Тиманюк, Животова. Биофизика. Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41

• Название: Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41
• Дата: 01.03.2020
• Размер: 4.28 Mb.
• Имя файла: Тиманюк, Животова. Биофизика.pdf
• Тип: Учебник; #110412
• страница: 3 из 42

, для чего продифференцируем выражение Приравняв это выражение нулю, определим максимальное значение функции ?
+
=
max max d
e e
0
d el in k t k t el in c
k откуда получаем t max
:
?
?
?
?
?
?
=
?
max ln in el in el k
k t
k Из уравнения (1.6.7) видно, что время достижения максимальной концентрации не зависит от дозы введенного препарата, а целиком определяется константами всасывания и выведения. Подставив) в (1.6.3), можно определить максимальную концентрацию препарата в основной камере 1.7. МНОГОКАМЕРНЫЕ ФАРМАКОКИНЕТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ
Для построения многокамерных моделей требуется составить систему из нескольких дифференциальных уравнений. Концентрация препарата в каком-либо органе зависит от скоростей нескольких процессов) скорости всасывания препарата из места введения (например из кишечника) в кровь, если отсутствует непосредственное введение лекарства в кровеносное русло (этот процесс характеризуется константой Глава 1. Математическая биофизика

27 2) скорости транспорта препарата из крови в орган (константа k
23
);
3) скорости обратного процесса транспорта препарата из органа в кровь (константа k
32
);
4) скорости выведения препарата из организма выделительной системой (константа Каждый орган, в котором может находиться препарат (кишечник, кровь, орган-мишень и др, представим в виде отдельных блоков (камер) (рис. 1.7.1), в каждом из которых распределение препарата однородно.
На данном этапе построения математической модели уже можно составить систему дифференциальных уравнений, описывающих указанный процесс. В нашем случае уравнения запишутся в виде ?
?
?
?
= ?
+
+
+
?
?
?
=
?
??
1 12 1 2
4 23 2 32 3 12 1 3
23 2 32 3
d
;
d d
(
)
;
d d
,
d c
k c t
c k
k c k c k c t
c k c k c где с, си с — концентрация вещества в первом, втором и третьем блоках.
На следующем этапе требуется решить полученные уравнения,
что не всегда возможно в общем виде. В таком случае их решают с помощью ЭВМ.
Иногда число полученных уравнений можно сократить. Все процессы разделяются на быстрые, средние и медленные. Данное разделение условно. Допустим, мы наблюдаем за процессом в те-
Рис. 1.7.1. Схема перемещения лекарственного препарата в организме
Орган- мишень
Инактивация и выведение препарата
Кровь k
4
Препарат
Кишечник, кожа,
мышцы k
12
k
32
k
23 1
Предполагаем, что отсутствует инактивация и необратимое связывание препарата в организме 1.7. Многокамерные фармакокинетические модели

28
чение нескольких часов. В таком случае процессы, совершающиеся в течение нескольких минут, будут являться быстрыми, нескольких часов — средними, нескольких суток — медленными. Тогда получается, что, наблюдая за процессом несколько часов, мы не успеваем проследить замедленными реакциями, и переменные,
описывающие их, остаются постоянными в течение периода наблюдения. В тоже время быстрые процессы успевают пройти в самом начале периода наблюдения и далее также остаются постоянными. Поэтому переменные, входящие в состав уравнений быстрых процессов, можно заменить начальными значениями, а переменные, входящие в состав уравнений медленных процессов стационарными. Данный метод позволяет сократить число дифференциальных уравнений и число переменных. Например, в приведенной системе уравнений (1.7.1) концентрацию св некоторых случаях можно считать постоянной 1.8. МОДЕЛЬ НЕПРЕРЫВНОГО ВВЕДЕНИЯ ПРЕПАРАТА
При введении какого-либо лекарственного препарата часто требуется знать временной характер (кинетику) его распределения в организме. Если лекарство было введено в недостаточной дозе или же очень быстро разрушается или выводится из организма, тоне будет достигнут его лечебный эффект. С другой стороны, излишне большая доза может вызвать нежелательные побочные эффекты. Модель, которая будет рассмотрена ниже, позволяет выбрать оптимальные дозу и периодичность введения препарата.
На практике часто приходится сталкиваться с проблемой поддержания постоянной концентрации лекарственного препарата в организме. Для этого требуется непрерывно с постоянной скоростью вводить внутривенно или внутриартериально препарат (проще говоря — поставить капельницу) (риса. При введении
(инфузии) препарата со скоростью v его количество M в крови будет изменяться согласно уравнению
Препарат v
c(t)
Кровь
M
н Рис. 1.8.1. Введение препарата:
а — с постоянной скоростью б — с постоянной скоростью v и нагрузочной дозой M
н
Препарат Кровь k
el а
б
Глава 1. Математическая биофизика

29
= ?
d d
el
M
v k где k el
— константа скорости выведения препарата из крови.
Проинтегрируем это уравнение в пределах времени от 0 дои количества препарата от 0 до М 0
d d
M
t el
M
t v k M
;
?
?
=
0 0
1
ln(
)
M
t el el v
k M
t k
;
?
= ?
ln el el v k M
k t Выразим из последнего уравнения M:
=
?
?
[1 exp(
)]
el el v
M
k t Далее перейдем от количества препарата к его концентрации,
для чего разделим обе части уравнения на кажущийся объем V :
=
?
?
( )
[1
exp(
)]
el el v
c t k Как видно из уравнения (1.8.3), концентрация вещества стечением времени возрастает и асимптотически приближается при t
? к постоянному значению концентрации рис. 1.8.2, кривая 2). Из выражения (1.8.4) можно получить значение скорости, с которой следует вводить препарат для того, чтобы его концентрация в крови равнялась требуемой (с *
el v c Vk Для того чтобы как можно быстрее достигнуть желаемого эффекта, в начальный момент времени требуется ввести некоторую дозу препарата (так называемую нагрузочную н рис. 1.8.1, б, а после этого непрерывно вводить препарат со скоростью v (то есть сделать пациенту уколи поставить капельницу. Тогда в уравнение изменения концентрации во времени (1.8.3) добавится слагаемое, определяемое нагрузочной дозой н 1.8. Модель непрерывного введения препарата

ПРАКТИЧЕСКИЕ И ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ )
[1 exp(
)]
exp(
)
el el el
M
v c t k t k t
Vk
V
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
1
exp(
)
el el el v
v
M
k t
Vk
V Так как при t
? ? множитель exp (–k el t)
? 0, то конечная концентрация препарата по-прежне- му равняется сто есть не зависит от величины нагрузочной дозы. Концентрация приближается к с, если второе слагаемое в уравнении (равняется нулю, а это, в свою очередь, может быть достигнуто либо через некоторое время при el
– н)
? 0, либо мгновенно при (
v/k el
– н) = 0 (рис. кривая 3 ). Отсюда можно получить выражение для нагрузочной дозы (н, при введении которой необходимый уровень концентрации препарата будет достигнут мгновенно:
M
н
* = v/k el
= Таким образом, данная модель позволяет определить мгновенную нагрузочную дозу лекарства ни скорость его введения v в организм.
Рис. 1.8.2. Кинетика изменения концентрации препарата в крови — при однократном введении 2 — при ин- фузии препарата с постоянной скоростью — при сочетании введения нагрузочной дозы и инфузии с целью мгновенного создания в крови желаемой концентрации препарата с*
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1.1. Первоначальная концентрация в крови некоторого препарата равнялась c
0
= 50 мкг/мл, а через t = 10 ч уменьшилась до c = 20 мкг/мл.
Рассчитайте константу элиминации k el этого препарата и время его полу- выведения t
1/2
. Процесс элиминации описывается однокамерной моделью.
Решение. Константу элиминации вычисляем из линеаризованного уравнения для концентрации (1.5.15):
1 0
ln ( / )
ln (50/20)
0, 092 ? .
10 ?
el c c Глава 1. Математическая биофизика

Время полувыведения препарата / 2 1
ln 2 0, 693 7, 5 ?.

0, 092 ?
el Задача 1.2. Пациенту было введено внутримышечно M
0
= 220 мкг препарата. Вычислите:
а) концентрацию c препарата в крови через t = 3 ч после введения;
б) скорость его выведения v через t = 3 ч после введения;
в) время t max
, по истечении которого концентрация препарата в крови достигнет максимального значения;
г) максимальную концентрацию c д) максимальную скорость выведения v Константы всасывания и выведения равны соответственно k in
= 2 ч
–1
и k el
= 0,5 ч. Кажущийся объем крови принять равным V = 4,5 л.
Решение. Так как препарат вводится не непосредственно в кровь,
а в другую ткань, то данный процесс будет описываться однокамерной моделью с подкамерой. Концентрация препарата в основной камере в произвольный момент времени составляет )
(e e
)
(
)
el in k t k t in in el
M k c t
V k k
=
)
)
1 1
1 1

1 220 ??? 2 ?
exp( 0,5 ?
3 ?

exp ( 2 ?
3 ?
14, 4 ???/?.

4,5 ? (2 ?
0,5 ? Скорость выведения препарата равна первой производной концентрации повремени Знак «–» указывает на то, что концентрация со временем убывает.
Через 3 ч после введения скорость выведения составит 1
1 1
1 1
1
d

220 ??? 2 ?
0,5 ? exp( 0,5 ?
3 ?

2 ? exp( 2 ?
3 ?
d

4,5 ? (2 ?
0,5 ? )
c t
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
+
?
?
=
?
?
?
= ?
?
6,95 ???/(? Время достижения максимальной концентрации вычисляем по уравнению Тогда максимальная концентрация составит:
Практические и тестовые задания

32
max max
0
max
(e e
)
(
)
el in k t k t in in el
M k c
V k k
?
?
=
?
=
?
=
???
?
?
?
?
?
?
?
?
1 1
1 1
1 220 2 exp( 0,5 0,92
) exp( 2 0,92
)
4,5 (2 0,5 )
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
30,8 Определим момент времени t *, в который скорость выведения достигает максимального значения, для чего вторую производную концентрации повремени приравняем нулю 2
0 2
d
(
e e
)
0
(
)
d el in k t k t in el in in el c
M k k
k
V k откуда 1
1 1
2 ?
2 ln
2 ln
0,5 ?
*
2 ?
0,5 ?
in el in el k
k t
k k
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
=
?
?
= 1,84 ч.
Подставив t* в выражение для скорости (1.1), получим e
)
d
(
)
el in k t k t in el in in el c
M k k
k t
V k k
?
?
=
?
+
=
?
1 1
1 1
1 1

1 220 ??? 2 ?
0,5 ? exp( 0,5 ?

1,84 ?) 2 ? exp( 2 ?
1,84 ?)

4,5 ? (2 ?
0,5 ? )
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
+
?
?
=
?
?
?
24, 4 ???/(? ?).
= ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ. Вычислите время полувыведения t
1/2
нальбуфина, если его константа элиминации составляет k el
= 0,17 ч 1.2. Вычислите константу элиминации k el люминала, если его время полувыведения составляет t
1/2
= 3 суток. Пациенту ввели внутривенно препарат m
0
= 200 мкг. Вычислите массу m препарата в крови через t = 2 ч после введения. Константа эли- минации данного препарата k el
= 0,17 ч. Процесс элиминации описывается однокамерной моделью. Определите время полувыведения t
1/2
препарата, если за время t = 3 ч наблюдения за пациентом концентрация препарата в крови уменьшилась с с = 100 до с = 30 мкг/л. Процесс элиминации описывается однокамерной моделью. Найдите начальную концентрацию с препарата в крови, если через время t =
10 ч после внутривенного введения его концентрация составляла с =
30 мкг/л. Время полувыведения данного препарата t
1/2
= 8 ч.
Процесс элиминации описывается однокамерной моделью.
Глава 1. Математическая биофизика

33 1.6. Через какое время t концентрация препарата в крови уменьшится в 4 раза, если время полувыведения t
1/2
= 6 ч. Процесс элиминации описывается однокамерной моделью. Через какое время t после введения концентрация препарата в крови сократится на 40 %, если время полувыведения составляет t
1/2
= 10 ч.
Процесс элиминации описывается однокамерной моделью. Пациенту поставили капельницу и вводят препарат с постоянной скоростью v = 2 мкг/мин. Вычислите массу m препарата в крови через время t = 1 ч, если константа элиминации для него k el
= 0,25 ч 1.9. Пациенту поставили капельницу и вводят препарат с постоянной скоростью v = 1,5 мкг/мин. Вычислите наибольшую возможную концентрацию с препарата в крови и величину нагрузочной дозы Мн, которую необходимо ввести пациенту, чтобы концентрация сбыла достигнута мгновенно. Константа элиминации данного препарата k el
= 0,46 ч, кажущийся объем крови — V = 4,5 л.
ВОПРОСЫ ТЕСТОВОГО КОНТРОЛЯ. Модель «хищник—жертва» описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
а)
?

= ? + ?
??
?
?
= ?
+ ?
??
1 1
2 2
d
,
d d
;
d x
y xy t
y xy y
t г)
2 2
1 1
2 2
2 2
d
,
d d
;
d x
y x
t y
x y
t
?
= ?
? ?
??
?
?
= ?
? б)
1 1
2 2
d
,
d d
;
d x
y xy t
y xy x
t
?

= ? ? ?
??
?
?
= ?
? д)
?

= ? ? ?
??
?
?
= ?
? ?
??
1 1
2 2
d
,
d d
d x
x xy t
y xy y
t в)
1 2
d
,
d d
;
d x
xy t
y xy t
?
= ?
??
?
?
= ??
??
1.2. В модели «хищник–жертва» особые точки относятся к типу:
а) седло и неустойчивый фокус;
б) устойчивый и неустойчивый фокусы;
в) устойчивый узел и «центр»;
г) устойчивый и неустойчивый узлы;
д) центр и седло. В однокамерной модели дифференциальное уравнение, описывающее изменение количества препарата в камере, имеет следующий вида)
= ?
d d
el
M
v k г)
=
d d
in
M
k б)
= ?
d d
el
M
k д)
= ?
d d
in
M
v k M
t в)
??
=
?
d d
in el
M
k M
k Практические и тестовые задания

34 1.4. Изменение концентрации препарата в крови в случае однократного введения описывается уравнением:
а)
0
( )
e el k t c t г)
0
( )
e el k t c t б)
0
( )
e el k t c t д)
2 0
( )
e el k t c t в)
0
( )
e el k t c t c
=
?
;
1.5. Время полувыведения препарата составляет:
а)
1/2 1
ln
2
el г)
1/2 2
el б)
1/2
ln 2
el д)
1/2
ln 2
el в)
1/2
lg 2
el t
k
=
;
1.6. Препарат вводится внутримышечно, откуда всасывается в кровь с константой k
1
, а выводится из кровеносного русла с константой k
2
. Составьте систему дифференциальных уравнений, описывающих концентрацию препарата в мышечной ткани (си крови саг 2 1 1
d
,
d d
;
d c
k c t
c k c k k c б)
?
=
??
?
?
=
?
??
1 1 2 2
2 2 2 2
d
,
d d
;
d c
k c t
c k c k c д)
?
=
??
?
?
=
+
??
1 1 1 2
1 1 2 2
d
,
d d
d c
k c t
c k c k c в)
?
= ?
??
?
?
=
?
??
1 1 1 2
1 1 2 2
d
,
d d
;
d c
k c t
c k c k c t
1.7. Препарат вводится внутримышечно. Его концентрация в крови в момент времени t описывается следующим уравнением:
а)
0
( )
(e e
)
(
)
el in k t k t in in el
M k c t
V k г)
0
( )
(e e
)
(
)
in el k t k t el el in
M k c t б)
0
( )
(e e
)
(
)
el in k t k t in el in
M k c t д)
0
( )
(e e
)
(
)
el in k t k t in in el
M k c t
V k в)
0
( )
(e e
)
(
)
in el k t k t el in el
M k c t
V k Глава 1. Математическая биофизика

35 1.8. Препарат вводится внутримышечно. Время достижения его максимальной концентрации в крови составляет:
а)
?
?
?
?
?
?
=
?
max ln el in in el k
k t
k г)
?
?
?
?
?
?
=
?
max ln in el in el k
k t
k б)
?
=
?
?
?
?
?
?
max ln in el in el k
k t
k д)
?
=
?
?
?
?
?
?
max ln el in in el k
k t
k в)
?
?
?
?
?
?
=
?
2
max ln el in el in k
k t
k k
;
1.9. В модели непрерывной инфузии дифференциальное уравнение,
описывающее изменение количества препарата в камере, имеет следующий вида)
= ?
d d
el
M
k г)
=
d d
in
M
k б)
= ?
d d
in
M
v k д)
= ?
d d
el
M
v k M
t в)
??
=
?
d d
in el
M
k M
k M
t
;
1.10. В модели, описывающей непрерывную инфузию препарата, стечением времени его концентрация:
а) уменьшается по экспоненциальному закону;
б) линейно возрастает;
в) остается неизменной;
г) возрастает и асимптотически приближается к постоянному значению с*;
д) увеличивается до некоторого значения t max
, а потом снижается. Выражение для нагрузочной дозы Мн, при введении которой необходимый уровень концентрации с препарата будет достигнут мгновенно, имеет вида)
? =
?
*
el c г)
? =
?
*
el б)
? =
?
*
el c д)
? =
?
*
el c V
M
vk в)
? =
?
*
M
c V ;
1.12. Скорость введения препарата, необходимая для того, чтобы его концентрация в крови была постоянной и равнялась с, составляет:
а) v = c
2
Vk г) v = cVk el б) v = cVk д) v = cV
2
k el в) v = –2cVk Практические и тестовые задания

Глава 2
МЕХАНИКА
Механика занимает центральное место в физике и связана со всеми ее разделами. Механика изучает движение, равновесие тел и происходящие между ними взаимодействия. Основными разделами механики являются статика — учение о равновесии тел под действием сил кинематика — учение о движении тел без учета их масс и действующих на них сил динамика — учение о движении тел под действием приложенных к ним сил.
Значительная часть физических явлений связана с колебательными и волновыми процессами. В физике различают механические и электромагнитные колебания и волны. Законы, описывающие механические колебания и волны, лежат в основе таких биологических процессов, как биение сердца, распространение нервного импульса и пульсовой волны 2.1. КИНЕМАТИКА
Движение какого-либо тела можно представить как изменение его положения относительно другого, называемого телом отсчета. К телу отсчета привязывается система координат, которая вместе со способами согласованного измерения промежутков времени, расстояний и углов называется системой отсчета.
Абсолютно твердым телом в механике называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется в процессе движения и под действием сил. Это понятие применяется ив случае, когда изменением размеров и форм тела можно пренебречь.
Если при движении абсолютно твердого тела прямая, соединяющая любые две точки, остается параллельной самой себе, то та Статика не рассматривается в данном учебнике

кое движение тела называется поступательным. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковую траекторию, поэтому можно ограничиться рассмотрением движения одной точки.
Если при движении абсолютно твердого тела прямая, проходящая через какую-либо точку, остается неподвижной, то такое движение называется вращением тела относительно этой прямой оси в р а щ е ни я.
Любое движение тела в каждый момент времени можно представить как сумму поступательного движения и вращения относительно оси,
которая может изменять свое положение относительно тела и системы отсчета стечением времени.
Движение материальной точки определено, если известен закон ее движения, то есть закон, по которому изменяется положение точки в пространстве стечением времени.
Положение точки в пространстве может быть задано радиус-век- тором r
r , проведенным от начала координат выбранной системы отсчета к этой точке (рис. 2.1.1), или посредством проекций
,
x r
,
y r
z r
радиус-вектора на координатные оси x, y, z. Эти проекции одновременно являются координатами точки, так что
,
x r
x
=
,
y r
y
=
z Закон движения точки можно представить в виде одного векторного уравнения r
( )
r r или трех скалярных уравнений );
( );
( ).
x x t y
y t z
z Поступательное движение. Пусть за промежуток времени
? =
?
2 1
t t
t точка переместится из положения,
определяемого радиус-вектором r
1
r в положение, определяемое рис. Вектор
? =
?
r r
r
2 1
r r
r называется перемещением точки. Непрерывная
Рис. 2.1.2. Траектория
?S и соответствующее перемещение
?
r Рис. 2.1.1. Радиус-вектор r
r на координатной плоскости 2.1. Кинематика

линия, описываемая концом радиус-вектора, называется траекторией точки. Длина участка
?S траектории, по которой движется точка, называется путем точки и является скаляром. Величины
?
r и
?S совпадают лишь в случае прямолинейного движения. В СИ
1
перемещение и путь измеряются в метрах
[ ] [ ]
?
r
S
? = Скоростью (линейной скоростью) называется вектор, направленный в каждой точке траектории по касательной к ней и равный производной радиус-вектора по времени.