Т. Саати Принятие решений. Т. саати принятие решений метод анализа иерархий

• Название: Т. саати принятие решений метод анализа иерархий
• Анкор: Т. Саати Принятие решений.pdf
• Дата: 09.05.2017
• Размер: 4.58 Mb.
• Имя файла: Т. Саати Принятие решений.pdf
• Тип: Документы; #7332
• Категория: Информатика. Вычислительная техника
• страница: 25 из 28

ПРИЛОЖЕНИЕ 2
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРАФОВ
Определения
Граф – это множество точек
V
, вершин или узлов, и множество простых кривых
E
, граней или ребер, связь которых с вершинами, называемыми его концевыми точ- ками, описывается определенным правилом. Говорят, что вершины инцидентны ребру. Открытое ребро инцидентно в точности двум различным вершинам. Замкну-
тое ребро (называемое петлей) инцидентно в точности одной вершине и, следова- тельно, его концевые точки совпадают. Ребра не имеют общих точек, за исключени- ем вершин.
На рис. П.1 1
v
и
2
v
– примеры вершин;
1
e
– петля, концевая точка которой –
5
v
;
2
e
– открытое ребро с концевыми точками
2
v
и
3
v
Рис. П.1
Рис. П.2

246
Рис. П.3
Два ребра с общей вершиной, или две вершины, являющиеся концевыми точка- ми ребра, называют смежными. Вершина является изолированной, если она не ин- цидентна никакому ребру. Обозначим граф следующим образом:
(
)
,
G
V E
=
Подграф графа
G
– это подмножество
1
V
множества вершин
V
и подмножество
1
E
множества ребер
E
с теми же связями между вершинами и ребрами, что и в
G
Граф называют простым, если он не имеет ни петель, ни параллельных ребер, т. е. кратных ребер между парами вершин. В основном будем рассматривать про- стые графы, но поскольку в определение графов введены петли и параллельные ребра, при рассмотрении непростых графов будем вносить ясность.
С каждым ребром можно ассоциировать направления или ориентацию, указан- ную стрелкой. Тогда граф называют направленным (ориентированным) графом и его ребра называют дугами (см. рис. П.2). Направленный граф обозначают так:
(
)
,
D
V A
=
Число ребер инцидентных вершине
v V
∈
называют степенью вершины и обо- значают
( )
d x
. Обозначим
( )
d v
−
число дуг, направленных к
v
, а
( )
d v
+
– число дуг, направленных от
v
. При определении степени инцидентная вершине петля счи- тается дважды. Для изолированной вершины имеем
( )
0
d v
=
Обозначим число вершин и число ребер графа
(
)
,
G
V E
=
через
V
и
E
соот- ветственно,
V
называют степенью графа. Граф на рис. П.З имеет
7
V
=
и
10
E
=
Граф называется конечным, если и
V
и
E
конечны, в противном случае – граф бесконечный. Рассматривать будем только конечные графы. Степень
1
v
графа на рис. П.З равна 5:
7
v
– изолированная вершина.
Легко показать, что в любом графе число вершин нечетной степени четно. Для этого отметим, что
( )
2
v V
d v
E
∈
=
∑
, так как каждое ребро считается дважды. Если обозначить через
0
V
и
e
V
множество вершин, имеющих нечётные и чётные степени соответственно, то получим этот результат, учитывая, что

247
( )
( )
0 2
e
v V
v V
v V
d v
d v
dv
E
∈
∈
∈
+
=
=
∑
∑
∑
, следовательно,
( )
e
v V
d v
∈
∑
– четное число. Это может быть только в том случае, если в сумму входит четное число членов.
Последовательность
n
ребер
1
,
,
n
e
e
…
в графе
G
называется маршрутом, если существует соответствующая последовательность
1
n
+
(не обязательно различных) вершин
0 1
, ,
,
n
v v
v
…
, таких, что
i
e
инцидентно
1
i
v
−
и
i
v
,
1,
,
i
n
= …
. Маршрут замкнут
(циклический), если
0
n
v
v
=
, в противном случае разомкнут. Если
i
j
e
e
≠
для всех
i
и
j
,
i
j
≠
, маршрут называют цепью. Замкнутая цепь называется циклом (конту-
ром). Если все вершины различны, маршрут называется простой цепью, в то время как при
0
n
v
v
=
и различных всех остальных вершинах имеем простой цикл при ус- ловии
3
n
≥
. Пример простой цепи дан последовательностью ребер
{
} (
) (
) (
) (
)
{
}
3 4
7 2
6 1
1 5
5 2
2 3
, , ,
,
,
,
,
,
,
,
e e e e
v v
v v
v v
v v
≡
на рис. П.1. Здесь каждое ребро в последовательности заменено парой вершин, ко- торые являются его концевыми точками, так как следуют друг за другом в маршруте
6 1
5 2
3
, , , ,
v v v v v
. Аналогичные определения могут быть даны для направленных гра- фов, если учитывать направление каждой дуги. Здесь речь идет о направленных
(ориентированных) маршрутах, путях и контурах, а также о простых путях и про-
стых контурах.
Граф называют связным (сильно связным) в ненаправленном (направленном) смысле, если существует простая цепь (путь) между любой парой вершин. Граф с
1
n
+
вершинами является
n
-связным, если после удаления
1
n
−
или менее вершин он остается связным. Две цепи называют параллельными, если у них нет общих вер- шин, за исключением их концевых точек.
Компонента
C
графа
G
– максимальный связный подграф (т. е. каждая верши- на, которая смежна вершине в
C
, также принадлежит
C
, и все ребра
G
инцидент- ные вершинам
C
, также принадлежат
C
).
Поддерево – это связный подграф, не имеющий циклов. Перекрывающее дерево
– это (максимальное) поддерево, которое содержит все вершины графа. Ребро гра- фа, не принадлежащее дереву, называют хордой. Ребро графа, принадлежащее де- реву, называют ветвью. Когда хорда добавляется к перекрывающему дереву, в ре- зультате получается цикл, который называется фундаментальным циклом. На рис. П.4 приводится перекрывающее дерево для направленного графа. Корень де- рева находится в вершине
0
v
, из которой начинаются все пути, существующие на дереве.
Рис. П.4

248
Рис. П.5
Рис. П.6
Специальный тип цикла в графе, важный для практических применений, назван в честь известного ирландского математика Уильяма Гамильтона (1805–1865). Мы называем цикл, который проходит через каждую вершину графа только однажды,
гамильтоновым циклом. В то же время отметим, что имя швей царского математика
Л. Эйлера (1707—1783) ассоциируется с эйлеровым графом, в котором ребра фор- мируют цепь с каждым ребром графа, включенным в цепь только однажды. Цепь может быть разомкнута или может образовать цикл.
Два графа
(
)
,
G
V E
=
и
(
)
,
G
V E
′
′ ′
=
изоморфны друг другу, если существует взаимно однозначное соответствие между
V
и
V ′
и между
E
а
E′
, сохраняющее инцидентность. Например, два графа, показанные на рис. П.5, изоморфны.
Простой граф
(
)
,
G
V E
=
, у которого
V
n
=
и любая пара вершин соединена ребром, называется полным графом для
n
-вершин. Легко убедиться, что полный граф имеет
(
)
1 2
n n
−
ребер. Так как любые два полных графа, имеющие одинако- вое число вершин, изоморфны, говорят о полном графе для
n
-вершин.
Граф называется двудольным, если его вершины могут быть так разделены на два непересекающихся множества, что ребра графа будут только соединять верши- ны одного множества с вершинами другого (см. рис. П.6).
Обсуждение
Важным элементарным понятием, связанным с графом
G
на
n
вершинах, явля- ется связность. По сути, большая часть алгоритмической теории графов имеет отно- шение к связности, ее избыточности и даже ее отсутствию в графе.
Граф не связан (или несвязный), когда множество вершин
V
может быть разде- лено на два множества
1
V
и
2
V
так, что нет ребра, соединяющего вершину в
1
V
с вершиной в
2
V
, в противном случае говорят, что граф связный. Хотя две вершины могут не быть прямо связанными ребром, оказывается возможно достижение одной из этих вершин из другой простой цепью. Если такая цепь, соединяющая любую па- ру вершин, имеется, то говорят, что граф связный. Иногда предпочитают примене-

249 ние первого определения, но чаще используется эквивалентное ему второе опреде- ление. В действительности второе определение намного богаче, так как охватывает целую область проблем достижимости графа или подграфов этого графа. Например, можно начать требовать большего. Можно ли начать с вершины и пройти по ребрам графа последовательно без повторения? Можно ли проделать это и закончить пере- мещение на начальной вершине? Можно ли, стартуя с вершины, пройти простую цепь через все вершины с возвращением или без возвращения к начальной верши- не? Можно ли проделать это, если рассматривать только подграфы
1
n
−
вершин?
Другой вопрос касается того, насколько велика связность графа. Имеются два пути исследования этой проблемы: через ребра графа и через его вершины. Граф можно сделать несвязным, убрав одновременно несколько ребер.
Минимальный набор из таких ребер известен как разрез, а наименьшее число ребер в разрезе называется степенью связности графа. Степень связности дерева равна единице. Ясно, что дерево – это наиболее слабый тип связного графа. С дру- гой стороны, если убрать из цикла ребро, то останется связный граф (фактически дерево).
В терминах реберной связности величину связности графа можно измерить через минимальное число цепей, связывающих любую пару вершин, или через сущест- вующие простые циклы различных размеров. Цепи и циклы, с одной стороны, и раз- резы – с другой, являются двумя дополнительными путями изучения связности и ее отсутствия. Даже вопросы планарности (построение графа на плоскости без пересе- чений ребер в точках, не являющихся вершинами) и непланарности графов относят- ся к связности. Уменьшая число ребер непланарного графа, его можно сделать пла- нарным.
Существуют два подхода к изучению того, как вершины разделяют граф. Первый ассоциируется с понятием степени вершины. Например, если в дереве с вершиной степени два исключить ее вместе с инцидентными ей ребрами, то оставшийся граф будет несвязным. С другой стороны, если граф является простым циклом и, следо- вательно, любая вершина имеет степень два, исключение вершины не превратит граф в несвязный. Представляется допустимым тот факт, что чем выше степени вершин, тем сильнее будет связность. Однако выражение такого типа слишком об- щее и нуждается в уточнении в контексте конкретной проблемы.
Вершина графа называется точкой артикуляции, или разделяющей вершиной, если ее исключение делает граф несвязным. Кратность разделяющей вершины – это число компонент, на которые распался граф после ее удаления. Может существо- вать более чем одна вершина, являющаяся точкой артикуляции. Например, на рис.
П.1 2
v
и
5
v
– точки артикуляции,
6
v
не является таковой. Набор точек артикуляции образует множество вершин артикуляции, которые в контексте коммуникационных сетей можно считать «узким местом» графа. Конечно, граф может не иметь точки артикуляции (такой граф называют несепарабельным), однако удаление одновре- менно
k
вершин делает его несвязным. Такое множество известно как множество
артикуляции степени
k
Граф
k
-связный,
0
k n
≤ ≤
, если удаление
1
k
−
или менее вершин не делает его несвязным. Любая пара вершин такого графа может быть соединена
k
параллель- ными цепями (из которых никакие две не имеют общих вершин). Граф, не имеющий множества артикуляции степени
k
, называется
k
-несводимым. В противном случае говорят, что граф
k
-сводимый.
До сих пор речь шла об общем ненаправленном графе. Вопросы связности не- сколько усложняются, если ребрам графа приписываются направления. Здесь граф может быть связным в ненаправленном смысле и может быть, но только слабо связ-
ным, в направленном смысле. Следовательно, возможен путь из одной вершины в

250 другую, но не наоборот, т. е. граф – не сильно связный. Ясно, что циклы играют важную роль в сильно связных графах.

251
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ackoff, R. L., S. K. Gupta and J. S. Minas: "Scientific Method," Wiley, 1962.
2. Alexander, Joyce, and T. L. Saaty: The Forward and Backward Processes of Conflict
Analysis, Behavioral Science, vol. 22, pp. 87-98, March 1977.
3. and
: Stability Analysis of the Forward-Backward Process, Behavioral
Science, vol. 22, pp. 375-382, November 1977.
4. Anderson, N. H.: Information Integration Theory: A Brief Survey, in D. H. Krantz,
R. C. Atkinson, R. D. Luce, and P. Suppes (Eds.) Contemporary Developments
in Mathematical Psychology, vol. II, Freeman, San Francisco, 1974.
5. Arrow, Kenneth J.: "Social Choice and Individual Values," Yale University Press, New
Haven and London, p. 28, 1970.
6. Ball, W. W. Rouse: "Mathematical Recreations and Essays," MacMillan, New York,
1947.
7. Batschelet, E.: "Mathematics for Life Scientists," Springer-Verlag, New York, 1973.
8. Bauer, Louis, H. B. Keller, and E. L. Reiss: Multiple Eigenvalues Lead to Secondary
Bifurcation, Siam Rev., vol. 17, no. 1. January 1975.
9. Baumol, W.: "Business Behavior, Value and Growth," MacMillan, New York, 1959.
10. Bell, R. and R. Wagner: "Political Power," Free Press, New York, 1969.
11. Bellman, R. E. and L. A. Zadeh: "Decision-Making in a Fuzzy Environment," Man-
agement Sci., vol. 17, 1970.
12. Berge, C: "Theory of Graphs and Its Applications," Wiley, New York, 1962.
13. Blum, M. L. and Naylor, J. C: "Industrial Psychology – Its Theoretical and Social
Foundations," Harper and Row, New York, 1968.
14. Bogart, Kenneth P.: Preference Structures I: Distances between Transitive Prefer- ence Relations, J. Math. Sociology, vol. 3, pp. 49-67, 1973.
15.
: Preference Structures II: Distances between Transitive Preference Rela- tions, (publication status unknown).
16. Bouteloup. Jacques: "L'Algebre Lineaire," Presses Universitaires de France, Paris,
1967.
17.
: "Calcul Matriciel Elementaire," Presses Universitaires de France, Paris,
1972.
18. Bronson, Gordon: The Hierarchical Organization of the Central Nervous System, in
"International Politics and Foreign Policy: A Reader in Research and Theory."
Rev. edn, James A. Rosenau (Ed.), Free Press, New York, 1969.
19. Buck, R. C. and D. L. Hull: The Logical Structure of the Linnaean Hierarchy, Sys-
tematic Zoology, vol. 15, pp. 97-111, 1966.
20. Carroll, J. Douglas: "Impact Scaling: Theory, Mathematical Model, and Estimation
Procedures, " Bell Laboratories, Murray Hill, New Jersey, 1977.
21. Chipman, J.: The Foundations of Utility, Econometrica, vol. 28, no. 2, 1960.
22. Churchman, C. West and Philburn Ratoosh (Eds.): "Measurement – Definitions and
Theories," Wiley, New York, 1959.
23. and H. B. Eisenberg: Deliberation and Judgment, Chapter 3, in M. W. Shel- ley II and G. L. Bryan (Eds.), "Human Judgments and Optimally," Wiley, New
York, 1969.
24. Cliff, N.: Complete Orders from Incomplete Data: Interactive Ordering and Tailored
Testing, Psychological Bull., vol. 82. no. 2, pp. 289-302, 1975.
25. Cogan, E. J., J. G. Kemeny, R. Z. Norman, J. L. Snell, and G. L. Thompson: "Modern
Mathematical Methods and Models," vol. II, Committee on the Undergraduate
Program, Mathematical Association of America, 1959.
26. Coombs, Clyde H.: "A Theory of Data," Wiley, New York, 1964.

252 27. David, H. A.: "The Method of Paired Comparisons," Griffin, London, 1969.
28. Dobson, Ricardo, T. F. Golob, and R. L. Gustafson: Multidimensional Scaling of Con- sumer Preferences for a Public Transportation System: An Application of Two
Approaches, Socio-Economic Planning Science, vol. 8, pp. 23-36, 1974.
29. Duimage, A. L. and N. S. Mendelsohn: Graphs and Matrices, "Graph Theory and
Theoretical Physics," Frank Harary (Ed.), Academic, pp. 167-227. New York,
1967.
30. Dyer, J. S.: An Empirical Investigation of a Man-Machine Interactive Approach to the
Solution of the Multiple Criteria Problem, in "Multiple Criteria Decision Making,"
Cochrane James L., and Milan Zeleny, University of South Carolina Press, Co- lumbia, S.C., 1973.
31. Eckart, Carl and Gale Young: The Approximation of One Matrix by Another of Lower
Rank, Psychometrika, vol. 1, r.o. 3, pp. 211-217, September 1936.
32. Eckenrode, R. T.: Weighting Multiple Criteria, Management Sci., vol. 12. no. 3, pp. 180-192, November 1965.
33. Eisler, Hannes: The Connection Between Magnitude and Discrimination Scales and
Direct and Indirect Scaling Methods, Psychometrika, vol. 30, no. 3. pp. 271-
289, September 1965.
34. Emshoff, J. R. and T. L. Saaty: Prioritized Hierarchies as a Vehicle for Long Range
Planning. May 1978 (to appear)
35. Encarnation, J.: A Note on Lexicographical Preferences, Econometrica, vol. 32, no. 1-2, 1964.
36. Farquhar, Peter H.: A Survey of Multiattribute Utility Theory and Applications, Stud-
ies in the Management Sciences, vol. 6, North-Holland Publishing, Amsterdam, pp. 59-89, 1977.
37. Fechner, G.: "Elements of Psychophysics," vol. 2, translated by Helmut E. Adler,
Holt, Rinehart and Winston, New York, 1966.
38. Feller, W.: "An Introduction to Probability Theory and Its Applications," Wiley, New
York, 1950.
39. Feraro, T.: "Introduction to Mathematical Sociology," Wiley, 1973.
40. Fishburn, P. C: "Decision and Value Theory," Wiley, New York, 1964.
41.
: Independence in Utility Theory with Whole Product Set, Operations Re-
search, vol. 13, pp. 28-45, 1965.
42.
: Additive Utilities with Incomplete Product Set: Applications to Priorities and
Assignments, Operations Research, 1967a.
43.
: Methods of Estimating Additive Utilities, Management Sci., vol. 13, no. 7, pp 435-453, 1967b.
44.
: Arrow's Impossibility Theorem: Concise Proof and Infinite Voters, J. Econ.
Theory, vol. 2. pp. 103-106, 1970.
45.
: "Utility Theory for Decision Making," Wiley, New York, 1972.
46.
: "Lexicographic Orders, Utilities and Decision Rules: A Survey," July 1974.
47. Fitz, .Raymond and Joanne Troha: "Interpretive Structural Modeling and Urban
Planning," University of Dayton, 1977.
48. Franklin, Joel N.: "Matrix Theory," Prentice-Hall. Englewood Cliffs, N.J., 1968.
49. Frazer, R. A., W. J. Duncan, and A. R. Collar: "Elementary Matrices and some Appli- cations to Dynamics and Differential Equations," Cambridge University Press,
1955.
50. Frobenius, G.: Uber Matrizcn aus nicht negativen Elementen, Sitzber. Akad. Wiss.
Berlin, Phys. Math. Kl., pp. 456-477, 1912.
51. Gal, T. and J. Nedoma: Multiparametric Linear Programming, Management Sci., vol. 18, no. 7, 1972.

253 52. Gale, David: "The Theory of Linear Economic Models." McGraw-Hill, New York. 1960.
53. Gantmacher. F. R.: "Applications of the Theory of Matrices," lnterscience, New York,
1960.
54. Gardner, Martin: The hierarchy of Infinites and the Problems it Spawns, Scientific
American, vol. 214, pp. 112-118, March 1966 55. Geoffrion, A. M., J. S. Dyer, and A. Feinberg: An Interactive Approach for Multicrite- rion Optimization with an Application to the Operation of an Academic Depart- ment, Management Sci., vol. 19, no. 4. 1972.
56. Gillett, J. R.: The Football League Eigenvector. Eureka, October 1970.
57. Green, P. and F. Carmone, "Multidimensional Scaling and Related Techniques in
Marketing Analysis," Allyn and Bacon, Boston, 1970/
58. and Yoram Wind: "Multiattribute Decision in Marketing," Dryden, Hins- dale, III., 1973.
59. Guilford, J. P.: The Method of Paired Comparisons as a Psychometric Method, Psy-
chological Rev., vol. 35, pp. 494-506. 1928.
60. Guttman, Louis: The Principal Components of Scalable Attitudes, in " Mathematical
Thinking in the Social Sciences," Paul F. Lazarsfeld (Ed.), pp. 216-257, Russell and Russell, New York, 1969.
61. Hammond, K. R. and D. A. Summers: Cognitive Dependence on Linear and Nonlin- ear Cues, Psychological Rev., vol. 72, no. 3, pp. 215-224. 1965.
62. Harris, E. E.: Wholeness and Hierarchy, Chapter 7 in Foundations of Metaphysics in
Science, Humanities Press, New York, 1965.
63. Herbst, Ph. G.: "Alternatives to Hierarchies," H. E. Stenfert Kroese b.v., Leiden,
Netherlands, 1976.
64. Hildebrand, F. B.: "Methods of Applied Mathematics," Prentice-Hail Englewood Cliffs,
N. J., 1952.
65. Hill, J. Douglas and John N. Warfield: Unified Program Planning, IEEE Transactions
on Systems, Man, and Cybernetics, vol. SMC-2, no. 5, pp. 610-621, November
1972.
66. Hirsch, G.: Logical Foundation, Analysis and Development of Multicriterion Methods,
Ph.D. Thesis, Operations Research, University of Pennsylvania, 1976.
67. Hotelling, H.: Analysis of a Complex of Statistical Variables into Principal Compo- nents, J. Ed. Psychology, vol. 24, pp. 417-141, 498-520, 1933.
68. Huber, George P.: Multi-Attribute Utility Models: A Review of Field and Field-Like
Studies, Management Sci., vol. 20, no. 10, June 1974.
69. Intriligator, Michael D.: A Probabilistic Model of Social Choice, Rev. of Economic
Studies, vol. XL, pp. 553-560, October 1973.
70. Isaacson, Dean L. and Richard W. Madsen: "Markov Chains. Theory and Applica- tions," a volume in the Series in Probability and Mathematical Statistics; Prob- ability and Mathematical Section, Wiley, New York, 1976.
71. Johnson, Charles R., Theodore Wang, and William Beine: A Note on Right-Left
Asymmetry in an Eigenvector Ranking Scheme, J. Math. Psychology, January
1979.
72. Johnson, Richard M.: "On a Theorem Stated by Eckart and Young," Psychometrika, vol. 28, no. 3, pp. 259-263, September 1963.
73. Johnson, Stephen C: Hierarchical Clustering Schemes, Psychometrika, vol. 32, pp. 241-254, September 1967.
74. Julien, Pierre-Andre, P. Lamonde, and D. Latouche: "La Methode Des Scenarios,"
University of Quebec and Ministere D'Etat Sciences et Technologie, Quebec,
Canada. 1974.
75. Kahneman, Daniel and Amos Tversky: Subjective Probability: A Judgment of Repre- sentativeness, Cognitive Psychology, vol. 3, pp. 430-454, 1972.

254 76. and
: Prospect Theory: An Analysis of Decision Under Risk, Economet-
rica, in publication.
77. Keeney, Ralph L.: Decision Analysis with Multiple Objectives: The Mexico City Air- port, Bell J. Econ. Management Sci., Spring 1973.
78. and Craig W. Kirkwood: Group Decision Making Using Cardinal Social Welfare
Functions, Management Sci., vol. 22, no. 4, December 1975.
79. and h. Raiffa: "Decisions with Multiple Objectives: Preference and Value
Tradeoffs," Wiley, New York, 1976.
80. Keller, J. B.: Miscellanea, Factorization of Matrices by Least-Squares, Biometrika, vol. 49, pp. 1-2, 1962.
81. Kemeny, John G. and J. Laurie Snell: "Mathematical Models in the Social Sciences,"
Blaisdell, New York, 1962.
82. Klee, A. J.: The Role of Decision Models in the Evaluation of Competing Environ- mental Health Alternatives, Management Sci., vol. 18, no. 2, 53-67, October,
1971.
83. Knorr, K.: Power and Wealth, Basic Books, New York, 1973.
84. Koestler, Arthur and J. R. Smythies (Eds.): "Beyond Reductionism: New Perspec- tives in the Life of the Sciences," MacMillan, London, 1970.
85. Krantz, David H., R. Duncan Luce, Patrick Suppes, and Amos Tversky, "Foundations of Measurement," vol. 1, Academic, New York, 1971.
86.
: A Theory of Magnitude Estimation and Cross-Modality Matching, J. Math.
Psychology, vol. 9, no. 2, pp. 168-199, May 1972.
87.
: Fundamental Measurement of Force and Newton’s First and Second Laws of
Motion, Philos. Sci., vol. 40, no. 4, pp. 481-495, December 1973.
88. Kruskal, J. B.: Multidimensional Scaling by Optimizing Goodness of Fit to a Nonmet- ric, Hypothesis, Psychometrika, vol. 29, no. 1, 1964.
89.
: Nonmetric Multidimensional Scaling: A Numerical Method, Psychometrika, vol. 29, no. 2, 1964.
90.
: "How to Use MDSCAL, a Multidimensional Scaling Program," The Bell Tele- phone Lab. Inc., Murray Hill, N.J., 1967.
91. Kunreuther, H. and Paul Slovic: Economics, Psychology, and Protective Behavior,
Amer. Econ. Rev., vol. 68, November 1978.
92. Lindgren, B. W.: Elements of Decision Theory, Macmillan, New York, 1971.
93. Linstone, H. A. and Murray Turoff, "The Delphi Method: Techniques," Addison-
Wesley, Reading, Ma., 1975.
94. Lootsma, F. A..;" Saaty's Priority Theory and the Nomination of a Senior Professor in
Operations Research," University of Technology, Delft, Holland, 1978.
95. Luce, R. D. and P. Suppes: Preference, Utility and Subjective Probability, in Hand-
book of Mathematical Psychology, vol. III, 1964.
96. MacCrimmon, K. R.: An Overview of Multiple Objective Decision Making, in "Multiple
Criteria Decision Making," Cochrane, James L., and Milan Zeleny (Eds), Univer- sity of South Carolina Press, Columbia S.C., 1973.
97. Malone, David W.: An Introduction to the Application of Interpretive Structural Mod- eling, Proc. IEEE, vol. 63, no. 3, pp. 397-404, 1975.
98. Manheim, .Marvin L.: Hierarchical Structure: A Model of Planning and Design Proc-
esses, The M.I.T., Cambridge, Mass., p. 222, 1966.
99. Marcus, Marvin and Henryk Minc: "A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequali- ties," Allyn and Bacon, Boston, 1964.
100. Marshall, C. W.: Applied Graph Theory, Wiley-Interscience, New York, 1971.
101. May, Kenneth Q.: Intransitivity, Utility, and the Aggregation of Preference Patterns,
Econometrica, vol. 22, no. 1, January 1954.

255 102. McCracken, R. F.: "Multidimensional Scaling and the Measurement of Consumer Per- ception," University of Pennsylvania (Thesis) 1967.
103. McNeil, D. R. and J. W. Tukey: Higher-Order Diagnosis of Two-Way Tables, Illus- trated on Two Sets of Demographic Empirical Distributions, Biometrics, vol. 31, no. 2, June 1975.
104. Mesarovic, M. D. and D. Macko: Scientific Theory of Hierarchical Systems, in "Hier- archical Structures," L. L. White, A. G. Wilson, and D. Wilson (Eds.). American
Elsevier, New York, 1969.
105.
,
,and Y. Takahara: "Theory of Hierarchical Multilevel Systems," Aca- demic, New York, 1970.
106. Miller, G. A.: The Magical Number Seven Plus or Minus Two: Some Limits on our
Capacity for Processing Information, Psychological Rev., vol. 63, pp. 81-97,
March 1956.
107. Moreno, J. L.: "Fondements de la Sociometrie," translated by Lesage-Maucorps,
Presses Universitaires de France, Paris, 1954.
108. Moreney, M. J.: "Facts from Figures," Penguin, Baltimore, 1968.
109. Morris, Peter C.: Weighting Inconsistent Judgments, Pi Mu Epsilon J., 1979.
110. Nikaido, H.: "Introduction to Sets and Mappings in Modern Economics," North-
Holland, Amsterdam/American Elsevier, New York. 1970.
111. Patee, H. H.: The Problem of Biological Hierarchy, in Towards a Theoretical Biology, vol. III, C. H. Waddington (Ed.), Edinburgh University Press, 1969.
112.
(Ed.): "Hierarchy Theory, the Challenge of Complex Systems," George Bra- ziller, New York, 1973.
113. Perlis, Sam: "Theory of Matrices." Addison-Wesley, Reading, Ma., 1952.
114. Perron, O.: Zur Theorie der Matrices, Math. Ann., vol. 64, pp. 248-263. 1907.
115. Pinski, Gabriel and Francis Narin: Citation Influence for Journal Aggregates of Scien- tific Publications: Theory, with Application to the Literature of Physics, Informa-
tion Processing and Management, vol. 12, Pergamon, Oxford, pp. 297-312.
1976.
116. Proceedings of the IEEE, Special Issue on Social Systems Engineering, Chapter 2,
"Binary Matrices in System Modeling," March 1975.
117. Rabinovitch, I.: "The Dimension Theory of Semiorders and Interval Orders," Ph.D.
Thesis, Dartmouth College, June 1973.
118. Rivett, Patrick: Policy Selection by Structural Mapping. Proc. R. Soc. Lond., vol. 354, pp. 407-423, 1977.
119. Rosen, Robert: Hierarchical Organization in Automata Theoretic Models of Biological
Systems, in Hierarchy Theory: the Challenge of Complex Systems, Howard
H. Pattee (Ed), Braziller, New York, 1973.
120. Rosenblatt, M.: "Random Processes," Oxford University Press, New York, 1962.
121. Russell, Bertrand: A History of Western Philosophy, Simon & Schuster, New York,
1945.
122. Saaty, Thomas L.: "An Eigenvalue Allocation Model for Prioritization and Planning,"
Energy Management and Policy Center, University of Pennsylvania, 1972.
1977b. See also "Facing Tomorrow's Terrorist Incident Today," U.S. Depart- ment of Justice, LEAA, Wash. D.C. 20531, 28-31, 1977.
123. and Reynaldo S. Mariano: Rationing Energy to Industries; Priorities and In- put-Output Dependence, Energy Systems and Policy, January, 1979.
124. and Paul C. Rogers: Higher Education in the United Sates (1985-2000): Sce- nario Construction Using a Hierarchical Framework with Eigenvector Weighting,
Socio-Econ. Plan. Sci., vol. 10, pp. 251-263, 1976.

256 125. and Luis Vargas: "A Note on Estimating Technological Coefficients by Hierar- chical Measurement," Socio-Econ. Plan. Sci., vol. 13, no. 6, 333-336, 1979.
126. Sankaranarayanan, A.: "On a Group Theoretical Connection Among the Physical Hi- erarchies, " Research Communication No. 96, Douglas Advanced Research
Laboratories, Huntingdon Beach, California. 1978.
127. Savage, C. Wade: Introspectionist and Behaviorist Interpretations, of Ratio Scales of Perceptual Magnitudes, Psychological Monographs: General and Applied, vol. 80, no. 19, whole no. 627, 1966.
128. Schoemaker, P. J. H. and C. C. Waid: "A Comparison of Several Methods for Con- structing Additive Representations of Muiti-Attribute Preferences," Wharton Ap- plied Research Center, University of Philadelphia, August 1978.
129. Scott, Dana: Measurement Structures and Linear Inequalities, J. Math. Psychology, vol. 1, pp. 233-247, 1964.
130. Shepard, R. N.: The Analysis of Proximities: Multidimensional Scaling with an Un- known Distance Function, Psychometrika, vol. 27, 1962.
131.
: Analysis of Proximities as a Technique for the Study of Information Proc- essing in Man, Human Factors, no. 5, 1963.
132.
: A Taxonomy of Some Principal Types of Data and of Multidimensional Meth- ods for their Analysis, Multidimensional Scaling: Theory and Applications in the
Behavioral Sciences,
133.
: "Measuring the Fuzziness of Sets," J. Cybernetics, vol. 4, no. 4, pp. 53-61,
1974.
134.
: "Hierarchies and Priorities–Eigenvalue Analysis." University of Pennsyl- vania, 1975.
135.
: Hierarchies, Reciprocal Matrices, and Ratio Scales, Modules in Applied
Mathematics, Cornell University, The Mathematical Association of America,
1976a.
136.
: Interaction and Impacts in Hierarchical Systems, Proceedings of the Work-
shop on Decision Information for Tactical Command and Control, Robert M.
Thrall and Associates, Rice University, Houston, pp. 54-102, 1976b.
137.
: Theory of Measurement of Impacts and Interactions in Systems, Proceed-
ings of the International Conference on Applied General Systems Research: Re-
cent Developments and Trends, Binghamton, New York, 1977a.
138.
: A Scaling Method for Priorities in Hierarchical Structures, J. Math. Psychol-
ogy, vol. 15, no. 3, pp. 234-281, June 1977b.
139.
: Scenarios and Priorities in Transport Planning: Application to the Sudan,
Transportation Research, vol. 11, no. 5, October 1977c.
140.
: The Sudan Transport Study, Interfaces, vol. 8, no. 1, pp. 37-57, 1977d.
141.
: "The Faculty Tenure Problem–Determination of Requirements," in publica- tion, with Anand Desai, 1977e.
142.
: "A New Paradigm for Queueing and Its Application," in publication, with
J. J. Dougherty III, 1977f.
143.
: Exploring the Interface Between Hierarchies, Multiple Objectives and Fuzzy
Sets, Fuzzy Sets and Systems, January 1978.

257 144.
: Modeling Unstructured Decision Problems: Theory of Analytical Hierarchies,
Mathematics and Computers in Simulation, vol. 20, no. 3, pp. 147-157, Sep- tember 1978. Also appeared in Proceedings of the First International Confer-
ence on Mathematical Modeling, University of Missouri-Rolla, vol. 1, pp. 59-77,
1977g.
145. and J. P. Bennett: A Theory of Analytical Hierarchies Applied to Political Can- didacy, Behavioral Science, vol. 22, pp. 237-245, July 1977a.
146. and
: "Terrorism: Patterns for Negotiations; Three Case Studies
Through Hierarchies and Holarchies," Study for the Arms Control and Disarma- ment Agency, 208 pp. vol. 1, R. N. Shephard (Ed.), Seminar Press, New York,
1972.
147.
, A. Kimball Romney, and Sara Beth Nerlove (Eds.): "Multidimensional Scal- ing, Theory and Applications in the Behavioral Sciences," Vol. 1. Seminar Press,
New York, 1972.
148. Shinn, A.: An Application of Psychophysical Scaling to the Measurement of National
Power. J. Politics, vol. 31, pp. 132-951, 1969.
149. Simon, H. A. The Architecture of Complexity, Proc. Amer. Philosophical Soc., vol. 106, pp. 467-481, December 1962.
150. and A. Ando: Aggregation of Variables in Dynamic Systems, Econometrica, vol. 29, no 2, pp. 111-138. April 1961.
151. Sluckin, W.: Combining Criteria of Occupational Success, Occupational Psychology,
Part I, vol. 30, pp. 20-26, 1956, and Part II, vol. 30, pp. 57-67, 1956.
152. Srinivasan. V. and A. D. Shocker: Linear Programming Techniques for Multidimen- sional Analysis of Preferences, Psychometrika, vol. 38, pp. 337-369, 1973.
153. Stevens. S. S. On the Psychophysical Law, Psychological Reviews, vol. 64, pp. 163-181, 1957.
154.
: Measurement, Psychophysics, and Utility, in "Measurement. Definitions and
Theories," C. W. Churchman and P. Ratoosh (Eds.), Wiley, New York, 1959.
155.
: To Honor Fechner and Repeal His Law, Science, vol. 13. 13 January 1961.
156. and E. Gaianter: Ratio Scales and Category Scales for a Dozen Perceptual
Continua, J. Experimental Psychology, vol. 54, pp. 377-411. 1964.
157. Stewart, G. W.: Error and Perturbation Bounds for Subspaces Associated with Cer- tain Eigenvalue Problems, SIAM Review, vol. 15, no 4, pp. 727-764, October
1973.
158.
: Gershgorin Theory for the Generalized Eigenvalue Problem, Mathematics of
Computation, vol. 29, no. 130. pp. 600-606, April 1975.
159. Stoessinger, J. G. "The Might of Nations," Random House, New York, 1965.
160. Suppes, P. and J. L. Zinnes: "Basic Measurement Theory," Handbook of Mathemati-
cal Psychology, vol. 1, 1963.
161. Sutherland, John W.: "Systems: Analysis. Administration, and Architecture," Van
Nostrand Reinhold, New York, 1975.
162. Thurstone, L. L.: A Law of Comparative Judgment, Psychological Review, vol. 34 pp. 273-286, 1927.
163. Torgerson, Warren S.: Theory and Methods of Scaling, New York. 1958.
164. Tucker, Ledyard R.: Determination of Parameters of a Functional Relation by Factor
Analysis, Psychometrika, vol. 23, no. 1, pp. 19-23, March 1958.
165. Tversky, Amos: A General Theory of Polynomial Conjoint Measurement J. Math. Psy-
chology, vol. 4, pp. 1-20, 1967.

258 166. and D. Kahneman: Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases, Sci-
ence, vol. 185, pp. 1124-1131, 27 September 1974.
167. Van der Waerden, B. L.: Hamilton's Discovery of Quaternions. Mathematics Maga-
zine, vol. 48, no. 5, pp. 227-234, November 1976.
168. Vargas, L.: Note on the Eigenvalue Consistency Index, 1978.
169.
: "Sensitivity Analysis of Reciprocal Matrices," Chapter 3 in Ph.D. disserta- tion. The Wharton School, University of Pennsylvania, 1979.
170. Waid, Carter: "On the Spectral Radius of Non-negative Matrices," (to appear).
171. Waller, Robert J.: The Synthesis of Hierarchical Structures: Technique and Applica- tions. Decision Sciences, vol. 7, no. 4, pp. 659-674, October 1976.
172. Warfield, John N.: On Arranging Elements of a Hierarchy in Graphic Form, IEEE
Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, vol. SMC-3, no. 2, pp. 121-140. March 1973.
173.
: Developing Subsystem Matrices in Structural Modeling. IEEE Transactions
on Systems, Man, and Cybernetics, vol. SMC-4, no. 1, pp. 74-80, January
1974a.
174.
: Developing Interconnection Matrices in Structural Modeling, IEEE Transac-
tions on Systems, Man, and Cybernetics, vol. SMC-4, no. 1. pp. 81-87, January
1974b.
175.
: "Societal Systems: Planning, Policy and Complexity," Wiley, New York,
1976.
176. Wei, T. H.: "The Algebraic Foundations of Ranking Theory," Thesis, Cambridge,
Mass., 1952.
177. Weiss, Paul A.: "Hierarchically Organized Systems in Theory and Practice," Hafner,
New York, 1971.
178. Weyl, H.: Chemical Valence and the Hierarchy of Structures, Appendix D in "Phi- losophy of Mathematics and Natural Science," Princeton University Press, N.J.,
1949.
179. Whyte, L. L.: Organic Structural Hierarchies, in "Unity and Diversity in Systems, "
Essays in honor of L. von Bertalanffy, R. G. Jones and G. Brandl (Eds.), Bra- ziller, New York, 1969.
180.
: The Structural Hierarchy in Organisms, "Unity and Diversity in Systems,"
Essays in honor of L. von Bertalanffy, R. G. Jones and G. Brandl (Eds.), Bra- ziller, New York, (in press).
181.
, A. G. Wilson, and D. Wilson (Eds.): "Hierarchical Structures," American El- sevier, New York, 1969.
182. Wielandt, H.: Unzerlegbare, nicht negative mairizen, Mathematische Zeitschrift, vol. 52, pp. 642-648, 1950.
183. Wigand, Rolf T. and George A. Barnett: Multidimensional Scaling of Cultural Proc- esses: The Case of Mexico, South Africa and the United States, International
and Intercultural Communication Annual, vol. III. pp. 140-172, 1976.
184. Wilf, Herbert S.: "Mathematics for the Physical Sciences," Wiley, New York, London,
1962.
185. Wilkinson, J. H.: "The Algebraic Eigenvalue Problem," Clarendon Press, Oxford,
1965.
186. Williamson, R. E. and H. F. Trotter: "Multivariable Mathematics," Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, N.J., 1974.
187. Wilson, A. G.: Hierarchical Structure in the Cosmos, in Hierarchical Structures,
Proc., American Elsevier, New York. 1969.
188. Woodall, D. R.: A Criticism of the Football League Eigenvector, Eureka, October
1971.

259 189. Yu, P. L.: "A Class of Solutions for Group Decision Problems," Center for System
Science, University of Rochester, New York, 1972a.
190.
: "Cone Convexity, Cone Extreme Points and Nondominated Solutions in De- cision Problems with Multiobjectives," University of Rochester, New York,
1972b.
191. and M. Zeleny: "The Set of all Nondominated Solutions in the Linear Case and a Multicriteria Simplex Method," University of Rochester, New York, 1973.
192. Zeleny, M.: Linear Multiobjective Programming, Ph.D. thesis, University of Roches- ter, New York, 1972.
193.
: On the Inadequacy of the Regression Paradigm Used in the Study of Hu- man Judgment, Theory and Decision, vol. 7, pp. 57-65, 1976.

260