курс физики том 4. Курс физики ТОМ 4. Т. В. Стоянова, на. Тупицкая, Ю. И. Кузьмин курс физики том 4 квантовая механика. Физика твёрдого тела. Атомная и ядерная физика учебник санкт петербург 2014 удк 539. 1 530. 145(075. 8)
 Скачать 2.93 Mb.
|
|
6.3.4 Сильное взаимодействие Это также собирательный термин, который обозначает силы особой природы, действующие между некоторыми элементарными частицами. Иногда эти силы называют ядерными, так как они обеспечивают связь нуклонов в ядре. Сильное взаимодействие имеет несколько характерных особенностей 1) быстрое уменьшение взаимодействия с увеличением расстояния между частицами (радиус взаимодействия равен примерном) зарядовая независимость взаимодействия, те. интенсивность взаимодействия не зависит оттого, заряжены частицы или нет 3) взаимодействие частиц на малых расстояниях (10 -15 м) исключительно велико 4) интенсивность взаимодействия зависит от взаимной ориентации спинов элементарных частиц. В обычном стабильном веществе при не слишком высокой температуре сильное взаимодействие не вызывает никаких процессов и его роль сводится Фотон Рис. 6.1 ее к созданию прочной связи между нуклонами (протонами и нейтронами) в ядрах. Энергия связи ядра составляет около 8 эВ на нуклон. Однако при столкновениях ядер или нуклонов, обладающих достаточно высокой энергией, сильное взаимодействие приводит к многочисленным ядерным реакциям, например к расщеплению ядер, превращениям одних ядер в другие и т.д. протекающим, в частности, в ядерных реакторах. Особенно важную роль в природе играют реакции слияния (термоядерного синтеза, в результате которых, четыре нуклона объединяются в ядро атома гелия. Эти реакции идут на Солнце и являются основным источником используемой на Земле энергии. При энергиях больше нескольких сотен эВ сильное взаимодействие приводит к рождению - мезонов, а при еще больших энергиях - к рождению странных частиц (K- мезонов и гиперонов, очарованных частиц и множества мезонных и барионных резонансов. Все эти взаимодействующие частицы называются адронами. Вопросы для самоконтроля и проверки владения материалом 1. Какие частицы называются элементарными 2. Расскажите о взаимном превращении элементарных частиц. 3. Какие частицы называются составными 4. На какие основные группы делятся элементарные частицы 5. Как определяется, и какой порядок имеет длина Планка 6. Назовите виды фундаментальных взаимодействий. 7. Расположите фундаментальные взаимодействия в порядке возрастания их интенсивности. 8. Дайте краткую характеристику гравитационному взаимодействию. 9. Какие классы частиц участвуют в гравитационном взаимодействии 10. Дайте краткую характеристику слабому взаимодействию. 11. Какие классы частиц участвуют в слабом взаимодействии 12. Дайте краткую характеристику сильному взаимодействию. 13. Расскажите о механизме электромагнитгого взаимодействия сточки зрения корпускулярной теории. Примеры решения задач 1. Сравнить силу гравитационного и электрического взаимодействия двух α- частиц. Дано m = 6,64∙10 -27 кг q = 3,2∙10 -19 Кл Решение Найдем силу гравитационного взаимодействия. По закону всемирного тяготения 2 2 2 2 1 r m r m m F , где m – масса α- частицы, тр эл F F ? r - расстояние между частицами, γ – гравитационная постоянная. Сила электрического взаимодействия выражается законом Кулона 2 2 0 2 2 1 0 4 1 4 1 r q r q q F эл , где q – заряд, частицы, r – расстояние между частицами, 0 - электрическая постоянная. Искомое отношение равно 2 0 2 4 m q F F тр эл . Подставим числовые значения 39 54 2 11 12 2 19 10 1 , 2 10 64 , 6 10 67 , 6 10 85 , 8 4 10 2 , 3 тр эл F F Ответ: тр эл F F 2,1·10 39 2. При столкновении позитрона и электрона происходит их аннигиляция, в процессе которой электронно-позитронная пара превращается в два кванта, а энергия пары переходит в энергию фотонов. Определить энергию каждого их возникших фотонов. Кинетическую энергию частиц до столкновения считать равной нулю. Дано 0 кин W 31 10 1 , 9 m кг Решение Запишем реакцию аннигиляции 2 0 1 Закон сохранения энергии для этой реакции 0 2 2 2 E W mc кин Е 0 - ? Т.к.W кин = 0, находим энергию каждого фотона 2m∙c 2 = 2 E 0 , m∙c 2 = E 0 Подставим числовые значения = 9,1∙10 -31 ∙9∙10 16 = Дж = = 0,51Мэв. Ответ E 0 = 0,51 Мэв Задачи для самостоятельного решения 1. Во сколько раз электрическое взаимодействие электрона с ядром в атоме водорода больше их гравитационного притяжения 2. Найти силу гравитационного и электрического притяжения протона и электрона, находящихся на расстоянии 1 нм. 3. При какой скорости движения энергия любой элементарной частицы равна энергии ее покоя 4. - мезоны создаются высоко в атмосфере быстрыми космическими частицами ив изобилии достигают уровня моря. Для таких мезонов типична скорость в системе Земля υ = с, где с – скорость света. Среднее время жизни - мезонов t = с. На какой высоте создаются - мезоны 5. Найдите минимальную энергию и частоту гамма-кванта, способного разбить ядро дейтерия H 2 1 на протон и нейтрон. Выводы Физика элементарных частиц притягивает внимание не только учёных, но и всех людей, которых интересует вопрос Как устроен окружающий нас мир. Огромные средства вкладываются передовыми в науке странами в международные пректы по изучению элементарных частиц. Шестая глава посвящена физике элементарных частиц и фундаментальным взаимодействиям. Существует несколько классификаций элементарных частиц, в основу которых легли различные признаки. Здесь приведена классификация по признаку их участия в фундаментальных взаимодействиях. Основные группы элементарных частиц по этой классификации - это фотон, лептоны, адроны. В главе описана кварковая модель структуры адронов. В разделе, посвященном фундаментальным взаимодействиям, приведены все известные на современном этапе развития науки виды фундаментальных взаимодействий гравитационное, слабое, электромагнитное, сильное перечислены в порядке возрастания интенсивности, указаны процессы, в которых проявляются перечисленные виды взаимодействий. 7 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ 7.1 Метод возмущений в квантовой механике Собственным значениям оператора энергии, соответствуют собственные функции = 1 , 2 ,…. (7.1) Система собственных функций (1.1) является ортогональной и полной. Ортогональность функций означает, что выполняется условие dV V k i =0 прите. интеграл по объему от произведения функций с разными индексами равен нулю 8 Полнота системы функций (7.1) заключается в том, что по этой системе можно разложить вряд любую функцию координат Ф, (7.3) где C k - коэффициент разложения. Кроме этого, волновая функция нормирована к единице, те. выполняется условие 8 Свойство ортогональности функций (7.4) напоминает ортогональность векторов. Например, векторы аи в будут ортогональными, те. взаимно перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю ( а , в )=0. V V dV 1 2 . (7.4) Условие нормировки к единице объясняется вероятностной трактовкой квадрата модуля волновой функции (сумма вероятностей равна единице. Коэффициенты Св разложении (7.3) можно определить, воспользовавшись условием ортогональности и нормированности собственных функций . Действительно, умножив (7.3) на i и взяв интеграл по объему от обеих частей равенства, получим с учетом (7.2) и (7.4): Фили Ф. (7.5) Метод возмущений в квантовой механике позволяет решать практические и достаточно сложные задачи по определению движения электрона во внешнем поле. Обычно внешнее поле задать очень трудно, поэтому его разделяют на два слагаемых U=U 0 +U 1 . (7.6) где U 0 - основная часть поля, a U 1 - маленькая добавка, малое возмущение. Например, в сложном атоме можно считать, что данный электрон движется под влиянием поля ядра, а влияние остальных электронов рассматривается как малое возмущение. Собственные функции оператора U 0 невозмущенной задачи обычно известны, а малое возмущение U 1 ищется путем разложения его собственной функции 1 вряд по собственным функциям 0K оператора U 0 , те) Неизвестные коэффициенты С разложения (7.7) находятся аналогично (7.5). Практически при расчетах метод возмущений сводится к методу последовательных приближений, так как, например, значение U 0 можно считать нулевым приближением, а значение U 1 первым приближением. Разумеется, что можно вычислить и дальнейшие приближения, если это диктуется условиями задачи. Важным обстоятельством в методе возмущений является то, что, как показывают расчеты, при наложении возмущения вырожденные уровни расщепляются в свою очередь на уровни (те. подуровни, число которых соответствует кратности вырождения. 7.2 Трёхмерная задача в потенциальном ящике Мы рассмотрели одномерную задачу или плоскую модель потенциальной ямы. Совершенно аналогично можно было бы рассмотреть трехмерную задачу. В этом случае необходимо учитывать все три координаты х, у, z, а одномерная потенциальная яма как бы заменяется потенциальным ящиком, имеющим три измерения. В такой трехмерной задаче решение волнового уравнения, определяющее собственные функции, будет иметь вид a z n a y n a x n A z y x n n n 3 3 2 2 1 1 sin sin sin ) , , ( 3 2 1 . (7.8) Соответственно собственные значения энергии определяются формулой m a n a n a n E n n n 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 3 2 1 , (7.9) где n 1 , n 2 , n 3 - целые числа, являющиеся квантовыми числами при квантовании энергии по осям х, у и z. В случае кубического потенциального ящика а = а = a 3 = аи вместо (7.9) можно записать ma n n n E n n n 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 3 2 1 . (7.10) Используя выражение (7.10), легко показать на примере этой трехмерной задачи вырождение энергетических уровней, о котором говорилось выше. Предположим, что 9 2 3 2 2 2 1 n n n , (7.11) что соответствует энергии ma E 2 9 2 2 2 . (7.12) Хотя выражением (7.12) задан вполне определенный энергетический уровень, однако условие (7.11) может быть выполнено тремя различными комбинациями квантовых чисел n 1 , n 2 , з я комбинация n 1 = 1, n 2 = 2, n 3 = 2; я комбинация n 1 =2, n 2 =1, n 3 =2; я комбинация n 1 =2, n 2 =2, n 3 =1. Если учесть, что для каждой комбинации таких трех чисел волновая функция будет иметь свое значение, то заданному энергетическому уровню будут соответствовать три различных значения волновой функции. Другими словами, заданному энергетическому уровню будут соответствовать три различных состояния частицы, или этот уровень будет иметь трехкратное вырождение. 7.3 Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор - частица, совершающая одномерные колебания вдоль оси х под действием квазиупругой силы х, пропорциональной отклонению частицы хот положения равновесия х, где k - коэффициент квазиупругой силы, связанный с массой m частицы и собственной циклической частотой её колебаний 0 формулой 2 0 m k .(7.13) Е потенциальная энергия определяется из выражения (рис. 7.2.). Собственная частота гармонического осциллятора может быть выражена из формулы (7.13): m k 0 , где m – имасса частицы. Подставим формулу (7.13) в выражение для потенциальной энергии 2 2 2 0 x m U В одномерном случае уравнение Шредингера будет имееть вид 0 ) 2 ( 2 2 2 0 2 2 2 x m E m dx d , (7.14) Используем метод, основанный на том, что на каждом уровне энергии в зависимости от формы потенциальной кривой может уложиться некоторое число волн де Бройля (рис. Оценим амплитуду колебаний гармонического осциллятора. Точкам аи а' на графике U(x) соответствуют в классической механике наибольшие отклонения частицы от положения равновесия, когда скорость частицы обращается в нуль, а её полная энергия Е равна максимальной потенциальной U(x): 2 2 / 1 ) ( 2 2 0 Амплитуда a колебаний осциллятора определяется запасом его полной энергии Е m E a 2 Полная энергия квантового осциллятора и амплитуда его колебаний не могут быть равны нулю. Если частица заперта в области ах, то согласно соотношению неопределённости Гейзенберга, импульс не может быть равен нулю. При этом энергия Е удовлетворяет соотношению 2 2 2 Исключим амплитуду и из соотношений для энергии и получим 0 Существует минимальное значение полной энергии гармонического осциллятора нулевая энергия осциллятора, которая является наименьшей его энергией, совместимой с соотношениями неопределённостей: Рис. 7.2 0 хм Е 4 Е 3 Е 2 Е 1 Е 0 U Рис. 7.3 0 хм' ЕЕ' Е U c b a 0 0 0 2 1 Нулевая энергия осциллятора определяется только его собственной частотой. Её невозможно отнять у частицы даже охлаждением до абсолютного нуля. Нулевой энергии соответствуют нулевые колебания квантового осциллятора. Существование нулевой энергии подтверждено экспериментально в явлении рассеяния света на атомах, молекулах или ионах, расположенных в узлах кристаллов при сверхнизких температурах. Исключение составляет гелий, который остаётся квантовой жидкостью до абсолютного нуля. Причина этого явления заключается в том, что нулевая энергия гелия имеет достаточно большую величину, а его электронные оболочки полностью застроены и при интенсивном движении молекул силы взаимодействия между ними малы. Всевозможные значения полной энергии гармонического осциллятора получаются путём решения уравнения Шредингера ) 2 1 (n E n , (n = 0, 1, 2, 3…). (7.15) Как следует из формулы (7.15), уровни энергии расположены на равном расстоянии друг от друга. Решение задачи о квантовом осцилляторе приводит к тому, что обнаружить частицу можно за пределами разре- шённой области, теза границами параболы. Это означает нахождение частицы там, где её полная энергия меньше потенциальной энергии. Это возможно благодаря волновым свойствам частиц, принципу неопределённости, туннельному эффекту. Вероятность обнаружить линейный гармонический осциллятор на участке с координатами от х до x+dx в квантовой механике равна dx x dx х n wкк 2 ) ( ) ( По мере увеличения квантового числа n кривая распределения вероятностей всё больше становится похожа на классическую кривую. В этом выражается принцип соответствия Бора. Для гармонических осцилляторов возможны переходы только между соседними уровнями 1 n - это условие называется правилом отбора Отсюда следует, что энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями и уменьшатся до некоторого минимального значения Е 0 Рис. 7.4 0 хм wкк wкк w a -a' 7.4 Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер конечной ширины Пусть U 0 – высота потенциального барьера, а - ширина. Частица движется свободно слева направо (рис. 7.5). В квантовой механике, если энергия частицы Е больше высоты барьера, то частица может свободно пройти над барьером, а может отразиться от барьера и полететь в обратную сторону. На участке х она уменьшает скорость. При х скорость частицы снова принимает первоначальное значение. Если Е < U 0 , то частица отражается от барьера и летит в противоположную сторону, но существует вероятность прохождения частицы сквозь барьер и попадания в область х. Это вытекает из уравнения Шредингера. Пусть Е < U 0 , тогда уравнение Шредингера можно записать для областей и III: 0 2 2 2 2 E m dx d , (7.16) для области II: 0 ) ( 2 0 2 2 2 U E m dx d . (7.17) Здесь Е < 0. Найдём решение уравнения) в виде хе - для области II: 0 ) ( 2 0 2 2 2 х х е U E m dx е d , 0 ) ( 2 0 2 2 U E m - для областей I и III: 0 2 2 2 2 х х Eе m dx е d , 0 2 2 Следовательно i , где Решения уравнений Шредингера для I и III области имеют вид x i x i е B е А 1 1 1 - для области I x i x i е B е А 3 3 3 - для области III Решение вида е соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси ха е - в противоположном направлении. В области III волна проходит слева направо, поэтому В = 0. 0 хм Рис. 7.5 Потенциальный барьер II I III U 0 E U(X), Дж x x е B е А 2 2 2 - для области II, ) ( 2 Для непрерывности функции должны выполняться условия ) 0 ( ) 0 ( 2 1 и ) ( ) ( 3 2 , а для того, чтобы функция не имела изломов (была гладкой ) 0 ( ) 0 ( 2 1 и ) ( ) ( 3 Следовательно, применив оба условия, получим систему 2 2 1 1 В А В А , (7.18) i е А е B е А 3 2 2 , (7.19) 2 2 1 1 В А В i А i , (7.21) i е А i е B е А 3 2 2 . (7.22) Разделим эти уравнения на A 1 и введём обозначения 1 1 1 A B b , 1 2 2 A B b , 1 2 2 A A a , 1 Тогда уравнения (7.18 - 7.22) будут иметь вид 2 2 1 1 b a b (7.23) i е a е b е a 3 2 2 (7.24) 2 2 1 nb na ib i (7.25) i е ia е nb е na 3 2 2 (7.26) Умножив уравнение (7.23) на мнимую единицу и сложив с уравнением (7.25), получим 2 2 ) ( ) ( 2 b i n a i n i (7.27) Умножим уравнение (7.24) системы на мнимую единицу и сложим с уравнением (7.26): 0 ) exp( ) 1 ( ) exp( ) ( 2 2 b n a i n (7.28) Решая совместно уравнения (7.27) и (7.28), найдём: ) exp( ) ( ) exp( ) ( ) exp( ) ( 2 2 2 2 i n i n i n i a , ) exp( ) ( ) exp( ) ( ) exp( ) ( 2 2 2 Подставим эти выражения в (7.24): ) exp( ) ( ) exp( ) ( ) exp( 4 2 2 3 i n i n i ni a Величина 2 0 ) ( 2 E U m i обычно много больше единицы, поэтому в знаменателе слагаемыми ) exp( можно пренебречь по сравнению с ) exp( ) exp( ) ( ) exp( 4 Учитывая что 1 2 n i n , получим ) 2 exp( ) 1 ( 16 2 2 2 2 Отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волны определяет вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер и называется коэффициентом прохождения (или коэффициентом прозрачности 2 3 2 1 2 Выражение 2 2 ) 1 ( 16 n n имеет значение порядка единицы, поэтому можно считать ] ) ( 2 2 exp[ 0 Из этого выражения следует, что вероятность прохождения частицы сквозь потенциальный барьер зависит от ширины барьера и от его превышения над Е, то есть от U 0 -E. Если m или растёт, то D уменьшается. |