Т. Саати Принятие решений. Т. саати принятие решений метод анализа иерархий
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
Теорема 7.24. Если A положительная согласованная ( ) n n × -матрица, то Ae C ω = , где 0 C > постоянная и ω удовлетворяет равенству A n ω ω = Доказательство. Вектор Ae является суммой строк A и, очевидно, постоянным множителем любого столбца. Поэтому он является решением задачи о собственном значении. Другой вариант доказательства. Легко показать, что A имеет единичный ранг тогда и только тогда, когда существуют векторы x и y , такие, что T A xy = . Отсюда ( ) , A y x n ω ω ω = = , ( ) 1 1 , n n y y y ω ω ω = + + … , и, следовательно, ( ) ( ) ( ) , , , n A y e x y e C y ω ω ω = = ≡ Следствие 1. Если ( ) i j A ω ω = , то 1 n i i i i C ω ω ω = = ∑ Следствие 2. 172 ( ) 1 1 1 , , k k n T k k T T A e n Ae Ae C e A e n e Ae e Ae ω ω − − = = = … , 0 C > Следующая теорема показывает, что в случае согласованных матриц компоненты собственного вектора изменяются монотонно с изменениями отдельных элементов. Теорема 7.25. (Теорема о монотонности.) Пусть ( ) ij A a = – положительная согласованная матрица с главным собственным вектором ( ) 1 , , n ω ω ω = … . Заменим один элемент xy a на 0 xy a ε + > и, используя строку x , построим новую согласован- ную матрицу ( ) * * ij A a = . Пусть ( ) * * * 1 , , n ω ω ω = … – главный собственный вектор мат- рицы * A . Тогда * x x ω ω > Доказательство. Так как и A и * A согласованны, любой нормализованный стол- бец дает главный собственный вектор. Рассмотрим столбец, содержащий 1 xy a в матрице A , и соответствующий столбец, содержащий ( ) 1 xy a ε + в матрице * A . Два столбца идентичны за исключением этого единственного элемента. Сумма элементов столбца в * A меньше, чем сумма элементов столбца в A . Поэтому, нормализуя дан- ный столбец, получаем большее отношение для всех тех элементов, которые не ме- няются в обеих матрицах. В частности, это верно для * x ω , поэтому * x x ω ω > В дальнейшем обобщим эту теорему на обратносимметричные матрицы порядка 2, 3 и 4. Теорема 7.26. Если A – положительная согласованная матрица и A′ получена из A вычеркиванием i -й строки и i -го столбца, то A′ – согласованна и ее соответ- ствующий собственный вектор получается из A , если положить 0 i ω = и нормализо- вать компоненты. Доказательство. Для любой заданной строки A , например для первой, имеем 1 1 ij i j a a a = и i -я строка A зависит от элемента i -го столбца в его первой строке. Аналогичное следует из 1 1 ik k j a a a = . Поэтому ни один элемент в A′ не зависит от i -й строки или i -го столбца A и, следовательно, A′ также согласованна. Так как их элементы совпадают за исключением i -й строки и i -го столбца A и решение за- дачи о собственном значении при согласованной матрице получается из любого нормализованного столбца, получаем утверждение теоремы. Замечание. В общем случае, если ( ) ij A a = – матрица парных сравнений, а ( ) ij A a ′ ′ = при ij ij a a ′ = , , 1, , i j n = … , i k ≠ , j k ≠ и 0 ij a′ = , i k = или j k = , и если нормализованные собственные векторы уравнений max A ω λ ω = и max A ω λ ω ′ ′ ′ = – со- ответственно ω и ω ′ , то 0 k ω ′ = , однако α β α β ω ω ω ω ′ ′ ≠ для всех α и β . Другими словами, исключение одной строки из матрицы парных сравнений не вызывает про- порционального перераспределения весов среди других строк. Следующая теорема показывает, что отношения порядка между отдельными ij a и i j ω ω довольно сложным образом зависят от всей матрицы A и ее степеней. Теорема 7.27. Для примитивной матрицы A имеем, что ij kl a a ≥ , тогда и только тогда, когда i j k l ω ω ω ω ≥ , при условии, что 173 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim m m ip kq p q p j q j m m m m j l a A e a A e A e A e ≠ ≠ →∞ →∞ ≥ ∑ ∑ ( ( ) p ⋅ – означает p -ю компоненту вектора). Доказательство. Из равенства 1 n ij j i j a ω λω = = ∑ имеем ( ) 1 ij i j j ip p p j a a λω ω ω ω ≠ = − ∑ и ( ) 1 kl k l l kq q q l a a λω ω ω ω ≠ = − ∑ Поэтому ij kl a a ≥ только при ( ) ( ) 1 1 i k j ip p l kq q p j q l j l a a λω λω ω ω ω ω ω ω ≠ ≠ ≥ + − ∑ ∑ Следовательно, теорема верна, если имеет место следующее неравенство: ( ) ( ) 1 1 j ip p l kq q p j q l a a ω ω ω ω ≠ ≠ ≥ ∑ ∑ Используя теорему о пределе для примитивной матрицы, заменим каждый s ω на ( ) lim m s T m m A e e A e →∞ , что завершает доказательство. Теперь обратимся к важному обобщению предыдущих результатов. Будем счи- тать, что наш разум работает фактически с попарными сравнениями, однако ij a яв- ляются не оценками i j ω ω , а некоторой функцией – ( ) ij i j a ω ω . Например, по на- блюдениям Стивенса (см. [22]) ij a , осознаваемый для протетических явлений (про- цессов добавления возбуждения к возбуждению), принимает вид ( ) a i j ω ω , где a лежит где-то между 0,3 (в случае оценки громкости) и 4 (в случае оценки электри- ческого удара). Другими случаями являются: яркость – от 0,33 до 0,50, длина – 1,1, продолжительность во времени – 1,15, численность – 1,34, тяжесть – 1,45 и ско- рость – 1,77. Для метатетических явлений (процессов замещения возбуждения воз- буждением), по мнению Стивенса, степенной закон неприменим, т. е. для процессов мышления 1 a = Эти наблюдения обусловливают интерес к изучению общего решения ( ) i i g ω , 1, , i n = … ; задачи о собственном значении, где предполагается условие согласован- ности вида ( ) ( ) ( ) ij jk ik f a f a f a = , для которого матрица также имеет единичный ранг. Наш основной результат – сле- дующий. 174 Теорема 7.28. (Степенной закон собственного значения.) Если матрица ( ) ij i j A a ω ω = порядка n удовлетворяет обобщенному условию согласованности, то задача о собственном значении ( ) ( ) ( ) 1 n ij i j j j i i j a q nq ω ω ω ω = = ∑ , 1, , i n = … , имеет решение в виде собственного вектора ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , , , , a a n n n q q ω ω ω ω ≡ … … Доказательство. Выражение ( ) ij i j i i j j a g g ω ω ω ω = имеет место при решении ( ) i i g ω , 1, , i n = … , задачи о собственном значении. Если подставим его в условие согласованности, то получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } i i j j j j k k i i k k j j k k f g g f g g f g g g g ω ω ω ω ω ω ω ω = Или, если положим ( ) ( ) i i j j x g g ω ω = , ( ) ( ) j j k k y g g ω ω = , то получим ( ) ( ) ( ) f x f y f xy = . Это функциональное уравнение имеет общее решение ( ) a f x x = Таким образом, обобщая условие согласованности для A , находим, что обобще- ние соответствующей задачи о собственном значении (с max n λ = ) возможно, если заменим ij a на постоянную степень a его аргумента. Однако мы знаем, что ij i j a ω ω = при 1 a = , поэтому, вообще говоря, ( ) a ij i j a ω ω = , из чего следует, что ( ) ( ) ( ) a i i j j i j g g ω ω ω ω = , , 1, , i j n = … , т. е. ( ) ( ) a i i i i g g ω ω ω = = , 1, , i n = … Эта теорема показывает, что решение задачи о собственном значении, удовле- творяющей условию согласованности, дает оценки в степенной шкале. В тех прило- жениях, где для получения данных используется знание, а не наши ощущения, сле- дует ожидать равенства степени единице, и, следовательно, здесь мы будем иметь оценку в основной шкале. Это наблюдение может быть полезным в социальных при- ложениях. Замечание. Отметим, что различные матрицы попарных сравнений могут давать один и тот же собственный вектор. Это довольно удачное обстоятельство, так как позволяет заменять признаки и все же получать тот же самый собственный вектор в качестве ответа. Поэтому можно получить один и тот же результат с различных то- чек зрения и выбрать те матрицы, которые мы предпочитаем. С другой стороны, мир познания может быть сведен к малому множеству признаков с фиксированными зна- чениями относительной шкалы. Отношения и их интенсивность будут детерминисти- ческими, и индивидуальное предпочтение не будет существенным. Конечно, это не приведет к конфликту. Однако разнообразие с конфликтом богаче детерминизма. Здесь возникает технический вопрос: при заданном собственном векторе и всех матрицах, из которых он получен, можно ли перейти от одной из них на любую дру- гую, производя малые возмущения в элементах? В частности, возможен ли переход из матрицы отношений к любой другой матрице малыми возмущениями? Другим вопросом будет: при рассмотрении двух собственных векторов, являю- щихся малыми возмущениями каждого, существуют ли малые возмущения, которые переводят один класс соответствующих матриц в другой? 175 7.6. ОБРАТНОСИММЕТРИЧНЫЕ МАТРИЦЫ Теперь исследуем некоторые свойства положительных, обратносимметричных матриц. Теорема 7.29. Собственные значения положительной обратно-симметричной матрицы удовлетворяют следующему уравнению: , 0 j k j k j k λ λ ≠ = ∑ Доказательство. Мы знаем, что ( ) 1 n tr A n λ λ + + = = … и ( ) 2 2 2 2 1 n tr A n λ λ + + = = … , так как 2 i λ – собственное значение 2 A . Поэтому ( ) 2 2 2 1 1 , n n i j k i j k j k n λ λ λ λ λ = ≠ = + + = + ∑ ∑ … , из чего следует, что второе слагаемое справа равно нулю. Теорема 7.30. Пусть ( ) ij A a = есть ( ) n n × -матрица положительных элементов с 1 ji ij a a − = A согласованна тогда и только тогда, когда max n λ = Доказательство. Из уравнения 1 1 n ij j i j a λ ω ω − = = ∑ получаем ( ) 1 1 1 , 1 1 n ij j i ij j i i j ij i j i j n i j n n a a a λ ω ω ω ω ω ω − − − = ≤ < ≤ ≠ − = = + ∑ ∑ Очевидно, что из равенства ij i j a ω ω = , получим n λ = , а также max n λ = , так как сумма собственных значений равна n , следу матрицы A Чтобы доказать обратное утверждение, заметим, что предыдущее выражение со- держит только два члена, включающих ij a , а именно, 1 ij j i a ω ω − и 1 i j ij a ω ω − . Их сумма имеет вид ( ) 1 y y + . Чтобы убедиться в том, что n – минимальное значение max λ , достигаемое единственным образом при ij i j a ω ω = , отметим, что для всех этих чле- нов ( ) 1 2 y y + ≥ . Равенство достигается только в предположении 1 y = , т. е. ij i j a ω ω = . Поэтому, когда max n λ = , имеем 2 2 , 1 2 n i j i j n n n n = ≠ − ≥ = − ∑ откуда следует, что ij i j a ω ω = Если A несогласованна, то можно ожидать, что в некоторых случаях из неравен- ства ij kl a a ≥ не следует i j k l ω ω ω ω ≥ . Однако, поскольку i ω , 1, , i n = … , определя- ются значениями строки матрицы A , следует ожидать, что справедлива следующая теорема. 176 Теорема 7.31. (Сохранение порядковой согласованности.) Если ( ) 1 , , n o o … – порядковая шкала объектов 1 , , n i C C = … , где из i k o o ≥ следует, что ij kj a a ≥ , 1, , j n = … , то из i k o o ≥ следует, что i k ω ω ≥ Доказательство. Действительно, из max A ω λ ω = имеем, что max max 1 1 n n i ij j kj j k j j a a λ ω ω ω λ ω = = = ≥ = ∑ ∑ и поэтому i k ω ω ≥ Теорема 7.32. Любая положительная обратносимметричная матрица порядка 2 2 × согласованна. Доказательство очевидно. Теорема 7.33. Компоненты нормализованного левого собственного вектора об- ратносимметричной положительной матрицы порядка 3 3 × являются обратными ве- личинами компонент правого собственного вектора. Доказательство требует использования следующего равенства в выражениях для ω и υ , приведенных в гл. 5 для динамических приоритетов при 3 n = : ( ) ( ) 2 2 2 3 13 12 23 12 13 23 1 3 1 a a a a a a λ λ + − − = + − Нормализованное обратное отношение между компонентами левого и правого собственных векторов не выполняется для 4 n = , как видно из следующего контр- примера 1 1/ 2 1/100 2 2 1 1/ 3 10 100 3 1 6 1/ 2 1/10 1/ 6 1 A = , max 5,73 λ = ; ( ) 0,031; 0,142; 0,793; 0,034 ω = ; ( ) 0,506; 0, 075; 0,020; 0,399 υ = . Об- ратный вектор к нормализованному ω будет ( ) 0, 461; 0,102; 0,108; 0, 419 Следовательно, 4 n = есть первый случай, где решение зависит от согласованно- сти наблюдений и их обоснованности, а не от структуры матрицы парных сравне- ний. (Имеются контрпримеры для 5, 6, 7 n = .) Возникает искушение предположить, что свойство обратной симметричности ме- жду компонентами главного левого и правого собственных векторов для 4 n ≥ имеет место тогда и только тогда, когда матрица согласованна. Наблюдение Джонсона–Ванга–Беина Джонсон, Ванг и Беин в [71] заметили, что так как левый и правый собственные векторы не являются обратными величинами для 4 n ≥ , для решения ряда задач можно воспользоваться как левым, так и правым собственным вектором. Это наблю- дение представляет интерес и с философской и с математической точек зрения. По- видимому, для нашего сознания не существует единственного пути синтеза собст- венных мер доминирования и антидоминирования, или рецессивности для получе- ния единой интерпретации реальности. Хотя и возможно создание итеративных схем для объединения и левого и правого собственных векторов в одну меру, такая мера нуждается в простой естественной интерпретации. 177 В рамках МАИ для включения двух противоположных концепций использован анализ «эффективность – стоимость». Это представляется эффективным путем рас- смотрения двух сторон человеческого опыта. 7.7. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННОГО ВЕКТОРА Часто возникает вопрос, насколько чувствительны приоритеты, задаваемые ком- понентами собственного вектора, к небольшим изменениям в величинах суждений. Желательно, чтобы приоритеты не колебались в широких пределах при малых изме- нениях в суждении. Существуют три способа проверки этой чувствительности: 1) нахождение математической оценки колебания; 2) получение ответов, основан- ных на большом числе компьютерных вычислений, построенных соответствующим образом для проверки чувствительности; 3) комбинация предыдущих двух способов, особенно при невозможности проведения полной аргументации аналитически. Как уже указано, в случае согласование max λ равно следу матрицы, который представляет собой сумму единичных элементов. При этом следует ожидать, что собственный вектор, соответствующий возмущенной матрице, изменится на величи- ну, обратно-пропорциональную размеру матрицы. Собственные значения матрицы лежат между ее наибольшими и наименьшими строчными суммами элементов. Изменение величины элемента в матрице влияет на соответствующую строчную сумму и обусловливает тенденцию изменения max λ на такую же величину. Однако поскольку на изменение собственного вектора также влияет и размер матрицы, можно ожидать, что чем больше матрица, тем меньшим будет изменение каждой компоненты. Начнем анализ этой проблемы, рассмотрев матрицу A с характеристическим уравнением (см. [185]) ( ) 1 1 det 0 n n n A I a a λ λ λ − − = + + + = … Пусть теперь A B ε + – матрица, полученная введением малого возмущения в A Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид ( ) ( ) ( ) 1 1 det 0 n n n A B I a a ε λ λ ε λ ε − + − = + + + = … , где ( ) k a ε – полином степени ( ) n k − от ε , такой, что ( ) k k a a ε → при 0 ε → Пусть 1 λ – максимальное простое собственное значение, соответствующее ха- рактеристическому уравнению A . Уилкинсон в [185] доказал, что для малого ε имеется собственное значение матрицы A B ε + , которое может быть выражено как сумма сходящегося степенного ряда, т. е. ( ) 2 1 1 1 2 k k λ ε λ ε ε = + + +… Пусть 1 ω – собственный вектор A , соответствующий 1 λ и ( ) 1 ω ε собственный вектор A B ε + , соответствующий ( ) 1 λ ε . Элементы ( ) 1 ω ε – полиномы от ( ) λ ε и ε , и так как степенной ряд для ( ) 1 λ ε сходится при малом ε , каждый элемент ( ) 1 ω ε может быть представлен как сходящийся степенной ряд от ε . Можно написать ( ) 2 1 1 1 2 z z ω ε ω ε ε = + + +… Если матрица A имеет линейные элементарные делители, то существуют полные множества правых и левых собственных векторов 1 2 , , , n ω ω ω … и 1 2 , , , n υ υ υ … , таких, что 0 i j υ ω = , i j ≠ 178 Заметим, что j ω и j υ являются j -ми собственными векторами (правым и ле- вым), а не j -ми компонентами векторов. Векторы i z , могут быть представлены через i ω следующим образом: 1 n i ij j j z s ω = = ∑ , что после подстановки в формулу для ( ) 1 ω ε дает ( ) 1 1 2 1 n n j ij i i j t ω ε ω ε ω = = = + ∑∑ , где ij t получены делением ij s на коэффициент 1 ω Возмущения собственных значений первого порядка даны коэффициентом 1 k выражения для ( ) 1 λ ε Теперь выведем выражение для возмущений первого порядка соответствующих собственных векторов. Нормализуя векторы j ω и j υ и используя евклидову метри- ку, находим 1 j j υ ω = Мы знаем, что ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 A B ε ω ε λ ε ω ε + = При подстановке выражений для ( ) 1 λ ε и ( ) 1 ω ε , полученных выше, и использо- вании равенства 1 1 1 A ω λ ω = имеем ( ) 1 1 1 1 1 2 n j j j j t B k λ λ ω ω ω = − + = ∑ Умножив обе части на T j υ , после упрощения получим 1 1 1 1 1 T T k B υ ω υ ω = , для 1 j = и ( ) ( ) 1 1 1 1 T T j j j j t B υ ω λ λ υ ω = − , для 1 j ≠ , где, как уже отмечено, 1 k – возмущение 1 λ первого порядка, и ( ) [ ] 1 1 1 1 1 1 1 T T T k B B υ ω υ ω υ ω = ≤ , где [ ] B – сумма элементов B Итак, для достаточно малого ε чувствительность 1 λ зависит в основном от вели- чины 1 1 T υ ω , которая может быть произвольно малой. Возмущение первого порядка 1 ω определяется выражением ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 n n n T T T T j j j j j j j j j j j j j j j t B A ω ε ω ε υ ω λ λ υ ω ω υ ω λ λ υ ω ω = = = ∆ = = − = ∆ − ∑ ∑ ∑ , где A B ε ∆ ≡ Собственный вектор 1 ω будет весьма чувствителен к возмущениям в A , если 1 λ близко к любому из других собственных значений. Когда 1 λ значительно отдалено 179 от других собственных значений и ни одно из T i i υ ω не мало, собственный вектор 1 ω , соответствующий собственному значению 1 λ , будет сравнительно нечувствителен к возмущениям в A . Это имеет место, например, для кососимметричных матриц ( ji ij a a = − ). T i i υ ω в некотором отношении взаимозависимы, что предотвращает возможность того, чтобы только одно 1 T i i υ ω , 1, , i n = … , было большим. Поэтому, если одна из них произвольно велика, они все произвольно велики. Однако желательно, чтобы они были малы, т. е. близки единице. Положим i ij j j c ω υ = ∑ и j ij j j d υ ω = ∑ , где 1 i i ω υ = = , 1, , i n = … . После подстановки легко убедиться, что T T ij j i j j c ω ω υ ω = и T T ij j i j j d υ υ υ ω = Тогда ( )( ) T T T T T i i ij j ij j j i j i j j j j j d c υ ω ω υ ω ω υ υ υ ω = = ∑ ∑ ∑ , для i j = 1 T T i i i i ω ω υ υ = = и ( ) ( )( )( ) 1 1 T T T T T i i i i j i j i j j j i υ ω υ ω ω ω υ υ υ ω − − ≠ = + ∑ Так как cos T j i ij ω ω θ = и cos T j i ij υ υ ϕ = , имеем ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 T T T T i i i j j j i i j i j i υ ω υ ω υ ω υ ω − − − − = = ≤ + ≤ + ∑ ∑ , что должно быть верным для всех 1, 2, , i n = … . Это доказывает, что все T i i υ ω долж- ны быть одного порядка. Теперь покажем, что для согласованных матриц ( ) 1 1 1 T υ ω − не может быть произ- вольно большим. В случае согласованности имеем ( ) 1 11 1 1 1 1 , , 1 1 n T n j i υ ω ω ω = = ∑ … , ( ) 1 11 1 , , T n ω ω ω = … Поэтому ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 11 1 11 1 1 1 1 1 1 , ,1 , , 1 1 n n T T n i i i i i n n υ ω ω ω ω ω ω ω − − − = = = = > ∑ ∑ … … , так как 1 1 1 1 1 n n i i i i n n ω ω = = < ∑ ∑ Теперь ( ) 1 1 1 T υ ω − принимает минимальное значение, когда все 1i ω равны, так как 1 1 1 n i i ω = = ∑ 180 Практически, для удерживания ( ) 1 1 1 T υ ω − вблизи минимума нужно оперировать с относительно сравнимыми объектами, такими, чтобы ни одна из из 1i ω не была слишком малой. Для улучшения согласованности число n не должно быть слишком большим. С другой стороны, если мы собираемся полностью использовать имеющуюся информа- цию и получить практически обоснованные результаты, n не следует брать слиш- ком малым. Например, если отбросить величины 1 1 0,1 T υ ω < , то нужно иметь 9 n ≤ При допущении малого числа сравниваемых объектов и их относительной срав- нимости можно показать, что ни одна из компонент векторов 1 ω и 1 υ не будет про- извольно малой и, следовательно, скалярное произведение двух нормализованных векторов не может быть произвольно малым. При большой несогласованности никто не может гарантировать, что ни одна из компонент 1 ω не будет произвольно малой. Поэтому близость к согласованности яв- ляется достаточным условием устойчивости. Отметим также, что следует ограничи- ваться сравнительно малым числом элементов, таким, чтобы величины всех 1i ω бы- ли одного порядка. Приведенные выше соображения свидетельствуют о том, что обратносимметрич- ные матрицы являются архитипичными матрицами, создающими в случае согласо- ванности устойчивые собственные векторы при малых возмущениях. Это позволяет сделать важный вывод: для гарантирования устойчивости оценки в основной шкале отношений, полученной из парных сравнений, разумно сопоставлять небольшое число относительно сравнимых элементов. В социальных науках к этому выводу уже давно пришли экспериментально. Ученые заметили, что число элементов должно быть 7 2 ± , однако соответствующим образом не осознали необходимость требова- ния относительной сравнимости [106]. Другим полезным выводом является следующее: если считать «объектами одной важности» объекты, не отличающиеся друг от друга по важности больше, чем в 10 раз, то шкала, используемая при парных сравнениях сопоставимых объектов, долж- на иметь деления, лежащие где-то между единицей и десятью, в противном случае будут сравниваться объекты, которые в большой степени несопоставимы по важно- сти. Это приведет к сравнительно малым значениям для некоторых из 1i ω и соответ- ственно к нарушению стабильности шкалы, т. е. изменение собственного вектора будет непредсказуемым даже при легких изменениях величин суждений в матрице сравнений. Формула Варгаса Определяя величину возмущения собственного вектора при некотором значении возмущения исходной матрицы, мой ученик Л. Варгас показал в своей диссертации [169], что если обратносимметричную матрицу A возмутить обратносимметричной матрицей P с использованием поэлементного (Адамара) произведения (которое обозначается A P ), то результирующая матрица будет обратносимметричной, а ве- личина возмущения ω ∆ главного собственного вектора ω матрицы A дается вы- ражением ( ) 1 , 1 y y ω ω ω − ∆ = < > − , где , < > – скалярное произведение двух векторов, а y ω – вектор поэлемент- ного произведения y на ω ; вектор y – главный собственный вектор матрицы 181 * E E P = , где E получена поэлементным делением элементов A на соответствую- щие элементы ( ) i j W ω ω = Пример 7.1. При изложении примера об освещенности стульев в гл. 2, согласно закону об- ратного квадрата в оптике для сравнительной освещенности стульев имели ( ) 0,6079; 0, 2188; 0,1108; 0,0623 . Приведенная ниже матрица A составлена из отно- шений этих величин, а матрица P является первой матрицей из гл. 2, являющейся возмущением A : 1 2,7 5, 4 9,76 0,36 1 1,97 3,51 0,18 0,51 1 1, 78 0,10 0, 28 0,56 1 A = , 1 5 6 7 0, 2 1 4 6 0,17 0, 25 1 4 0,14 0,17 0, 25 1 P = Собственный вектор A будет ( ) 0, 6079; 0, 2178; 0,1108; 0,0623 ω = и max 4 λ = . Соб- ственный вектор P будет до ( ) * 0, 6187; 0, 2353; 0,1009; 0,04507 ω = и max 4,391 λ = Матрица возмущения E получена поэлементным делением A на P : 1 1,80 1,09 0, 71 0,56 1 2,03 1, 71 0,91 0, 49 1 2, 25 1,39 0,58 0, 44 1 A = Собственный вектор E есть ( ) 0, 2730; 0, 2885; 0, 2444; 0,1941 y = , а max 4,391 λ = – такое же, что для P . Наконец, ( ) 0, 01076; 0, 01651; 0, 00985; 0, 01722 ω ∆ = − − . Легко проверить, что * ω ω ω + ∆ = |