Т. Саати Принятие решений. Т. саати принятие решений метод анализа иерархий

• Название: Т. саати принятие решений метод анализа иерархий
• Анкор: Т. Саати Принятие решений.pdf
• Дата: 09.05.2017
• Размер: 4.58 Mb.
• Имя файла: Т. Саати Принятие решений.pdf
• Тип: Документы; #7332
• Категория: Информатика. Вычислительная техника
• страница: 18 из 28

ГЛАВА 8
ПРИОРИТЕТЫ В СИСТЕМАХ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
8.1. ВВЕДЕНИЕ
До сих пор мы моделировали наши задачи иерархически, от верхних уровней к нижним или в обратном порядке, и развивали теорию для измерения приоритетов элементов на различных уровнях иерархии по отношению к элементам более высо- ких уровней и к обшей цели иерархии.
Теперь обратимся к задачам в системах, в которых уровни более не могут быть названы верхними или нижними. Это происходит потому, что уровень может как до- минировать, так и быть доминируемым, прямо или косвенно, другими уровнями. Та- кие системы известны как системы с обратной связью. Они могут быть представлены в виде сети, где узлы соответствуют уровням или компонентам. Элементы в узле
(или уровне) могут влиять на некоторые или все элементы любого другого узла.
Нашей задачей является изучение приоритетов в таких системах. Основное внима- ние будет уделено системам, в которых все элементы в узле воспринимаются совме- стно по отношению к каждому элементу в другом узле – аналог полной иерархии между уровнями.
Поначалу непонятно, зачем рассматривать более сложные реалии, чем иерархии, так как последние позволяют получить осмысленное представление о функциях сис- темы. Можно легко вообразить ситуацию, слишком сложную для иерархического представления; простота, предлагаемая иерархией, может быть обманчивой. Многие задачи в социальных науках попадают в эту категорию. Например, последние труды по теории организаций предлагают такие формы организаций, уже реализованные на практике, которые не являются иерархическими. Человек может выполнить много или все задания в различных компонентах производственной системы [63].
Некоторые конфликтные задачи анализировались как посредством иерархии, так и в виде простой сети в форме петли. Такая простая сеть называется холархией. Ре- зультаты были удивительно близки. Это означает, что оба метода могут вести к од- ним и тем же результатам, по крайней мере, в простых случаях.
В следующем разделе изучается основанный на концепциях теории графов метод структурирования множества элементов, собранных после мозгового штурма или по- лученных некоторым другим образом, в виде системы с уровнями. Существуют дру- гие, не обсуждаемые здесь методы группировки элементов в один и тот же кластер или уровень в зависимости от близости оценок их измерения [73]. Однако для на- ших целей это равносильно тому, что поставить телегу перед лошадью, так как нам нужно определить и группировать элементы до проведения измерения.
В разд. 8.3 исследуется понятие измерения приоритета в системах с обратной связью, а затем в разд. 8.4 вводится суперматрица для проведения такого измере- ния. Показывается, что иерархическое построение есть частный случай этого под- хода. В разд. 8.5 определяются абсолютные и относительные приоритеты и их пре- дельные значения, описываются условия существования приоритетов и методы их получения для различных типов систем. В разд. 8.6 с помощью двух примеров про- иллюстрированы некоторые из этих идей.

183 8.2. МАТРИЦА ДОСТИЖИМОСТИ ПРИ СТРУКТУРИРОВАНИИ СИСТЕМ
Допустим, имеется множество элементов, которые рассматриваются в контексту- альном отношении. Множество элементов, которые нужно смоделировать, может быть образовано посредством дедуктивной логики, каузальных наблюдений, эмпи- рических данных, мозгового штурма или любой комбинацией этих приемов. Наибо- лее важная роль в этом методе отведена тому, что одно из определений исходного множества элементов является естественной и важной частью процесса. Частичное или полное описание системы может принять одну из двух различных, однако свя- занных форм: бинарной матрицы; направленного графа (или сети) для геометриче- ского представления отношений [97, 171, 172].
Будем считать, что множество вершин
H
определено. С помощью бинарного от- ношения «зависит от» можно заполнить матрицу
B
. Ответ «да» связывают с едини- цей, а ответ «нет» – с нулем. Ответ «да» или «нет» зависит от имеющихся данных, суждений или от того и другого. Таким образом, бинарная матрица
{ }
ij
B
b
=
опреде- ляется следующим образом:
1,
,
0,
ij
если i зависит от j
b
в противном случае

= 

После того как матрица заполнена, следует произвести проверку транзитивности для выявления нарушений этого условия. Если обнаружено нарушение транзитивно- сти, то вершины, приводящие к этому нарушению, должны быть проверены для его устранения.
Получив описание матрицы
B
, формируем бинарную матрицу
(
)
I B
+
, где
I
– единичная матрица. Можно показать, что существует наименьшее целое
k
, при ко- тором
(
)
(
) (
)
1 1
k
k
k
I B
I B
I B
−
+
+
≤
+
=
+
, т. е. каждый элемент матрицы
(
)
1
k
I B
−
+
меньше соответствующего элемента матри- цы
(
)
k
I B
+
или равен ему, а соответствующие элементы матриц
(
)
k
I B
+
и
(
)
1
k
I B
+
+
равны.
Матрица в правой части выражения называется матрицей достижимости.
Определение 8.1. Матрица достижимости направленного графа определяется как бинарная матрица, в которой элементами являются единицы, если вершина гра- фа достижима из другой каким-либо путем, в противном случае элементы ее – нули.
Использование матрицы достижимости позволяет разделить
H
на множество уровней, а также разделить каждый уровень на подмножества, не обязательно не- связанные.
Определение 8.2. Вершину
j
h
называют достижимой из вершины
i
h
, если в ориентированном графе существует путь из
i
h
к
j
h
Определение 8.3. Вершину
j
h
называют предшествующей вершине
i
h
, если возможно достижение
i
h
из
j
h
Из
H
можно выделить два вида множеств: множество достижимости и множество предшествующих вершин, которое называется предшествующим множеством. Обо- значим их через
( )
i
R h
и
( )
i
A h
соответственна
( )
i
R h
– множество достижимости вершины
i
h
H
∈
, состоящее из всех вершин
H
, лежащих на путях, которые берут начало в
i
h
,. Таким образом,

184
( )
( ) (
)
{
}
|
,
1
k
i
i
R h
h
H элемент i j в I B есть
=
∈
+
( )
i
A h
– предшествующее множество вершины
i
h
H
∈
, состоящее из всех вершин
H
, лежащих на путях, которые включают
i
h
, но не берут начало в
i
h
. Таким обра- зом,
( )
( ) (
)
{
}
|
,
1
k
i
j
A h
h
H элемент j i в I B есть
=
∈
+
Множество тех вершин
i
h
, для которых выполняется
( )
( )
( )
i
i
i
A h
A h
R h
=
∩
, не достижимо из любой из оставшихся вершин
H
и, следовательно, может быть обо- значено как уровень иерархии.
Для построения всех уровней необходимо применить следующую итерационную процедуру:
1. Сформировать таблицу с элементами:
i
h
,
( )
i
R h
,
( )
i
A h
и
( )
( )
i
i
A h
R h
∩
2. Найти элементы в таблице, удовлетворяющие условию
( )
( )
( )
i
i
i
A h
R h
A h
=
∩
Эти элементы образуют первый уровень.
3. Вычеркнуть это множество из таблицы и применить второй шаг, и т. д.
Этот процесс, полезный сам по себе, для всех контекстуальных отношений обычно не приводит к тому виду иерархии, который определен. Однако он приводит к такой сети, в которой:
– первый уровень может состоять не только из одного элемента;
– все элементы первого уровня не обязательно связаны только с элементами второго уровня;
– промежуточные уровни могут состоять только из одного элемента.
Пример 8.1.
0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1
B










= 











Сформируем
(
)
I B
+
, и матрица достижимости будет такой
(
)
3 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1
I B










+
= 











i
h
,
( )
i
R h
,
( )
i
A h
и
( )
( )
i
i
A h
R h
∩

185
i
h
1, 2, 3, 4, 5
i
=
( )
i
R h
1, 2, 3, 4, 5
i
=
( )
i
A h
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
i
=
( )
( )
i
i
A h
R h
∩
1, 2, 3, 4, 5
i
=
6
h
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 6
6 7
h
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 7
7
Так как
( )
6
A h
и
( )
7
A h
совпадают с
( )
( )
6 6
A h
R h
∩
и
( )
( )
7 7
A h
R h
∩
, соответст- венно первый уровень составляется из вершин
6
h
и
7
h
, т. е. первый уровень:
(
)
6 7
,
h h
Исключив
6
h
и
7
h
из таблицы, получим для второго уровня:
(
)
1 2
3 4
5
, , , ,
h h h h h
, таблицу для которого легко сформировать. Таким образом, можно написать
{
} {
}
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 6, 7;1, 2, 3, 4, 5
H
=
=
(См. рис. 8.1 и 8.2 для сетей до и после применения метода).
Применяя описанную выше процедуру, получаем то, что другие называют иерар- хией, однако мы называем сетью с двумя уровнями:
( ) { }
1 6, 7
и
( ) {
}
2 1, 2, 3, 4, 5
Это также показано на рис. 8.2.
Рис. 8.1.
Пример 8.2. Следующая сеть на рис. 8.3 – результат применения метода к мат- рице
B
:
1 2
3 4
5 6
1 2
3 4
5 6
0 0
1 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 1
0 1
0 0
0 0
0 0
e
e
e
e
e
e
e
e
B e
e
e
e










= 












186
Рис. 8.2
Рис. 8.3
Чтобы убедиться в этом, имеем
(
)
4 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1
I B








+
= 









Это – матрица достижимости, так как
(
) (
)
5 4
I B
I B
+
=
+

187
i
e
( )
i
R e
( )
i
A e
( )
( )
i
i
A e
R e
∩
1 1, 3, 4, 5, 6 1
1 2
2, 3, 4, 5, 6 2
2 3
3, 4, 5, 6 1, 2, 3 3
4 4
1, 2, 3, 4, 5 4
5 4, 5, 6 1, 2, 3, 5 5
6 6
1, 2, 3, 5, 6 6
Таким образом, первый уровень получается
{
}
1 2
,
e e
, так
( )
( )
( )
i
i
i
A e
A e
R e
=
∩
,
1, 2
i
=
i
e
( )
i
R e
( )
i
A e
( )
( )
i
i
A e
R e
∩
3 3, 4, 5, 6 3
3 4
3, 4 3, 4, 5 4
5 4, 5, 6 3, 5 5
6 6 3,
5,
6 6
На втором уровне будем иметь
{ }
3
e
, на третьем –
{ }
5
e
и на четвертом –
{
}
4 6
,
e e
8.3. ИЗМЕРЕНИЕ ПРИОРИТЕТОВ В СИСТЕМАХ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Теперь обобщим метод анализа иерархии для систем с обратной связью, которые могут быть представлены направленной сетью.
Для описания вида сети, которая нам понадобится, стоит вспомнить, как проис- ходит измерение приоритетов элементов одного уровня иерархии по отношению к элементам последующего уровня в направленном двудольном графе. Иерархия, все двудольные графы которой полны, называется полной иерархией. Это частный слу- чай общей неполной иерархии, которой мы тоже занимались. Двудольный граф опи- сывает связи между всеми элементами одного (нижнего или текущего) уровня по от- ношению к элементам предыдущего (высшего, или доминантного) уровня. Если мы просто хотим обозначить, какой из уровней над каким доминирует, достаточно про- вести (направленную) дугу от нижнего к доминантному уровню. Таким образом, ие- рархия может быть представлена цепью или, точнее, путем, так как у дуг имеются направления.
Теперь взаимодействие между двумя компонентами системы, так же как и в слу- чае с уровнями иерархии, можно охарактеризовать двудольным графом, который может быть или не быть полным. Для простоты используется направленная дуга, чтобы показать порядок доминирования между компонентами. Можно начертить противоположно направленные дуги между двумя компонентами и даже, в случае взаимозависимости, петлю для компоненты. Это возможно и для иерархии. В любом случае результатом такого упрощенного представления компонент системы для оп- ределения приоритетов будет направленная сеть. Иллюстрация подобной сети при- ведена на рис. 8.4. Такое представление требуется для построения суперматрицы, возведение которой в степени позволяет получить приоритеты по путям предписан- ной длины в этом представлении.

188
Рис. 8.4
Мы вводим суперматрицу, которая будет служить единой основой для изучения приоритетов в иерархиях и в системах с обратной связью. Разработан общий прин- цип композиции для приоритетов в системах и показано, что изложенный ранее принцип иерархической композиции является частным случаем.
Для системы с обратной связью понятие композиции приоритетов между компо- нентами требует особого внимания. В этом случае обычно нет внешнего уровня как каркаса, на который опирается проведение композиции последовательно от уровня к уровню. Компоненты системы могут взаимодействовать по более чем одному пути.
Для того чтобы измерение приоритетов имело смысл, нужно единообразие при рас- смотрении всех путей. Приоритеты любой компоненты системы по отношению к лю- бой другой компоненте могут быть измерены неоднозначно по путям и контурам, связывающим их. Например, вдоль контура приоритеты могут быть измерены по- средством прохода по контуру только один, два или более раз. Для системы полезно знать множество первичных, т. е. предельных, приоритетов вершин, как единое це- лое. Необходимость в последнем возникает, когда вершины четко не группируются в компоненты. При этом мы имеем измерение относительных приоритетов всех вер- шин в системе по отношению к каждой вершине системы, а в итоге получаем стохас- тическую матрицу (матрицу, сумма элементов столбцов которой равна единице и все элементы неотрицательны). Столбцы являются собственными векторами матриц парных сравнений вершин по отношению к каждой вершине системы.
К этому случаю применим метод суперматрицы, однако для ясности исследуется случай, в котором система является разложимой. Система разложима, если ее эле- менты могут быть агрегированы в независимые компоненты, взаимодействие кото- рых представлено дугами направленной сети [39]. При этом приоритеты между смежными компонентами выводятся, как в иерархии, отдельно, по их важности в системе, получаются приоритеты для самих компонент, которые используются для взвешивания собственных векторов, соответствующих каждой компоненте, таким образом вновь получается стохастическая по столбцам матрица.
Наше исследование систем с приоритетами уподобляется марковским цепям. Та- кое соответствие принято, чтобы применить результаты по цепям Маркова для сис- тем с обратной связью. Для экономии места изложение будет очень кратким. С по- мощью ЭВМ сравнительно легко получить оценки предельных приоритетов, возводя суперматрицу в большие степени. Однако это дает правильный ответ только при

189 выполнении определенных условий. В общем случае теория марковских цепей предлагает элегантный теоретический аппарат.
Терминологическое соответствие
Системы с приоритетами
Марковские цепи
Система
Система
Компонента (с одним или более элементами)
Состояние
Влияние в момент
k
Переход в момент
k
Приоритет
Вероятность
Влияние компоненты
Переход в состояние
Относительный приоритет (от
i
-й к
j
-й компоненте)
Условная вероятность пере- хода
Общий приоритет
Абсолютная вероятность
8.4. СУПЕРМАТРИЦА – ОБЩАЯ КОМПОЗИЦИЯ ПРИОРИТЕТОВ
Рассмотрим систему, которая разбита на
N
кластеров или компонент
1 2
,
,
,
N
C C
C
…
. Обозначим элементы компоненты
k
C
через
1 2
,
,
,
k
k
k
kn
e e
e
…
, где
k
n
– их число. Проведенное ранее обсуждение влияния соседних уровней иерархии позво- ляет построить следующий тип матрицы условных измерений между вершинами со- ответствующих компонент. Предположим, что любая пара компонент взаимодейст- вует. Если это предположение где-либо не имеет места, то соответствующий элемент будет равен нулю.
Суперматрица играет фундаментальную роль в дальнейшем развитии теории приоритетов для систем. Но сначала покажем, как может быть получена иерархиче- ская композиция посредством возведения суперматрицы в степени.
Как указывалось ранее, можно построить матрицы попарных сравнений для из- мерения приоритетов всех вершин в системе по отношению друг к другу так, как ес- ли бы отсутствовало группирование вершин в компоненты. Например, можно было бы сравнивать отрасли промышленности и их вклад в любую другую отрасль про- мышленности. Однако предпочтение отдается подходу, основанному на группирова- нии компонент по соображениям согласованности, так как легче проводить сужде- ния о парных сравнениях на малом множестве элементов. Таким образом, предпола- гается, что имеются собственные векторы приоритетов элементов в компоненте по отношению к элементам в другой компоненте (которые сами могут быть компонен- тами). Когда это сравнение не имеет смысла, используются нули для собственного вектора.
Суперматрица, соответствующая взаимодействию между компонентами системы, имеет следующий вид:

190 1
2 1
1 11 12 1
21 22 2
1 2
N
N
n
n
N
N
Nn
C
C
C
e
e
e
e
e
e
e
e
e
…
…
…
…
1 2
11 1
12 1
21 2
22 2
1 2
N
n
n
N
N
N
Nn
e
C
e
e
e
C
e
W
e
e
C
e
e
=
11 12 1
21 22 2
1 2
N
N
N
N
NN
W
W
W
W
W
W
W
W
W












…
…
…
где
i
,
j
-й блок задан, как
1 2
1 1
1 1
2 2
2 2
1 2
j
j
j
i
i
i
jn
j
j
i
i
i
jn
j
j
i
i
i
ij
jn
j
j
in
in
in
w
w
w
w
w
w
W
w
w
w






= 







…
…
…
каждый из столбцов которого есть собственный вектор, представляющий влия- ние всех элементов в
i
-й компоненте на каждый из элементов
j
-й компоненты.
Суперматрица
W
не будет стохастической (хотя каждый из ее блоков является таковым), если не предположить, что ее компоненты также были взвешены в соот- ветствии с важностью их вклада в систему. Как это делается, показано в примерах в конце главы. Результирующие приоритеты компонент можно затем использовать для взвешивания соответствующих им элементов в
W
, что превратит
W
в стохастиче- скую матрицу. В дальнейшем, всякий раз, когда мы будем иметь дело с
W
, предпо- лагается, что она приведена взвешиванием к стохастической матрице.
Полезно упомянуть следующие факты.