Т. Саати Принятие решений. Т. саати принятие решений метод анализа иерархий
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
ГЛАВА 9 ШКАЛИРОВАНИЕ И МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ 9.1. ВВЕДЕНИЕ Наш подход к установлению приоритетов и иерархиям соприкасается с методами шкалирования, теорией полезности и многокритериальными методами. Здесь прово- дится также анализ главных компонент, обсуждаются метод логарифмических наи- меньших квадратов и метод наименьших квадратов. После нескольких переработок главу пришлось сократить почти до размеров наброска. Для дополнительного чтения читателю следует обратиться к цитируемой литературе. 9.2. ШКАЛЫ И ИЗМЕРЕНИЕ Теоретически измерение – это построение шкал посредством изоморфного ото- бражения эмпирической системы с отношениями в численную систему с отношения- ми. Производное измерение выводит новую шкалу из других известных шкал. Хоро- шим примером производной шкалы может быть шкала плотности, полученная из ос- новных шкал для массы и объема. По-видимому, шкала наилучшим образом представляется в терминах класса пре- образований, которые оставляют ее инвариантной, т. е. таких преобразований, ко- торые сохраняют содержащуюся в ней информацию. Существующие шкалы приводятся ниже в порядке увеличения эффективности: 1. Шкала наименований, единственная с точностью до любого взаимнооднознач- ного преобразования, которая состоит, по существу, из присваиваемых объектам наименований. 2. Шкала порядков, которая упорядочивает объекты по рангам и инвариантна по отношению к монотонно возрастающим преобразованиям. 3. Шкала интервалов, единственная с точностью до положительного линейного * преобразования вида y ax b = + , 0 a > 4. Шкала разностей, инвариантная по отношению к преобразованию вида y x b = + 5. Шкала отношений (шкала, используемая для определения приоритетов), ин- вариантная по отношению к положительным линейным преобразованию вида y ax = , 0 a > Существенной разницей между шкалой отношений и шкалой интервалов являет- ся то, что в первой за точку отсчета берется начало координат, в то время как вто- рой этого не требуется. Шкала отношений исторически возникла в измерениях час- тот при вычислении вероятностей. Формально шкала – это тройка, состоящая из множества элементов S , бинарной операции « ○ » на элементах S и преобразования F элементов в действительные числа. В нашем случае S – множество видов деятельности или объектов 1 , , n S S … Бинарный оператор « ○ » – бинарное, или попарное, сравнение элементов для вы- явления превосходства одного из них по отношению к заданному свойству. Напри- мер, мы пишем i j S S ○ , указывая этим на то, что i S , сравнивается с j S , для выявле- * Обычно такое преобразование называют афинным. – Прим. перев. 207 ния сравнительного превосходства, например, относительно веса, если элементы S – камни. Для определения преобразования F переводим парные сравнения в фор- му численных значений, представляющих парные сравнения, и составляем из них матрицу A , затем решаем задачу нахождения собственного значения, чтобы опре- делить точное соответствие между объектами и действительными числами. Весь этот процесс определяет преобразование. Почему получается шкала отношений, когда используется МАИ? Нужно показать, что парные сравнения, определенные посредством бинарной операции, отобража- ются в шкалу отношений действительных чисел, соответствующих сравниваемым элементам. Например, если 1 1 F A ω → , 2 2 F A ω → , 1 2 1 2 F A A ω ω → ○ В общем случае бывает трудно показать, какой вид шкалы используется, осо- бенно когда преобразование сложное и включает физические операции, например такие, как подъем и опускание ртути при изменении температуры. Для задачи, свя- занной с физической системой, вид используемой шкалы устанавливают эмпириче- ски. Тем не менее, когда имеют дело с абстрактной системой, нужен теоретический метод определения вида шкалы. Теперь мы знаем, что решение задачи нахождения главного собственного значения для положительных матриц единственно с точно- стью до положительного постоянного множителя. Поэтому преобразование дает множество действительных чисел 1 , , n a a ω ω … , по одному для каждого элемента 1 , , n S S … , где a – произвольное положительное число, что точно соответствует оп- ределению шкалы отношений. Следует отметить, что шкала отношений, полученная из матрицы суждений, является нашей оценкой принятой основной шкалы отноше- ний, которая получилась бы, если матрица суждений была бы согласованной. Дальше следуют полезные выводы по шкалам отношений. Можно сложить пару элементов одной и той же шкалы отношений и получить третий элемент, принадле- жащий той же самой шкале отношений. Следовательно, если y ax = и y ax′ = , то ( ) y y a x x ′ ′ + = + и множитель остается по-прежнему равным a . Однако ни произве- дение, ни частное двух таких элементов не принадлежит той же шкале отношений. Следовательно, если 2 yy a xx ′ ′ = и y y x x ′ ′ = , и ни один из этих двух элементов не принадлежит шкале отношений y ax = , так как множитель 1 a ≠ отсутствует у обоих. Полезно отметить, что сумма двух элементов из двух различных шкал отношений не принадлежит шкале отношений. Тем не менее произведение и частное принад- лежит шкале отношений, отличающейся от исходных шкал отношений, если a или b не равны единице. Чтобы убедиться в этом, напишем y ax = и y bx ′ ′ = , получим y y ax bx ′ ′ + = + и ( ) yy ab xx ′ ′ = , ( ) y y a b x x ′ ′ = . Итак, работая с двумя различными шкалами отношений и желая получить значимые числа в новой шкале отношений, следует умножать и делить, но никак не складывать или вычитать. Вот почему бес- смысленно складывать такие величины, как время и расстояние, но можно извлечь смысл из деления длины на время, получая скорость. Теория измерений связана с некоторыми областями теории представления, тео- рии единственности, процедурами измерений и анализа ошибок. Теория представ- ления включает представление требуемых отношений посредством шкалы; единст- венность связана с допустимыми гомоморфизмами, которые сохраняют отношения; процедуры измерений оперируют с построением гомоморфизмов и анализ ошибок связан со способом подгонки ошибок. В своей диссертации Л. Варгас показал, что МАИ является методом измерения. Во-первых, он сформулировал набор аксиом, которые характеризуют существование гомоморфизма между множеством альтернатив и множеством положительных дейст- 208 вительных чисел (теорема представления). Во-вторых, показал, что гомоморфизм единственен с точностью до преобразования подобия (теорема единственности), т. е. множество допустимых преобразований гомоморфизма является множеством преобразований подобия. Таким образом, тройка, состоящая из множества альтер- натив, множества положительных действительных чисел (или его несчетного под- множества) и гомоморфизма, является шкалой отношения. Тем не менее эта шкала отношений является шкалой отношений только в узком смысле, т. е. её элементы не меняются при преобразовании. Он подчеркнул также, что иерархическое измерение включает основное и про- изводное измерения и что в результате получается шкала отношений, единственная с точностью до того же самого преобразования подобия, что и второй уровень ие- рархии. 9.3. ТЕОРИЯ ПОЛЕЗНОСТИ Предметом теории полезности является представление в действительных числах относительных предпочтении отдельного лица при выборе из некоторого множества элемента. Порядковая функция полезности перечисляет элементы, расположенные по ран- гу. Кардинальная полезность включает информацию о силе предпочтений. (Сущест- вуют также упорядоченное метрическое ранжирование и многомерная теория по- лезности.) Как сравнить полезности альтернативных решений, когда при оценке полезности каждой альтернативы должен быть учтён вклад многих существенных факторов? Теории аддитивной полезности предлагают возможный подход к этой проблеме в предположении, что, грубо говоря, полезность целого равна сумме полезностей, приписываемых его частям. Процедура, разработанная в [77] и применённая для решения проблемы аэро- порта города Мехико, основана, по существу, на использовании многомерной функ- ции полезности. Желательно оценить множество альтернатив с целью выбора наилучшей в зави- симости от их воздействия на n аспектов. Воздействия описываются вектором чисел ( ) 1 2 , , , n x x x … . В момент принятия решения не может быть уверенности в последст- виях. Поэтому вводится функция плотности вероятности ( ) 1 , , n p x x … , описывающая правдоподобность каждого итога. Используя эту функцию плотности, можно «опре- делить» функцию полезности ( ) u x . Затем можно вычислить ожидаемую полезность каждой альтернативы. Выбирается альтернатива с наибольшей ожидаемой полезно- стью. Определять полезность с одновременным учетом более чем двух аспектов чрез- вычайно трудно, в результате делаются упрощающие допущения для получения та- кой функции f , что ( ) ( ) ( ) 1 1 , , n n u x f u x u x = … , где ( ) i i u x – функция полезности относительно аспекта i 209 9.4. КРАТКОЕ СРАВНЕНИЕ МЕТОДА СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ С ДРУГИМИ МЕТОДАМИ, ИСПОЛЬЗУЮЩИМИ ШКАЛЫ ОТНОШЕНИЙ В своей краткой статье Шепард [146] указывает, что исследования по матрицам превосходства и соответствующим измерениям не были такими обширными, какими были исследования по трем другим типам: близости, сечению и совместимости. Мы, по существу, интересовались матрицами превосходства и их использованием для получения шкал отношения и далее для измерения иерархических воздействий. Сравним этот метод с другими исследованиями. Мы надеемся, что нас простят за не такое полное сравнение, как хотелось бы некоторым читателям. В действительно- сти, суть идеи была сымпровизирована и развилась полностью из приложений. За- тем ей нужно было придать законченный вид в основном потоке печатных трудов. В модели сравнительных суждений Терстона [162] требуются парные сравнения объектов только в том смысле, что один более предпочтителен, чем другой. Он со- бирает информацию о стимулах в предположении нормальности процесса суждений. При дополнительных требованиях к параметрам, например при равных дисперсиях или нулевых ковариациях, он собирает различную «метрическую» информацию о стимулах. Если k экспертов сравнивают n объектов и если ij f – эмпирическая частота, со- ответствующая числу предпочтений экспертами объекта i над объектом j , то доля ij p , с которой i предпочтительнее j , ij ij p f k = Терстон в [162] постулировал, что распределение всех различающихся процес- сов, которые определяются стимулом i , нормально относительно модального разли- чающего процесса (или среднего). Средний различающий процесс 0 i s , ассоциируе- мый со стимулом i , называется значением в шкале стимула, а дисперсия различаю- щего процесса обозначается через i σ . В предположении о нормальности ij p может быть выражено как стандартное нормальное отклонение ij i j z s s = − . Поэтому 0,5 ij p = , когда 0 ij z = , и это имеет место в случае 0 0 i j s s = . Если 0 ij z > , то считается, что различающий процесс j выше, чем i . Имеем ( ) 2 1 exp 2 2 ij z ij p x dx −∞ = − ∫ Распределение разностей i j s s − нормально со стандартным отклонением ( ) 1/ 2 2 2 2 i j i j ij i j r σ σ σ σ σ − = + − , где ij r – корреляция между i s и j s Имеем закон сравнительных суждений j i ij i j s s z σ − − = Каждая пара будет обладать таким разложением. Для четырёх объектов имеется шесть таких уравнений с 14 неизвестными: 4 искомых значения шкалы, 4 стандарт- ных отклонения и 6 взаимных корреляций. Известны только ij z . Поэтому невозмож- но получить единственное решение системы. В качестве первого приближения мож- но предположить, что все стандартные отклонения равны 2 σ , а все взаимные кор- реляции равны r . В результате получим 210 ( ) 1/ 2 0 0 2 2 1 i j ij s s z r σ − = − Величина в скобках – постоянная и может служить как общая единица разделе- ния шкал различных пар стимулов: ее можно установить равной единице. Если обозначить ( ) 0 0 1 1 n i i s n s = = ∑ , ( ) 0 1 1 n j ij i z n z = = ∑ , то, полагая 0 1 0 s = , можно показать, что ( ) 0 0 0 0 1 1 j j j j s s z z − − = + − С подходом Терстона связывают ряд ограничений. Например, Гилфорд [59] ре- комендует ограничить диапазон вероятностей. Торгерсон [163] систематизировал и распространил метод Терстона на шкалиро- вание, в частности на случай, когда ковариационные члены постоянны, корреляции равны, а распределения гомоскедастичны. Льюс предложил то, что Кумбс [26] называет моделью Брэдли-Тэрри-Льюса (БТЛ), используя логистическую кривую, которая является логарифмическим преоб- разованием распределения вероятностей. Хотя это отличается от предположения нормальности, практически трудно провести различие между моделью БТЛ и случа- ем из работы Терстона, где он предполагает нормальность распределений и равен- ство дисперсий. Модель БТЛ более строго основана на теории выбора поведения. Кумбс рассматривает существенное различие между двумя моделями. Можно сопоставить наши допущения с психометрическими традициями. Мы не начинаем с гипотезы о том, что суждения в виде отношений являются независимыми вероятностными процессами. Вместо этого последствия изменений в суждениях ис- следуются через возмущения во всем множестве суждений. Подход такого типа при- водит к критерию согласованности. Поэтому получение решений нашим методом не является статистической процедурой. Короче говоря, многие психометрические методы производят выработку сужде- ний, пригодных для решения в той или иной шкале. Предполагается, что если выра- батываются суждения, то это происходит до оценки в виде отношения между двумя стимулами. Поэтому наша процедура формирования решения не связана с предпо- ложениями о распределении суждений. Тем не менее, если мы хотим сравнить лю- бое решение с критерием согласованности, следует обратиться к статистическим до- водам и возмущениям всей матрицы суждений. Использование метрической информации в матрице суждений субъектов создает аналогии с анализом главных компонент, за исключением того, что данные дают информацию о превосходстве, а не о подобии или ковариациях. (Дальнейшие рас- суждения см. в конце этого раздела.) При анализе главных компонент выделяется max λ , однако решение получают также и для всех остальных λ . Тем не менее ре- зультаты должны быть интерпретированы по-другому (см. [67]). В проводимом анализе природа стимулов и задача, которая ставится перед субъ- ектами, также подобны «психофизическому» шкалированию, как оно мыслится Сти- венсом и Галантером [156]. В последнее время оно широко используется во многих попытках построить составные меры политических переменных, включая «силу страны». Техника Стивенса навязывает согласованность тем, что экспертов просят сравнить одновременно каждый стимул со всеми другими, формируя только одну строку матрицы. Это означает, что гипотеза одномерности не может быть проверена непосредственно. Если используется метод Стивенса, то следует обратить внимание на то, чтобы суждения о стимулах были согласованными или близкими к согласо- ванным. Вдобавок не существует способа отнести одну шкалу к другой, как это име- ет место в иерархии. 211 Крантц [86] аксиоматизировал альтернативные процессы, связывающие стимулы с суждениями, и получил теоремы существования для шкал отношений. Подобная аксиоматизация не была распространена на иерархии шкал отношений. Некоторые исследователи подошли к проблеме шкалирования так, как если бы познавательное пространство стимулов было бы по существу многомерным, однако вместо этого мы выбираем иерархическую декомпозицию этой многомерной структу- ры, чтобы установить количественные, а также качественные отношения между ве- личинами. Отдельные величины в решениях многомерного шкалирования функцио- нально напоминают отдельные собственные векторы на каждом уровне нашей ие- рархии. Формально задача построения шкалы в виде нормализованного собственного вектора ω в уравнении A ω λω = (для максимального λ ) подобна выделению пер- вой главной компоненты. Когда экспертов просят заполнить клетки только одной строки или одного столбца, а другие клетки вычисляются по ним (для обеспечения «совершенной согласованности»), первое собственное значение n воспроизводит, 100% изменения матрицы. Если «совершенная согласованность» накладывается на данные за исключением того, что к каждой клетке матрицы добавляется нормально распределенная случайная компонента, то теория приводит к анализу главных фак- торов, и получится «однофакторное» решение. Следовательно, если совершенная согласованность навязывается экспериментатором, то получается неинтересный ре- зультат точного шкалирования, которое было гарантировано, когда эксперимент представлялся в виде одного сравнения. В действительности можно убедиться, что если субъект заполняет только одну строку или столбец матрицы и если задачей субъекта является генерация отношений между парами стимулов, то процедура формально эквивалентна тому, как если бы субъекты располагали каждый стимул вдоль полупрямой с нулём на одном конце: это и есть метод «непосредственной ин- тенсивности» психофизического шкалирования. Не существует простого взаимоотношения между решением, полученным с по- мощью собственного значения, и решениями, полученными методом наименьших квадратов, хотя имеются статьи (например, [31, 72, 80]), в которых рассматривается аппроксимация матрицы данных матрицей более низкого ранга, минимизирующей сумму квадратов разностей. В общем случае оба решения одинаковы при наличии согласованности. Общепринятого критерия сравнения не существует. Следователь- но, неясно, какой из методов лучше. Повторные применения процедуры нахождения собственного значения помогают достичь согласованности, которая является наибо- лее предпочтительным для нас критерием. В [164] предлагается метод «определения параметров функционального отноше- ния посредством факторного анализа». Однако утверждается, что «задача вращения осей остается нерешённой...», т. е. факторный анализ определяет параметры только в пределах линейного преобразования. В [24] обсуждаются методы определения та- ких преобразований, где априорный теоретический анализ или наблюдаемые вели- чины позволяют сформулировать критерий, по отношению к которому происходит вращение решения относительно произвольного фактора. Иерархическая композиция является индуктивным обобщением следующей идеи. Заданы веса независимых элементов одного уровня. По отношению к каждому эле- менту заданного уровня формируется матрица собственных векторов-столбцов эле- ментов уровня, находящегося непосредственно ниже заданного. Затем вектор весов элементов этого уровня используется для взвешивания соответствующих собствен- ных векторов-столбцов. Умножая матрицу собственных векторов на вектор-столбец весов, получаем составной вектор весов элементов нижнего уровня. Так как матрица собственных векторов не является ортогональным преобразова- нием, в общем случае результат не может быть интерпретирован как вращение. В действительности, вектор в единичном n -мерном симплексе умножается на стохас- тическую матрицу. В результате получаем другой вектор в единичном симплексе. 212 Алгебраисты часто указывают на отличие задач, в которых алгебра имеет структур- ную геометрическую интерпретацию, от задач, в которых она служит удобным мето- дом проведения вычислений. Статистические методы имеют удобную геометриче- скую интерпретацию в отличие от методов возмущений, которые часто ею не обла- дают. В работе [61] проявлен интерес к поведению экспертов в ситуациях, включаю- щих как линейные, так и нелинейные отношения между стимулами, после чего де- лается заключение, что процесс индуктивного вывода в основном линейный. В на- шей модели реакция экспертов на линейные и нелинейные сигналы кажется адек- ватно отраженной в описанном в этой книге методе парного шкалирования с при- влечением подхода иерархической декомпозиции для агрегирования элементов, по- падающих в сравнимые классы в соответствии с возможным диапазоном шкалы сравнений. Отметим, что мы подходим к решению проблемы интеграции информации, кото- рая обсуждалась в [4], путем формулирования задачи о собственном значении, имеющей линейную структуру. Однако сама шкала, определяемая собственным век- тором, является в значительной степени нелинейной функцией данных. Процесс по- строения собственного вектора включает сложные операции, состоящие из сложе- ния, умножения и усреднения. Чтобы ощутить эту сложность, можно проверить спо- соб получения собственного вектора как предельного решения нормализованных строчных сумм степеней матрицы. В [4] также акцентируется внимание на том, что принятая шкала реакции долж- на удовлетворять критерию, который налагает алгебраическая модель суждений. Таким критерием в нашем случае вновь оказывается согласованность. Наконец, может быть полезным краткое рассмотрение графо-теоретического подхода к согласованности. Направленный граф с n вершинами, который предпола- гается полным (так как любая пара его вершин соединяется направленной дугой), называется турниром. Его можно использовать для представления доминантных парных сравнений между n объектами, тогда контуры будут представлять нетранзи- тивность. Например, каждые три вершины определяют треугольник, но не все тре- угольники образуют 3-контуры. Число контуров заданной длины используется для определения индекса нетранзитивности данного порядка, например тройки или чет- вёрки. Несогласованность определяется (см. [100]) в зависимости от отношения числа трех, четырех или более контуров в заданном графе к максимальному числу контуров данного порядка. Для 3-контуров максимальное число будет ( ) 3 24 n n − для нечетного n и ( ) 3 4 24 n n − – для четного n ; для 4-контуров оно будет ( ) ( ) 3 3 48 n n n − − для нечетного n и ( ) ( ) 3 4 3 48 n n n − − для четного n . Эти резуль- таты не были обобщены на k -контуры. Тем не менее среднее число k -контуров для случайной ориентации дуг полного графа – ( ) ( ) ( ) 1 ! 1 2 k n k k − . До сих пор не найдена зависимость между этим определением несогласованности и нашим, относящимся к собственному значению. Непохоже, что зависимость будет найдена. Приведённый выше результат для 3-контуров вместе с его статистическими следствиями принад- лежит Кендаллу. Он подробно обсуждается в обычной статистической справочной литературе (см., например, [108]). Выше мы ссылались на анализ главных компонент. Обсудим кратко эту процеду- ру. Рассмотрим случайный вектор X с p компонентами, вектор с нулевым средним и ковариационной матрицей C . Распределение X неизвестно. Пусть b есть p - 213 компонентный вектор-столбец, 1 T b b = ; тогда ( ) ( ) 2 T T T T E b X E b XX b b Cb = = обозна- чает операцию математического ожидания. Нормализованные линейные комбинации T b X с максимальной дисперсией при условии 1 T b b = получаются из функции Лагранжа, определенной в виде ( ) 1 T T b Cb b b λ = − , где λ – множитель Лагранжа. Приравнивая производную по b нулю, получаем уравнение ( ) C I b O λ − = , нетривиальным решением которого будет λ – собственное значение C Если умножить эти выражения на T b и использовать условие ограничения, то получим T T b Cb b b λ λ = = . Это показывает, что λ является дисперсией величины T b X . Поэтому в качестве максимальной дисперсии нам следует использовать max λ Если нормализовать соответствующее решение 1 b , разделив его на сумму квадратов коэффициентов, то получим 1 T b X в качестве нормализованной линейной комбина- ций с максимальной дисперсией. Затем получаем новую нормализованную комбина- цию T b X с максимальной дисперсией всех линейных комбинаций, некоррелирован- ных с T b X , т. е. ( ) ( ) 1 1 1 max 1 0 T T T T T T E b Xb X E b XX b b Cb b b λ = = = = Однако max max 1 Cb b λ = и, следовательно, T b X ортогонально к max T b X . Используя 1 0 T b b = в качестве нового ограничения, образуем новую функцию Лагранжа. ( ) ( ) 1 1 2 T T T b Cb b b b Cb α β = − − с множителями Лагранжа α и β . Действуя таким образом, можно показать, что 0 β = и α будет вторым наибольшим собственным значением C . (Отметим, что по- скольку C как ковариационная матрица симметрична, все её собственные значения деиствительны). Действуя как и прежде, теперь получим соответствующий собст- венный вектор при условии, что T b X имеет максимальные дисперсии из всех нор- мализованных линейных комбинаций, не коррелированных с 1 T b X и 2 T b X и т. д. Когда собственные векторы получены таким образом, отношение каждого собст- венного значения ко всей сумме собственных значений представляет долю всей дисперсии, отраженную в соответствующих компонентах. Поэтому первым (и прак- тически важным) приближением считают главную компоненту и ищут изменения в условиях, ведущих к изменениям в выражении 1 T b X В [115] сделана попытка определить влияние отдельных журналов, проверяя число цитирований. Устанавливается матрица цитирования числа статей из каждого журнала, упомянутого в каждом источнике. Столбцы затем нормализуются, чтобы принять во внимание различные размеры журналов. Далее следует вычисление ве- сов влияние в соответствии с разработанной ими процедурой нахождения собствен- ного вектора общей матрицы (которая не ориентирована на шкалу отношений). 214 9.5. ПОДХОД, ОСНОВАННЫЙ НА ВОЗМУЩЕНИЯХ: МЕТОД ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ В случае несогласованности задачу можно поставить следующим образом: определить такие 1 2 , , , n ω ω ω … , чтобы ( ) ( ) , ; , ; , , i ij ij i j i j i j ij j a f g ω ω ω α α ω ω ω − = ⋅ … , где для параметров возмущения имеем ( ) lim 1 ij g ⋅ = Здесь аргумент в ( ) ij g ⋅ включает те же самые переменные и параметры, что и ij f . Отметим, например, что мультипликативный параметр следует устремить к еди- нице, а аддитивный параметр – к нулю. Другими словами, если есть надежда вос- становить хорошие оценки i j ω ω из ij a , то возмущения должны быть малы. Отме- тим, например, что 1 1 i i i i i i i i ij j j j j j i i i a α ω ω α α ω α ω ω α α ω + ω + ω = = + ω + ω (9.1) Можно зависать (9.1) в виде ij j i ij a g ω ω = . (9.2) Это основная, недоопределённая система 2 n уравнений с 2 n n + переменными j ω и ij g , требуется n дополнительных уравнений относительно ij g , чтобы система стала разрешимой. Выбор этих отношений может быть свободным. Тем не менее оказывается, что эти n отношений могут быть получены, если основываться на вы- ходе, связанном с возмущением рассмотренного выше идеального случая. Исходя из соображений о генераторе бесконечно малых величин требуем, чтобы следующая система соотношений всегда выполнялась: max 1 n ij j g λ = = ∑ , 1, , i n = … , и множество этих условий зависит от ( ) ij A a = Задача 1: Найти i ω , 1, , i n = … , которые удовлетворяют max 1 n ij j i j a ω α ω = = ∑ , 1, , i n = … . (9.3) Системы соотношений (9.2), а также (9.3), часто используются в качестве необ- ходимых условий, возникающих при решении задачи оптимизации. Например, (9.2) можно записать в виде ( ) log log ij j i ij a g ω ω = ; возводя в квадрат обе стороны этого равенства и суммируя по i и j , получим задачу минимизации ошибки относительно i ω , 1, , i n = … Задача 2 заключается в нахождении i ω , которые минимизируют ( ) ( ) 2 2 , 1 , 1 log log log n n ij j i ij i j i j a g ω ω = = − = ∑ ∑ Это – задача логарифмических наименьших квадратов. Однако она имеет точно такое же решение 215 1/ 1/ 1/ 1 1 1 n n n n n n i ij j ij j j j a a ω ω = = = = = ∑ ∏ ∏ , если 1 ji ij a a = , которое получается при рассмотрении произведения по j в обеих частях (9.2) при условии 1 1 n ij j g = = ∑ – системы n условий, не зависимых от ( ) ij A a = . Это решение мо- жет быть интерпретировано как решение, порождающее ближайшую согласованную матрицу к заданной матрице в смысле логарифмических наименьших квадратов. В статистике анализ главных компонент использует систему (9.3) в качестве не- обходимых условий для задачи оптимизации следующего типа. Минимизировать квадратическую форму ( ) 1 , 1 , , n n ij i j i j f a ω ω ω ω = = ∑ … , ji ij a a = , при условии ( ) 2 1 1 , , 1 n n i i g ω ω ω = = = ∑ … Лагранжиан этой задачи будет ( ) ( ) 1 , , ; 1 n L f g ω ω λ λ ≡ − − … Параметр λ появляется в задаче как множитель Лагранжа (который также явля- ется параметром возмущения в задаче оптимизации), а не как собственно параметр, как в (9.3). Действительно, можно построить широкий класс задач оптимизации, ис- пользуя (9.2) или (9.3) в качестве системы необходимых условий. Полезно взять уравнения возмущений (9.2) и создать таблицу условий, налагае- мых на различные методы вместе с соответствующими решениями. Назовём левый собственный вектор, который является решением задачи, сформулированной в тер- минах гармонического среднего, вектором антиприоритетов. Он представляет меру того, насколько элемент доминируется другими элементами того же уровня. Соот- ветствующий вектор, полученный посредством иерархической композиции, измеряет воздействие иерархии на каждый элемент уровня (см. табл. 9.1). |