Моделирование. Моделирование финансовой деятельности. Часть 4 (2). Тема Методы оптимизации инвестиционнофинансового портфеля компании. Управление риском и портфельная теория
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
Этап 1. Определите соотношение между ожидаемой доходностью и долей инвестиций, приходящейся на рискованный актив. Пусть w обозначает долю от 100000 долл., которая вложена в рискованный актив. Оставшаяся часть будет равна (I - w); и она вложена в безрисковый актив. Ожидаемая ставка доходности портфеля Е(r) задана формулой: (4.2) 78 где Е (r) обозначает ожидаемую ставку доходности рискованного актива, а r f — безрисковая ставка доходности. Подставив вместо значение 0,06, а вместо Е (r s ) — 0,14, получим: 0, 06 0,14 0, 06 0, 06 0, 08 E r w w Уравнение (4.2) интерпретируется следующим образом. Базовой ставкой доходности для любого портфеля является безрисковая ставка доходности (0,06 в нашем примере). Кроме того, предполагается, что инвестиции в портфель принесут дополнительную премию за риск, которая зависит от (1) премии за риск по рискованному активу E (r s ) - r f (0,08 в нашем примере) и от (2) доли портфеля, инвестированной в рискованный актив и обозначенной w. Чтобы определить состав портфеля, соответствующий ожидаемой ставке доходности в 0,09, надо подставить нужные значения в уравнение (4.2) и вычислить w. 0,09=0,06+0,08w (0.09-0,06), 0,08 Таким образом, портфель на 37,5% состоит из рискованного актива, а на 62,5% — из безрискового. Этап 2. Определите связь между стандартным отклонением и долей инвестиций, приходящихся на рискованный актив. Если в одном портфеле объединены рискованный и безрисковый активы, то стандартное отклонение доходности такого портфеля равно стандартному отклонению доходности рискованного актива, умноженному на его вес в портфеле. Обозначив стандартное отклонение рискованного актива как s получим формулу стандартного отклонения доходности портфеля: s w (4.3) Чтобы определить стандартное отклонение, соответствующее ожидаемой ставке доходности в 0,09, подставим в уравнение s w (4.3) вместо w значение 0,375 и вычислим 0, 2 0,375 0, 075 s w Таким образом, стандартное отклонение доходности портфеля составило 0,075. Наконец, мы можем убрать w, чтобы вывести формулу, напрямую связывающую ожидаемую ставку доходности со стандартным отклонением на прямой риск/доходность. Этап 3. Определите соотношение между ожидаемой ставкой доходности и стандартным отклонением. Чтобы вывести точное уравнение, описывающее прямую риск/доходность на Рис. 4.3.1, надо видоизменить уравнение s w (4.3) и представить w как соотношение s . Подставив это соотношение вместо w в уравнение (4.2), получим: Другими словами, ожидаемая ставка доходности портфеля, выраженная как функция его стандартного отклонения, представляет собой прямую линию, пересекающую вертикальную ось в точке F= 0,06 и наклоном, равным: Угол наклона прямой характеризует дополнительную ожидаемую доходность, предлагаемую рынком для каждой дополнительной единицы риска, которую согласен нести инвестор. ( ) ( ) 0, 06 0, 40 s f f s E r r E r r 40 , 0 2 , 0 08 , 0 ) ( s f s r r E (4.4) 79 4.3.2.3. Как получить заданную ожидаемую доходность: пример 1 Давайте определим состав портфеля, ожидаемая ставка доходности которого соответствовала бы значению 0,11 в год. Каким будет в этом случае стандартное отклонение доходности? Решение Чтобы определить состав портфеля с ожидаемой ставкой доходности в 0,11, надо подставить данные в уравнение (4.2) и найти w. 0,11 0, 06 0, 08w Следовательно, в портфеле содержится 62,5% рискованного актива и 37,5% безрискового. Чтобы определить стандартное отклонение, соответствующее ожидаемой ставке доходности в 0,11, надо в уравнении s w (4.3) вместо w подставить значение 0,625 и определить 0, 2 0, 2 0, 625 0,125 w Следовательно, стандартное отклонение доходности портфеля равно 0,125 Контрольный вопрос 4.3.6 Где будет находиться пересечение прямой риск/доходность с осью OY и каков будет ее наклон (рис. 12.1), если безрисковая процентная ставка будет равна 0,03 годовых, а ожидаемая ставка доходности рискованного актива — 0,10 годовых? 4.3.2.4. Концепция эффективности портфеля Эффективным портфелем (efficient portfolio) мы называем такой портфель, который предлагает инвестору максимально возможный ожидаемый уровень доходности при заданном уровне риска. Чтобы объяснить значение концепции эффективности портфеля и показать, как получить действительно эффективный портфель, давайте рассмотрим предыдущий пример, дополнительно включив в него еще один рискованный актив. Рискованный актив 2 имеет ожидаемую ставку доходности 0,08 в год и стандартное отклонение 0.15. Он представлен точкой R на Рис. 4.3.2. Инвестор, который хочет получить ожидаемую ставку доходности в 0.08 годовых, может добиться своей цели, вложив всю сумму в рискованный актив 2. Тогда он окажется в ситуации, описываемой точкой R. Но при этом портфель инвестора неэффективен, потому что в точке G инвестор может получить такую же ожидаемую ставку доходности (0,08 в год) при меньшем значении стандартного отклонения. Из Таблица 4.3.1 видно, что в точке G стандартное отклонение составляет только 0,05. Это объясняется тем, ч-ю 25% инвестиций данного портфеля вложены в рискованный актив 1, а 75% — в безрисковый актив. Действительно, не желающий рисковать инвестор выберет на прямой риск/доходность, соединяющей точки G и S, любую точку — только не точку R. Любая из этих точек соответствует вполне приемлемой ситуации, когда некоторое количество рискованного актива 1 уравновешивается безрисковым активом. Например, портфель в точке J имеет стандартное отклонение, равное стандартному отклонению рискованного актива 2 (о = 0,15), но его ожидаемая ставка доходности составляет 0,12 годовых, а не 0,08. Из Таблица 4.3.1 нам известно, что такое соотношение соответствует портфелю, который на 75% состоит из рискованного актива 1 и на 25% из безрискового актива. 625 , 0 08 , 0 06 , 0 11 , 0 w 80 С помощью уравнений Ошибка! Источник ссылки не найден.(4.2) и s w (4.3) можно определить состав других эффективных портфелей, которые описываются точками между G и J и имеют, следовательно, более высокую ожидаемую ставку доходности и меньшее значение стандартного отклонения в сравнении с рискованным активом 2. Рассмотрим, например, портфель, который на 62,5% состоит из рискованного актива 1 и на 37,5 % — безрискового актива. Его ожидаемая ставка доходности равна 0,11 в год, а стандартное отклонение составляет 0,125. Контрольный вопрос 4.3.7 Как инвестор может получить ожидаемую ставку доходности в 0,105 годовых, вложив средства в рискованный актив 1 и безрисковый актив? Каким будет стандартное отклонение такого портфеля? Сравните это значение со стандартным отклонением рискованного актива 2. Рис. 4.3.2 Эффективность портфеля Примечание. В точке R портфель на 100% состоит из инвестиций, вложенных в рискованный актив 2 с ожидаемой ставкой доходности 0,08 и = 0,15. Инвестор может получить более высокую ожидаемую доходность и меньшее стандартное отклонение в любой точке прямой, проходящей через точки G и J. 4.3.3. Эффективная диверсификация портфеля 1ри наличии многих рискованных активов Рабочая книга Несмотря на то что инвестирование исключительно в рискованный актив 2 само по себе неэффективно, может быть, имеет смысл объединить в одном портфеле два вида рискованных активов? Или добавить к двум видам рискованных активов безрисковые? Мы исследуем способы эффективного объединения трех активов в два этапа. На первом этапе мы рассмотрим соотношение риска и доходности, достигаемое объединением только рискованных активов 1 и 2; на втором этапе мы добавим к ним безрисковый актив. 81 4.3.3.1. Портфели из двух рискованных активов Объединение в одном портфеле двух видов рискованных активов аналогично объединению рискованного актива с безрисковым; эта тема обсуждалась в разделе 4.3.2. Просмотрите еще раз Таблица 4.3.1, Рис. 4.3.1 и уравнения (4.2) и s w (4.3). Если один из двух активов безрисковый, то стандартное отклонение его ожидаемой ставки доходности и корреляция с другим активом равны нулю. Если оба актива являются рискованны-, w, то так или иначе необходим анализ соотношения риск/доходность. Формула для вычисления среднего значения ставки доходности любого портфеля, в котором w — это доля рискованного актива 1, а (1 - w) — это доля рискованного актива 2, имеет следующий вид: 1 2 1 Е r wE r w E r (4.5) В свою очередь формула дисперсии такова: 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 w w w p (4.6) Эти два уравнения можно сравнить с уравнениями соответственно (4.2) и s w (4.3). Сравнение 1 2 1 Е r wE r w E r (4.5) — это, по сути, уравнение (4.2), только вместо процентной ставки безрискового актива r r в него вставлена ожидаемая доходность рискованного актива 2, Е (r 2 ) Уравнение 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 w w w p (4.6) — это более общая форма уравнения (4.2). Если актив 2 безрисковой, то 2 = 0 и уравнение 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 w w w p (4.6) упрощается до вида уравнения (4.2). В Таблица 4.3.2 сведены наши оценки распределения вероятности ставок доходности скованных активов 1 и 2. Обратите внимание: мы исходим из предположения, что коэффициент корреляции равен нулю (р = 0). В Таблица 4.3.3 и в Рис. 4.3.3 показаны комбинации средних значений и стандартных отклонений доходностей, которые можно получить при объединении в одном портфеле рискованного актива 1 и рискованного актива 2. Точка S на Рис. 4.3.3 соответствует портфелю, который состоит исключительно из рискованного актива 1, а точка R — портфелю, состоящему исключительно из рискованного актива 2. Давайте покажем, как ожидаемые ставки доходности и стандартные отклонения в (4.4) рассчитываются по формулам 1 2 1 Е r wE r w E r (4.5) и 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 w w w p (4.6). Рассмотрим портфель С, который состоит на 25% из рискованного актива 1 и на 75% — из рискованного актива 2. Таблица 4.3.2 Рискованный актив 1 Рискованный актив 2 Среднее значение 0,14 0,08 Стандартное отклонение 0,20 0,15 82 Корреляция 0 0 Таблица 4.3.3 Соотношение риск/доходность для портфелей с двумя рискованными активами Доля средств, вложенная в рискованный актив 1 (%) Доля средств, вложенная в рискованный актив 2 (%) Ожидаемая ставка доходности Стандартное отклонение 0 100 0,0800 0,1500 25 75 0,0950 0,1231 36 64 0,1016 0,1200 50 50 0,1100 0,1250 100 0 0,1400 0,2000 Подставив необходимые значения в уравнение 1 2 1 Е r wE r w E r (4.5), мы найдем, что ожидаемая в а доходности в точке С составит 0,095 в год: jE'(r)=0,25 E(r,) +0,75 E{r} =0,25х0,14 +0,75х0,08 =0,095 ставив в уравнение 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 w w w p (4.6) значение w, мы выясним, что стандартное отклонение (Т 2 = W 22 + (1 - w) (7 2 + 2w (1 - w) pO'iO'2 =0,25 2 x0,2 2 +0,75 2 x0,15 2 +0 =0,01515625 о- =УО,01515625 =0,1231 Рис. 4.3.3 Кривая соотношения риск/доходность: только рискованные активы Примечание. Предполагается, что () Давайте с помощью Таблица 4.3.3 исследуем кривую, соединяющую на Рис. 4.3.3 точки R и S. Начнем с точки R и переместим часть наших капиталов из рискованного актива 2 в рискованный актив 1. При этом наблюдается не только повышение средней ставки доходности, но и снижение стандартного отклонения. Оно снижается до тех пор, 83 пока мы не получим портфель, который на 36% состоит из инвестиций в рискованный актив 1 и на 64% — в рискованный актив 2 14 Эта точка характеризует портфель с минимальной дисперсией (minimum-variance portfolio), состоящий из рискованного актива 1 и рискованного актива 2. Если в рискованный актив 1 инвестируется более 36% общего капитала, то стандартное отклонение портфеля увеличивается. Контрольный вопрос 4.3.8 Каково среднее значение доходности и ее стандартное отклонение для портфеля, который на 60% состоит из рискованного актива 1 и на 40% — из рискованного актива 2, если их коэффициент корреляции равен 0,1? 4.3.3.2. Оптимальная комбинация рискованных активов Теперь давайте рассмотрим комбинации риск/доходность, которые мы можем подучить посредством объединения безрискового актива с рискованными активами 1 и 2. На Рис. 4.3.4 показано графическое представление всех возможных комбинаций риск/доходность; этот рисунок показывает также, как можно получить оптимальную комбинацию рискованных активов для объединения с безрисковым активом. Стандартное отклонение Рис. 4.3.4. Оптимальная комбинация рискованных активов Примечание. Предполагается, что (Гу=0,06, £/-=0,14, сг/=0,20, £)=0,08, сг;=0,15, /?=0). Сначала проанализируем прямую линию, соединяющую точку F с точкой S. Она нам уже знакома, поскольку представляет собой график соотношения риск/доходность, который мы видели на Рис. 4.3.1. Прямая показывает ряд комбинаций риск/ доходность, которые могут быть получены посредством объединения безрискового актива с рискованным активом 1. Прямая линия, соединяющая точку Fc любой точкой кривой, соединяющей точки R и S, представляет собой график, описывающий соотношение риск/доходность для всех 14 Формула, описывающая долю рискованного актива 1, которая минимизирует дисперсию портфеля, выглядит следующим образом: 84 комбинаций следующих трех активов: рискованных активов 1 и 2 с безрисковыми активами. Наибольшие значение этого соотношения, которого мы можем достичь, находится на линии, соединяющей точки F и Т. Точка Т является общей точкой прямой линии, выходящей из точки F, и кривой, соединяющей точки R и S. Мы называем такой рискованный портфель, который соответствует общей точке Г на Рис. 4.3.4, оптимальной комбинацией рискованных активов. Именно объединением этого портфеля рискованных активов с безрисковым активом достигается формирование максимально эффективного портфеля. Формула для определения долей портфеля в точке Г такова: 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 f f f f f f E r r E r r p w E r r E r r E r r E r r p w w Подставляя данные в это уравнение, получаем, что оптимальной комбинацией Рискованных активов (для портфеля в точке пересечения с прямой, который еще называют тангенциальным портфелем (the tangency portfolio)), является 69,23% рискованного актива 1 и 30,77% рискованного актива 2. Это означает, что ставка доходности Е(r), и стандартное отклонение равны: £(/y)=0,122 От =0,146 Следовательно, новый график для эффективного соотношения риск/доходность задан формулой: где угол наклона — отношение доходности к риску — равен 0,42. Сравним полученное выражение с формулой для прежней линии соотношения риск/доходность, соединяющей точки F и S: 0, 0 ( ) 6 0, 40 Е r ст где угол наклона равен 0,40. Понятно, что теперь инвестор находится в лучшем положении, потому что он может достичь более высокой ожидаемой ставки доходности для любого уровня риска, на который он готов пойти. 4.3.3.3. Формирование наиболее предпочтительного инвестиционного портфеля Чтобы завершить анализ, давайте рассмотрим выбор инвестора с точки зрения его предпочтений и с учетом графика соотношения риск/доходность для эффективных портфелей. Надеюсь, вы не забыли, что в разделе 4.3.1 мы упоминали о том, что предпочтения при формировании портфеля зависят от стадии жизненного цикла, на которой находится инвестор, периода (горизонта) планирования и толерантности к риску. Следовательно, инвестор может выбрать позицию в любой точке на отрезке, ограниченном точками F и Г. На Рис. 4.3.5 для этого выбрана точка Е. Портфель, который соответствует точке Е, на 50% состоит из портфельных инвестиций в общей точке (тангенциальный портфель) и на 50% из инвестиций в безрисковый актив. Преобразуем уравнения (4.2) и s w (4.3) таким образом, чтобы они отражали тот факт, что портфель в точке касания — это теперь единственный рискованный актив, который следует объединять с безрисковым активом. Выясняется, что ожидаемая доходность и стандартное отклонение портфеля Е имеют вид: () Учитывая, что тангенциальный портфель состоит на 69,2% из рискованного актива 1 и на 30,8% — из рискованного актива 2, можно определить, что состав портфеля будет следующим: 85 Доля безрискового актива 50,0% Доля рискованного актива 1 0,5х69,2%= 34,6% Доля рискованного актива 2 0,5х30,8%= 15,4% Всего 100,0% Следовательно, если вы инвестировали 100000 долл. в портфель Е, то 50000 долл. инвестировано в безрисковый актив, 34600 долл. — в рискованный актив 1 15400 долл. — в рискованный актив 2. Давайте теперь обобщим имеющиеся у нас сведения относительно создания эффективного портфеля, когда имеется два вида рискованных активов и один безрисковый актив. Существует только один портфель с рискованными активами, который оптимальным образом можно объединить с безрисковым активом. Мы называем этот особенный портфель с рискованными активами, соответствующий общей (тангенциальной) точке Г на Рис. 4.3.4, оптимальной комбинацией рискованных активов. Предпочтительный портфель всегда является какой-либо комбинацией портфеля рискованных активов в общей точке и безрискового актива. |