Эконометрика. эконометрика_presentation. Структура курса
 Скачать 1.93 Mb.
|
Тема 6. Статистические свойства МНК-оценокТемы лекцииУсловия Гаусса-Маркова Статистические свойства МНК-оценок. Распределение МНК-коэффициентов Оценка параметров распределения МНК-коэффициентов Для того чтобы оценки, полученные по МНК, давали «наилучшие» результаты, мы потребуем от остаточного члена или ошибки и от X выполнения следующих условий (предположения относительно того, как генерируются наблюдения): Условия Гаусса-Маркова- спецификация модели X1,…,Xk – детерминированные вектора, линейно независимые в Rn, т. е. матрица X имеет максимальный ранг k (в повторяющихся наблюдениях единственным источником случайных возмущений вектора Y являются случайные возмущения вектора ) , дисперсия ошибки не зависит от номера наблюдения; при i k, т. е. некоррелированность ошибок разных наблюдений; , т. е. . i –нормально распределенная случайная величина со средним 0 и дисперсией . Условия Гаусса-Маркова в матричной форме - матрица ковариаций вектора ошибок. Матрица предполагается положительно определенной Интерпретация условий (условие 1)Спецификация модели отражает наше представление о механизме зависимости Y и X и выбор объясняющих переменных X. Интерпретация условий (условие 2)Хj – детерминированные константы, т. е. значения Хj в каждом наблюдении считается экзогенным, полностью определяемым внешними причинами. Такое предположение подразумевает то, что переменная Х полностью контролируется исследователем, который может изменять ее значение в целях эксперимента. Интерпретация условий (условие 3)Это условие состоит в том, что математическое ожидание случайного члена равно нулю в любом наблюдении. Иногда случайный член бывает положительным, иногда отрицательным, но он не должен иметь смещения ни в одном возможном направлении. Если в уравнение включается постоянный член, то бывает разумным предположить, что первое условие выполняется автоматически, т. к. роль константы и состоит в определении любой систематической составляющей в Y, которую не учитывают объясняющие переменные (если спецификация модели выбрана правильно) Интерпретация условий (условие 4)Иногда случайный член будет больше, иногда меньше, но не должно быть априорной причины для того, чтобы он порождал большую ошибку в одних наблюдениях, чем в других. Условие независимости ошибок от номера наблюдения называют гомоскедастичностью. Случай, когда условие гомоскедастичности нарушается, называется гетероскедастичностью. ГомоскедастичностьГетероскедастичностьИнтерпретация условий (условие 5)Условие указывает на некоррелированность ошибок для разных наблюдений. Условие предполагает отсутствие систематической связи между значениями случайного члена в любых двух наблюдениях. Отсутствие автокорреляцииПоложительная автокорреляция первого порядкаОтрицательная автокорреляция первого порядкаИнтерпретация условий (условие 6)Нормальность ошибок Ошибки являются суммарным влиянием переменных, невключенных в регрессионное уравнение. Отсюда, как следует из центральной предельной теоремы Ляпунова, при выполнении определенных условий i будут иметь почти нормальное распределение. Отметим, что в случае КЛРМ условие 5 эквивалентно условию статистической независимости ошибок для разных наблюдений. Действительно, если две нормально распределенные величины не коррелированны, то они независимы. В общем случае это не выполняется. Теорема Гаусса - МарковаВ условиях 1-5 МНК-оценки МЛРМ представляют собой наилучшие линейные несмещенные оценки, т. е. в классе линейных несмещенных оценок МНК-оценки обладают наименьшей дисперсией. Best Linear Unbaised Estimation (BLUE) BLUEПлотность распределения МНК другая несмещенная оценка Распределение МНК-коэффициентовМатематическое ожидание Дисперсия, где ajj - j-й диагональный элемент матрицы Матрица ковариаций Закон распределения (в случае дополнительного выполнения условия 6)) Оценка параметров распределения- несмещенная состоятельная оценка дисперсии ошибок - состоятельная оценка дисперсии коэффициентов - состоятельная оценка матрицы ковариаций коэффициентов стандартная ошибка регрессии стандартные ошибки коэффициентов Вопросы для повторенияКакие вы знаете свойства статистических оценок. Какие свойства относятся к асимптотическим свойствам оценок. Перечислите условия Гаусса-Маркова. Каков содержательный смысл условия гомоскедастичночти. Каков содержательный смысл условия отсутствия автокорреляции ошибок. Какие условия Гаусса Маркова используются при доказательстве несмещенности МНК-коэффициентов. Какие условия Гаусса Маркова используются при доказательстве эффективности МНК-коэффициентов. Что произойдет, если математическое ожидание ошибки уравненяи будет отлично от нуля. Где используется предположение о нормальности ошибок. Что такое стандартная ошибка регрессии, стандартная ошибка коэффициента. Согласны ли вы с тем, что несмещенная оценка всегда лучше, чем смещенная. Сформулируйте теорему Гаусса-Маркова |