Лабораторная работа 110 введение

• Название: Лабораторная работа 110 введение
• Анкор: LR110.doc
• Дата: 20.05.2017
• Размер: 2.69 Mb.
• Имя файла: LR110.doc
• Тип: Лабораторная работа; #8019
• страница: 1 из 4

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 110

ВВЕДЕНИЕ
Колебаниями называются процессы, в той или иной степени повторяющиеся во времени. При периодических колебаниях изменение наблюдаемой величины в точности повторяется через совершенно определенное время - период. Они описываются периодической функцией времени

(1)

где Т – период функции, n – произвольное целое число.

Колебание будет полным, если за кратчайшее время система полностью повторит свое движение. Время Т, в течение которого совершается одно полное колебание, является периодом колебания. Число полных колебаний в единицу времени называется частотой колебаний.

(Гц-герц) (2)

С
истема, выведенная из положения равновесия и предоставленная самой себе, совершает свободные ( или собственные ) колебания. Если при этом энергия системы не изменяется, то ее колебания будут собственными незатухающими. Колебания с уменьшающейся энергией называются свободными затухающими. Колебания, совершаемые системой под воздействием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными.

Среди разнообразных колебаний, встречающихся в природе, основную и очень важную роль играют гармонические колебания (рис.1) представляют периодический процесс, в котором изменение наблюдаемой величины описывается функцией синуса ( или косинуса ):

или (3)

Здесь Х – отклонение ( смещение ) механической системы от положения равновесия. Наибольшее смещение А называется амплитудой колебаний. Аргумент синуса или косинуса (ωt + φ) определяет смещение в любой момент времени и называется фазой колебаний; φ – начальная фаза ( в момент t = 0). Величина ω, равная числу колебаний за 2π единиц времени, называется циклической ( или круговой) частотой. Она в 2π раз больше обычной частоты ν:

или радс^-1 (4)

Амплитуда А и начальная фаза φ определяются начальными условиями, т.е. смещением Х₀ и скоростью V₀ в момент времени t = 0.

Система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. Для описания его колебаний составляют дифференциальное уравнение движения и, решая его, находят закон этих колебаний – зависимость смещения от времени.

Рассмотрим несколько простейших систем, совершающих гармонические колебания.

1. 
   Пружинный маятник – тело массой m, способное совершать колебания под действием силы абсолютно упругой невесомой пружины (рис.2).
   

При смещении тела на расстояние Х от положения равновесия на него действует сила упругости пружины, направленная к положению равновесия:

F = - kX (5)

где k – коэффициент упругости (жесткость) пружины. Уравнение второго закона Ньютона для тела имеет вид

mX = - kX или (6)

где – ускорение тела, равное второй производной смещения по времени).

Обозначив положительную величину k/m через ω²₀, получим

(7)

Следовательно, движение тела под действием упругой силы описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами без первой производной. Уравнение вида (7) называется уравнением гармонических колебаний. Общее решение уравнения (7)

X = A Cos(ω₀t + φ) (8)

является законом гармонического колебательного движения с собственной частотой

(9)

и периодом колебаний

. (10)

Т
аким образом, для того чтобы тело совершало гармонические колебания, действующая на него сила должна быть пропорциональна величине смещения тела и направлена в сторону, противоположную этому смещению. Если сила не является по своей природе упругой, но подчиняется закону (5), то ее называют “квазиупругой силой” (как бы упругой).

2. 
   Физический маятник – это твердое тело, способное совершать колебания под действием своей силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр тяжести (масс) тела (рис.3).
   

При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращательный момент М, стремящийся вернуть его в положение равновесия:

М = - mga Sinφ,

где m – масса маятника, g – ускорение свободного падения, а – расстояние между точкой подвеса 0 и центром тяжести С.

Основной закон динамики вращательного движения в применении к физическому маятнику запишется в виде:

J = mga Sin φ, (11)

где J – момент инерции физического маятника относительно оси вращения 0, – угловое ускорение.

При малых угловых отклонениях Sin φ ≈ φ (в радианах) формула (11) переходит в уже известное нам уравнение гармонического колебания

. (12)

В данном случае круговая частота колебаний физического маятника выражается формулой

(13)

а период колебаний

(14)

3. Математический маятник – материальная точка, подвешенная на идеально гибкой, невесомой, нерастяжимой нити и способная совершать колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Математический маятник представляет собой предельный случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре масс, так что а = l – длина математического маятника, а J = ml². Соответственно, круговая частота и период колебаний математического маятника равны

, (15)

Малые колебания рассмотренных маятников являются примерами изохронных колебаний, т.е. колебаний, частоты и периоды которых не зависят от амплитуды.

В общем случае период колебаний зависит от амплитуды, например, решив уравнение (2) для физического маятника, можно найти:

, (16)

где -наибольший угол отклонения от положения равновесия.

Из уравнений (14) и (15) следует, что математический маятник с длиной

L = (17)

будет иметь такой период колебаний, как и данный физический маятник. Величину (17) называют приведенной длиной физического маятника.

Точка на прямой (см. рис.3), соединяющий точку подвеса с центром масс, лежащая на расстоянии L от оси вращения 0, называется центром качания физического маятника.

По теореме Штейнера момент инерции маятника J может быть представлен в виде , (18)

где J₀ – момент инерции относительно оси, параллельной оси вращения и проходящей через центр масс маятника. Подставив (18) в формулу (17), получим:

, (19)

Следовательно, точка подвеса 0 и центр качания лежат по разные стороны от центра масс С. Точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности:при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания, т.е. приведенная длина и период колебаний маятника останутся прежними. Для доказательства этого утверждения достаточно, очевидно, показать равенство приведенных длин L = для двух положений маятника. Действительно, по формуле(19) имеем

и ,

Из рис.3 следует:. Подставив это выражение в формулу для, найдем новую приведенную длину



и, следовательно, =Т.

На этом свойстве основано определение ускорения свободного падения с помощью так называемого оборотного маятника, в котором путем перераспределения масс можно добиться взаимности между двумя асимметричными точками подвеса относительно центра масс. Тогда при подвешивании за любую из этих двух точек подвеса период колебаний будет одинаков, а расстояние между точками будет равно L Измерив период колебаний маятника и зная L, можно по формуле



найти ускорение свободного падения g.

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

В реальных колебательных системах кроме квазиупругих сил присутствуют силы сопротивления среды. Наличие сил трения приводит к рассеянию (диссипации) энергии и уменьшению амплитуды колебаний. Замедляя движение, силы трения увеличивают период, т.е. уменьшает частоту колебаний. Такие колебания не будут гармоническими.

Колебания с непрерывно уменьшающейся во времени амплитудой вследствие рассеяния энергии называются затухающими. При достаточно малых скоростях сила трения пропорциональна скорости тела и направлена против движения

, (20)

где r – коэффициент трения, зависящий от свойств среды, формы и размеров движущегося тела. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний при наличии сил трения будет иметь вид

или (21)

где - коэффициент затухания, - собственная круговая частота свободных колебаний при отсутствии сил трения.

Общим решением уравнения (21) в случае малых затуханий () является

. (22)

Оно отличается от чисто гармонического (8) тем, что амплитуда колебаний

(23)

является убывающей функцией времени, а круговая частота связана с собственной частотой и коэффициентом затухания соотношением

. (24)

Период затухающих колебаний равен

. (25)

Зависимость смещения Х от t затухающих колебаний представлена на рис.4.

C
тепень убывания амплитуды определяется коэффициентом затухания . За время амплитуда (23) уменьшается в е ≈ 2,72 раз. Это время естественного затухания называют временем релаксации. Следовательно, коэффициент затухания есть величина, обратная времени релаксации

.(26)

Скорость уменьшения амплитуды колебаний характеризуется логарифмическим декрементом затухания . Пусть А(t) и А(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на один период. Тогда отношение

(27)

называется декрементом затухания, который показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время, равное периоду. Натуральный логарифм этого отношения

(28)

называется логарифмическим декрементом затухания. Здесь, N_e – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз, т.е. за время релаксации.

Таким образом, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, по прошествии которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Скорость уменьшения энергии колебательной системы характеризуется добротностью Q. Добротностью колебательной системы называется величина, пропорциональная отношению полной энергии Е(t) колебательной системы к энергии (-Е), теряемой за период Т:

(29)

Полная энергия колебательной системы в произвольный момент времени и при любом значении Х имеет вид

(30)

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, энергия затухающих колебаний уменьшается пропорционально величине , можно написать

. (31)

Тогда, согласно определению, выражение для добротности колебательной системы будет иметь вид

. (32)

Здесь учтено, что при малых затуханиях (1): 1-е^-2  2.

Следовательно, добротность пропорциональна числу колебаний N_e, совершаемых системой за время релаксации.

Добротность колебательных систем может сильно различаться, например, добротность физического маятника Q 10², а добротность атома, который тоже является колебательной системой, достигает Q 10⁸.

В заключение отметим, что при коэффициенте затухания β=ω₀ период становится бесконечным Т =∞ (критическое затухание). При дальнейшем увеличении β период Т становится мнимым, а затухание движения происходит без колебаний, как говорят, апериодически. Этот случай движения изображен на рис.5. Критическое затухание (успокоение) происходит за минимальное время и имеет важное значение в измерительных приборах , например, в баллистических гальванометрах.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И РЕЗОНАНС
Если на тело с массой m действуют упругая сила F_у = -kX, сила трения и внешняя периодическая сила , то оно совершает вынужденные колебания. В этом случае дифференциальное уравнение движения имеет вид

, или, (33)

где, - коэффициент затухания, - собственная частота свободных незатухающих колебаний тела, F₀ – амплитуда, ω – частота периодической силы.


В начальный момент времени работа внешней силы превосходит энергию, которая расходуется на трение (рис. 6). Энергия и амплитуда колебаний тела будет возрастать до тех

пор, пока вся сообщаемая внешней силой энергия не будет целиком расходоваться на преодоление трения, которое пропорционально скорости. Поэтому устанавливается равновесие, при котором сумма кинетической и потенциальной энергии оказывается постоянной. Это условие характеризует стационарное состояние системы.

В таком состоянии движение тела будет гармоническим с частотой, равной частоте внешнего возбуждения, но вследствие инерции тела его колебания будут сдвинуты по фазе по отношению к мгновенному значению внешней периодической силы:

X = AСos(ωt + φ). (34)

В отличие от свободных колебаний амплитуда А и фаза  вынужденных колебаний

зависят не от начальных условий движения, а будут определяться только свойствами колеблющейся системы, амплитудой и частотой вынуждающей силы:

, (35)

. (36)

Видно, что амплитуда и сдвиг по фазе зависят от частоты вынуждающей силы (рис.7 и 8).

Характерной особенностью вынужденных колебаний является наличие резонанса. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте свободных незатухающих колебаний тела ω₀ носит название механического резонанса. Амплитуда колебаний тела при резонансной частоте достигает максимального значения:


(37)

По поводу резонансных кривых (см. рис. 7) сделаем следующие замечания. Если ω→ 0, то все кривые (см. также (35)) приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению , так называемому статистическому отклонению. Если ω→ ∞, то все кривые асимптотически стремятся к нулю.

При условии малого затухания (β² ‹‹ω₀²) резонансная амплитуда (см.(37))

(37а)

При этом условии возьмем отношение резонансного смещения к статическому отклонению.

,

из которого видно, что относительное увеличение амплитуды колебаний при резонансе определяется добротностью колебательной системы. Здесь добротность является по сути коэффициентом усиления отклика системы и при малом затухании может достигать больших значений.

Это обстоятельство обусловливает огромное значение явления резонанса в физике и технике. Его используют, если хотят усилить колебания, например, в акустике – для усиления звучания музыкальных инструментов, в радиотехнике – для выделения нужного сигнала из множества других, отличающихся по частоте. Если резонанс может привести к нежелательному росту колебаний, пользуются системой с малой добротностью.

СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Источником внешней периодической силы может служить вторая колебательная система, упруго связанная с первой. Обе колебательные системы могут действовать одна на другую. Так, например, случай двух связанных маятников (рис. 9).

Система может совершать как синфазные (рис. 9б), так и противофазные (рис. 9с) колебания. Такие колебания называются нормальным типом или нормальной модой колебаний и характеризуются своей собственной нормальной частотой. При синфазных колебаниях смещения маятников во все моменты времени Х₁ = Х₂, а частота ω₁ точно такая же, как частота отдельно взятого маятника . Это объясняется тем, что легкая пружина находится в свободном состоянии и не оказывает никакого влияния на движение. При противофазных колебаниях во все моменты времени – Х₁ = Х₂. Частота таких колебаний больше и равна , так как пружина, обладающая жесткостью k и осуществляющая связь, все время находится то в растянутом, то в сжатом состоянии.


Любое состояние нашей связанной системы, в том числе и начальное смещение Х (рис. 9а), можно представить в виде суперпозиции двух нормальных мод:

и .

Если привести систему в движение из начального состояния Х₁ = 0, , Х₂ = 2А, ,

то смещения маятников будут описываться выражениями:

,

(38)


На рис. 10 представлено изменение смещения отдельных маятников во времени.

Частота колебаний маятников равна средней частоте двух нормальных мод

(39)

а их амплитуда изменяется по закону синуса или конуса с меньшей частотой, равной половине разности частоты нормальных мод

. (40)

Медленное изменение амплитуды с частотой, равной половине разности частот нормальных мод, называется ^“биениями^” двух колебаний с почти одинаковыми частотами. Частота “биений” равна разности ω₁ –ω₂ частот, (а не половине этой разности), поскольку максимум амплитуды 2А достигается дважды за период, соответствующий частоте

Отсюда период биений оказывается равным

(41)

При биениях между маятниками происходит обмен энергией. Однако полный обмен энергией возможен только тогда, когда обе массы одинаковы и отношение (ω₁+ω₂ / ω₁-ω₂) равно целому числу. Необходимо отметить один важный момент: хотя отдельные маятники могут обмениваться энергией, обмен энергией между нормальными модами отсутствует.

Наличие таких колеблющихся систем, которые взаимодействуют между собой и способны передавать друг другу свою энергию, составляют основу волнового движения.