Т. Саати Принятие решений. Т. саати принятие решений метод анализа иерархий
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
Список работ, переведенных на русский язык 11. Беллман Р., Заде Л. А. Принятие решений в расплывчатых условиях//Вопросы анализа и процедуры принятия решений. – М.: Мир. 1976. – С. 172-215. 12. Берж К. Теория графов и ее применения/Пер. с франц. под ред. И. А. Вайн- штейна. – М.: ИЛ, 1962. – 319 с. 27. Дэвид Г. Метод парных сравнении./Пер. с англ. под ред. Ю. Адлера. – М.: Ста- тистика, 1978. – 114 с. 38. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах/Пер. с англ. под ред. А. Н. Колмогорова. – 3-е изд. – М.: Мир, 1984. – Т. 1-2. 45. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений/Пер. с англ. под ред. Н. Н. Воробьева. – М.: Наука. 1978. – 352 с. 52. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей/Пер. с англ. под ред. Н. Н. Воробьева. – М.: ИЛ, 1963. – 418 с. 53. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. Ч. II. Специальные вопросы и приложения. – М.: Наука, 1966. – 576 с. 55. Джоффрион А., Дайер Дж., Файнберг А. Решение задач оптимизации при многих критериях на основе человеко-машинных процедур//Вопросы анализа и процедуры принятия решений. – М.: Мир, 1976. – С. 116–127. 79. Кини Р. Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1981. – 560 с. 81. Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование. Некоторые прило- жения/Пер. с англ. под ред. И. Б. Гутчина. – М.: Сов. радио, 1972. – 192 с. 99. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств/Пер. с англ. под ред. В. Б. Лидского. – М.: Наука, 1972. – 232 с. 105. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем/Пер. с англ. под ред. И. Ф. Шахнова. – М.: Мир, 1973.— 344 с. 121. Рассел Б. История западной философии/Пер. с англ. под ред. В. Ф. Асмуса. – М.: ИЛ, 1959. – 935 с. 160. Суппес П., Зинес Дж. Основы теории измерений. – В кн.: Психологические измерения/Пер. с англ. под ред. Л. Д. Мешалкина. – М.: Мир, 1967. – С. 9-110. 185. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений: Пер. с англ. – М.: Наука, 1979. – 564 с. 261 ДОПОЛНЕНИЕ Т. СААТИ ЗАМЕНА ИНТЕРВАЛЬНОЙ ШКАЛЫ НА ШКАЛУ ОТНОШЕНИЙ В ПРИМЕРЕ РАЗВИТИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ В США 1 В разд. 6.7 для описания развития высшего образования в США на период 1985– 2000 гг. использованы семь взвешенных сценариев и обобщенный сценарий, взятые из статьи Т. Саати и П. Роджерса [124]. В этой работе введены три основных этапа. Во-первых, разработка иерархической структуры факторов, акторов и их целей, влияющих на семь возможных сценариев. Затем получение с помощью МАИ весов сценариев. Во-вторых, градуировка рассматриваемых характеристик (переменных состоя- ния) в целых числах между –5 и +5 (в разд. 6.7 градуировка произведена в диапа- зоне –8… +8). Положительные целые числа используются для воспроизведения раз- личных степеней «возрастания» или «больше, чем в настоящее время», а отрица- тельные – для воспроизведения различных степенен «уменьшения» или «меньше, чем в настоящее время». В-третьих, обобщение значений характеристик с использованием «весов сцена- риев» для получения весов обобщенного сценария, с помощью которых описывается будущее высшего образования в США (см. табл. Д.1). Попытаемся заменить на втором этапе интервальную шкалу от –5 до +5 на МАИ. Мотивацией здесь служит не только показ возможности использования МАИ вместо интервальной шкалы, но и демонстрация того, что МАИ совпадает с поведенческим образом мышления человека при принятии решений. В данном случае первый и третий этапы не меняются. На втором этапе применя- ем МАИ следующим образом: 1. Возьмем семь сценариев в качестве «альтернатив» и каждую характеристику как «критерий» и затем сформируем иерархию для каждой характеристики. Напри- мер, для «числа студентов» имеем следующую иерархию. 1 Здесь, в отличие от текста разд. 6.6 автор применяет термин «интервальная шкала», имея в виду со- держательную сторону характеристики. Действительно, при допустимом преобразовании интервальной шкалы фиксируется как нулевая точка шкалы (шкала разностей), так и единица измерений. – Прим. перев. 262 Таблица Д.1 Веса сценариев 0,096 1 0,259 2 0,191 3 0,174 4 0,122 5 0,068 6 0,081 7 Обобщён- ные веса Переменные состояния Проек- ция Навыки Все Элита Власти Техника Обуче- ние Студенты Число –2 +2 +4 –3 –1 +2 –2 0,42 Тип –1 –2 –2 +3 –1 –2 –1 –1,00 Функции +1 –1 –1 +1 0 –1 +2 0,03 Работа +1 +4 +4 +4 +1 –2 +1 1,32 Преподаватели Число –2 +2 +4 –3 –1 –5 –4 –0,22 Тип +1 0 –2 +3 +1 +2 –3 0,25 Функции –2 –3 –2 +1 –2 –5 –5 –2,12 Обеспеченность работой –2 +1 +2 –3 –1 –4 –4 –0,79 Академическая свобода 0 –2 0 +2 –1 –4 –5 –0,97 Учебные заведения Число –1 +2 +2 –3 –1 –4 –1 –0,19 Тип –1 –4 –3 +3 –1 –3 –3 –1,75 Управляющая структура +2 +4 +1 –2 +2 +5 +5 2,05 Эффективность +2 +3 –2 +4 –1 –1 0 1,09 Доступность 0 +2 +5 –3 +2 +4 +1 1,55 Культура и досуг 0 –2 +3 +3 +1 –3 –1 0,41 Денежные средства и другие ресурсы –1 +2 +2 –2 0 –1 –3 0,64 Образование Учебная программа +1 –2 +2 +3 +1 0 –1 0,50 Продолжительность обучения 0 –3 +2 0 +1 +2 0 –0,14 Значимость учебной степени –1 0 –2 +4 –1 –2 –2 –0,20 Стоимость обучения +3 +3 +3 +4 +2 –1 –1 2,43 Исследования, проводимые преподавателями +1 –1 –1 +3 +1 –3 –4 –0,24 Затем для каждой пары сценариев (альтернатив) задаем вопрос: При каком из сценариев будет больше студентов в будущем и насколько? Вычислив собственные векторы матриц попарных сравнений, получим веса этих семи сценариев по отно- шению к каждой характеристике. Эти результаты даны в табл. Д.2. 2. Для использования данных табл. Д.1 произведем следующее преобразование с целью получения парных сравнений в шкале 1–9. Пусть i S – заданное значение i -го сценария по любой из характеристик. Тогда i j S S − 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i j S S > 1 2 3 4 4 5 6 6 7 8 9 Значения парных сравнений i j S S i j S S < 1 1/2 1/3 1/4 1/4 1/5 1/6 1/6 1/7 1/8 1/9 263 Таблица Д.2 Веса сценариев 0,096 0,259 0,191 0,174 0,122 0,068 0,081 Обобщён- ные веса Обобщён- ные ве- са/веса статус-кво Переменные состояния Проек- ция Навы- ки Все Элита Власти Техни- ка Обуче- ние Студенты Число 0,052 0,198 0,378 0,035 0,079 0,198 0,052 0,164 1,312 Тип 0,130 0,073 0,045 0,420 0,130 0,073 0,130 0,144 0,619 Функции 0,181 0,065 0,109 0,188 0,109 0,047 0,301 0,129 1,180 Работа 0,102 0,312 0,032 0,312 0,102 0,039 0,103 0,174 1,851 Преподаватели Число 0,084 0,255 0,420 0,057 0,118 0,029 0,038 0,184 0,803 Тип 0,133 0,093 0,048 0,333 0,140 0,218 0,035 0,139 1,490 Функции 0,142 0,089 0,142 0,408 0,142 0,039 0,039 0,158 0,431 Обеспеченность работой 0,090 0,259 0,359 0,062 0,150 0,040 0,040 0,179 0,796 Академическая свобода 0,175 0,077 0,175 0,364 0,135 0,045 0,032 0,155 0,888 Учебные заведения Число 0,100 0,311 0,311 0,046 0,100 0,032 0,100 0,180 0,873 Тип 0,164 0,041 0,064 0,440 0,164 0,064 0,064 0,145 0,575 Управляющая структура 0,083 0,190 0,061 0,029 0,083 0,277 0,277 0,125 2,232 Эффективность 0,177 0,244 0,038 0,338 0,056 0,059 0,088 0,164 2,028 Доступность 0,059 0,119 0,345 0,027 0,119 0,252 0,078 0,145 2,458 Культура и досуг 0,103 0,047 0,290 0,301 0,151 0,033 0,075 0,157 1,520 Денежные средства и другие ресурсы 0,086 0,292 0,292 0,051 0,139 0,099 0,040 0,175 1,262 Образование Учебная программа 0,138 0,040 0,218 0,327 0,138 0,084 0,058 0,149 0,777 Продолжительность обу- чения 0,095 0,035 0,261 0,095 0,158 0,261 0,095 0,129 0,989 Значимость учебной степени 0,103 0,171 0,058 0,451 0,103 0,058 0,058 0,165 0,964 Стоимость обучения 0,171 0,171 0,171 0,291 0,112 0,042 0,042 0,164 3,216 Исследования, проводи- мые преподавателями 0,188 0,090 0,090 0,366 0,188 0,044 0,032 0,150 0,732 3. Делим обобщенные веса каждой из характеристик на соответствующие веса статус-кво каждой характеристики, в результате чего получим последний столбец табл. Д.2. Здесь статус-кво воспроизводит неизменность в будущем. Имеем два слу- чая. В первом случае веса статус-кво уже имеются для некоторых строк (соответст- вуют нулям в табл. Д.1). Во втором случае ни один из сценариев не остается в по- ложении статус-кво. Здесь нужно аппроксимировать веса статус-кво. Например, для строки «Число студентов» табл. Д.1 сценарии 1 и 2 симметричны по отношению к статус-кво. Поэтому берется среднее их весов в качестве оценки веса статус-кво. 4. Из табл. Д.2 можно сделать выводы, аналогичные полученным ранее в [124]. Крайний справа столбец таблицы представляет собой частное от обобщенных весов сценариев и весов статус-кво соответствующей характеристики Таким образом, при- ходим к заключению, что любые элементы столбца, большие единицы, означают увеличение в будущем, в то время как числа, меньшие единицы, воспроизводят уменьшение в будущем. Кроме того, величина этих значений определяет степень 264 увеличения или уменьшения. Сравнивая последние столбцы табл. Д.1 и Д.2, убеж- даемся в правомочности проведённой замены. 265 ДОПОЛНЕНИЕ Р. Г. ВАЧНАДЗЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ Д.1. ВВЕДЕНИЕ В предлагаемом дополнении проводится краткий исторический экскурс, излага- ются наиболее значительные полученные за последние годы теоретические резуль- таты, приложения МАИ в различных сферах, дается характеристика некоторых про- граммных средств. Исследуется вопрос о месте метода анализа иерархий в ряду ме- тодов принятия решений. В заключение приводится перечень возможных тем даль- нейших исследований по МАИ. Идея использования собственного вектора для решения так называемой задачи о лидере известна из работы К. Бержа [Д1], предложившего ее в 1958 г. для обработ- ки простых структур (см. определения в [Д2]). В 1972 г. независимо друг от друга в СССР (Б. Брук и В. Бурков [ДЗ]) и в США (Т. Саати [Д4]) метод собственного вектора был применен для обратносимметричных матриц (матриц со степенной калибровкой по классификации [Д2]). Работа [Д3], по-видимому, не нашла дальнейшего разви- тия, в то время как трудами Т. Саати и его последователей идея использования соб- ственного вектора в качестве вектора приоритетов выросла в довольно мощную ме- тодологию системного анализа иерархических структур. За десятилетие, прошедшее с момента публикации первой книги Т. Саати (1980 г.), метод анализа иерархий получил широкое распространение во многих странах. Т. Саати и его последователями проделана большая работа по теоретиче- скому обоснованию метода, углублению исследования различных его аспектов, мно- гочисленным приложениям метода в различных сферах и созданию соответствую- щих программных средств. Эти работы нашли отражение во многих публикациях, число которых к данному времени достигло 500. В США, Японии, Китае проводятся симпозиумы и конференции в национальном масштабе. В 1988 г. и г. Тяньцзине (КНР) был проведен первый международный симпозиум по МАИ, в работе которого участвовало около 200 ученых из США, Японии, Китая, Финляндии, Ирана, Канады и СССР. Тяньцзиньским университетом изданы доклады, представленные на симпо- зиуме |Д5]. Методу анализа иерархий посвящены специальные выпуски журналов: Socio-Economic Planning Sciences, Vol. 20, No 6, 1986 и International Journal on Mathematical Modelling, Vol. 9, № 3–5, 1987. В 1986 г. вышли два обзора :|Д6, Д7], в которых приводятся данные по большинству из работ, опубликованных к тому вре- мени по МАИ. Д.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Аксиоматические основы В 1986 г. Т. Саати опубликовал работу [Д8], в которой была сделана попытка ак- сиоматического обоснования метода анализа иерархий. Аксиомы Т. Саати охваты- вают основные свойства метода: 1. Обратная симметричность – основная характеристика парных сравнений. Для матрицы парных сравнений ( ) ij A a = интенсивность предпочтения i a , над j a , об- ратна интенсивности предпочтения j a над i a 2. Гомогенность (однородность), характеризующая свойство людей сравнивать объекты, которые не слишком сильно отличаются друг от друга, следовательно, не- 266 обходимость упорядочивания объектов в сохраняющих порядок иерархиях. Гомо- генность существенна для сравнения объектов одного порядка, так как человече- ский разум склонен к допущению больших ошибок при сравнении несопоставимых элементов. Когда эта несопоставимость большая, элементы располагают в отдель- ные кластеры сравнимых размеров, что выдвигает идею об уровнях и их декомпози- ции. 3. Зависимость нижнего уровня от непосредственно примыкающего к нему выс- шего уровня. 4. Результат анализа может отражать ожидания экспертов только в том случае, если эти ожидания правильно воспроизведены в иерархии, т. е. все альтернативы, так же как и все критерии, воспроизведены в иерархии. Это не предполагает ни ра- циональности процесса, ни того, что процесс может приспосабливаться только к ра- циональной точке зрения. Многие ожидания людей иррациональны. Аксиомы позволяют получить ряд общих теорем, определяющих операционные возможности МАИ и показывающих удобства парных сравнений и метода собствен- ного вектора при оценке отношений, а также исследовать устойчивость собственно- го вектора к малым возмущениям в данных (подробнее об этом в [Д8]). Абсолютные и относительные измерения: перестановка рангов В появившихся в последнее время работах Т. Саати и других авторов [Д9, Д10, Д11] значительное внимание уделено вопросу сохранения и перестановки рангов, связанного с абсолютными и относительными измерениями. Известно, что ранжирование альтернатив может быть получено в, результате как относительных измерений (основанных на парных сравнениях, дающих относитель- ные значения), так и абсолютных измерений (основанных на сравнениях с извест- ным стандартом). Тип измерений зависит от рассматриваемой ситуации. При совер- шенно новой задаче принятия решений, или в старых задачах, для которых не уста- новлены общепринятые стандарты, следует применять относительные измерения, сравнивая альтернативы попарно для выявления их предпочтительности. Если же стандарты имеются, то следует применять абсолютные суждения. Метод анализа ие- рархий может быть использован при обоих типах измерений. Однако с типом изме- рений связана одна важная особенность, обусловленная перестановкой рангов в случае добавления дополнительных альтернатив (критериев) или удаления некото- рых из рассматривавшихся альтернатив (критериев). Как показано в [Д10, Д11], при абсолютных изменениях добавление или удаление альтернативы не меняет взаим- ного расположения рангов начальных альтернатив для матрицы. Этот результат ве- рен и для всей иерархии [Д12, Д13]. При относительных измерениях, когда имеется только один критерий и суждения согласованны, добавление или удаление альтернативы не влияет на ранговый поря- док начальных альтернатив. В случае многих критериев, при согласованности в су- ждениях ранговый порядок любых двух альтернатив не меняется (в результате структурных изменений), когда одна альтернатива предпочтительнее другой в мат- рицах сравнения для всех критериев. Тем не менее даже для согласованных матриц, когда одна альтернатива доминирует над другой не по всем критериям, структурные изменения могут вызвать перестановку рангов альтернатив. В [Д11] приводятся ма- тематические условия сохранения рангового порядка иерархических структур в об- щем случае. Эта проблематика связана с теорией многокритериальных задач и мо- жет быть рассмотрена в ее рамках (см. [Д14]). 267 Неполные сравнения Как уже известно, для получения матрицы сравнения порядка n необходимо произвести ( ) 1 / 2 n n − суждений. В [Д15] подход, распространен на ситуации, в ко- торых ЛПР позволено отвечать «не знаю» или «не уверен» на некоторые из вопро- сов. Подход Харкера основан на определении квазиобратносимметричных матриц. Неотрицательная n n × -матрица A квазиобратносимметрична, если 0 ij a ≥ и из 0 ij a > следует, что 1 ij ji a a = , , 1, 2, , i j n = … Пусть ЛПР рассмотрено множество n альтернатив и проведено некоторое под- множество ( ) 1 / 2 n n − парных сравнений, которые позволили получить матрицу ( ) ij C c = с элементами 0 ij c ≥ , и из 0 ij c > следует, что 1 ij ji c c = . Пусть ( ) ij B b = – n n × -матрица, полученная из частично заполненной матрицы C следующим обра- зом: , 0, 0, 0, ij ij ij ij c если c b если c > = = ii i b m = , т. е. диагональные элементы матрицы B равны числу недополученных суждений в строке i Матрица A I B = + – примитивна, т. е. существует такая постоянная 1 k > , что матрица k A положительна. Следовательно, решение задачи о собственном значении для матрицы A можно рассматривать как приоритеты альтернатив при неполных сравнениях. В [Д15] доказано также, что корень Перрона неотрицательной, непри- водимой, квазиобратносимметричной матрицы A больше или равен n (рангу мат- рицы A ) и равен n только в том случае, если матрица A – согласованна. Аналогичный подход к выявлению приоритетов для неполной обратносиммет- ричной матрицы предложен и в [Д16]. |