Эконометрика. эконометрика_presentation. Структура курса

• Название: Структура курса
• Анкор: Эконометрика
• Дата: 05.10.2021
• Размер: 1.93 Mb.
• Имя файла: эконометрика_presentation.ppt
• Тип: Литература; #241656
• страница: 3 из 11

Тема 4. Оценка качества подгонки линии регрессии к имеющимся данным

Темы лекции.

Коэффициент детерминации.
Свойства коэффициента детерминации.
Скорректированный коэффициент детерминации.
Свойства скорректированного коэффициента детерминации.


Насколько хорошо нам удалось объяснить изменение переменной Y нашей моделью.
Разложим вариацию Y на две части. Насколько наше уравнение объясняет вариацию Y и какова часть Y, которую мы не можем объяснить нашим уравнением.

Разложение отклонения от среднего

Общая вариация переменной Y

величина, являющаяся мерой вариации переменной Y вокруг ее среднего значения

Разложение общей вариации переменной Y

В этой сумме II = 0, если в уравнении есть свободный коэффициент


I II III


TSS – total sum of squares – вся дисперсия или вариация Y, характеризует степень случайного разброса значений функции регрессии около среднего значения Y
ESS – error sum of squares – есть сумма квадратов остатков регрессии, та величина, которую мы минимизируем при построении прямой, часть дисперсии, которая нашим уравнением не объясняется
RSS – regression sum of squares – объясненная часть общей вариации

Коэффициент детерминации

Коэффициентом детерминации или долей объясненной нашим уравнением дисперсии называется величина


в силу определения;


в это м случае RSS = 0, т. е. наша регрессия ничего не объясняет, ничего не дает по сравнению с тривиальным прогнозом наши данные позволяют сделать вывод о независимости Y и X, изменение в переменной X никак не влияет на изменение среднего значения переменной Y (есть примеры, когда зависимость между переменными есть, а коэффициент детерминации равен нулю);


в этом случае чем ближе R2 к 1, тем лучше качество подгонки кривой к нашим данным, тем точнее аппроксимирует Y


в этом случае все точки (Xi, Yi) лежат на одной прямой (ESS = 0). Тогда на основании наших данных можно сделать вывод о наличии функциональной, а именно, линейной, зависимости между переменными Y и X. Изменение переменной Y полностью объясняется изменением переменной X

Недостаток коэффициента детерминации

R2, вообще говоря, возрастает при добавлении еще одного регрессора, поэтому для выбора между несколькими регрессионными уравнениями не следует полагаться только на R2


Попыткой устранить эффект, связанный с ростом R2 при увеличении числа регрессоров, является коррекция R2 на число регрессоров - наложение "штрафа" за увеличение числа независимых переменных.


, но может быть и < 0

Упражнение

Показать, что статистика увеличится при добавлении новой переменной тогда и только тогда, когда t-статистика коэффициента при этой переменной по модулю больше 1.
Следовательно, если в результате регрессии с новой переменной увеличился, это еще не означает, что коэффициент при этой переменной значимо отличается от нуля, поэтому мы не можем сказать, что спецификация модели улучшилась

Вопросы для самопроверки

Для чего нужен коэффициент детерминации.
Основная идея построения характеристики качества подгонки линии регрессии к имеющимся данным.
Как связаны между собой коэффициент детерминации и коэффициент корреляции в парной модели.
В каком случае коэффициент детерминации имеет смысл.
Докажите, что второе слагаемое в разложении общей вариации равно нулю.
Какие вы знаете свойства коэффициента детерминации
В каких случаях нельзя использовать коэффициент детерминации для сравнения моделей.
Что такое скорректированный коэффициент детерминации.
Всегда ли скорректированный коэффициент детерминации увеличивается при добавлении новых переменных.
Перечислите свойства скорректированного коэффициента детерминации

Тема 4. Нелинейные модели

Темы лекции

Нелинейная регрессия
Преобразования переменных
Экономическая интерпретация регрессионной модели

Пример нелинейной зависимости

Бананы, в фунтах


Доход, в 10000 у.е.

Направления анализа и развития парной линейной регрессии

Ключевые точки (начало координат)
Кривая или прямая
Форма криволинейной зависимости
Вспомогательные экономические показатели (скорость и темп роста, эластичность)
Уточнение формы (экстремумы, пределы)
Сравнение функциональных форм

Этапы построения модели

1. Выбор теоретических предпосылок
2. Формализация предпосылок
3. Построение математической модели
4. Анализ построенной модели

Производственная функция Кобба-Дугласа

Многие экономические процессы не являются линейными по сути. Их моделирование линейными уравнениями не даст положительного результата.


Пример. Производственная функция Кобба – Дугласа
Y – объем выпуска; K, L – затраты капитала и труда; ,  – параметры модели.

Анализ экономического роста

Анализ теоретических предпосылок: прирост пропорционален накопленному потенциалу
Формализация предпосылок:


Интерпретация и анализ: коэффициент регрессии   годовой темп роста, возможно сопоставление с реальными данными

Классы нелинейных регрессий

Различают два класса нелинейных регрессий:
1. Регрессии, нелинейные относительно переменных, но линейные по оцениваемым параметрам.
2. Регрессии, нелинейные по оцениваемых параметрам.


Регрессии, нелинейные относительно объясняющих переменных, всегда сводятся к линейным моделям.

Альтернативные функциональные формы: правила выбора

Правила выбора формы зависимости:
1. Исходить из экономической теории.
2. Оценивать формальное качество модели.
3. Дополнительно проверять по нескольким содержательным критериям.
4. Ответить на вопросы, возникающие при анализе модели:
каковы признаки качественной модели;
какие ошибки спецификации встречаются и каковы их последствия;
как обнаружить ошибку спецификации;
каким образом можно исправить ошибку спецификации и перейти к более качественной модели.

Линейная форма

Интерпретация коэффициента регрессии
  предельный эффект независимого фактора

Линейная форма

Для полученных оценок a, b уравнения регрессии:

Линейная форма

Коэффициент регрессии b показывает прирост зависимой переменной при изменении объясняющей переменной на единицу.


Коэффициент регрессии b – угловой коэффициент линии регрессии


Коэффициент регрессии a – среднее значение зависимой переменной при нулевом значении объясняющей переменной

Линейная форма от времени

Интерпретация коэффициента регрессии от времени  ежегодный (ежемесячный и т.д.) прирост зависимой переменной

Моделирование эластичности

Независимо от вида математической связи между Y и X эластичность равна:


Эластичность y по x рассчитывается как относительное изменение y на единицу относительного изменения x.

Пример расчета эластичности

Рассмотрим кривую Энгеля:
где Y – спрос на товар, X – доход. Имеем:
Эластичность =


Например для модели эластичность спроса по доходу равна 0,3. Иными словами, изменение дохода (X) на 1% вызывает изменение спроса (Y) на 0,3%

Эластичность – переменная величина

Например, для линейной модели


Эластичность не всегда бывает постоянной для различных значений X и Y

Средний коэффициент эластичности

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат Y от своей средней величины при изменении фактора X на
1% от своего среднего значения

Логарифмическая форма

Прологарифмировав обе части уравнения, получим

Логарифмическая форма

Интерпретация коэффициента регрессии  – эластичность зависимой переменной по объясняющей переменной
Коэффициент при объясняющей переменной показывает, на сколько процентов возрастает Y при возрастании X на 1%.


Логарифмическую форму следует использовать там, где есть основание предполагать постоянство эластичности

Логарифмическая форма

Вычисление наклона (скорости роста)


Наклон постоянно меняется с изменением номера наблюдения

Графики логарифмической формы зависимости

Полулогарифмические формы

1. Линейно-логарифмическая форма
(логарифм при объясняющей переменной)
2. Логарифмически-линейная форма
(логарифм при зависимой переменной)


Интерпретация коэффициента регрессии :
Коэффициент при объясняющей переменной показывает на сколько единиц возрастает Y при возрастании X на 1%


При интерпретации коэффициент следует делить на 100


Если X увеличится на 1%, то прирост Y составит  /100 единиц (в которых измеряется Y)


Эластичность убывает с ростом Y:


Это указывает на класс зависимостей, где следует применять линейно-логарифмическую форму регрессии


Логарифм при X снижает влияние роста X (степень влияния X снижается с ростом X). Моделирование эффектов насыщения на уровне скорости роста: «возрастание с убывающей скоростью»

Графики линейно-логарифмической формы зависимости

0


X


Y


 > 0


 < 0


Интерпретация коэффициента регрессии :
Коэффициент при объясняющей переменной показывает на сколько процентов возрастает Y при возрастании X на одну единицу


При интерпретации коэффициент следует умножать на 100


Эластичность растет с ростом Y:


Это указывает на класс зависимостей, где следует применять линейно-логарифмическую форму регрессии


Моделирование эффектов насыщения на уровне скорости роста: «возрастание с возрастающей скоростью»


Примеры: кривые Энгеля для товаров роскоши, моделирование оплаты труда (процентная надбавка за стаж и опыт)

Графики логарифмически-линейной формы зависимости

Y


 > 1


0<< 1


X


0

Логарифмически-линейная форма от времени

Вид уравнения:
Интерпретация:
Коэффициент при переменной времени выражает темп прироста. Он показывает на сколько процентов (если умножить его на 100) возрастает Y ежегодно


Эту функциональную форму удобно использовать для моделирования процессов экономического роста

Обратные зависимости

Вычисление эластичности


С ростом X зависимая переменная приближается к некоторому числу (моделирование эффекта насыщения)


Пример: Моделирование потребления товаров первой необходимости (быстрое достижение насыщения)

Сводка результатов для альтернативных функциональных форм в парной регрессии

Преобразование случайного отклонения

Пример.
Логарифмирование нелинейной модели с аддитивным случайным членом не приводит к линеаризации соотношения относительно параметров.


МНК применяется к преобразованным (линеаризованным) уравнениям. Поэтому необходимо особое внимание уделять рассмотрению свойств случайных отклонений – выполнимости предпосылок теоремы Гаусса-Маркова.

Признаки качественной модели

1. Простота модели (из примерно одинаково отражающих реальность моделей, выбирается та, которая содержит меньше объясняющих переменных.
2. Единственность (для любых данных коэффициенты модели должны вычисляться однозначно).
3. Максимальное соответствие (модель тем лучше, чем больше скорректированный коэффициент детерминации).
4. Согласованность с теорией (уравнение регрессии должно соответствовать теоретическим предпосылкам).
5. Прогнозные качества (прогнозы, полученные на основе модели, должны подтверждаться реальностью).

Сравнение различных моделей

1. Содержательный анализ
2. Формальный анализ:
Метод Зарембки
Преобразование Бокса-Кокса

Метод Зарембки

Применим для выбора из двух форм
(несравнимых непосредственно), в одной из которых зависимая переменная входит с логарифмом, а в другой – нет


Метод позволяет сравнить линейную и логарифмическую регрессии и оценить значимость наблюдаемых различий


1. Вычисляем среднее геометрическое значений зависимой переменной и все ее значения делим на это среднее:
2. Рассчитываются линейная и логарифмическая регрессии, и сравниваются значения их сумм квадратов остатков (ESS)


3. Вычисляем 2-статистику для оценки значимости различий
4. Сравниваем с критическим значением
2-распределения . Различия значимы на уровне значимости , если

Метод Бокса-Кокса

Идея метода. Переменная :
при =1 превращается в линейную функцию при 0 переходит в логарифм


Плавно изменяя , можно постепенно перейти от линейной регрессии к логарифмической, все время сравнивая качество


1. Преобразуют зависимую переменную по методу Зарембки:
2. Рассчитывают новые переменные (преобразование Бокса-Кокса) при значениях  от 1 до 0:


3. Рассчитывают уравнения регрессии для новых переменных при значениях  от 1 до 0:
4. Определяют минимальное значение суммы квадратов остатков (SSR).
5. Выбирают одну из крайних регрессий, к которой ближе точка минимума.

Вопросы для самопроверки

Какие вы знаете виды нелинейных моделей.
Какие вы знаете нелинейные методы оценивания.
Как определять эластичность.
Что такое предельные эффекты переменных.
Основные способы линеаризации моделей.
Какие вы знаете типы производственных функций.
Как выбрать между линейной и логарифмической моделями.
Экономический смысл коэффициентов линейной модели.
Экономический смысл коэффициентов логарифмической модели
Экономический смысл коэффициентов полулогарифмической модели.