Тиманюк, Животова. Биофизика. Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41

• Название: Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41
• Дата: 01.03.2020
• Размер: 4.28 Mb.
• Имя файла: Тиманюк, Животова. Биофизика.pdf
• Тип: Учебник; #110412
• страница: 4 из 42

В векторной форме ?
?
=
=
?
r r
r
0
d lim
,
d t
r r
v в скалярной форме d
S
v Единица измерения скорости — метр в секунду
[ ]
=
v м/с.
Производная скорости повремени называется ускорением.

В векторной форме ?
?
=
=
=
?
r r
r r
2 2
0
d d
lim
,
d d
t v
v r
a t
t в скалярной форме 2
d d
d d
v
S
a Единица измерения ускорения — метр в секунду в квадрате м/с
2
Если известны зависимости ускорения и скорости от времени,
а также значения скорости и радиус-вектора в некоторый момент времени
1
t , то значения скорости и радиус-вектора в момент времени определяются с помощью интегральных формул r
r
2 1
2 1
( )
( )
( ) d ,
t t
v t v t a t t
(2.1.7)
2 1
2 1
( )
( )
( ) d .
t t
r t r t v t t
=
+
?
r Глава 2. Механика Далее единицы измерения всех вводимых величин приведены в СИ без указания на это

Путь, пройденный телом за промежуток времени
? =
?
2 1
t t
t равен =
?
2 1
( )d .
t t
S
v t Равномерное прямолинейное движение описывается следующими уравнениями в векторной форме 0;
const;
,
a v
r r
vt
=
=
?
=
r r
r r где
0
r r
— радиус-вектор в момент времени t = 0; r r
— радиус- вектор в произвольный момент времени Равнопеременное прямолинейное движение описывается следующими уравнениями в векторной форме r
r r
r r r
r
0 2
0 0
const;
;
1
,
2
a v
v at r
r v t где
0
v r
— вектор скорости в момент времени t = 0; r
v — мгновенное значение скорости в момент времени Вращательное движение. Пусть точка вращающегося тела описывает дугу
?S окружности радиуса
R . Центр окружности лежит на оси вращения. Радиус-вектор точки при этом описывает угол
??
(рис. 2.1.3). Законы вращательного движения применимы к описанию движения вдоль любой плоской кривой. Для этого выбирается бесконечно малый ее участок на котором строится соприкасающаяся окружность. Ее радиус называется радиусом кривизны данной точки кривой, а центр — центром кривизны. Радиус кривизны определяется выражением d'R = dS/d
?, где d? угол, описываемый радиусом- вектором при движении вдоль кривой на участке dS. Между дугой , радиусом R и углом
??

существует соотношение = ??
S
R Производная угла поворота повремени называется угловой скоростью. Кинематика
Рис. 2.1.3. Движение точки по окружности

Угловая скорость характеризует быстроту вращения тела. Единица измерения угловой скорости — радиан в секунду
[ ]
?
= рад/с
2
Угловая скорость связана с линейной следующим соотношением Угловая скорость является псевдовектором, направление которого зависит от направления вращения и определяется по правилу правого винта (рис. Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением ?
??
?
?
? =
=
=
?
2 2
0
d d
lim d
d t
t Единица измерения углового ускорения радиан в секунду в квадрате
[ ]
? =
рад/с
2
Угловое ускорение также является псевдовектором, направление которого совпадает с направлением вектора угловой скорости при ускоренном движении или противоположно ей при замедлен- ном.
Равномерное вращательное движение совершается с постоянной угловой скоростью и описывается следующими уравнениями =
? =

? = ? + ?
0 где
?
0
— начальное значение угла поворота (при
= Равнопеременное вращательное движение совершается с постоянным угловым ускорением и описывается следующими уравнениями где
?
0
— начальная угловая скорость (при
= Время T, в течение которого совершается один оборот, называется периодом вращения. Частота вращения в единицу времени обозначается
?. Очевидно, что
Рис. 2.1.4. Направление вектора (псевдовектора)
угловой скорости
Глава 2. Механика

41
? Угловая скорость
? и частота ? связаны соотношением = ?? =
2 При равномерном движении точки по окружности линейная скорость изменяется только по направлению. Ускорение при этом направлено по радиусу к центру окружности и называется центростремительным, или нормальным ускорением ?
= ?
2 2
n При неравномерном движении точки по окружности скорость изменяется не только по направлению, но и по абсолютному значению. В этом случае вектор полного ускорения состоит из двух составляющих центростремительного ускорения n
a и тангенциального ускорения t
a направленного по касательной вдоль скорости при ускоренном движении или против — при замедленном и характеризующего изменение только модуля скорости точки ?
t a
R При равномерном движении
= 0
t Из рис. 2.1.5. видно, что модуль вектора полного ускорения 2
n t
a a
a Характеристики и уравнения кинематики поступательного и вращательного движений сопоставлены в табл. 2.1.1.
§ 2.2. ДИНАМИКА
В динамике каждое тело характеризуется массой. Масса тела определяет инерционные и гравитационные свойства материи.
Общая масса системы тел равна сумме масс составляющих ее тел.
Рис. 2.1.5. Направления векторов нормального r
n тангенциального r
t a
и полного ускорений 2.2. Динамика

Таблица Кинематические характеристики и уравнения поступательного и вращательного движений
Поступательное движение
Вращательное движение rr — радиус-вектор
S
r

— путь ?
S
R

?r — угол vr — скорость ?
v
R
?r — угловая скорость a
r

— ускорение ?
t a
R
;
= ?
2
n a
R
?r
— угловое ускорение
Форма уравнения
Дифферен-
Интегральная
Дифферен-
Интегральная циальная циальная
( )
r t r
0 0
( )
d t
r t r
v t
=
+
?
r r
r
( )
t
?r
0 0
( )
d t
t t
?

= ? + ?
?
r r
r d
( )
d r
v t t
=
r r
0 0
( )
d t
v t v
a t
=
+
?
r r
r d
( )
d t
t
?
?
=
r r
0 0
( )
d t
t t
?

= ? + ?
?
r r
r
2 2
d d
( )
d d
v r
a t t
t
=
=
r r
r
( )
a t r
2 2
d d
( )
d d
t t
t
?
?
?
=
=
r r
r
( Равномерное r
v t
=
+
r r
0
t

? = ? + ?
r Равнопеременное v
a t
=
+
r r
r
0
t

? = ? + ?
r r
r
2 0
0 1
2
r r
v t a t
=
+
+
r r
r r
2 0
0 1
2
t t

? = ? + ? + ?
r r
r Это согласуется с экспериментом в классической и нерелятивистской квантовой механике.
Немаловажную роль играют и другие характеристики тел, например размер, форма и их изменение при различных взаимодействиях. Когда таковые несущественны, удобно вводить понятие материальной точки, то есть объекта, лишенного размеров и фор-
Глава 2. Механика

мы, но имеющего массу. Разбивая условно каждое тело на части,
размеры которых пренебрежимо малы, можно представить тело как систему материальных точек.
Количественной мерой взаимодействия тел является сила. Сила является векторной величиной и характеризуется значением, направлением и точкой приложения. Если к материальной точке приложено несколько сил
1 2
,
, ... ,
,
n
F F
F
r r
r то их действия можно заменить действием силы r
,
F
которая называется равнодействующей и представляет собой векторную сумму данных сил r
r r
r
L
1 2
1
n n
i i
F
F
F
F
F Если мы имеем дело нес точкой, ас материальным телом, то действие нескольких сил в общем случае нельзя свести к действию одной силы. Однако это действие можно свести к действию одной силы и одной пары сил (момента силы, вызывающих поступательное и вращательное движение соответственно.
Тела взаимодействуют посредством силовых полей. Силовое поле — это область пространства, в каждой точке которой на тело действует сила, зависящая от свойств тела.
Методы измерения массы и силы следуют из основных законов динамики. Вид основных уравнений динамики зависит от системы отсчета, относительно которой рассматривается движение.
Законы динамики формулируются для инерциальных систем, характеризующихся тем, что в таких системах отсчета тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения,
пока на него не подействует какая-либо сила. Иначе говоря, если или
=
?
r
0,
i
F
то
=
r const v
или Это определение инерциальной системы называется законом инерции, или первым законом Ньютон а.
Основное уравнение динамики формулируется во втором законе Ньютона ускорение, которое приобретает материальная точка массой m под действием силы r
,
F
прямо пропорционально силе и обратно пропорционально массе точки r
r
2 2
d
1
d r
a
F
m Согласно третьему закону Ньютона, при взаимодействии двух тел силы, действующие на них, равны по значению и противоположны по направлению 2.2. Динамика

44
= ?
r r
12 21
F
F Измерив ускорения, полученные телами при взаимодействии,
можно получить отношения их масс, то есть сравнить любую массу с эталонной. В СИ эталоном массы является килограмм (кг).
Измеряя ускорения, придаваемые одной и той же массе различными силами, можно измерять силы. Таким образом, система трех законов Ньютона позволяет определить все входящие в них неки- нематические величины, поэтому является замкнутой и полной.
За единицу измерения силы принят ньютон (Н) — сила, которая массе 1 кг придает ускорение 1 мс
[ ]
F
= Н = кг•м/с
2
Импульсом тела массой m, движущегося со скоростью r
v, называется вектор Согласно второму закону Ньютона mv
F t
=
r или =
?
=
?
r r
r r
2 1
2 1
( )
( )
d t
t
P
P t
P t
F t где
?
r
P
— изменение импульса тела
?
r
2 1
d t
t
F
t
— импульс силы, действующий на тело за время
? =
?
2 1
t t
t . Единица измерения импульса кг•м/с.
Импульсом системы тел называется векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему 1 2 2 1
n n n i i i
Mv m v m v m v m v
=
=
+
+ … +
=
?
r r
r В системе материальных точек массами
…
1 2
,
,
,
n m m m существует точка, которой можно приписать полную массу системы
=
?
i
M
m и полный импульс i i i
Mv m v
=
?
r r
. Такая точка называется центром масс, или центром инерции системы. Если радиус-вектор й точки равен r
i r , то радиус-вектор центра масс равен i i
c i
i m r r
m
=
?
?
r Глава 2. Механика

Закон сохранения импульса если на систему тел не действуют внешние силы (такая система называется замкнутой, то внутренние силы не могут изменить импульс системы,
и он остается постоянным:
при
=
r
0
F
const i i i
P
Mv m v
=
=
=
?
r Если тело движется под действием силы r
F
, то работой, совершаемой силой r
F
при перемещении на величину r
?
r
, называется скалярное произведение векторов силы и перемещения ? =
? ? ?
?
r где
? — угол между векторами r
F
и Работа силы r
F
за время
? =
?
2 1
t t
t составляет r
2 1
d t
t
A
F r Единицей измерения механической работы является джоуль
(Дж) — работа, которую совершает сила в 1 Н на пути в 1 мДж Н•м.
Работа, совершаемая силой r
F
в единицу времени, называется мощностью d
d(
)
d cos d
d d
A
F S
F S
N
F v
F v t
t t
?
=
=
=

= ? = ? ?
?
r r
r r
r где
? — угол между векторами r
F
и r
v Единицей мощности является ватт (Вт. Это мощность, при которой за 1 с совершается работа в 1 Дж
[ ]
=
N
Вт = Дж/с.
Кинетической энергией движущегося тела называется скалярная величина
2
???
2
mv
E
=
(2.2.14)
Изменение кинетической энергии тела за время
? =
?
2 1
t t
t равно работе A сил, действующих на него за это время 1
2 2
2 1
???
d
2 2
t t
mv t mv t
A
F r
E
=
=
?
= ?
?
r Потенциальной энергией тела или системы тел называется энергия, зависящая только от взаимного расположения взаимодейству-
§ 2.2. Динамика

46
ющих материальных точек тела или тел, составляющих эту систему, и от их положения во внешнем силовом поле (например, гравитационном, электромагнитном и т. п. Если кинетическая энергия называется энергией движения, то потенциальная — энергией положения.
Понятие потенциальной энергии имеет место только для систем, в которых действуют так называемые консервативные силы.
Консервативными называются силы, работа которых не зависит от пути, по которому частица переходит из одного положения в другое, то есть работа этих сил на любом замкнутом пути равна нулю.
Примером консервативных сил служит сила тяжести, неконсерва- тивных — сила трения.
Уменьшение потенциальной энергии
???
?
тела при его перемещении из одного положения в пространстве в другое численно равно работе, которую совершают при этом действующие на него консервативные силы )
( )
??? 1
???
2
?
r
?
r
A
?
=
r Сила, действующая на частицу в каждой точке поля, связана с потенциальной энергией частицы в этой точке поля следующим образом Формула (2.2.17) позволяет вычислить потенциальную энергию системы в различных случаях. Например, потенциальная энергия в поле силы тяжести составляет
???
?
mgh
=
,
а потенциальная энергия упругой деформации где m — масса тела g — ускорение свободного падения h высота тела относительно начала отсчета k — коэффициент упругости смещение тела от положения равновесия, где
???
0
?
= Из формулы (2.2.17) видно, что к величине
???
?
может быть добавлена произвольная постоянная, и это не изменит значение силы r
F
. Поэтому потенциальная энергия не может быть определена однозначно. Неопределенность потенциальной энергии устраняют, задав такое положение системы, в котором ее потенциальная энергия условно равна нулю.
Глава 2. Механика

Приравняв формулы (2.2.15) и (2.2.16), получаем )
( )
( )
( )
2 2
2 1
???
1
???
2 2
2
mv t
mv t
?
r
?
r
?
=
?
r или )
( )
( )
( )
2 2
1 2
???
1
???
2 2
2
mv t
mv t
?
r
?
r
+
=
+
r Данные формулы выражают закон сохранения механической энергии сумма кинетической и потенциальной энергий тела сохраняется:
???
???
const
E
E
+
=
(2.2.21)
Необходимо отметить, что закон сохранения механической энергии выполняется только при отсутствии сил трения в системе.
Наличие сил трения вызывает диссипацию энергии — уменьшение механической энергии и превращение ее во внутреннюю энергию, то есть в тепло.
Если для материальной точки существует связь, не позволяющая ей удалиться на расстояние, большее, чем r
R
, от центра вращения, то она движется по окружности.
Центростремительной силой называется сила r
n
F
, создающая центростремительное ускорение (2.1.20)
=
2
n v
a
R
, необходимое для того, чтобы материальная точка массой m двигалась по окружности радиусом

R со скоростью По второму закону Ньютона ?
2 2
n n
v
F
ma Равная центростремительной силе и противоположно ей направленная сила, с которой материальная точка, согласно третьему закону Ньютона, действует на связь, называется центробежной силой.
При центрифугировании сила, действующая на некоторый малый объем V жидкости со стороны окружающей жидкости, равна 1
1
d d
F
R V
= ? где
?
1
— плотность жидкости
?
— угловая скорость вращения — расстояние от частицы до оси вращения 2.2. Динамика

Сила, действующая на частицу, занимающую данный объем dV,
2 2
2
d d
F
R V
= ? где
?
2
— плотность вещества частицы.
При
>
1 2
F
F частицы перемещаются коси вращения, а при 2
F
F — от оси вращения.
Эффективность центрифугирования определяется разностью сил dF
1
и dF
2
:
2
?
2 1
2 1
d d
d
(
)
d
F
F
F
R V
=
?
= ? ? ? то есть эффект тем больше, чем в бoльшей степени отличаются плотности сепарируемых частиц и окружающей жидкости и чем больше угловая скорость вращения центрифуги.
Вращение тела происходит под действием силы r
F
, приложенной к точке тела, находящейся на расстоянии r
r от оси вращения.
При этом возникает момент силы, или вращающий момент Чили в скалярной форме:
=
?
sin
M
rF
,
(2.2.27)
где
? — угол между векторами r
r и r
F
. Если r
r и r
F
взаимно перпендикулярны, то
? =
sin
1 и
=
M
rF При действии нескольких вращающих моментов
1 2
,
,...,
n
M M
M
r r
r их можно заменить одним моментом, равным векторной сумме данных моментов 2
1
n n
i i
M
M
M
M
M
=
=
+
+ +
=
?
r r
r Моментом импульса материальной точки называется вектор Ч где r
P
— импульс материальной точки r
r — расстояние от точки до оси вращения.
Так как
=
r r
P
mv и
[
]
v r
= ? Что mr
I
=
Ч
=
Ч
=
? = ?
r r
r r r Из формулы (2.2.30) видно, что направление вектора момента импульса совпадает с направлением вектора угловой скорости.
Величина
=
2
I
mr называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения. Момент инерции служит мерой инертности тела при вращении вокруг некоторой оси, также как масса служит мерой инертности при поступательном движении сравните формулы (2.2.5) и (Глава 2. Механика

Если рассматривать твердое тело, вращающееся вокруг оси, как совокупность материальных точек i
m
, каждая из которых находится на расстоянии i
r от оси вращения, то момент инерции этого тела относительно оси вращения можно представить как i i
I
m или m где V — объем тела.
Единица измерения момента инерции
[ ]
=
I
кг•м
2
Моменты инерции однородных тел правильной формы относительно оси, проходящей через центр масс:
шара радиусом R —
=
2 2
5
I
mR цилиндра с внутренними внешним R (ось вращения совпадает с геометрической осью цилиндра) радиусами —
(
)
=
+
2 2
1 2
I
m тонкостенного цилиндра (
?
R
r ) сплошного цилиндра (
= 0
r
) —
=
2 1
2
I
mR тонкого стержня длиной l (ось вращения проходит перпендикулярно стержню через его середину) —
=
2 Согласно теореме Гюйгенса Ш те й не р а, момент инерции относительно произвольной оси определяется формулой где I
0
— момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной заданной m — масса тела d расстояние между осями. Эта теорема сводит вычисление момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела 2.2. Динамика

Основное уравнение динамики вращательного движения, или второй закон Ньютона для вращательного движения или ?
r r
r где I — момент инерции
?r — угловое ускорение r
M
— момент силы.
Из основного уравнения динамики вращательного движения следует первый закон Ньютона для вращательного движения если равнодействующая всех моментов сил, приложенных к телу r
0
i
M
M
, то const
? =
r или
0
? =
r из а кон сохранения момента импульса момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным d
0
d
L
t
, или
=