Т. Саати Принятие решений. Т. саати принятие решений метод анализа иерархий
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
Методы пространственной близости Совместные измерения. Они связаны с объединением множества независимых переменных в некоторую функциональную форму (в общем случае полином) для предсказания значений зависимой переменной. Коэффициенты или параметры функции обычно оцениваются методами регрессии. Существуют несколько алгорит- мов или подходов получения этой оценки путем взвешивания важности переменных заинтересованными лицами (см. [58]). В [58] также можно ознакомиться с различ- ными аспектами приложений, а именно, по производству и маркетингу. Многомерное шкалирование. Главная цель многомерного шкалирования – восстановление основной пространственной структуры процесса восприятия по конфигурации, в которой каждый стимул (альтернатива) представлен точкой таким образом, что два стимула, субъективно рассматриваемые как схожие, расположены ближе друг к другу, чем стимулы, которые считаются менее похожими друг на дру- га. Процесс развивается так: 1. Строится матрица несходства ij δ , на главной диагонали которой стоят нули. Матрица симметрична относительно главной диагонали. 2. Из матрицы ij δ получается матрица расстояний между стимулами ij d 3. Требуется удовлетворение условия монотонности 1 1 2 2 1 1 2 2 i j i j i j i j d d δ δ < ⇒ < 227 4. Определяется напряжение * * S S T = , где * 0 ij ij i j S d d < = − ∑ * e ij T d = ∑ ( ij d – расстояние между точками начальной конфигурации). Задача заключается в минимизации S по всем 0 ij d , удовлетворяющим гипотезе монотонности. В подходе по изучению маркетинга, предложенном в [58], исследуются пять по- казателей проекта, включающих наименование, цену, оформление упаковки и га- рантию. В данной специфической задаче существует 108 комбинаций этих пяти по- казателей. Из всех альтернатив было выбрано 18 и проранжировано. С помощью ЭВМ проводился поиск значений в шкале для каждого показателя. Значения в шка- ле выбраны таким образом, что при их суммировании общая полезность каждой комбинации соответствует рангам. Меры того, насколько лучше каждая альтернати- ва, не приводится. В [20] предлагается метод в помощь специалистам по планированию при форму- лировке стратегий и прогнозировании исходов при последовательном применении этих стратегий. Формируется матрица перекрестных воздействий условных вероят- ностей. Далее вычисляются меры несходства пар событий и определяется евклидово расстояние между строками матрицы перекрестных воздействий (причин), а затем – евклидово расстояние между столбцами (эффектами). В [183] определяется матрица несходства (расстояния). В качестве заголовков строк и столбцов используются элементы из множества понятий, где каждое опреде- ляет отношение понятия ко всем другим. Данные собираются в последовательность прямых парных сравнений и затем трактуются как точки в пространственном много- образии (неевклидовом N -мерном пространстве). Определяется местоположение этих точек и затем минимизируются квадраты расстояния между ними. В [165] исследуется математическая структура полиномиальной теории измере- ний (применимой к структуре данных в том и только в том случае, если для нее вы- полнена аксиома иррефлексивности), и устанавливается взаимосвязь различных моделей измерений в общих концептуальных рамках, приводящих к математическим задачам, решение которых считается полезным. У теории нет простых эмпирически проверяемых условий. Этот подход предусматривает анализ данных с помощью мно- гомерного шкалирования и факторных методов. Упорядочение расстояний между парами задает определенный порядок между ними, который может быть выражен в виде полиномиальной функции координат. Теория описывает погружение этого по- линома в действительное n -мерное пространство с фиксированной размерностью. В [118] проведено исследование по «выбору «наилучших» линий поведения из ряда альтернативных возможностей, где каждая линия поведения оценивается в терминах степени достижения множества целей». Предложенный метод основан на технике многомерного шкалирования, развитой Кендаллом для вычерчивания карт на основе фрагментарной информации. Экспериментальная проверка метода анализа иерархии была проведена в [142], где он сравнивается с подходами множественной регрессии (МР), многоаспектной полезности (МАП) [79] и простой непосредственной оценкой (НО). Эти четыре мето- да отличаются следующим: они требуют суждений различного типа, они требуют различных форм отклика (от порядкового до отношений) и, наконец, каждый из них имеет область приложений с ограниченным применением других методов. В данном эксперименте экспертам предложили оценить гипотетических кандида- тов, поступающих в колледж, с помощью парных сравнений только по четырем ха- рактеристикам: количественному тесту на способности, устному тесту на способно- сти, среднему школьному баллу и показателю внешкольной деятельности. После этих начальных суждений экспертов просили о дальнейших суждениях, необходи- 228 мых для построения линейных аддитивных представлений на основе названных вы- ше четырех методов. Эксперимент осуществлялся в рамках факторного анализа. Тридцати трем экспертам предложили высказать предварительные суждения о 20 парах альтернатив. Требовалось указывать как направление, так и степень пред- почтения для каждой пары. Для линейных аддитивных моделей, использовавших МАИ, МР, МАП и НО, было получено соответственно 84, 57, 86 и 84% правильных предсказаний по этим предварительным суждениям. Пирсоновские корреляции про- изведений моментов между предсказанными и наблюденными степенями предпочте- ний были 0,72; 0,19; 0,75 и 0,77 соответственно. Этими методами авторы проверяли только то, что каждый из методов должен был предоставить по аддитивному, линейному представлению многоаспектных предпоч- тений. Приоритеты показателей или критериев, определенные посредством МАИ, были использованы как веса линейной функции полезности, что позволило авторам сравнить их. Хотя методы и различны, каждый из них имеет определенное преимущество пе- ред другими. Для МАИ не требуется допущения о согласованности в предпочтениях, в то время как построение функции полезности при использовании подхода МАП требует транзитивности отношения предпочтений. Кроме того, при парных сравне- ниях в МАИ информация более детализирована и применима в сферах, где сущест- вуют неизмеримые показатели. Подход МАП обладает некоторыми преимуществами, а именно: хорошо развитой методологией для трактовки ситуаций с риском, а также нелинейными функциями полезности, (т. е. аддитивно линейными по каждой переменной, мультипликативны- ми и мультилинейными). В [79] обсуждается методика оценки функции полезности. Процесс МАП приво- дит к одному из немногих установленных типов функций. Метод анализа иерархий генерирует функциональные значения функции полезности, а не саму функцию. Для повторяющихся ситуаций при принятии решений выгоднее иметь функцию по- лезности. Однако на практике функция полезности быстро меняется во времени и, следовательно, ее надо заново оценивать. Поэтому в операционном смысле МАП действует не лучше, чем МАИ, и, кроме того, требует слишком много времени и уси- лий, а также не обладает преимуществами группового процесса, присущими МАИ. Используя МАИ, можно возмущать суждения в пределах иерархии для получения нового набора приоритетов. Вместе с процедурой проведения МАИ это менее за- труднительно, чем построение функции полезности для каждого периода времени. Относительно метода МР отмечается, что «использование МАИ предпочтитель- нее, чем метода МР в любой неповторяющейся ситуации по принятию решений, та- кой, как стратегическое планирование или технологический прогноз, поскольку эти ситуации не позволяют легко вывести измеримые свойства». Однако в МАИ возни- кает одна операционная проблема – для получения суждений он требует больше времени, чем необходимо для одного заседания, и должен быть растянут на не- сколько заседаний. Это неудобство не кажется очень важным по сравнению с тем, что при МАП выводится функция полезности, процесс, при котором люди могут чув- ствовать себя не очень удобно. Их предпочтения могут оказаться несогласованными с функцией полезности * * Разбор некоторых работ последних лет, в которых МАИ сравнивается с другими методами, приведен в дополнении. – Прим. перев. 229 9.8. ДРУГИЕ СРАВНЕНИЯ Хирш [66] провёл тщательный анализ аксиоматических методов, используемых для изучения как порядкового, так и количественного ранжирования. Синтезировав информацию, содержащуюся в аксиомах, он смог сформулировать минимальный на- бор аксиом, из которых далее вывел около сорока аналитических условий для суж- дений о пригодности многокритериальных методов. Вероятно, чем большему коли- честву условий удовлетворяет метод, тем более он предпочтителен. Определим три основные группы многокритериальных методов следующим обра- зов. Автоматические методы, в которых окончательное ранжирование элементов по- лучается из начальных данных, общих предположений и условий, а также из опре- деленного алгоритма, основанного на дополнительном множестве аксиом. Нет ни взаимодействия с ЛПР, ни процесса обратной связи. Полуавтоматические методы, в которых ЛПР совершает выбор только на определенных этапах метода и в соответ- ствии с некоторыми правилами. Существуют процессы обратной связи, которые привносят гибкость и адаптируемость к реальной ситуации. Неавтоматические мето- ды, в которых ЛПР может принимать решения в любой момент и дозволены измене- ния в аксиомах и предположениях. Для сравнения и оценки многокритериальных методов Хирш дает их основные структурные характеристики. Каждая характеристика должна быть определена по шкале характеристик, так что любой многокритериальный метод идентифицируется множеством его характеристических уровней, измеренных по каждой шкале харак- теристик. Сначала определяются шкалы измерений: количественно абсолютную, ко- личественно относительную, количественно интервальную, упорядоченной метрики, порядковую и номинальную. Над шкалами измерений определяются пять характери- стических шкал, а именно: I , O , G , D и W I -характеристическая шкала отра- жает степень определенности, необходимую в шкалах измерений для нескольких критериев (степень количественности); O -характеристическая шкала – качество полученного ранжирования; W -характеристическая шкала – некоторую информа- цию об относительной важности критериев. Мерами относительной важности крите- риев являются одномерные показатели. Они могут быть порядковыми или количест- венными. Однако порядковые меры относительной важности недостаточны, так как не могут быть использованы для получения глобального ранжирования. Поэтому Хирш вводит еще две шкалы, основанные на сравнениях межшкальных расстояний: G и D -характеристические шкалы. Основываясь на этих шкалах, определяются некоторые объективные меры оценки многокритериальных методов: рациональные условия. Среди исследованных Хиршем методов – целевое программирование, многоцеле- вое линейное программирование и некоторые другие, появившиеся в последнее время. Он рассмотрел «преаналитические» условия: нейтральности/независимости, упорядоченности, устойчивости, откликаемости, парето-оптимальности, степени структуры, анонимности и гомогенности. Метод собственного значения, не требующий строгой независимости, упорядо- ченности, анонимности или гомогенности, тем не менее обладает устойчивостью, от- кликаемостью, парето-оптимальностью и некоторыми структурными свойствами. Он также имеет нормализованную шкалу. Однако подход Хирша не позволяет судить, насколько один метод лучше другого и в какой системе ценностей. Замечание. Хотя серьезной попытки аксиоматизации нашего подхода, допус- кающего нетранзитивность, не делалось, изложим кратко идеи, которые следует принять во внимание при попытке такой аксиоматизации. Обычно аксиомы исполь- зуют для получения неконструктивных доказательств существования функций по- лезности. Для той же цели мы использовали существующую математическую тео- рию. Однако при этом были приняты определенные допущения, а именно: 230 система может быть расчленена на классы (компоненты) сравнимости в рамках направленной сети; элементы в каждой компоненте могут сравниваться относительно некоторых или всех элементов смежной компоненты (начальной вершины дуги); можно проводить сравнения в абсолютной численной шкале для формирования отношений; при парных сравнениях применяются обратносимметричные матрицы (необяза- тельно); допускается нетранзитивность и исследуется ее воздействие на согласованность результатов; приоритет или обобщенный показатель элемента получается с помощью компо- зиции или взвешивания; любой элемент, присутствующий в иерархии, считается релевантным, хотя его приоритет может быть и низким. Не имеет смысла вводить в иерархию «несущест- венные альтернативы» и проверять независимость от них * * Аксиоматические основы МАИ из работы Т. Саати (Axiomatic Foundation of the Analytic Hierarchy Proc- ess, Management Science v 32, № 7, 1986, приведены в дополнении. – Прим. перев. 231 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 МАТРИЦЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В этом приложении приводится краткое введение в алгебру матриц и задачи о собственном значении. Матрицы и линейные системы уравнений Матрица A – это прямоугольная таблица, включающая массив из m n × чисел, расположенных в m строк и n столбцов. Число или элемент матрицы A в i -й стро- ке и j -м столбце обозначается через ij a . Таким образом, имеем ( ) m n × -матрицу A : 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a = … … … Обычно матрицу A обозначают через ( ) ij a и определяют число ее строк и столб- цов. Индексы i и j относятся к той строке и столбцу соответственно, в которых расположен элемент. Матрица называется квадратной порядка n , если m n = Строки и столбцы матрицы A называют векторами. Матрица A может состоять из единственного вектора-строки или вектора-столбца. В этом случае достаточно приписать к ее элементам один индекс. Например, ( ) 1 , , n A a a ≡ … есть вектор- строка. Диагональные элементы квадратной матрицы A порядка n будут ij a , 1, , i n = … . Диагональная матрица A обладает свойством 0 ij i = для всех i и j при i j ≠ . Некоторые из диагональных элементов – ненулевые. Если также все 0 ii a = для всех i , то A называют нулевой матрицей и обозначают O . Единичная матрица I – это диагональная матрица с 1 ii a = для всех i . Треугольная матрица A – это квадратная матрица с 0 ij a = для i j > , или 0 ij a = для i j < . Транспонированная матрица к матрице ( ) ij A a = обозначается ( ) T ji A a = и определяется заменой эле- мента A в положении , i j элементом в положении , j i , т. е. для получения T A нуж- но поменять местами строки и столбцы A , поворачивая .матрицу относительно глав- ной диагонали. Так как две матрицы равны, если равны их соответствующие эле- менты, можно определить симметрическую матрицу T A A = ; т. е. ij ji a a = . Для косо- симметрической матрицы T A A = − , т. е. ij ji a a = − при 0 ii a = . Для эрмитовой матри- цы ji ij a a = (элемент ij a является комплексно-сопряженным с элементом ij a ). Опре- делим также обратносимметричную матрицу, для которой 1 ji ij a a = при 1 ii a = . Мат- рица ( ) ij A a = положительна, если 0 ij a > для всех i и j , и неотрицательна, если 0 ij a ≥ . Кроме того, A B ≥ , если ij ij a b ≥ для всех i и j Существуют правила сложения, вычитания, умножения и «деления» матриц A и B . Эти операции составляют алгебру матриц, в некотором роде подобную алгебре 232 обычных чисел, однако следует быть осторожным, так как не все правила, пригод- ные для обычных чисел, применимы к матрицам, составляющим более общую алгеб- ру. В то же время матрица порядка 1 1 × – это просто число, которое называется скаляром, и все правила, применимые для матриц вообще, могут применяться к это- му специальному виду матриц, т. е. к обычным числам. Исторически матрицы появились как стенографический метод записи коэффици- ентов системы уравнений. В общем случае система из m уравнений с n неизвест- ными обычно бывает задана в виде 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , n n n n m m mn n m a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x y + + + = + + + = + + + = … … … Записывать такую систему легче, если коэффициенты, т. е. массив ( ) ij a , отде- лить от переменных j x . Тогда i x , который повторяется в каждой строке, можно за- писать только один раз таким образом: 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 n n m m mn n m a a a x y a a a x y a a a x y = … … … Если записать j x в виде столбца, то правило для восстановления исходной сис- темы таково: каждый ij a связан с соответствующим j x , например 32 a и 2 x дает 32 2 a x . Таким образом, двигаясь вдоль строк коэффициентов и одновременно вниз по столбцу x , можно получить соответствующее соединение. Эта простая операция – основа для общего правила умножения матриц. Можно обозначить 1 2 , , , n x x x … как вектор x , а 1 2 , , , n y y y … – как вектор y . От- метим, что в общем случае число элементов x не равно числу элементов y . Произ- ведение ( ) m n × -матрицы на ( ) p q × -матрицу возможно только в случае p n = , в ре- зультате получается матрица размерности m q × . Поэтому, если 1 q = , т. е. вторая матрица суть вектор, то произведение также будет вектором. Чтобы избежать пута- ницы, следует помнить, что буквы с индексами обозначают элементы матриц или векторов, а буквами без индексов обозначены вся матрица или вектор. Сложение и умножение матриц можно соотнести с операциями над системами уравнений. Рассмотрим вновь систему уравнений: 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 , y a x a x y a x a x = + = + и предположим, что есть другая система уравнений: 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 , z b x b x z b x b x = + = + Поскольку элементы x являются общими для обеих систем, для объединения этих двух систем следует сложить первое уравнение первой системы с первым урав- нением второй системы, сгруппировать подобные члены, перейти ко вторым уравне- ниям, проделав то же самое и т. д.: 233 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 11 11 1 12 12 2 2 2 21 21 1 22 22 2 , y z a b x a b x y z a b x a b x + = + + + + = + + + Это дает тот же результат, что и применение для матриц коэффициентов правила сложения. Допустим, A – матрица коэффициентов первой системы, а B – матрица коэффициентов второй системы. Тогда для их сложения описанным выше образом A и B должны быть одного и того же порядка. Правило такое: ( ) ( ) ( ) ij ij ij ij A B a b a b + = + = + ; соответствующие элементы в матрицах суммируются. Имеем 11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13 21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23 a a a b b b a b a b a b a a a b b b a b a b a b + + + + = + + + Конкретнее ( ) ( ) 1 0 2 3 3 3 1 2 3 0 3 3 1 1 0 0 0 2 2 4 8 0 2 4 0 2 8 0 4 12 + − + + − − − + = = + + − + − − − − Правило сложения может быть распространено на любое число матриц одного и того же порядка: ( ) ij ij ij A B Z a b z + + + = + + + … … Аддитивная обратная матрицы ( ) ij A a = есть матрица ( ) ij A a − = − такая, что ( ) 0 A A + − = По отношению к аддитивности существует ассоциативность ( ) ( ) A B C A B C + + = + + и коммутативность A B B A + = + Допустим, нужно умножить уравнения на некоторую константу (или скаляр) α (еще один способ, применяемый в элементарной алгебре для решения системы уравнений). Если это проделать следующим образом: 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , , n n n n m m m mn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x α α α α α α α α α α α α = + + + = + + + = + + + … … … то ( ) ( ) ij ij A a a α α α = = , т. е. существует правило: для умножения матрицы A на скаляр α следует каждый ее элемент умножить на α Например, 2 0 4 6 0 12 3 3 6 1/ 2 9 18 3/ 2 − − − = − − − Сочетанием умножения на скаляр и сложения можно выразить правило для линей- ной комбинации матриц ( ) ij ij ij A B kZ a b kz α β α β + + + = + + + … … , где , , , k α β … – скаляры. Рассмотрим следующий набор уравнений, выражающих , 1, 2, 3 j y j = через , 1, 2, 3, 4 i x i = : 234 1 1 2 3 4 2 1 2 3 4 3 2 3 4 2 4 , 3 2 2 , 2 y x x x x y x x x x y x x x = + − + = − + − = + − Рассмотрим также второй набор уравнений, выражающих , 1, 2 k z k = через j y : 1 1 2 3 2 1 2 3 3 2 , 5 . z y y y z y y y = + + = − + Выразим k z через , 1, 2, 3, 4 i x i = . Это реализуется подстановкой , 1, 2, 3 j y j = из первой системы во вторую. Получаем , 1, 2 k z k = в зависимости от , 1, 2, 3, 4 i x i = : ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 3 2 4 3 2 2 2 2 z x x x x x x x x x x x = + − + + − + − + + − = ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 3 2 1 1 2 0 3 4 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 z x x x = × + × + × + × + × − + × + × − + × + × + ( ) ( ) 4 1 2 3 4 3 1 1 2 2 1 7 13 x x x x x + × + × − + × − = + + − Здесь коэффициент при 1 x получен в результате суммирования произведений. Это произведения коэффициентов при 1 y , 2 y и 3 y соответственно в выражении для 1 z на соответствующий коэффициент при 1 x из трёх уравнений для 1 y , 2 y и 3 y Аналогично получаются коэффициенты при 2 x , 3 x и 4 x . Для 2 z получаем: 2 1 2 3 4 17 2 2 z x x x x = + + − Всё это можно проделать, умножая матрицу коэффициентов первой системы на матрицу коэффициентов второй системы. Для этих матриц запишем 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 5 y y y z z − 1 2 3 4 2 4 1 1 1 3 2 2 0 2 1 1 x x x x − − − − 1 2 3 4 7 13 1 1 1 17 2 2 x x x x − = − ; k z через i y , j y через i x , k z через i x Умножение производится для получения коэффициентов в скобках, связываю- щих 1 x , 2 x , 3 x и 4 x с 1 z и 2 z . Так, элемент в позиции 1,1 результирующей матрицы получается умножением элементов первой строки исходной матрицы, расположен- ной слева, на соответствующие элементы первого столбца исходной матрицы, рас- положенной справа, и суммированием, т. е. 3 2 1 1 2 0 7 × + × + × = Элемент 2 в позиции 2,3 получается в результате умножения элементов второй строки исходной матрицы, расположенной слева, на элементы третьего столбца ис- ходной матрицы, расположенной справа. Имеем ( ) ( ) 1 1 1 2 5 1 2 × − + − × + × = В общем случае, при умножении матриц ( ) ij A a = и ( ) ij B b = для получения ij C c = , т. е. AB C = , имеем для элемента в позиции ,i j матрицы C 1 n ij ik kj k c a b = = ∑ , 235 т. е. 1-я строка A и j -й столбец B умножаются на коэффициенты в соответствую- щих позициях, указанных индексом k , и затем суммируются. Ясно, что умножение имеет смысл только в том случае, если A – матрица размерности m n × , а B – мат- рица размерности n q × Для приведенных ниже A и B матрица C будет следующей: 11 12 11 12 13 11 12 21 22 21 22 23 21 22 31 32 b b a a a c c b b a a a c c b b = , где 11 11 11 12 21 13 31 12 11 12 12 22 13 32 21 21 11 22 21 23 31 22 21 12 22 22 23 32 , , , c a b a b a b c a b a b a b c a b a b a b c a b a b a b = + + = + + = + + = + + Произведения матриц удовлетворяют: закону ассоциативности ( ) ( ) C BA CB A = ; закону дистрибутивности относительно сложения ( ) C A B CA CB + = + , ( ) C B A CA BA + = + ; ассоциативности относительно умножения на скаляр: ( )( ) kA k B kk AB ′ ′ = . Так, ес- ли k и k′ равны 1 или –1, имеем ( ) ( ) A B A B AB − = − = − , ( )( ) A B AB − − = В общем случае произведение матриц некоммутативно. Например, если 2 2 0 3 4 7 A = − , 1 4 1 4 1 4 B = − − , то 0 AB = , но 10 18 28 10 18 28 10 18 28 BA − = − − − Это означает, что 0 AB = при 0 A ≠ , 0 B ≠ . Также из AB AC = имеем ( ) 0 A B C − = . Но отсюда нельзя заключить, что либо 0 A = , либо B C = Тем не менее сложение матриц удовлетворяет всем свойствам сложения чисел. Например, из A B A C + = + следует, что B C = Умножение любой матрицы на скалярную матрицу (диагональную матрицу, все диагональные элементы которой равны) есть не что иное, как умножение матрицы на константу. Так, например, 1 1 1 1 1 1 0 0 a b c ka kb kc k a b c ka kb kc k = Отметим, что AI IA A = = . Обратная матрица A , если она существует, представ- ляет собой матрицу, которая обозначается 1 A − А "' и удовлетворяет соотношению 1 AA I − = . Имеем ( ) 1 1 1 AB B A − − − = и ( ) T T T AB B A = . Две матрицы A и B называются ортогональными, если 0 AB = . Матрицы T AA и T A A симметричны. Примечание. Заметим, что в произведении матриц AB C = ij c формируется при участии i -го вектора-строки A и j -го вектора-столбца B . В общем случае произ- 236 ведение двух векторов ( ) 1 , , n v v v = … и ( ) 1 , , n w w w = … называется скалярным или точечным произведением и обозначается ( ) 1 1 2 2 , n n v w v w v w v w = + + + … . Оно получа- ется в результате умножения соответствующих компонент и сложения. Длина вектора ( ) 1 , , n v v v = … обозначается v и определяется как ( ) 1/ 2 2 2 1 n v v v = + + … , что является евклидовой длиной. Из аналитической геометрии известно, что угол θ между любыми двумя прямыми, направляющие которых суть ( ) 1 , , n v v … и ( ) 1 , , n w w … , удовлетворяет выражению ( ) 1 1 cos n n v w v w v w θ = + + … Поэтому ( ) , cos v w v w θ = Заметим, что два вектора ( ) 1, 3, 2 и ( ) 4, 0, 2 − – ортого- нальны. С матрицей A порядка n ассоциируется число, которое называется ее опреде- лителем (детерминантом) и обозначается A или ( ) det A . Определитель – это ал- гебраическая сумма всех возможных произведений n элементов, в каждом из кото- рых имеется один элемент из каждой строки и каждого столбца A . Можно располо- жить элементы каждого члена этой суммы в порядке, соответствующем порядку столбцов A . Получим n вариантов для элементов первого столбца, затем 1 n − ва- риантов для элементов из второго столбца, два варианта для элементов предпо- следнего столбца и один для элементов последнего столбца. Это дает ( ) 1 2 N n n = − … вариантов. (Произведение первых n положительных целых чисел называется n -факториал и обозначается ! n .) Каждому варианту соответствует от- дельное слагаемое. Следовательно, определитель порядка n состоит из ! n слагае- мых. В алгебраической сумме каждому слагаемому придается положительный или от- рицательный знак в соответствии со следующим правилом. Расположим элементы каждого слагаемого в соответствии с порядком столбцов матрицы и рассмотрим по- следовательность индексов соответствующих строк. Эту последовательность можно построить перестановками пар элементов в последовательности натуральных чисел 1, 2, , n … . Если число перестановок четное (нечетное), знак слагаемого будет поло- жительным (отрицательным). Следовательно, знак будет ( ) 1 s − , где s – число пере- становок. Например, слагаемое 21 32 13 a a a в определителе матрицы A размерности 3 3 × приводит к последовательности строчных индексов 2, 3, 1. Чтобы привести эту последовательность к форме 1, 2, 3, следует провести две перестановки: переста- вить 1 и 2, а затем переставлять 2 и 3. Две перестановки приводят к положительно- му знаку слагаемого. Слагаемому 11 32 23 a a a со строчными индексами 1, 3, 2 требуется одна перестановка элементов 3 и 2 для приведения к форме 1, 2, 3. Следовательно, слагаемое получает отрицательный знак. Применяя это правило, легко увидеть, че- му равен определитель матрицы ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 2 1 4 3 0 5 2 0 1 1 5 1 4 3 1 4 0 1 1 3 1 1 1 1 − = − + − − + − − − − − − − − ( )( )( ) 2 5 1 24 − − − = − Из многих известных свойств определителей отметим следующие: AB A B = ; если строка или столбец умножается на α , то определитель A умножается на α ; 237 однако n A A α α = , T A A = ; перестановка строки соответствующим столбцом не изменяет A ; перестановка двух строк или двух столбцов в матрице A изменяет знак A ; определитель равен нулю, если два столбца или две строки матрицы A идентичны или же один из них получается умножением другого на постоянную; если столбец A , например первый, имеет вид 11 11 21 21 1 1 , , , n n a b a b a b + + + … , то A – сумма двух определителей; первый столбец первого определителя будет 11 21 1 , , , n a a a … , а второго – 11 21 1 , , , n b b b … , остальные столбцы остаются неизменными как у A . Отсюда следует, что определитель не меняется, если добавить к любому столбцу другой столбец, умноженный на постоянную; если A – треугольная матрица, то 11 22 , , , nn A a a a = … Ранг матрицы A есть порядок наибольшего квадратного массива (подматрицы), детерминант которого не равен нулю. Квадратная матрица – невырожденная, если ее ранг равен ее порядку, т. е. 0 A ≠ . Если 0 A = , то матрица A будет вырожден- ной. Например, матрица, каждая строка которой может быть получена умножением одной строки на некоторую постоянную, не только вырожденная, но и имеет еди- ничный ранг. Порядок разложения (раскрытия) определителя таков: минор ij D , элемента ij a – это определитель матрицы, полученной вычеркиванием i -й строки и j -го столбца. Сомножитель ij A , элемента ij a будет ( ) 1 i j ij D + − Для разложения ( ) det A по i -й строке имеем 1 1 i i in in A a A a A = + + … , 1, , i n = … Аналогично проводится разложение по столбцу. Матрицу ( ) adj A называют присоединенной к матрице A , если ее ,i j -м элемен- том является ij A . Из приведенного выше уравнения видно, что ( ) A adj A A I ⋅ = ⋅ Следовательно, матрица A обратима (т. е. имеет обратную матрицу) тогда и только тогда, когда 0 A ≠ (т. е. матрица A – невырожденная), и в этом случае ( ) 1 A adj A A − = Рассмотрим линейную систему уравнений 1 n ij j i j a x b = = ∑ , 1, , i n = … В матричной записи эта система имеет вид Ax b = , где A – матрица коэффициентов: 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a = … … … , а x и b – векторы-столбцы: 238 1 2 n x x x x = , 1 2 n b b b b = Когда 0 b ≠ , т. е. некоторые из элементов i b ненулевые, система называется не- однородной; в противном случае систему называют однородной. Если матрица A – невырожденная, то у нее есть обратная матрица 1 A − и можно записать единственное решение неоднородной системы 1 x A b − = . Правило Крамера обеспечивает удобный способ решения неоднородной системы, эквивалентный вы- шеприведенному способу, но оно включает использование определителей, а не об- ращение матриц. Компонента i x вектора x – это дробь, числитель которой – опре- делитель матрицы, полученной из A заменой i -го столбца A вектор-столбцом b , а знаменатель – определитель A . Отметим, что при решении однородной системы числитель i x всегда равен нулю и, следовательно, не существует иного решения, кроме тривиального ( ) 0, 0, , 0 x = … , за исключением случая, когда матрица A – вы- рожденная и ее определитель равен нулю. Если определитель A также равен ну- лю, то нужен удобный способ получения ненулевого решения, так как правило Кра- мера приводит к неопределенному выражению (нуль, деленный на нуль) для i x Имеются различные пути получения решения в этом случае. Наиболее известны ме- тоды исключения, в которых одно уравнение решается относительно неизвестного и его значение подставляется в другие уравнения. Если переменных больше, чем уравнений, то избыточным или независимым переменным присваиваются произ- вольные значения для определения оставшихся (зависимых) переменных. Условимся все векторы считать вектор-столбцами и будем применять транспони- рование для обозначения соответствующих векторов-строк. Чтобы это не привело к путанице, иногда будем применять символ без знака транспонирования. Система векторов 1 , , n v v … будет линейно независимой, если для любых чисел 1 2 , , , n a a a … из равенства 1 1 2 2 0 n n a v a v a v + + = … (где правая часть является нулевым n -компонентным вектором) следует, что 1 2 0 n a a a = = = = … Поэтому ни один из векторов линейно независимой системы не может быть полу- чен в результате умножения других на постоянную и сложения. В противном случае векторы будут линейно зависимыми, т. е. приведенное выше условие выполняется не для всех i a , 1, , i n = … , не равных нулю. Линейная комбинация векторов 1 2 , , , n v v v … – это сумма вида 1 n i i i a v = ∑ , где i a – произвольные числа. Линейная комбинация называется выпуклой комбинацией i v , 1, , i n = … , если 0 i a ≥ и 1 1 n i i a = = ∑ . Говорят, что множество векторов 1 2 , , , n v v v … формирует базис пространства n -компонентных векторов ( n -векторов), если: они линейно независимы; 239 любой вектор является их линейной комбинацией (то же самое, что сказать, что они дополняют пространство). В пространстве n -векторов базис должен состоять n векторов. В частности, сис- тема векторов i v , 1, , i n = … , элементы которой равны нулю, кроме i -го, равного единице, формирует базис пространства n -векторов. Отметим, например, что ( ) 1 1, 0, 0 v = , ( ) 2 0,1, 0 v = и ( ) 3 0, 0, 1 v = – линейно неза- висимые, так как ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 , 0, 0 0, , 0 0, 0, , , a v a v a v a a a a a a + + = + + = Для того чтобы этот вектор был нулевым вектором ( ) 0, 0, 0 , нужно иметь 1 0 a = , 2 0 a = , 3 0 a = . Векторы ( ) 1 1, 0 v = , ( ) 2 0,1 v = , ( ) 3 1,1 v = – линейно зависимые, так как требование того, чтобы ( ) 1 1 2 2 3 3 1 3 2 3 , a v a v a v a a a a + + = + + было ( ) 0, 0 , даёт 1 3 0 a a + = , 2 3 0 a a + = , что выполняется при 1 3 a a = − , 2 1 a a = − , которые могут быть и не нулями. Для нахождения коэффициентов в 1 1 n n v a v a v = +… нужно решить систему линейных уравнений. Например, ( ) ( ) ( ) 1 2 2, 3 1, 7 4, 2 a a = + приводит к двум уравне- ниям 1 2 2 4 a a = + и 1 2 3 7 2 a a = + Множество всех векторов, которые являются линейными комбинациями n ли- нейно независимых векторов (единичных векторов), называется n -симплексом (единичным n -симплексом). Так как строки и столбцы матрицы являются векторами, получается, что ранг матрицы – это максимальное число линейно независимых строк, а это то же самое, что и максимальное число линейно независимых столбцов. В матрице единичного ранга любая строка (столбец) – это произвольный постоянный множитель единст- венной строки (или столбца). Два вектора 1 v и 2 v (как и две матрицы) ортогональны, если 1 2 0 v v = , где 1 v за- писан как вектор-строка, а 2 v – как вектор-столбец. Существует стандартная проце- дура преобразования множества n линейно независимых векторов в множество по- парно ортогональных векторов. Если исходное множество формирует базис, новое множество также формирует базис, и он называется ортогональным базисом. |