Тиманюк, Животова. Биофизика. Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41
 Скачать 4.28 Mb.
|
|
Работа равна изменению потенциальной энергии W рамки, взятой с обратным знаком ? d d A W Тогда ? d sin d m W p После интегрирования получаем ? ? + cos const m W p Если принять, что = const 0 , то ? ? = ? ? cos m m W p B p B Таким образом, потенциальная энергия рамки максимальна при антипараллельной ориентации векторов m p и B и минимальна при параллельной, что соответствует положению устойчивого равновесия рамки. Из сравнения формул (9.5.3) и (9.1.31), (9.5.9) и (9.1.32) видно, что индукция магнитного поля B является аналогом напряженности электрического поля E . Эти величины — основные силовые Рис. 9.5.2. Вращение контура стоком в магнитном поле: плоскость контура расположена перпендикулярно плоскости рисунка направление вращения указано стрелкой при угле Глава 9. Электромагнетизм характеристики полей. Напряженность магнитного поля r H см. соотношение является вспомогательной характеристикой и соответствует вспомогательной характеристике электрического поля — индукции электрического поля Для магнитного поля, также как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции индукция результирующего магнитного поля, порождаемого системой из нескольких контуров стоком (или движущихся зарядов, равна векторной сумме индукций магнитного поля, порождаемых каждым контуром стоком (или движущимся зарядом) в отдельности : = = ? r r 1 n сравните с (Графически магнитное поле изображается с помощью линий магнитной индукции — кривых, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением магнитной индукции, причем густота линий (то есть число линий пронизывающих единичную перпендикулярную им площадку) численно равна модулю вектора. Так как в природе нет магнитных зарядов, то линии магнитной индукции замкнуты (то есть магнитное полене является потенциальным. Они нигде не начинаются и не заканчиваются (сравните с линиями напряженности электрического поля. Для определения направления линий магнитной индукции применяется правило правого винта (буравчика) или правило обхвата правой руки. Пусть линии магнитной индукции пронизывают малую площадку, в пределах которой магнитное поле однородно (рис. Скалярное произведение d ( d ) B S ? = ? r называется потоком вектора магнитной индукции или магнитным потоком. Модуль псевдовектора r dS равен площади рассматриваемой поверхности, а направление совпадает с направлением внешней нормали r n к ней. Для нахождения полного потока через поверхность просуммируем элементарные потоки Рис. 9.5.3. К определению магнитного потока 9.5. Магнитостатика 280 ? = ? ? d S B S Для плоской поверхности в однородном магнитном поле справедливо где — угол между направлением вектора B и внешней нормали к S. Единицей измерения магнитного потока является вебер (Вб), 1 Вб = 1 Тл•м 2 . Так как модуль вектора B численно равен густоте линий магнитной индукции, то магнитный поток численно равен числу линий, пронизывающих данную поверхность. Линии магнитной индукции замкнуты, поэтому для любого магнитного поля магнитный поток, пронизывающий замкнутую поверхность, равен нулю теорема Гаусса Введем понятие напряженности магнитного поля, которая связана с магнитной индукцией соотношением µ где — магнитная постоянная, ? µ = ? ? 7 0 4 10 Гн/м; µ — относительная магнитная проницаемость (см. § 9.6). Единицей напряженности магнитного поля в СИ является ампер на метр (А/м). Циркуляция (интеграл по замкнутому контуру) вектора напряженности магнитного поля равна сумме токов, протекающих сквозь контур, вдоль которого производится интегрирование (рис. 9.5.4): = = ? ? 1 d n i Направление обхода контура при интегрировании (указано стрелкой) соответствует правилу правого винта. Соотношение (9.5.16) носит название закона полного тока. Согласно экспериментально установленному Ампером закону, на элемент длины dl проводника стоком со стороны магнитного поля индукцией B действует сила — сила Ампера: Рис. 9.5.4. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля Глава 9. Электромагнетизм Ч r r d d F I l B где вектор r dl направлен в сторону тока; в скалярной форме sin d F IB l где ? — угол между векторами r dl и Для прямолинейного проводника длины l, расположенного вод- нородном магнитном поле, выражение (9.5.17) приобретает вид: = ? sin F IBl (9.5.19) Направление силы Ампера определяется согласно правилам векторного произведения (см. приложения) или по правилу левой руки. Сила Ампера вызывает перемещение проводника, а следовательно, совершает работу. Пусть прямолинейный проводник находится в однородном магнитном поле индукцией r B . Если проводник MN (рис. 9.5.5) не закреплен (например, способен перемещаться вдоль замкнутой цепи ABCD с помощью скользящих контактов, то действующая на него сила Ампера будет вызывать его перемещение в указанном на рисунке направлении. При малом перемещении проводника на величину dx совершается элементарная положительная работа cos d cos d cos d d A A F x IBl где ? — угол между положительной нормалью r n к контуру и вектором магнитной индукции r B . Такой же угол образует сила r F с направлением перемещения угол между вектором r B и проводником MN равен 90 °, поэтому ; = d d S l x — приращение площади контура ? = ? d cos d B S элементарный магнитный поток через площадку Рис. 9.5.5. Контур с перемещающейся перемычкой в магнитном поле 9.5. Магнитостатика Таким образом, работа, совершаемая силами магнитного поля при перемещении проводника с постоянным током, равна произведению величины тока на магнитный поток через поверхность, «пересеченную» проводником при его движении Формула (9.5.21) справедлива для проводника произвольной формы, совершающего поступательное или вращательное движение в однородном либо неоднородном магнитном поле. Работа, совершаемая полем при конечном перемещении проводника (при = const I ), , A I = где ? — поток, пересеченный проводником при его движении. Из соотношения (9.5.17) получаем, что на заряд q, движущийся в магнитном поле индукцией r B со скоростью v r , действует сила Лоренца: [ ] ? , F q v Чили в скалярной форме sin F qvB = ? где ? — угол между векторами v r и Как и направление силы Ампера, направление силы Лоренца, действующей на положительный заряд, определяется по правилу векторного произведения или по правилу левой руки. Для отрицательного заряда направление силы Лоренца противоположно. Сила Лоренца перпендикулярна скорости, поэтому она изменяет только направление движения, ноне значение скорости. Если модуль скорости остается постоянным, то отсутствует изменение кинетической энергии заряженной частицы. Таким образом, сила Лорен- ца не совершает работу. В зависимости от угла ? между векторами v r и r B , заряженная частица движется в магнитном поле либо по окружности ( ? = ? / 2 ), либо по спирали ( < ? < ? 0 , ? ? ? / 2 ). При этом частица, вращаясь вокруг силовых линий магнитной индукции, дрейфует вдоль ( ? < ? / 2 ) или против ( ? > ? / 2 ) силовых ли- ний. Определим частоту вращения заряженной частицы в магнитном поле, так называемую циклотронную частоту. Сила, вызывающая движение по окружности, является центростремительной, поэтому 2 v Глава 9. Электромагнетизм где R — радиус окружности, по которой происходит вращение; линейная v и угловая ? скорости связаны соотношением v R = Тогда циклотронная частота равна Отношение q m называется удельным зарядом частицы. Как видно из формулы (9.5.26), циклотронная частота не зависит от скорости и радиуса траектории. Эта особенность используется водном из типов ускорителей заряженных частиц — циклотронах. Магнитное поле электрического тока. Согласно закону Био—Са- вара—Лапласа 1 , индукция магнитного поля, создаваемого элементом проводника длиной dl , по которому течет ток I, равна Ч r 0 3 d d 4 I l где r dl — вектор, модуль которого равен элементу длины проводника, а направление совпадает с направлением тока r r — вектор, проведенный от элемента тока в ту точку, в которой определяется индукция (рис. 9.5.6); r — модуль этого вектора. Тогда магнитное поле, создаваемое проводником произвольной формы длины , l может быть вычислено по принципу суперпозиции как векторная сумма всех полей, создаваемых каждым элементом данного проводника Ч r 0 3 d 4 L I l В некоторых достаточно простых случаях для расчета магнитного поля можно пользоваться законом Био—Савара—Лапласа в скалярной форме Экспериментальные данные для установления этого закона были собраны французскими физиками Жаном Батистом Био (1774—1862) и Феликсом Саваром (1791—1841) в 1820 году и обобщены Пьером Лапласом (Рис. 9.5.6. Определение индукции магнитного поля в точке Ас помощью закона Био—Савара—Лапласа § 9.5. Магнитостатика 284 µ µ ? = ? ? 0 2 sin d 4 L I B l где ? — угол между векторами r dl ирис. Используя формулу (9.5.29), можно определить индукцию магнитного поля проводников стоком различной формы в соответствующих точках пространства. В качестве примера вычислим индукцию магнитного поля в центре кругового тока. Все элементы окружности r dl перпендикулярны радиус- вектору r r , поэтому ? = sin 1 ; расстояние от всех элементов проводника до точки, в которой вычисляется поле одинаково и равно радиусу окружности контура, = r R ; длина контура = ? 2 L R Тогда 2 0 0 0 2 2 0 0 d d 4 2 4 R R I l I I B l R R R ? ? µ µ µ µ µ Таким образом, индукция магнитного поля в центре кругового тока равна µ = 0 где R — радиус окружности контура. Индукция магнитного поляна оси кругового тока на расстоянии от плоскости контура радиусом R: ( ) µ µ = + 2 0 3 / 2 2 2 Индукция прямолинейного бесконечно длинного проводника стоком на расстоянии d от него µ = ? 0 Из соотношений (9.5.32) и (9.5.19) следует, что сила взаимодействия между двумя параллельными проводниками длиной l равна µ = ? 0 1 2 12 2 I I где 1 I и 2 I — токи, протекающие по первому и второму проводникам соответственно l — расстояние между ними. Глава 9. Электромагнетизм Из соотношения (9.5.16) получаем, что индукция магнитного поляна оси длинного соленоида, то есть соленоида, длина которого намного больше диаметра ( l d ), составляет µµ = µµ 0 0 N B I In где N — число витков провода соленоида l — длина соленоида — число витков, приходящихся на единицу длины соленоида. Поле, создаваемое однородным бесконечно длинным соленоидом, однородно и сосредоточено внутри него, снаружи напряженность равна нулю (сравните с электрическим полем плоского кон- денсатора). Рис. 9.5.7. Магнитное поле соленоида Рис. 9.5.8. К формуле индукции магнитного поля соленоида конечной длины В случае соленоида конечной длины поле снаружи отлично от нуля, но ничтожно мало (рис. 9.5.7). Индукция магнитного поляна оси соленоида конечной длины равна 2 1 cos cos 2 In B µ µ = ? ? ? где ? 1 и ? 2 — углы между осью соленоида и радиус-вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концам соленоида (рис. 9.5.8). § 9.6. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ТЕЛ Любые вещества, помещенные в магнитное поле, изменяют свое состояние и сами являются источниками магнитного поля. При рассмотрении магнитных свойств все вещества принято называть Соленоидом называется свернутый в спираль изолированный проводник, по которому течет электрический ток 9.6. Магнитные свойства тел магнетиками. Магнитные свойства веществ обусловлены их строением. Рассмотрим магнитные характеристики электронов, ядер, атомов и молекул на основе классических понятий и представлений При движении электрона со скоростью v по круговой орбите (рис. 9.6.1) через любое сечение, расположенное перпендикулярно движению электрона, за единицу времени переносится электрический заряд ? e , где e — заряд электрона ? — частота орбитального вращения электрона. Таким образом, орбитальное вращение электрона создает электрический ток силой Поскольку за направление тока принято движение положительных зарядов, то направления скорости движения электрона и электрического тока, создаваемого им, противоположны (рис. Магнитный момент электрона в этом случае равен ?? 2 m p IS e где = ? 2 S r — площадь круговой орбиты электрона. Частота ? вращения электрона может быть выражена через его линейную скорость v следующим образом = ? 2 v Тогда магнитный момент электрона составит evr или в векторной форме: [ ] ??? = Ч r r r 2 m e p v r Момент ??? r m p называется орбитальным магнитным моментом, так как вызван движением электрона по орбите. Направление вектора образует с направлением тока правовинтовую систему. Помимо орбитального магнитного момента вращающийся электрон обладает орбитальным механическим моментом импульса vr , (9.6.6) 1 На самом деле исчерпывающее объяснение магнетизма может быть получено лишь с помощью квантовой механики. Например, к электрону неприменимо понятие орбиты. Однако классическая физика позволяет получить более наглядное и вполне удовлетворительное представление о магнетизме. Глава 9. Электромагнетизм или в векторной форме: [ ] ??? = Ч r r r e L m r v где e m — масса электрона. Механический момент образует правовинтовую систему сна- правлением скорости вращения, поэтому направление ??? r L противоположно направлению ??? r рис. Отношение магнитного момента элементарной частицы к ее механическому моменту называется гиромагнитным или магнитомеханическим отношением. Для электрона эта величина равна ? 2 m e p Знак «–» указывает на то, что векторы ??? r m p и ??? r L имеют противоположное направление. Электрон обладает собственными магнитными механическим моментами. Собственный механический момент электрона называется спином r s L ; собственный магнитный момент — спиновым магнитным моментом r ms p . Спиновое гиромагнитное отношение в два раза больше орбитального ? ms Первоначально спин связывали с вращением электрона вокруг своей оси. Однако Бор показал, что в этом случае скорость вращения электронного облака на его периферии должна превышать скорость света. Согласно современным представлениям, спин и спиновый магнитный момент являются такими же неотъемлемыми характеристиками электрона, как его заряди масса. Спином обладают не только электроны, но и другие элементарные частицы — протоны, нейтроны, нейтрино и др. Спин элементарных частиц измеряется в единицах = ? h 2 h , где h — постоянная Планка (h = 6,63•10 –34 Дж•с): 1 От англ. spin — вертеться, вращаться. Рис. 9.6.1. Движение электрона по орбите — радиус орбиты v — скорость электрона электрический ток, создаваемый движением электрона ??? m p r — магнитный момент электрона ??? L r — механический момент 9.6. Магнитные свойства тел 288 = s L J где J — характерное для каждого сорта частиц целое (в том числе нулевое) или полуцелое положительное число, называемое спиновым квантовым числом. В частности, для электронов = 1 / 2 J . Тогда собственный магнитный момент электрона, в соответствии с формулой (9.6.9), равен Величина = = ? ? 23 2 0, 927 10 A 2 e называется магнетоном Бора и является естественной единицей измерения магнитного момента элементарных частиц. Ядро атома также имеет магнитный момент, который является векторной суммой магнитных моментов входящих в его состав элементарных частиц — протонов и нейтронов. Магнитный момент ядер измеряется в ядерных магнетонах : ? µ = 2 p где p m — масса протона. Магнитный момент атома равен векторной сумме магнитных моментов ядра и электронной оболочки, но так как = 1840 p e m m , то ядерный магнитный момент всегда во много раз меньше электронного, в связи с чем магнитный момент атома приблизительно равен векторной сумме магнитных моментов входящих в его состав электронов где Z — количество электронов в атоме ?? = + ??? m m m s P P P — полный магнитный момент электрона. Согласно принципу Паули, спины спаренных электронов всегда ориентированы противоположно, поэтому сумма магнитных моментов спаренных электронов равна нулю. Заполненные электронные оболочки также не имеют магнитного момента. Любое вещество в магнитном поле приобретает магнитный момент (намагничивается. Количественной характеристикой это- Глава 9. Электромагнетизм го процесса является намагниченность — векторная величина, численно равная суммарному магнитному моменту единицы объема вещества r 1 1 n mi где r mi P — магнитный момент частиц (атомов или молекул, из которых состоит вещество n — количество этих частиц в объеме Единицей намагниченности является ампер на метр, [J] = А/м. Для большинства веществ (неферромагнитных) намагниченность пропорциональна напряженности магнитного поля ? r где ? — безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый магнитной восприимчивостью. В отличие от диэлектрической восприимчивости (см. § 9.3), магнитная восприимчивость может быть как положительной (вектор r J направлен вдоль вектора r H ), таки отрицательной (направлен против Намагниченное вещество создает свое собственное магнитное поле. Поэтому магнитное поле в среде определяется внешним магнитным полем и собственным магнитным полем среды µ + µ ? = µ µ r r r r r r 0 0 0 где = µ r r 0 0 B H — индукция магнитного поля в вакууме |