МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. Учебные пособия для учащихся (тетради на печатной основе, карточки с математическими заданиями, справочники и т п.), инструменты (линейка, угольник, циркуль и др.)
 Скачать 0.69 Mb.
|
|
I этап – Умножение на однозначное число При ознакомлении учащихся с письменным умножением лучше взять такой пример на умножение трех- или четырехзначного числа на однозначное, где были бы переходы через десяток или через сотню, т.е. где устно умножать трудно. Возьмем пример: 418 * 3. Сначала учащиеся решают его знакомым им способом: заменяют первый множитель суммой разрядных слагаемых и умножают сумму на число: 418 * 3 = (400 + 10 + 8) * 3 = 400 * 3 + 10 * 3 + 8 * 3 = 1200 + 30 + 24 = 1254 Далее предлагается решить еще раз этот же пример, переставив разрядные слагаемые: 418 * 3 = (8 + 10 + 400) * 3 = 8 * 3 + 10 * 3 + 400 * 3 = 24 + 30 + 1200 = 1254 После этого учитель знакомит учащихся с письменным умножением на однозначное число: показывает новую запись столбиком с подробным объяснение решения этого же примера. Надо умножить 418 на 3. Записываем второй множитель под единицами первого множителя. Проводим черту, слева ставим знак умножения «X» (надо пояснить детям, что умножение обозначается не только точкой, но и таким знаком, хотя и здесь можно использовать точку). Начинаем письменное умножение с единиц.
1254
От подробного объяснения решения примеров учащиеся под руководством учителя переходят к краткому объяснению, когда опускается название разрядных единиц и выполняемых преобразований, например: 578 надо умножить на 4.
2312 Умножаю 8 на 4, получится 32. 2 пишу, а 3 запоминаю. 7 умножу на 4, получится 28, да 3 всего 31; 1 пишу, а 3 запоминаю. Умножаю 5 на 4, получится 20, да 3. Всего 23; записываю 23. Произведение 2312. Можно объяснить и так: четырежды восемь — тридцать два. 2 пишу, 3 запоминаю. Четырежды семь — двадцать восемь и т.д. Запись можно выполнять и в строчку: 578 * 4 = 2312. В начале изучения темы учитель сам сообщает ученикам, что письменное умножение на однозначное число начинается с единиц, а позднее полезно разъяснять, почему письменное умножение, подобно сложению и вычитанию, начинают с низшего, а не с высшего разряда. С этой целью один и тот же пример решают двумя способами:
Оказывается, что начинать письменное умножение на однозначное число с единиц высшего разряда неудобно, потому что приходится зачеркивать ранее записанные цифры. Рассмотрим случаи с нулями в первом множителе. Пусть надо 42 300 умножить на 6. Решение таких примеров записывают следующим образом:
Объяснение:
При решении аналогичных примеров с подробным объяснением надо обратить внимание детей, что в таких случаях выполняют умножение, не обращая внимания на нули, записанные в конце первого множителя, и к полученному произведению приписывают справа столько же нулей, сколько их записано в конце первого множителя. При этом ведется краткое объяснение: трижды шесть — 18, восемь пишу, 1 запоминаю, дважды шесть ... припишу справа два нуля, получится 253 800. На данном этапе следует предлагать учащимся и умножение однозначных чисел на многозначные: 9 * 136, 4 * 2836, 7 * 1230. При решении таких примеров используется переместительное свойство умножения: 136 * 9, 2836 * 4, 1230 * 7. Ученики, ознакомившись с письменными приемами вычислений, часто используют их в тех случаях, когда легко выполнить вычисление устно. Важно предупредить этот нежелательный перенос. С этой целью надо 1) больше включать в устные упражнения соответствующие случаи умножения, 2) сравнивать письменный и устный приемы умножения на однозначное число. Вслед за умножением на однозначное число натуральных чисел дается умножение величин, выраженных в метрических единицах, например: 9 т 438 кг * 3; 7 км 438 м * 6. Эти примеры можно решать по-разному: сразу выполнить умножение или сначала заменить величины, выраженные в единицах двух наименований, величинами одного наименования и выполнить действие:
Первый способ чаще применяется на практике при умножении величин, выраженных в единицах стоимости 18 руб. 25 коп. * 3 = 18 руб. * 3 + 25 коп. * 3 = 54 руб. 75 коп. Второй же способ используется при решении задач, а также в дальнейшем при умножении величин на любое двузначное и трехзначное число.
II этап. Умножение на разрядные числа. После того как учащиеся твердо усвоят умножение на однозначное число, рассматриваются приемы умножения на 10, 100, 1000, а затем на 40, 400, 4000. При умножении на двузначные—четырехзначные разрядные числа используется свойство умножения числа на произведение, например: 14 * 60 = 14 * (6 * 10) = 14 * 6 * 10 = 840. Для знакомства с этим свойством учащимся предлагается вычислить разными способами значение выражения 16 * (5 * 2). Под руководством учителя они находят значение выражения такими способами; 16 * (5 * 2) = 16 * 10 = 160 16 * (5 * 2) = (16 * 5) * 2 = 80 * 2 = 160 16 * (5 * 2) = (16 * 2) * 5 = 32 * 5 = 160 Учащиеся замечают, что
После выполнения нескольких таких упражнений учащиеся формулируют свойство: «Чтобы умножить число на произведение, можно найти произведение и умножить число на полученный результат, а можно умножить число на один из множителей и полученный результат умножить на другой множитель». Свойство умножения числа на произведение применяется при выполнении разнообразных упражнений:
8 * (10 * 3);
Затем это свойство используется для раскрытия вычислительного приема умножения на двузначные — четырехзначные разрядные числа. Предварительно вводятся подготовительные упражнения на замену разрядных чисел произведением однозначного числа и 10 (100, 1000), например: 70 = 7 * 10, 600 = 6 * 100. Далее рассматриваются устные приемы умножения на разрядные числа. Например, надо 15 умножить на 30; представим число 30 в виде произведения удобных множителей 3 и 10, получим пример: 15 умножить на произведение чисел 3 и 10; здесь удобнее умножить число 15 на первый множитель — на 3 и полученный результат 45 умножить на второй множитель —на 10, получится 450. Запись: 15 * 30 = 15 * (3 * 10) = (15 * 3) * 10 = 450 Учащиеся иногда смешивают свойство умножения числа на произведение со свойством умножения числа на сумму. Например, ошибка вида 15 * 12 = 300 свидетельствует о таком смешении: ученик умножает 15 на 2 и полученный результат умножает на 10, т.е. он заменил число 12 суммой разрядных слагаемых 10 и 2, а далее умножал как на произведение этих чисел, т.е. на число 20. Аналогичная ошибка встречается также при выполнении упражнений на сравнение выражений, например: 27 * 7 * 10 = 27 * 7 + 27 * 10 Чтобы предупредить такие ошибки, полезно предлагать упражнения на сравнение соответствующих приемов вычислений. Например, учащиеся решают с комментированием и подробной записью следующие примеры: 6 * 50 = 6 * (5 * 10) = 6 * 5 * 10 = 300 6 * 15 = 6 * (10 + 5) = 6 * 10 + 6 * 5 = 90 Затем выясняется, что в обоих примерах одинаковые первые множители, но разные вторые; при решении примеров второй множитель (50) заменили произведением удобных множителей (5 и 10) и использовали свойство умножения числа на произведение: умножили число 6 на первый множитель и полученное произведение умножили на второй множитель. Во втором примере множитель 15 заменили суммой разрядных слагаемых 10 и 5 и использовали свойство умножения числа на сумму; умножили число 6 на первое слагаемое, потом умножили это же число 6 на второе слагаемое и полученные результаты сложили. Полезно предлагать детям и упражнения на сравнение выражений (поставить вместо пустых клеток знак «>», «<» или « = »): 36 * 10 * 4 □ 36 * 14 17 * 5 * 10 □ 17 * 50 45 * 6 + 45 * 10 □ 45 * 60 16 * 10 □ 16 * 3 +16 * 10 21 * 4 + 21 * 3 □ 21 * 12 18 * 9 + 18 * 10 □ 18 * 19 В целях предупреждения ошибок в смешении свойств арифметических действий, изучаемых в начальных классах, надо чаще выполнять упражнения в их сравнении. После изучения приемов устного умножения на разрядные числа вводятся приемы письменного умножения. Предлагается решить пример 546 * 30. Будем вычислять письменно, запишем пример так:
Число 546 сначала умножим на 3, и полученный результат умножаем на 10. Умножаем 546 на 3:
Заметим, что здесь при умножении на однозначное число (546 * 3) пользуемся кратким пояснением. Аналогично следует поступать и в дальнейшем, когда в новых, более сложных случаях умножения составной частью является умножение на однозначное число. Умножение на трехзначные и четырехзначные разрядные числа выполняется так же, как и умножение на двузначные разрядные числа. Особого внимания заслуживают те случаи, в которых оба множителя оканчиваются нулями, например: 20 • 30, 400 • 50, 800 • 70, 4000 • 60 и т.д. Сначала при решении таких примеров учащиеся рассуждают следующим образом: чтобы умножить 300 на 50, надо 3 сотни умножить на 5, а затем полученное число умножить на 10, будет 150 сотен, или 15000. Такие примеры записываются в строчку и решаются устно. Аналогичным образом рассуждают ученики и при письменном умножении в том случае, когда оба множителя оканчиваются нулями. Записывать такие примеры в столбик удобнее следующим образом:
Наблюдая за выполнением умножения чисел, оканчивающихся нулями, ученики приходят к выводу, что сначала в этих случаях надо умножать числа, которые получатся, если отбросить эти нули, а затем к полученному произведению приписать справа столько нулей, сколько их записано в конце обоих множителей вместе. В дальнейшем при умножении чисел, оканчивающихся нулями, учащиеся руководствуются этим выводом.
III этап. Умножение на двузначное и трехзначное число. Умножение на двузначное и трехзначное число рассматривается на основе свойства умножения числа на сумму. Полезно начать работу с устного умножения двузначного числа на двузначное. Для ознакомления с приемом подбираются более легкие случаи, например: 16 • 12 = 16 • (10 + 2) = 16 • 10 + 16 • 2 = 160 + 32 = 192 Затем надо предложить более трудный случай, например: 87 • 64 = 87 • (60 + 4) = 87 • 60 + 87 • 4 Дети убеждаются, что устно решить такой пример трудно. Учитель предлагает выполнить вычисления письменно:
Далее учитель показывает более короткую запись и дает соответствующее объяснение:
Чтобы умножить 87 на 64, надо сначала умножить 87 на 4, затем умножить 87 на 60 и полученные числа сложить.
Здесь 87 и 64 — множители, 348 — первое неполное произведение, 5220 — второе неполное произведение, 5568 — окончательный результат или произведение чисел 87 и 64. Полезно, чтобы при объяснении вычислительного приема учащиеся сначала указывали все основные операции в определенной последовательности. Это способствует пониманию места и значения каждой операции. Подробное объяснение дается только тем операциям, которые являются новыми для учащихся, знакомые же операции выполняются самостоятельно, при этом даются краткие пояснения. После решения нескольких примеров (134 • 46, 268 • 37, 451 • 32) учитель обращает внимание учащихся на особенность второго неполного произведения: оно всегда оканчивается нулем, следовательно, при сложении неполных произведений единиц всегда будет столько, сколько их в первом неполном произведении, значит, нуль можно не писать, а второе неполное произведение начинать записывать под десятками. Так же ведется объяснение умножения на трехзначное число. На первых порах изучения умножения на двузначное и особенно на трехзначное число наряду с решением примеров полезно включать упражнения на составление плана решения, который записывают в виде выражения, но самого действия не выполняют, например: 286 • 374 = 286 • 4 + 286 • 70 +286 • 300 Целесообразно предлагать и обратные упражнения, когда по плану решения (84 • 6 + 84 • 30) надо составить пример (84 • 36), а в целом можно записать следующее равенство: 84 • 6 + 84 • 30 = 84 • 36. Подобные упражнения фиксируют внимание учащихся на вычислительном приеме и том свойстве, которое лежит в его основе. Следует обратить внимание еще на одну группу упражнений, цель которых состоит в том, чтобы предупредить смешение сходных вычислительных приемов при умножении на двузначные числа. Укажем некоторые из них. 1) Учащимся предлагается рассказать способ решения пары примеров, составленных с таким расчетом, чтобы на фоне сходного ярче выступало различие приемов. Как умножить письменно 138 на 14? (Надо 138 умножить на 4, 138 умножить на 10, полученные результаты сложить: 138 • 14 = 138 • 4+ 138 • 10.) Как умножить 138 на 40? (Надо 138 умножить на 4 и полученный результат умножить на 10; 138 • 40 = 138 • 4 • 10.)
25 • 16 = 25 • (4 • 4)=25 • 4 • 4 25 • 16 = 25 • (2 • 8) =25 • 2 • 8 25 • 16 = 25 • (10 + 6) 25 • 16 = 16 • 25=16 • (5 • 5) = 16 • 5 • 5 и др. 5) Решение примеров наиболее удобным способом: 32 • 2 • 50 = 32 • 100 73 • 6 • 3 + 73 • 2 = 73 • 20 54 • 80 + 54 • 20 = 54 • 100 83 • 16 + 17 • 16 = 100 • 16 Учитель записывает на доске только левую часть приведенных равенств, а правую часть записывают учащиеся. После того как общие случаи умножения на двузначное и трехзначное число рассмотрены, включаются частные случаи умножения: умножение чисел, в записи которых на конце или в середине множителей есть нули. При изучении этих случаев умножения учащиеся имеют дело с уже знакомыми им приемами, только в новых условиях, поэтому им надо предоставлять как можно больше самостоятельности. После умножения на двузначное и трехзначное число натуральных чисел вводится умножение величин, выраженных в единицах двух наименований. При этом используется один способ: величину, выраженную в единицах двух наименований, выражают в единицах одного наименования, умножают эту величину на число и результат выражают в единицах двух наименований. При изучении всех случаев умножения прежде всего необходимо добиться понимания вычислительного приема, после чего вести работу по формированию вычислительных навыков. Для выработки навыков большое значение имеет, во-первых, своевременное сокращение объяснений решения примеров и соответствующих записей, во-вторых, тщательно продуманная система тренировочных упражнений. Для предупреждения ошибок надо приучить детей выполнять проверку решения. Письменное умножение проверяют способом прикидки результата. С этой целью находят произведение чисел высшего разряда множителей и сравнивают его с полученным результатом. Так, проверяя решение первого из приведенных примеров, найдем произведение 100-200 = 20 000, в результате же получили только 3288, значит, пример решен неправильно. Можно также проверять решение примеров на умножение делением. В связи с изучением умножения многозначных чисел необходимо повторять правила порядка выполнения действий; этому способствуют упражнения: «Запишите выражения и найдите их значения —к числу 803 прибавьте произведение чисел 254 и 30; произведение чисел 425 и 168 увеличьте на их разность и т. п.».
Как уже отмечалось, деление многозначных чисел "целесообразно изучать параллельно с умножением, выделяя при- этом следующие этапы: после умножения на однозначное число вводится деление на однозначное, число, вслед за умножением на разрядные числа дается деление на разрядные числа, сразу же после изучения умножения на двузначное и трехзначное число изучается деление на двузначное и трехзначное число. Рассмотрим каждый из названных этапов в отдельности. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||