Тиманюк, Животова. Биофизика. Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41

• Название: Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41
• Дата: 01.03.2020
• Размер: 4.28 Mb.
• Имя файла: Тиманюк, Животова. Биофизика.pdf
• Тип: Учебник; #110412
• страница: 18 из 42

С учетом действующих значений формуле (9.8.29) можно придать вид ??
=
?
cos
P
I Множитель
?
cos называется коэффициентом мощности. Если реактивное сопротивление равно нулю (X
L
= Сто и P = UI. При чисто реактивном сопротивлении (
= 0
R
)
? поэтому и средняя мощность, выделяемая вцепи, равна нулю.
Таким образом, если
? =
cos
0 , то никакой ток не даст вцепи среднюю мощность, отличную от нуля. В технике стремятся сделать как можно больше. При малом cos
? для выделения вцепи необходимой мощности нужно пропускать больший ток,
при этом потери в подводящих проводах возрастают, и приходится увеличивать их сечение 9.9. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Электромагнитными колебаниями называются периодические изменения заряда, тока, напряженностей электрического и магнитного полей. Они возникают вцепи, содержащей индуктивность,
емкость и активное сопротивление. Такая электрическая цепь называется колебательным контуром.
Рассмотрим идеальный колебательный контур, то есть контур,
в котором активное сопротивление равно нулю (рис. 9.9.1). Вызвать электромагнитные колебания в контуре можно, если заря Наименьшее значение cos ?
на производстве составляет Глава 9. Электромагнетизм

305
женный конденсатор подключить к катушке индуктивности, вследствие чего конденсатор начнет разряжаться ив контуре потечет ток. Энергия электрического поля конденсатора начнет уменьшаться, а энергия магнитного поля, обусловленная током, текущим через индуктивность, — возрастать.
Когда конденсатор полностью разрядится, ток в контуре достигнет максимального значения, после чего конденсатор начнет перезаряжаться до тех пор,
пока модуль напряженности электрического поля в конденсаторе не достигнет максимального значения. Затем снова начнется процесс разряда конденсатора, при этом ток в контуре потечет в обратном направлении. Полная энергия идеального колебательного контура, состоящая из энергии электрического и магнитного полей, не расходуется на выделение джоулева тепла (так как
= и останется постоянной.
Из сопоставления электрических и механических колебаний следует, что энергия электрического поля аналогична потенциальной упругой деформации, а энергия магнитного поля аналогична кинетической энергии. Величина, обратная емкости ?
? ?
? ?
1
C
, играет роль коэффициента жесткости k, заряд q соответствует смещению от положения равновесия х, индуктивность L — массе, ток
=
d d
q
I
t
— скорости d
d x
v t
=
. Сила тока, как и скорость является алгебраической величиной, то есть может принимать как положительные, таки отрицательные значения. При составлении дальнейших дифференциальных уравнений условимся считать положительным такое направление тока, при котором конденсатор заряжается, и наоборот.
Во время колебаний внешнее напряжение к контуру (рис. не приложено (напряжение прикладывается только для того, что-
Рис. 9.9.1. Идеальный колебательный контур 9.9. Электромагнитные колебания

бы зарядить конденсатор, и затем отключается, то есть
= 0
IR
), тогда, согласно закону Ома,
=
+
=
c
0
IR
U
E
,
(9.9.3)
где
= выражает падение напряжений на емкости при разрядке конденсатора определяет ЭДС самоиндукции, возникающую при прохождении тока через катушку.
Тогда уравнение (9.9.3) принимает вид:
+
=
d
0
d
I
q
L
t
C
(9.9.6)
Разделив выражение (9.9.6) на L и заменив d
d
I
t на
2 2
d d
q t
, получаем уравнение 2
d
1 0
d Если ввести обозначение =
0 то дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний (9.9.7) примет вид+ ? =
2 2
0 2
d
0
d q
q что математически тождественно дифференциальному уравнению незатухающих механических колебаний см. уравнение (Решением уравнения (9.9.9) является функция + ?
0 0
0
cos q
q Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой, определяемой выражением (Глава 9. Электромагнетизм

и начальной фазой
?
0
. Частота
?
0
называется собственной частотой контура. Период колебаний определяется формулой Томсона:
= ?
2
T
LC Соответственно изменению заряда изменяется и напряжение на конденсаторе + ? =
? + ?
0 0
0 0
0 0
cos (
)
cos
,
q где равно амплитудному значению напряжения.
Продифференцировав функцию (9.9.10) повремени, получаем выражение для периодических колебаний тока )
(
)
?
?
?
= ??
? + ? =
? + ? +
?
?
?
?
0 0 0
0 0
0 0
sin cos
2

I t где ?
0 0 определяет амплитудное значение силы тока.
Сопоставляя формулы (9.9.10), (9.9.12) и (9.9.14), заключаем, что в момент, когда ток достигает максимального значения, заряд конденсатора и напряжение обращаются в нуль и наоборот.
Из формул (9.9.13), (9.9.15) и (9.9.8) получаем соотношение между амплитудными значениями силы тока и напряжения Любой реальный контур обладает активным сопротивлением (рис. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание проводников, из которых состоит контур,
вследствие чего свободные колебания затухают. Запишем закон Ома для этого случая Рис. 9.9.2. Колебательный контур с активным сопротивлением 9.9. Электромагнитные колебания

С учетом формул (9.9.4) и (9.9.5) уравнение (9.9.17) принимает вид 0
d
I
L
RI
q Разделив выражение (9.9.18) на L и произведя замены
=
d d
q
I
t
,
=
2 2
d d
d d
I
q t
t
, получим 2
d d
1 0
d d
q
R
q Введя обозначение и произведя замену
= ?
2 0
1
LC

, дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний (9.9.19) можно записать в виде+ ?
+ ? =
2 2
0 2
d d
2 0
d d
q q
q что математически тождественно дифференциальному уравнению затухающих механических колебаний см. уравнение (При условии, что
? < ?
2 2
0

, решение уравнения (9.9.21) будет иметь вид + ?
0 0
e cos t

q где = ? ? ?
2 Подставляя выражения (9.9.8) ив уравнение (имеем =
?
2 2
1 При
= 0
R
выражение (9.9.24) переходит в выражение (Разделив уравнение (9.9.22) на емкость С, получаем напряжение на конденсаторе:
Глава 9. Электромагнетизм

309
(
)
(
)
??
??
=
? + ? =
? + ?
0 0
0 0
e cos e
cos t

t Чтобы найти ток, продифференцируем уравнение (9.9.22) повремени Умножив и разделив полученное выражение (9.9.26) на + ? = ?
2 2
0
см. уравнение (9.9.23)] и введя угол

?, определяемый условиями = ?
= ?
?
? + ?
2 2
0
cos
;
?
?
? =
=
?
? + ?

2 получаем ?
? + ? + ?
0 0 0
e cos t
I
q Поскольку
? <
cos
0 , а
? >
sin
0 , то
? < ? < Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на
?
2
(при
= 0
R
опережение составляет Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания см. формулу (2.3.24)]:
( )
(
)
? =
= ?
+
ln
,
A t
T
A где А) — амплитуда соответствующей величины (q, U или I ). А + T ) амплитуда той же величины через время, равное периоду Колебательный контур часто характеризуют его добротностью, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания 2
2 или с учетом формул (9.9.8) и (9.9.20)
=
1
L
Q
R C
(9.9.30)
§ 9.9. Электромагнитные колебания

При
2 2
0
? > ? , то есть
?
2 2
1 4
R
LC
L
, вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора, и вся выделившаяся при этом энергия расходуется на нагрев проводников. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим. Из условия
=
2 2
1 4
R
LC
L
, находим
2
?
L
R
C
=
(9.9.31)

Чтобы поддерживать незатухающие колебания, на контур подают переменное напряжение (риса. Запишем закон Ома для этого случая ?
?
+
?
0

d cos После преобразований получим дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний+ ?
+ ? =
?
2 2
0 0
2
d d
2
cos
,
d d
U
q q
q математически тождественное дифференциальному уравнение вынужденных механических колебаний см. уравнение (2.3.28)]. Решение для установившихся (см. рис. 2.3.5) вынужденных колебаний имеет вид ? ? ?
?
?
?
?
0
cos
2

q где ? ?
+ ? ?
0 0
2 2
2 2 2 0
/
4
U
L
q
;
(9.9.35)
?
??
?
?
? +
= ?
=
?
?
?
? ? ?
?
?
2 2
0 1
2
tg
2
tg
(9.9.36)
1
Уравнение (9.9.34) является частным решением неоднородного линейного дифференциального уравнения (9.9.33). Для нахождения общего решения необходимо к (9.9.34) прибавить общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения (9.9.21), то есть выражение (Глава 9. Электромагнетизм

После подстановки (9.9.8) и (9.9.20) получаем+ ? ?
?
?
?
?
?
0 0
2 2
1
U
q
R
L
C
;
(9.9.37)
(
)
2 2
0 1
tg
L
L
C
R
R
? ?
? ? ?
?
?

? Вычислим силу тока вцепи при установившихся колебаниях ? ?
? ? ? ?
=
? ? ?
?
?
?
?
0 0
d sin cos d
2
q
I
q t
I
t Согласно формуле (9.9.37),
= ? =
?
?
+ ? ?
?
?
?
?
?
0 0
0 2
2 Ток отстает от напряжения на угол

?, при ? > ?
0
, опережает при
? < ?
0
и совпадает по фазе с напряжением при
? = ?
0
§ 9.10. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Появление магнитного поля вызывают не только токи проводимости, но итак называемые токи смещения, которые могут течь даже в вакууме. Рассмотрим это наследующем примере. Известно, что конденсатор, подключенный в цепь постоянного тока, размыкает ее, а подключенный в цепь переменного тока — нет. Согласно классическим представлениям, линии тока, также как и линии потоков жидкости, должны быть замкнуты, то есть через конденсатор вцепи переменного тока тоже должен протекать ток.
По проводникам цепи течет ток проводимости пр, ток, протекающий через конденсатор вцепи переменного тока и замыкающий ток проводимости, был назван Максвеллом током смещения см. При последовательном соединении эти токи равны d
q
I
I
t
(9.10.1)
§ 9.10. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны

Заряд на обкладках плоского конденсатора равен ?
=
=
= ? ?

0 см. формулы (9.2.3) и (Отсюда сила тока смещения ? ?
0
d Таким образом ток смещения — это изменяющееся во времени электрическое поле.

Поле конденсатора однородно, поэтому плотность тока в нем составляет ? или в векторной форме ? ?
r r
0
d d
E
j Учитывая соотношение между напряженностью и индукцией электрического поля см. формулу (9.1.12)], можно записать r
d d
D
j Из уравнения (9.10.5) следует, что при зарядке конденсатора вектор плотности тока смещения
??
r j
направлен вдоль вектора r
E

; при разрядке ?
?
<
?
?
?
?
d
0
d
E
t
— против.
Максвелл ввел понятие полного тока, определяемое как сумма токов проводимости и смещения d
S
S
D
I
I
I
j j
S
j
S
t
?
?
?
=
+
=
+
=
+
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
r r
r r
r
(
)
??
d d
S
S
j
S
D S
t
?
=
+
?
?
?
r r
r знак частной производной
?
?t указывает на зависимость D, как от времени, таки от пространственной координаты).
Глава 9. Электромагнетизм

В проводниках токи смещения по сравнению стоками проводимости очень малы и ими можно пренебречь, и, наоборот, в диэлектриках почти отсутствуют токи проводимости.

Из формулы (9.3.8) получаем, что плотность тока смещения в диэлектрике составляет ?
+



0
d d
d d
E
P
j Здесь первое слагаемое определяет токи смещения в вакууме,
а второе — смещение (ноне перенос) электрических зарядов в диэлектрике и его нагревание (так называемый ток поля риза ц и и).
Токи смещения, возникающие в биологических объектах при воздействии на них переменными электромагнитными полями,
приводят к нагреванию тканей. Этот факт используется в терапевтических целях (например УВЧ-терапия), ас другой стороны, является одной из причин вредного воздействия электромагнитных полей высокой интенсивности (см. главу В основе теории электромагнетизма лежат уравнения Максвелла.

Первую пару уравнений Максвелла образуют уравнения ?
?
?
?










(
d )
(
d );
L
S
E
l
B S
t
(9.10.9)
=
?




(
d )
0.
S
B Первое уравнение (9.10.9) связывает значение


E
с временным изменением вектора


B
и является выражением закона электромагнитной индукции Фарадея см. (9.7.4)]. Переменное магнитное поле в любой точке пространства создает вихревое электрическое поле, линии напряженности которого охватывают линии индукции магнитного поля в виде замкнутых кривых (рис. Постоянное магнитное полене создает электрическое (при Согласно второму уравнению, полный поток вектора маг-
Рис. 9.10.1. Формирование вихревого электрического поля напряженностью переменным магнитным полем индукцией
B


§ 9.10. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны

314
нитной индукции


B
через замкнутую поверхность S равен нулю.
Это уравнение отражает свойство вектора


B
, проявляющееся в том,
что его силовые линии замкнуты. Это, в свою очередь, вытекает из того факта, что в природе нет магнитных зарядов.
Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравнения )
d d
L
S
S
H
l j
S
D S
t
;
(9.10.11)
= ?
=
?
?




(
d )
d
S
V
D Первое уравнение (9.10.11), являясь обобщенным законом полного тока (9.5.16), указывает на то, что магнитное поле порождается двумя факторами токами проводимости и токами смещения
[см. формулу (9.10.7)]; последние, в свою очередь, возникают только при наличии переменного электрического поля (
? ?
?

0
D
t
, Согласно этому уравнению, вокруг всякого тока проводимости и переменного электрического поля всегда существует вихревое магнитное поле, причем
?




E
H
(рис. Согласно второму уравнению, поток вектора индукции электрического поля через замкнутую поверхность S равен заряду,
заключенному внутри нее. Из уравнения следует, что линии вектора могут начинаться и оканчиваться на зарядах.
Уравнения (9.10.9), (9.10.10),
(9.10.11) и (9.10.12) представляют собой уравнения Максвелла вин- тегральной форме. От уравнений в интегральной форме можно с помощью теорем векторного анализа перейти к уравнениям в дифференциальной форме, которые связывают значения


E
или в некоторой точке с

d d
B
t или

d d
D
t в той же самой точке пространства. Однако это выходит за рамки программы по высшей математике для фармацевтических и медицинских специальностей.
Уравнения (9.10.9), (9.10.10), (9.10.11) итак называемые уравнения поляне учитывают свойства среды, в которой существует электромагнитное поле, и взаимодействие поля с веще-
Рис. 9.10.2. Формирование вихревого магнитного поля индукцией
B


переменным электрическим полем напряженностью Глава 9. Электромагнетизм

315
ством. Влияние среды на электромагнитное поле описывается относительными электрической
? и магнитной µ проницаемостями и удельной электропроводностью
?. Поэтому к системе [(9.10.9) —

(9.10.12)] из четырех уравнений добавляются еще три уравнения состояния среды, так называемые материальные уравнения ? ?
r r
0
D
E
;
(9.10.13)
= µ µ
r r
0
B
H
;
(9.10.14)
= ?
r Совокупность уравнений поля [(9.10.9) — (9.10.12)] и материальных уравнений [(9.10.13) — (9.10.15)] образует полную систему уравнений Максвелла, являющихся основой электродинамики покоящихся сред.
Уравнения Максвелла сыграли и продолжают играть огромную роль в развитии физики. Они позволили объяснить уже известные на тот момент времени факты, а также предсказать ряд новых,
например, существование электромагнитных волн, электромагнитную природу света. Уравнения Максвелла лежат в основе электротехники и радиотехники.
Переменное магнитное поле вызывает появление электрического поля и наоборот — токи смещения, связанные с переменным электрическим полем, вызывают появление магнитного поля. Таким образом, электрические и магнитные поля неразрывно взаимосвязаны и образуют единое электромагнитное поле. Распространение электромагнитного поля в пространстве, сопровождающееся взаимным превращением электрического и магнитного полей, называется электромагнитной волной.
Уравнения (9.10.9) и (9.10.11) могут быть преобразованы к виду ? ?µ µ
?
?
?
?
r r
r r
2 2
2 0
0 2
2 2
2
;
E
E
E
E
x y
z и ? ?µ µ
?
?
?
?
r r
r r
2 2
2 2
0 0
2 2
2 2
H
H
H
H
x y
z Отметим, что уравнения (9.10.16) и (9.10.17) неразрывно взаимосвязаны, так как они выведены из уравнений (9.10.9) и (каждое из которых содержит и r
E
, и Уравнения такого вида представляют собой волновые уравнения
[сравните с волновым уравнением механических волн (2.4.7)] и ука-
§ 9.10. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны

316
зывают на то, что электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна 0 1
1
v =
?
? Для вакуума из формулы (9.10.18) получается 12 7
0 0 1

1 3 10 ?/?
8,85 10 4
10
v c
?
?
= =
=
= ?
? µ
?
? ? ?
. (Таким образом, в вакууме скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света (свет, собственно говоря, и есть электромагнитные волны в определенном диапазоне частот или длин волн).
Скорость распространения света в среде равна c
c Величина называется абсолютным показателем преломления среды. Она показывает, во сколько раз скорость распространения света в данной среде меньше скорости распространения света в вакууме.
Запишем частный случай уравнений (9.10.16) и (9.10.17) для плоской электромагнитной волны, распространяющейся водно- родной непроводящей среде (
? = 0 ;
=
r
0
j
;
= ? ?
r r
0
D
E
;
= µ µ
r r
0
;
B
H
? и µ — постоянные) вдоль оси х, перпендикулярной волновым поверхностями Отметим, что остальные составляющие и r
H
равны нулю, то есть ЕЕ Н = Н = 0, тогда E
y
= E ; H
z
= H. Индексы y и z при Е и Н подчеркивают то обстоятельство, что векторы r
E
и направлены по взаимно перпендикулярным осями Простейшим решением уравнений (9.10.22) и (9.10.23) будет следующее:
Глава 9. Электромагнетизм

317
=
? ?
+ ?
0 0
cos (
);
y
E
E
t kx
(9.10.24)
=
? ?
+ ?
0 0
cos(
)
z
H
H
t где
? — циклическая частота волны k — волновое число v
?
?
=
=
?
;