Т. Саати Принятие решений. Т. саати принятие решений метод анализа иерархий
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
Теорема 8.1 [53]. Неотрицательная матрица A – стохастическая тогда и только тогда, когда вектор ( ) 1,1, ,1 … является решением xA x = , где единица – главное собственное значение A Теорема 8.2. ( ) n n × -матрица A неприводима тогда и только тогда, когда ее направленный граф сильно связан. Теорема 8.3. Связный граф сильно связан тогда и только тогда, когда каждая дуга принадлежит по крайней мере одному пути. 191 Теорема 8.4. Матрица A приводима тогда и только тогда, когда по крайней ме- ре один из главных миноров порядка 1 n − матрицы ( ) max I A λ − равен нулю. Теорема 8.5. Если A – неотрицательная неприводимая матрица порядка n , то ( ) 1 0 n I A − + > (Это говорит о том, что если граф – сильно связный и добавить петли к каждой вершине, то результирующая матрица будет примитивной, т. е. любая вершина бу- дет достижима из любой другой вершины посредством пути фиксированной длины.) Теорема 8.6. Сильно связный граф (с 2 h ≥ вершинами) с матрицей вершин A примитивен тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель длин всех про- стых контуров есть единица. Теорема 8.7. Примитивная стохастическая (по столбцам) матрица A обладает свойством: lim k A имеет одинаковые столбцы (единственный вектор равновесной вероятности) и, следовательно, A ω ω = имеет единственное решение; кроме того, для любого начального вектора вероятности ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0, 1 i i ω ω ω ≥ = ∑ , ( ) 0 k A ω ω → Это ключевая теорема для вычисления приоритетов, когда матрица примитивна. Суперматрица иерархии имеет следующую форму: 21 32 1, 2 , 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n n W W W W W I − − − = … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Эта матрица имеет устойчивую форму , 1 1, 2 32 21 , 1 1, 2 32 , 1 1, 2 , 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k n n n n n n n n n n n n n n W W W W W W W W W W W I − − − − − − − − − − = … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … для всех 1 k n ≥ − . Каждый коэффициент в последней строке является общим при- оритетом влияния последней компоненты на каждую из оставшихся компонент. За- метим, что принцип иерархической композиции проявляется в позиции ( ) ,1 n как влияние n -й компоненты на первую; n -я компонента – ведущая в иерархии и явля- ется аналогом поглощающего состояния в марковской цепи. Это компонента элемен- тов, которые рассредоточиваются и являются источником влияния. Сущность выше- сказанного подытоживается принципом иерархической композиции: Обобщенный вектор n -уровневой иерархии есть элемент ( ) ,1 n матрицы 1 k W − , 1 k n ≥ − 192 Теперь кратко рассмотрим, что происходит с контурами. Здесь повторяющиеся степени обычного множества компонент показывают отсутствие устойчивости. На- пример, для трехкомпонентного контура имеем 12 23 31 0 0 0 0 0 0 W W W W = ; 12 23 2 23 31 31 12 0 0 0 0 0 0 W W W W W W W = ; 12 23 31 3 23 31 12 31 12 23 0 0 0 0 0 0 W W W W W W W W W W = ; ( ) ( ) ( ) 12 23 31 3 23 31 12 31 12 23 0 0 0 0 0 0 k k k k W W W W W W W W W W = ; ( ) ( ) ( ) 12 23 31 12 3 1 23 31 12 23 31 12 23 31 0 0 0 0 0 0 k k k k W W W W W W W W W W W W W + = ; ( ) ( ) ( ) 12 23 31 12 23 3 2 23 31 12 23 31 31 12 23 31 12 0 0 0 0 0 0 k k k k W W W W W W W W W W W W W W W W + = Так как произведение стохастических матриц есть стохастическая матрица, а предел степеней стохастической матрицы, элементы которой положительны, есть матрица с одинаковыми столбцами, умножение этой предельной матрицы справа на любую стохастическую матрицу оставляет ее неизменной. В результате для контура получим, что в пределе по различным последовательностям степеней W влияние каждой компоненты на каждую другую компоненту (включая саму эту компоненту) описывается одним и тем же выражением, т. е. ее предельным приоритетом по от- ношению к соседней компоненте. Начиная с i -й компоненты контура, мы индексируем соседние компоненты по- следовательно 1 2 , , , , , n i i i i i … . Следующий вывод согласуется с нашими интуитивны- ми ожиданиями. В простом контуре компонент предельный относительный приоритет i -й компо- ненты дается собственным вектором, который получается как решение задачи 1 ii W x x = . Чтобы показать это, нужно учесть предыдущее замечание, сделанное при оценке влияния i -й компоненты (не принимая во внимание стохастические матрицы справа, так как они не влияют на результат), ( ) 1 1 2 1 1 2 1 lim lim lim n n k k k k k ii i i i i ii i i i i ii k k k W W W W W W W →∞ →∞ →∞ = = … … Это – стохастическая матрица с одинаковыми столбцами. Следовательно, в пре- деле приоритет компоненты в контуре дается собственным вектором, который соот- ветствует наибольшему собственному значению (равному единице для стохастиче- ской матрицы) его матрицы влияния. 193 8.5. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ И АБСОЛЮТНЫЕ ПРИОРИТЕТЫ Нас интересуют приоритеты двух типов: показывающие влияние или воздейст- вие одного элемента на любой другой элемент в системе, известные как относитель- ные приоритеты, а также абсолютный приоритет любого элемента безотносительно того, на какие элементы он влияет. В общем случае мы ищем предельные значения этих приоритетов. Вычисление приоритетов показывает, к чему могут привести су- ществующие тенденции, если нет изменений в предпочтениях, которые влияют на приоритеты. Экспериментируя с процессом модификации приоритетов и наблюдая за их предельными тенденциями, можно направлять систему к более желаемому ре- зультату. Теперь займемся формальными определениями. Если ij ω – относительный при- оритет i -го элемента над j -м элементом в системе, тогда [38, 70, 120] ( ) 1 ij ij ω ω = , ( ) 2 ij im mj m ω ω ω = ∑ , ( ) ( ) 1 k k ij im mj m ω ω ω + = ∑ , ( ) ( ) ( ) h k h k ij im mj m ω ω ω + = = ∑ Сумма относительных приоритетов по всем возможным путям от данного элемен- та дает приоритет элемента. Это равносильно возведению матрицы W в степени. (Последнее выражение эквивалентно следующему h k h k W W W + = .) При заданном начальном приоритете i -го элемента, равном ( ) 0 i ω , имеем следую- щий абсолютный приоритет j -го элемента по путям длины 0 k ≠ : ( ) ( ) ( ) 0 k k j i ij i ω ω ω = ∑ Задача заключается в нахождении матрицы предельного относительного приори- тета (ПОП) W ∞ и вектора предельного абсолютного приоритета (ПАП) ω ∞ при k → ∞ . (Что касается приоритетов системы, нас также может интересовать опреде- ление приоритетов для конечных значений k . Это не выдвигает задачи существова- ния, возникающей в предельном случае.) Особый интерес вызывает определение условий, когда ПАП не зависит от начальных приоритетов ( ) 0 i ω . Такая независимость называется эргодичностью системы. Далее следует классификация элементов, полезная для характеристики системы. Читатель при желании может продолжить обсуждение существования и построения ПОП и ПАП решений. Элемент j может быть достигнут из элемента i , если для некоторого 1 k ≥ , ( ) 0 k ij ω > , где ( ) ( ) k k ij W ω = . Здесь k W — k -предел достижимости каждого элемента. Подмножество элементов C системы замкнуто (в противоположность определению в марковских цепях), если ( ) 0 k ij ω = , где бы ни было i в C и j не в C . Отсюда следу- ет, что ни один элемент в C не может быть достигнут из любого элемента, не нахо- дящегося в C . Подмножество C минимально, если оно не содержит соответствую- щих замкнутых подмножеств элементов. Множество элементов, которые образуют минимальное замкнутое подмножество, соответствует неприводимой матрице. Если 194 матрица всей системы или подсистемы неприводима, то система или подсистема са- ма называется неприводимой. Система называется разложимой, если она состоит из двух или более замкнутых множеств. Если мы вначале стартуем с j -го элемента для некоторого фиксированного j и обозначим его первое воздействие на самого себя по пути длины 1 k ≥ через k j f , то имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 , k k k k j jj j jj j jj j jj j jj j jj f f f f f f ω ω ω ω ω ω − − = = − = − − − … … ( ) 1 k j j k f f ∞ = = = ∑ показывает совокупное воздействие j на себя. Среднее воздействие ( j на себя) получаем в виде: ( ) 0 k j j k u kf ∞ = = ∑ В соответствии с приоритетом влияния имеем (новые термины, вводимые ниже, существенны, так как мы не занимаемся временными переходами): 1. Если 1 j f = , то j называют устойчивым (рекуррентным) элементом. Таким об- разом, элемент называется устойчивым, если сумма его относительных приоритетов на себя за один шаг (петля), два шага (по контуру, включающему один другой эле- мент), три шага (включающими два других элемента) и т. д., равна единице. 2. Если 1 j f < , то j называют неустойчивым (преходящим). Элемент j , который является или устойчивым, или неустойчивым, называется циклическим (периодиче- ским) с цикличностью (периодом) c , если j u имеет величины c , 2 c , 3 c , …, где c – наибольшее целое, большее единицы, с этим свойством ( ( ) 0 k ij ω = , где k не делится без остатка на c ). Устойчивый элемент j , для которого j u бесконечно, называют исчезающим (нулевым). Устойчивый элемент j , который не является ни цикличе- ским, ни исчезающим (т. е. j u < ∞ ), называют поддерживающим (эргодическим). И для неустойчивого, и для исчезающего элемента j ( ) 0 k ij ω → для всех i . Если один элемент в неприводимой подсистеме – циклический с периодом c , то все эле- менты в этой подсистеме – циклические с периодом c . Известно, что если j – под- держивающий элемент, то при k → ∞ , ( ) 1 k jj j u ω → ; j – исчезающий элемент, если это число ноль, и поддерживающий элемент, если оно положительно. Все элементы неприводимой подсистемы являются либо неустойчивыми, либо устойчивыми, и со- ответственно система называется неустойчивой или устойчивой. 1, , 0, ij если i зависит от j b в противном случае = Замечание. Следующее выражение всегда имеет место, независимо от того, при- водима система или нет. В случае неприводимости ее значения известны: ( ) 1 0 1, , lim 1 , m k ij m k j если i и j неустойчивы u если i и j устойчивы ω − →∞ = = ∑ Все конечные системы элементов должны иметь, по крайней мере, один поддер- живающий элемент, который образует замкнутое неприводимое подмножество эле- ментов. Так как все устойчивые элементы конечной системы являются поддержи- 195 вающими, образованный таким образом блок (компонента) называют поддержи- вающим. Если j – циклический элемент с периодом 1 c > , то если k не является множителем c и ( ) m jj j c u ω → , при m → ∞ ; k mc = , m – положительно и c – наибольшее целое, для которого k mc = Ранее отмечалось, что приводимость и примитивность играют важную роль при доказательстве существования ПОП и ПАП. Теперь представим несколько основных, относящихся к этим понятиям фактов, которые будут полезны при дальнейшем об- суждении. Неотрицательная неприводимая матрица примитивна, если имеет единственное главное собственное значение. Если матрица имеет другое собственное значение с тем же модулем, что и главное собственное значение, то ее называют импри- митивной. Если главное собственное значение имеет кратность больше единицы (равную единице), но не имеется других собственных значений с таким же модулем, как у главного собственного значения, то матрицу называют правильной (регулярной). Примитивная матрица всегда регулярна и, следовательно, правильна, однако об- ратное утверждение неверно, например, что единичная матрица имеет собственным значением единицу. Кратность собственного значения равна порядку матрицы. Мат- рица правильна тогда и только тогда, когда в нормальной форме изолированные блоки примитивны. Для регулярной матрицы число изолированных блоков равно единице. Заметим, что если все элементы W положительны, то мы имеем примитивную матрицу и справедлива теорема о стохастических примитивных матрицах, сущест- вуют и ПОП и ПАП. Они совпадают и получаются в результате решения задачи о собственном значении W ω ω = . В действительности ω – любой столбец lim k W . Та- кой же результат справедлив, если W – примитивная матрица. В общем случае неотрицательная матрица W может иметь нулевые элементы. Тогда матрица или неприводимая, или приводимая. Если она неприводимая, то она примитивная, и в этом случае применимы приведенные выше соображения, либо она импримитивная. В последнем случае матрица имеет s не равных единице собст- венных значений ( s называется индексом импримитивности), модули которых рав- ны единице. Это число играет важную роль для получения решения в общем случае, из которого следует решение в данном случае. Здесь достаточно заметить, что все 2 1 , , , s W W W − … не являются правильными матрицами, и их степени имеют тенден- цию к периодическим повторениям. Система циклична с периодом s Замечание. Система ациклична, циклична, неприводима, приводима в зависимо- сти от того, является ли соответствующая матрица W примитивной, импримитивной, неприводимой или приводимой. Если W неотрицательна и приводима, то она приводится к нормальной форме. Если изолированные блоки примитивны (говорят, что они соответствуют существен- ным компонентам, а оставшиеся матрицы соответствуют несущественным компонен- там), то система по определению называется примитивной и ПОП и ПАП существуют (см. [53], стр. 112). Важное замечание. Когда стохастическая по столбцам матрица приводима, ее существенные компоненты определяют систему, так как они являются «источника- ми», или воздействующими на приоритет компонентами, в противоположность «сточным колодцам», или переходным – поглощающим состояниям марковской це- 196 пи. В любой диаграмме, за исключением петель, стрелки начинаются в этих компо- нентах и не заканчиваются в них. Решение для ПОП определяется выражанием ( ) ( ) ( ) 1 1 lim 1 k k I W W W − ∞ →∞ − Ψ ≡ = ′ Ψ , где ( ) λ Ψ – минимальный полином W , а ( ) λ ′ Ψ – его первая производная по λ Каждый столбец W ∞ является характеристическим вектором W , соответствующим max 1 λ = . Если max 1 λ = – простое, т. е. W регулярна, то ( ) λ Ψ можно заменить на ( ) λ ∆ – характеристический полином W Решение для ПАП получается ( ) 0 W ω ω ∞ ∞ = , если W – правильная матрица, и как собственный вектор W ω ω ∞ ∞ = , если W регулярна. Замечание. Можно показать, что матрицы W ∞ , соответствующие существенным компонентам, положительны; что касается матриц воздействий на приоритеты от существенных к несущественным компонентам, то они также положительны (они получаются в результате произведения ( ) ( ) 1 1 2 , , , T k I Q R R R − − … нормальной формы; см. гл. 7). Только матрицы воздействия от несущественных к несущественным или от несущественных к существенным компонентам равны нулю. Наконец, если не все изолированные блоки примитивны, то, как было отмечено, каждый имеет индекс импримитивности. Рассмотрим их наименьшее общее кратное, которое представляет собой цикличность c системы. Используя степени W , ПОП получаем в виде ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 c c c c W I W W W W W W c c ∞ ∞ − − = + + + = − − … , а ПАП – в виде ( ) 0 W ω ω = W называют средним ПОП, ω – средним ПАП. Если имеется единственный изолированный блок, то средний ПАП является не- зависимым от начальных приоритетов и определяется единственным образом как решение W ω ω = Это в точности соответствует случаю неприводимой импримитивной системы. 8.6. ПРИМЕРЫ Два приведенных ниже примера даны по двум соображениям: первый показыва- ет, как действует суперматрица, а второй – как может быть применен метод в соци- альны науках. Конечно, формулировка вопросов для суждения требует большой квалифицированной подготовки экспертов в данной области деятельности для пред- ставления существенных факторов и уверенности в том, что нет смещения или пе- рекрытия сравнительных понятий. Как будет показано далее, интерпретация расту- щих степеней W имеет практическую важность. 197 В обоих случаях задача определяется очень кратко, вместе с диаграммой, пред- ставляющей систему и ее связи. Здесь не приводятся 68 матриц парных сравнений для элементов и одна для компонент в первом примере, и 33 – для элементов и 4 – для компонент во втором примере, за исключением последних четырёх матриц. Суперматрица сформирована в два этапа. На первом заполняются блоки собст- венных векторов. После получения приоритетов для компонент и использования их весов в матрице получается заключительная стохастическая по столбцам супермат- рица. Важно отметить, что суммы по столбцам должны быть равными единице, в противном случае может быть расхождение к бесконечности или сходимость к нулю. Важным является вопрос о том, как взвешивать компоненты. Каждый блок в столб- це, который соответствует компоненте суперматрицы, взвешивается соответствую- щим коэффициентом собственного вектора, полученным из матрицы парных сравне- ний, включающей те компоненты (с ненулевыми элементами блока в том столбце блоков), которые воздействуют на данную компоненту столбца. (На диаграммах эти компоненты имеют стрелки, направленные от них к заданной компоненте столбца.) В обоих примерах интерес представляет аппроксимация ПОП, получающаяся при возведении W в большие степени. В наш век компьютеров мои ученики (Н. Бамани, который работал над первым примером, и А. Челсон и С. Паркер, работавшие над вторым) предпочли возводить матрицу в большие степени, не используя формул для W ∞ , приведенных в разд. 8.5. В первом примере дана невзвешенная суперматрица. Она соответствует полному графу компонент системы. Следовательно, она положительна и более того – прими- тивна. Для ПОП все столбцы W ∞ одинаковы и вектор ПАП может быть любым из этих столбцов. Достаточно выдать аппроксимацию ПАП с 100 W . Для удобства читате- ля вектор этого решения помещен рядом с начальными определениями факторов и компонент. Во втором примере представлены блоки суперматрицы до взвешивания. Затем следуют матрицы парных сравнений компонент, а затем суперматрица W , которая получается в результате взвешивания каждого блока согласно приведенному выше описанию. Наконец, 89 W представляется в качестве аппроксимации W ∞ Отметим, что в нашей совместной работе с Дж. Бенеттом по терроризму [135] по- казано, что правильно построенная иерархия может дать результаты, близкие к ре- зультатам, получаемым для системы с обратной связью. Пример о воспитании ребенка Наш первый пример касается воспитания ребенка. Ребенок в ранние годы нахо- дится под влиянием некоторых сил. Желательно установить приоритеты этих влия- ний. Так как при взаимодействии этих сил имеется обратная связь, задача может быть представлена сетью. Основные группы источников влияния и их существенные характеристики даны в табл. 8.1. Таблица 8.1 Компоненты Факторы Приоритеты (из ПАП аппроксимации) 1 C – Отец W – Работа 0,024 f R – Отдых 0,022 f RE – Религия 0,019 ED – Образование 0,044 198 RWC – Отношение с женой и детьми 0,020 2 C – Мать H – Дом 0,024 m R – Отдых 0,026 m PE – Религия 0,027 PI – Профессиональные интересы 0,025 TC – Забота о детях 0,028 RHC – Отношение с мужем и детьми 0,021 3 C – Дети RP – Отношение с родителями 0,013 S – Школа 0,020 PL – Игры 0,012 PE – Образование родителей 0,026 4 C – Внешние силы 0 S – Школа 0,120 PR – Ровесники 0,074 ME – Средства массовой информа- ции 0,090 C – Культура 0,360 Рис. 8.5 Суждения для матриц парных сравнений были представлены группой студентов, которых особенно интересовала эта тема. Заслуживает внимания, что эти студенты были иностранцами и их суждения могут отличаться от суждений, которые могли быть у группы американцев. Останавливаться на интерпретации результатов, по- видимому, не имеет смысла за исключением того, что преобладающие факторы, ко- торые включают культуру и школу, находятся во «внешней» компоненте. Сеть взаимодействий показана на рис. 8.5. 199 Пример со сталелитейной промышленностью В этом примере рассматриваются компоненты и факторы системы торговли ста- лью для нахождения изменений в текущих приоритетах. Факторы и компоненты по- казаны на рис. 8.6. Эффективность измеряется тем, как производится продукция, и тесно связана с современной технологией. Рис. 8.6 Избыточная продукция: Япония произвела сталь в большом количестве, превы- шавшем потребление, и, следовательно, может дешево ее продавать. Неиспользованные мощности появляются в результате уменьшения спроса. Для того чтобы не допустить безработицу и подавить конкуренцию, товар может быть продан по цене ниже себестоимости. Позиция правительства направлена против инфляции, которая появляется из-за повышения цены на сталь. Торговая политика правительства выражает нежелание защищать отечественную промышленность. Цена капитала: низкие процентные ставки в сталелитейной промышленности в зарубежных странах и высокие процентные ставки в США, косвенно вызывающие рост других цен. Невзвешенная суперматрица представлена в табл. 8.3. Для взве- шивания суперматрицы (превращения ее в стохастическую по столбцам) взвешива- ются компоненты в соответствии с их воздействием на каждый столбец блоков. 200 Таблица 8.2. Невзвешенная суперматрица для примера о воспитании ребёнка 1 C 2 C 3 C 4 C W R RE ED RWC H R RE PI TC RHC RP S PL PE SO PR ME C W 0.222 0.209 0.212 0.208 0.257 0.224 0.224 0.150 0.228 0.198 0.213 0.198 0.170 0.123 0.372 0.246 0.149 0.157 0.143 R 0.095 0.125 0.140 0.170 0.220 0.151 0.224 0.150 0.170 0.232 0.111 0.111 0.144 0.324 0.148 0.150 0.186 0.142 0.178 RE 0.100 0.145 0.147 0.100 0.110 0.172 0.149 0.344 0.172 0.174 0.122 0.110 0.127 0.132 0.089 0.126 0.130 0.142 0.161 ED 0.462 0.396 0.374 0.382 0.194 0.229 0.254 0.161 0.260 0.198 0.245 0.260 0.401 0.303 0.297 0.353 0.375 0.423 0.357 1 C RWC 0.121 0.125 0.127 0.140 0.219 0.224 0.149 0.105 0.170 0.198 0.309 0.314 0.158 0.118 0.094 0.125 0.160 0.136 0.161 H 0.216 0.185 0.144 0.142 0.145 0.195 0.195 0.220 0.168 0.283 0.200 0.257 0.249 0.148 0.116 0.203 0.131 0.164 0.110 R 0.105 0.190 0.144 0.162 0.111 0.130 0.137 0.122 0.102 0.122 0.113 0.115 0.124 0.174 0.219 0.132 0.207 0.213 0.198 RE 0.122 0.148 0.260 0.129 0.127 0.155 0.088 0.122 0.113 0.103 0.113 0.103 0.124 0.111 0.109 0.129 0.145 0.147 0.282 PI 0.278 0.170 0.144 0.283 0.163 0.135 0.143 0.189 0.178 0.140 0.161 0.139 0.142 0.156 0.268 0.210 0.168 0.147 0.124 TC 0.140 0.146 0.143 0.142 0.226 0.215 0.239 0.192 0.246 0.221 0.253 0.244 0.249 0.300 0.178 0.165 0.188 0.164 0.176 2 C RHC 0.139 0.161 0.165 0.142 0.225 0.170 0.198 0.155 0.193 0.131 0.160 0.142 0.112 0.111 0.110 0.161 0.162 0.165 0.110 RP 0.132 0.141 0.250 0.087 0.204 0.278 0.167 0.250 0.183 0.247 0.333 0.236 0.140 0.143 0.166 0.177 0.167 0.147 0.160 S 0.151 0.140 0.250 0.246 0.246 0.163 0.167 0.250 0.282 0.209 0.167 0.200 0.103 0.270 0.410 0.195 0.333 0.390 0.354 PL 0.132 0.263 0.250 0.133 0.204 0.163 0.333 0.250 0.164 0.198 0.167 0.095 0.117 0.162 0.103 0.195 0.167 0.159 0.131 3 C PE 0.585 0.456 0.250 0.534 0.346 0.396 0.333 0.250 0.371 0.346 0.333 0.469 0.340 0.425 0.321 0.433 0.333 0.304 0.355 SO 0.290 0.151 0.135 0.209 0.186 0.220 0.165 0.140 0.343 0.162 0.200 0.186 0.225 0.140 0.262 0.341 0.220 0.177 0.161 PR 0.108 0.240 0.129 0.095 0.166 0.121 0.200 0.131 0.150 0.162 0.200 0.156 0.124 0.263 0.140 0.109 0.121 0.114 0.080 ME 0.101 0.085 0.129 0.103 0.156 0.121 0.140 0.140 0.110 0.151 0.200 0.166 0.135 0.140 0.140 0.118 0.121 0.188 0.143 4 C C 0.501 0.424 0.607 0.593 0.492 0.538 0.495 0.589 0.397 0.525 0.400 0.492 0.516 0.457 0.458 0.532 0.538 0.521 0.616 201 Таблица 8.3. Невзвешенная суперматрица для примера со сталелитейной промышленностью M S U F P D d M f M u S e S p S a U p U s F e F c F p F r P c P l P k P D d M 0.5 0.5 M f M 0.5 0.5 0 0 0 0 0 u S 0.09 0.09 0.43 0.64 0.08 0.58 0.73 e S 0.09 0.09 0.43 0.10 0.23 0.11 0.10 S p S 0.82 0.82 0.14 0.26 0.69 0.31 0.17 0 0 0 a U 0.9 0.17 0.1 0.1 0.1 0.1 U p U 0 0 0.1 0.83 0.9 0.9 0.9 0.9 0 0 s F 0.28 0.28 0.21 0.31 0.06 0.39 0.26 0.32 e F 0.06 0.06 0.43 0.08 0.18 0.07 0.56 0.13 c F 0.06 0.06 0.05 0.08 0.20 0.39 0.07 0.50 F p F 0.60 0.60 0 0.21 0.53 0.56 0.15 0.11 0.05 0 0 r P 0.05 0.05 0.06 0.12 0.12 0.04 0.04 c P 0.57 0.31 0.56 0.06 0.06 0.16 0.16 l P 0.28 0.11 0.26 0.26 0.26 0.57 0.23 P k P 0 0.10 0.53 0.12 0 0 0.56 0.56 0.23 0.57 0 D D 1 1 0 0 0 0 1 202 Таблица 8.4. Взвешенная суперматрица M S U F P D 0.03 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 M 0.03 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.05 0.05 0.11 0.16 0.02 0.05 0.06 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.05 0.05 0.11 0.03 0.06 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 S 0.47 0.47 0.04 0.06 0.17 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.66 0.12 0.08 0.08 0.08 0.08 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 U 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.07 0.61 0.72 0.72 0.72 0.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.08 0.08 0.00 0.00 0.00 0.04 0.06 0.01 0.08 0.05 0.06 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 0.02 0.00 0.00 0.00 0.10 0.02 0.04 0.01 0.11 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 0.02 0.00 0.00 0.00 0.01 0.02 0.04 0.08 0.01 0.10 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 F 0.17 0.17 0.00 0.00 0.00 0.04 0.10 0.11 0.03 0.02 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.04 0.04 0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.12 0.12 0.04 0.04 0.00 0.00 0.00 0.43 0.23 0.42 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.06 0.06 0.16 0.16 0.00 0.00 0.00 0.21 0.08 0.20 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.26 0.26 0.57 0.23 0.00 P 0.00 0.00 0.08 0.40 0.09 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.56 0.56 0.23 0.57 0.00 D 0.09 0.09 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 203 Таблица 8.5. 89-я степень взвешенной суперматрицы M S U F P D 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 M 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 S 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 U 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 F 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.05 0.05 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.00 0.14 0.13 0.14 0.14 0.14 0.16 0.16 0.16 0.16 0.16 0.16 0.14 0.14 0.14 0.14 0.00 0.34 0.34 0.37 0.36 0.36 0.41 0.41 0.41 0.41 0.41 0.41 0.36 0.36 0.36 0.36 0.00 P 0.43 0.43 0.46 0.45 0.45 0.51 0.51 0.51 0.51 0.51 0.51 0.45 0.45 0.45 0.45 0.00 D 0.10 0.09 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 204 Таким образом, строчные компоненты с ненулевыми элементами для блоков в блочных столбцах сравниваются в соответствии с их воздействием на компоненту этих блочных столбцов. Затем каждый блок взвешивается посредством коэффициен- та собственного вектора, соответствующего компоненте в этой строке. Этот процесс приводит к следующим четырем матрицам парных сравнений. M S F D Собственный вектор M 1 0,125 0,167 0,333 0,047 S 8 1 3 6 0,568 F 6 0,333 1 5 0,293 Блочный столбец M D 3 0,167 0,200 1 0,092 S P Собственный вектор S 1 0,333 0,250 Блочный столбец S P 3 1 0,750 S U F Собственный вектор S 1 0,143 0,333 0,081 U 7 1 5 0,731 Блочный столбец U F 3 0,20 1 0,188 U F Собственный вектор U 1 4 0,8 Блочный столбец F F 0,25 1 0,2 Взвешивая суперматрицу и используя полученные выше веса, получаем следую- щую стохастическую по столбцам матрицу (см. табл. 8.4) и её 89-ю степень (см. табл. 8.5). Возведение матрицы в степени представляет долгосрочные относительные влия- ния элементов друг на друга. Мы можем, во-первых, сказать, что цена и спрос яв- ляются ведущими факторами в сталелитейной промышленности. Отметим, что по мере возведения матрицы в большие степени, важность цены капитала на амери- канском рынке акций растет (что видно из матриц, не приведенных здесь) от 0 до 0,43, поэтому удорожание вкладов в отечественную сталелитейную промышленность означает угрозу ее дальнейшему расширению и даже выживанию. Важность неис- пользованных мощностей снижается до нуля, как и всех неустойчивых элементов в системе. Другим более очевидным заключением является то, что влияние спроса в стале- литейной промышленности не меняется в течение длительного периода. Цена капи- тала оказывает наибольшее общее влияние на модель. Как и ожидалось, приоритет цены на капитал будет повышаться по сравнению с другими исходными ценами, так как цена на капитал оказывает на них большое влияние. В действительности это то, что происходит в течение длительного времени, но за короткий период времени другие элементы оказывают большое влияние на относительные приоритеты. Замечание. Может оказаться полезным закончить эту главу указанием на то, что зависимость между элементами заданной компоненты системы может быть вычисле- 205 на, как показано в гл. 5. Результат затем взвешивается с помощью независимых приоритетов, вычисленных в этой главе. |