среднего значения Логарифмическая формаПрологарифмировав обе части уравнения, получим Логарифмическая формаИнтерпретация коэффициента регрессии – эластичность зависимой переменной по объясняющей переменной Коэффициент при объясняющей переменной показывает, на сколько процентов возрастает Y при возрастании X на 1%. Логарифмическую форму следует использовать там, где есть основание предполагать постоянство эластичности Логарифмическая формаВычисление наклона (скорости роста) Наклон постоянно меняется с изменением номера наблюдения Графики логарифмической формы зависимостиПолулогарифмические формы1. Линейно-логарифмическая форма (логарифм при объясняющей переменной) 2. Логарифмически-линейная форма (логарифм при зависимой переменной) Интерпретация коэффициента регрессии : Коэффициент при объясняющей переменной показывает на сколько единиц возрастает Y при возрастании X на 1% При интерпретации коэффициент следует делить на 100 Если X увеличится на 1%, то прирост Y составит /100 единиц (в которых измеряется Y) Эластичность убывает с ростом Y: Это указывает на класс зависимостей, где следует применять линейно-логарифмическую форму регрессии Логарифм при X снижает влияние роста X (степень влияния X снижается с ростом X). Моделирование эффектов насыщения на уровне скорости роста: «возрастание с убывающей скоростью» Графики линейно-логарифмической формы зависимости0 X Y > 0 < 0 Интерпретация коэффициента регрессии : Коэффициент при объясняющей переменной показывает на сколько процентов возрастает Y при возрастании X на одну единицу При интерпретации коэффициент следует умножать на 100 Эластичность растет с ростом Y: Это указывает на класс зависимостей, где следует применять линейно-логарифмическую форму регрессии Моделирование эффектов насыщения на уровне скорости роста: «возрастание с возрастающей скоростью» Примеры: кривые Энгеля для товаров роскоши, моделирование оплаты труда (процентная надбавка за стаж и опыт) Графики логарифмически-линейной формы зависимостиY > 1 0<< 1 X 0 Логарифмически-линейная форма от времениВид уравнения: Интерпретация: Коэффициент при переменной времени выражает темп прироста. Он показывает на сколько процентов (если умножить его на 100) возрастает Y ежегодно Эту функциональную форму удобно использовать для моделирования процессов экономического роста Обратные зависимостиВычисление эластичности С ростом X зависимая переменная приближается к некоторому числу (моделирование эффекта насыщения) Пример: Моделирование потребления товаров первой необходимости (быстрое достижение насыщения) Сводка результатов для альтернативных функциональных форм в парной регрессииПреобразование случайного отклоненияПример. Логарифмирование нелинейной модели с аддитивным случайным членом не приводит к линеаризации соотношения относительно параметров. МНК применяется к преобразованным (линеаризованным) уравнениям. Поэтому необходимо особое внимание уделять рассмотрению свойств случайных отклонений – выполнимости предпосылок теоремы Гаусса-Маркова. Признаки качественной модели1. Простота модели (из примерно одинаково отражающих реальность моделей, выбирается та, которая содержит меньше объясняющих переменных. 2. Единственность (для любых данных коэффициенты модели должны вычисляться однозначно). 3. Максимальное соответствие (модель тем лучше, чем больше скорректированный коэффициент детерминации). 4. Согласованность с теорией (уравнение регрессии должно соответствовать теоретическим предпосылкам). 5. Прогнозные качества (прогнозы, полученные на основе модели, должны подтверждаться реальностью). Сравнение различных моделей1. Содержательный анализ 2. Формальный анализ: Метод Зарембки Преобразование Бокса-Кокса Метод ЗарембкиПрименим для выбора из двух форм (несравнимых непосредственно), в одной из которых зависимая переменная входит с логарифмом, а в другой – нет Метод позволяет сравнить линейную и логарифмическую регрессии и оценить значимость наблюдаемых различий 1. Вычисляем среднее геометрическое значений зависимой переменной и все ее значения делим на это среднее: 2. Рассчитываются линейная и логарифмическая регрессии, и сравниваются значения их сумм квадратов остатков (ESS) 3. Вычисляем 2-статистику для оценки значимости различий 4. Сравниваем с критическим значением 2-распределения . Различия значимы на уровне значимости , если Метод Бокса-КоксаИдея метода. Переменная : при =1 превращается в линейную функцию при 0 переходит в логарифм Плавно изменяя , можно постепенно перейти от линейной регрессии к логарифмической, все время сравнивая качество 1. Преобразуют зависимую переменную по методу Зарембки: 2. Рассчитывают новые переменные (преобразование Бокса-Кокса) при значениях от 1 до 0: 3. Рассчитывают уравнения регрессии для новых переменных при значениях от 1 до 0: 4. Определяют минимальное значение суммы квадратов остатков (SSR). 5. Выбирают одну из крайних регрессий, к которой ближе точка минимума. Вопросы для самопроверкиКакие вы знаете виды нелинейных моделей. Какие вы знаете нелинейные методы оценивания. Как определять эластичность. Что такое предельные эффекты переменных. Основные способы линеаризации моделей. Какие вы знаете типы производственных функций. Как выбрать между линейной и логарифмической моделями. Экономический смысл коэффициентов линейной модели. Экономический смысл коэффициентов логарифмической модели Экономический смысл коэффициентов полулогарифмической модели. |