Тиманюк, Животова. Биофизика. Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41

• Название: Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41
• Дата: 01.03.2020
• Размер: 4.28 Mb.
• Имя файла: Тиманюк, Животова. Биофизика.pdf
• Тип: Учебник; #110412
• страница: 5 из 42

r Третий закон Ньютона для вращательного движения ?
r r
12 При вращении тела внутренние силы работы не совершают.
Элементарная работа внешних сил при повороте на малый угол d
? равна где M
z
— проекция момента сил на ось вращения.

Тогда работа внешних сил при повороте тела на угол = ? ? ?
2 1
равна =
??
?
2 1
d Мощность N в случае вращательного движения d
d d
z z
A
N
M
M
t Кинетическая энергия тела при вращательном движении
2
???
2
I
E
?
=
(2.2.46)
Глава 2. Механика

Кинетическая энергия тел, совершающих одновременно поступательное и вращательное движения, равна арифметической сумме энергий обоих типов движений 2
???
2 Характеристики и уравнения динамики поступательного и вращательного движений сопоставлены в табл. Таблица Характеристики и уравнения динамики поступательного и вращательного движений
Поступательное движение
Вращательное движение
Масса Момент инерции Сила Момент силы Импульс Момент импульса Первый закон Ньютона const v =
r или
0
v =
r при
=
?
r
0
i
F
const
? =
r или
0
? =
r при Второй закон Ньютона r
i
F
ma
= ?
?

r Третий закон Ньютона ?
r r
12 21
F
F
= ?
r r
12 Закон сохранения импульса
Закон сохранения момента импульса const
P =
r
=
r Работа F r
= Кинетическая энергия
2
???
2
mv
E
=
2
???
2
I
E
?
=
Закон сохранения энергии +Мощность t
=
=
rr
A
N
M
t
=
=
?
r r
§ 2.2. Динамика

52
§ 2.3. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Механическими колебаниями, или колебательным движением,
называются движения тел, характеризующиеся той или иной степенью повторяемости через определенные промежутки времени.
Для характеристики колебаний вводятся следующие величины) отклонение, или смещение x, от положения равновесия ),
(
),
x f t x
f где
( )
f t — периодическая функция времени) амплитуда А колебания — максимальное отклонение от положения равновесия) период Т — длительность одного полного колебания) частота
? — число колебаний в единицу времени =
1
;
T
(2.3.2)
5) круговая, или циклическая, частота = ?? =
2 2
T
;
(2.3.3)
5) фаза колебания = ? + где
?
0
— начальная фаза при
= Фаза определяется с точностью до произвольного слагаемого,
кратного 2

?. Поэтому обычно рассматриваются значения ?
0
, лежащие в пределах от –
? до +Единицы измерения этих величин частота
?
[ ]
= Гц = с период с циклическая частота
?
[ ]
= рад/с; амплитуда и смещение м.
Ниже будут рассмотрены так называемые гармонические колебания, то есть колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса.
Незатухающие гармонические колебания. Гармонические колебания совершаются под действием упругих или квазиупругих сил,

описываемых законом Гука ?
F
kx ,
(2.3.5)
1
Квазиупругими называются силы, неупругие по природе, но аналогичные по свойствам упругим, возникающие при малых деформациях упругих тел. В качестве примера квазиупругих сил можно привести силы, под действием которых колеблется математический маятник.
Глава 2. Механика

где
F — возвращающая сила x — смещение от положения равновесия (где
= 0
x
); k — коэффициент квазиупругой силы, или жесткость. Знак «—» указывает на то, что возвращающая сила стремится вернуть тело в исходное положение, то есть направлена против смещения.

Согласно второму закону Ньютона, уравнение (2.3.5) может быть пробразовано у виду ?
ma kx где т — масса колеблющегося тела.
Учитывая, что
2 2
d d
x a
t
=
, и введя обозначение
? =
2
k получаем 2
2
d
0
d x
x t
+ ?
= Уравнение (2.3.7) является дифференциальным уравнением незатухающих гармонических колебаний. Его решение имеет вид )
(
)
0
cos x t
A
t
=
? + ? или )
(
)
0
sin x t
A
t
=
? + ? Для любых незатухающих гармонических колебаний справедливы формулы =
k m
;
? =
?
1 2
k m
;
= Периоды колебаний для простейших колебательных систем:

математического маятника — материальной точки, подвешенной на нити ?
?
2 где l — длина маятника g — ускорение свободного падения;
пружинного маятника — материальной точки, подвешенной напру- жине,
= где k — жесткость пружины 2.3. Механические колебания

физического маятника — твердого тела, совершающего под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси подвеса где I — момент инерции физического маятника относительно оси,
проходящей через точку подвеса l — расстояние между точкой подвеса и центром тяжести маятника.
Скорость и ускорение материальной точки при гармоническом колебании равны соответственно )
(
)
=
= ? ?
? + ? =
0
d sin d
x v t
A
t t
?
?
?
?
?
?
= ?
? + ? +
=
? + ? +
?
?
?
?
?
?
?
?
0
max
0
cos cos
2 2
A
t v
t
;
(2.3.12)
( )
(
)
=
=
= ? ?
? + ? =
2 2
0 2
d d
cos d
d x
v a t
A
t t
t
(
)
(
)
= ?
? + ? + ? =

? + ? + ?
2 0
max
0
cos cos
A
t где
= ?
max v

A — максимальная скорость (амплитуда скорости ?
2
max a
A
— максимальное ускорение (амплитуда ускорения).
Таким образом, скорость и ускорение, также как и смещение,
изменяются по гармоническому закону. Сравнив выражения (2.3.8),
(2.3.12) и (2.3.13) замечаем, что скорость опережает смещение по фазе на
? 2 , а ускорение — на ?, то есть смещение и ускорение находятся в противофазе (рис. Рис. 2.3.1. Графические зависимости смещения x, скорости v и ускорения Глава 2. Механика

Кинетическая и потенциальная энергии гармонических колебаний равны 2
2 2
???
0 1
1
sin
2 2
E
mv mA
t
=
=
?
? + ? ,
(2.3.14)
(
)
2 2
2
???
0 1
1
cos
2 2
E
kx kA
t
=
=
? + ? Учитывая, что
2
k m
? =
, полная энергия гармонических колебаний равна 2
2 2 2
1 1
1 1
2 2
2 2
E
mv kx mA
kA
=
+
=
? Таким образом, полная энергия гармонических колебаний сохраняется
???
???
const
E
E
E
=
+
=
, в то время как кинетическая и потенциальная изменяются по гармоническому закону, взаимно превращаясь друг в друга (рис. Затухающие колебания.
В реальных физических системах, участвующих в колебательном движении, всегда присутствуют силы сопротивления, действие которых уменьшает энергию системы.
Уменьшение энергии проявляется в затухании колебаний.

При не очень больших скоростях и амплитудах колебаний сила сопротивления пропорциональна скорости движения тела ?
= ?
d d
c x
F
r rv где r — коэффициент сопротивления или вязкого трения. Так как возвращающая сила пропорциональна смещению, то из второго закона Ньютона ?
?
2 2
d d
d d
x x
m kx r

t следует дифференциальное уравнение затухающих колебаний+ ?
+ ?
=
2 2
0 2
d d
2 0
d d
x x
x Рис. 2.3.2. Зависимости кинетической Е
кин
,
потенциальной Е
пот и полной энергии Е системы от времени t пот кин
§ 2.3. Механические колебания

где
? =
2
r m
— коэффициент затухания, характеризующий степень затухания колебаний
? =
0
k m
— собственная круговая частота колебательной системы, то есть частота, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды
(при
= Решение этого уравнения при слабом затухании
? < ?
0
следующее где A
0
— амплитуда колебаний в начальный момент времени круговая частота затухающих колебаний. График функции) приведен на рис. Движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой и амплитудой А,
изменяющейся во времени по закону )
0
e t
A

A Период затухающего колебания ? ?
2 2
0 Затухающие колебания принято характеризовать декрементом затухания )
(
)
e
T
A t
A или логарифмическим декрементом затухания )
(
)
? =
= ?
+
ln
A t
T
A Рис. 2.3.3. Затухающие колебания (
0
? < Глава 2. Механика

Логарифмический декремент затухания
? также как и коэффициент затухания
?, характеризует скорость убывания амплитуды колебаний.
Если затухание в системе значительно
? > ?
0
(
) , тов этом случае движение является непериодическим (апериодическим. Система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Возможны два варианта такого возвращения. Если выведенной из положения равновесия системе сообщают достаточно сильный толчок (в сторону равновесия) так, что возвращение к исходному состоянию происходит с начальной скоростью, определяемой условием где
0
x — смещение от положения равновесия, то процесс описывается кривой 1 (рис. 2.3.4). Если же возвращение к положению равновесия происходит самопроизвольно без толчка или сопровождается толчком недостаточной силы для выполнения условия (2.3.25),— то движение описывается кривой (рис. Вынужденные колебания. Для получения незатухающих колебаний необходимо воздействие внешней силы, работа которой восполняла бы вызванное силами сопротивления уменьшение энергии колеблющейся системы.
Такие колебания называются вы- нужденными.
Если колебательная система подвергается действию внешней силы с амплитудой
0
F
, изменяющейся по гармоническому закону частотой
?,
?
=
?
0
cos
F
F
t то из второго закона Ньютона 2
d d

c Рис. 2.3.4. Два возможных способа возвращения системы к положению равновесия при апериодическом движении > ?
)
§ 2.3. Механические колебания

следует дифференциальное уравнение вынужденных колебаний :
+ ?
+ ?
=
?
2 2
0 0
2
d d
2
cos d
d x
x x
f t
t где
? =
2
r m
;
? =
2 0
k m
;
=
0 0
F
f Решение уравнения) состоит из двух слагаемых. Одно из них соответствует процессу установления колебаний
(рис. 2.3.5), со временем им можно пренебречь;
второе — установившимся колебаниям.

Решение уравнения, отвечающее установившимся колебаниям, имеет вид ? ?
cos где ? ?
+ ? ?
0 2
2 2
2 2 0
4
f
A
;
(2.3.30)
??
? =
? ? ?
2 2
0 Частота вынужденных колебаний равна частоте
? вынуждающей силы в. Вынужденные колебания сдвинуты по фазе относительно вынуждающей силы.
Из формулы (2.3.30) видно, что амплитуда вынужденных колебаний прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы
0
F
0 0
F

f и сложным образом зависит от коэффициента затухания, собственной круговой частоты ?
0
и внешней
?. При некотором значении
? амплитуда достигнет своего максимального значения.
Явление достижения максимальной амплитуды называется резонансом, а соответствующая частота рез — резонансной.
Рис. 2.3.5. Вынужденные колебания
Глава 2. Механика

Амплитуда достигает максимального значения, когда знаменатель выражения (2.3.30) достигает минимального. Продифференцировав его по
?, приравняв нулю и решив полученное уравнение относительно

?, получаем значение резонансной частоты = ? ? ?
2 2

0 Подставив (2.3.32) в (2.3.30), получаем значение амплитуды при резонансе ? ? ?
0 2
2 Из формулы (2.3.32) видно, что чем меньше коэффициент затухания, тем ближе резонансная частота рез к собственной В пределе при
? ? 0
???
?
? ?
0
и
???
? ?
A
. При очень большом затухании (
? > ?
2 2
0 2
) выражение (2.3.32) становится мнимыми резонанс не наблюдается. При этом с увеличением внешней частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно уменьшается (см. нижнюю кривую на рис. Графические зависимости амплитуды вынужденных колебаний
A от внешней частоты
?, соответствующие различным значениям коэффициента затухания
?, приведены на рис. 2.3.6. Такие кривые называются резонансным и.
В живых организмах наблюдается множество колебательных процессов (биение сердца, пульсация кровеносных сосудов, атак- же случайные механические сотрясения. Для биологических объектов резонанс мог бы быть крайне опасен и вызывать сильные разрушения, однако коэффициент затухания внутренних органов достаточно велик, чтобы это не происходило. Тем не менее явление резонанса в живых организмах наблюдается и иногда приводит к вредным воздействиям. Например, резонанс, по-видимому,
является одной из причин вредного воздействия инфразвука и вибраций на организм.
Рис. 2.3.6. Резонансные кривые Частота собственных колебаний тела человека в положении лежа составляет Гц, в положении стоя — 5...12 Гц частота собственных колебаний грудной клетки — 5...8 Гц, брюшной полости — 3...4 Гц, что соответствует инфразвуковому диапазону 2.3. Механические колебания

60
§ 2.4. УПРУГИЕ ВОЛНЫ. ЗВУК
Колеблющееся тело расходует часть энергии, вовлекая в колебательное движение окружающую упругую среду. Процесс распространения колебаний в пространстве, сопровождающийся переносом энергии, называется волной. Волны, распространяющиеся в упругой среде (твердой, жидкой, газообразной, называются упругими. При этом частицы той среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются в поступательное движение, а лишь колеблются около своего положения равновесия. Поэтому распространение волны не сопровождается переносом вещества.
Волновой процесс характеризуется фазовой скоростью (скоростью распространения волны) v, длиной волны
?, частотой ? или периодом колебаний Т. Длиной волны называется расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды. Очевидно, что =
=
?
v тогда фазовая скорость волны ? ? Волны могут быть двух типов поперечные и продольные. При возбуждении поперечных волн колебания частиц перпендикулярны направлению распространения волны, а при возбуждении продольных волн совпадают с направлением распространения волны.
Геометрическое место всех частиц, колеблющихся с одинаковой фазой, называется волновым фронтом. Если волновой фронт представляет собой плоскость, цилиндр или сферу, волну называют плоской, цилиндрической или сферической соответственно.
Выведем уравнение плоской волны. Для этого направим ось x вдоль направления распространения волны. Все точки, лежащие в каждой плоскости, перпендикулярной оси x, колеблются одинаково. Выделим на оси x точку с координатой
= 0
x
(источник волны. Пусть все частицы, находящиеся в плоскости, перпендикулярной оси x и проходящей через точку 0
x

, совершают колебания по закону + ?
0
( )
cos
S Возбуждение достигнет плоскости с произвольной координатой x через время
? = /
x v
, где v — скорость распространения волны. Колебания точек с координатой x запаздывают и совершаются по закону
Глава 2. Механика

61
( )
[
]
?
?
?
?
=
? ? ? + ? =
? ?
+ ? =
?
?
?
?
?
?
?
?
0 0
,
cos
(
)
cos x
S x t
A
t
A
t v
?
?
?
=
? ?
+ ?
?
?
?
?
0
cos
A
t Таким образом, уравнение плоской монохроматической волны имеет вид )
?
?
?
=
? ?
+ ?
?
?
?
?
0
,
cos
S x t
A
t или )
?
?
?
=
? ?
+ ?
?
?
?
?
0
,
sin
S x t
A
t где S — смещение частиц с координатой хот положения равновесия в момент времени t ; х — расстояние до источника колебания;
А — амплитуда (полагаем, что волна распространяется без затухания, поэтому A = Иногда уравнение плоской волны записывается в виде )
(
)
=
? ?
+ ?
0
,
cos
S x t
A
t где
?
?
=
=
?
2
k v
— волновое число.
Как видим, уравнение плоской волны включает две переменные координату хи время t :
= ( , )
S
f x t . На рис. 2.4.1. приведены зависимости
= ( )
S
f x и
= ( )
S
f t Уравнения (2.4.4) и (2.4.5) справедливы как для поперечных,
так и продольных волн и являются частным решением дифференциального волнового уравнения 2
2 2
2 1
S
S
x v
t
?
?
=
?
?
(2.4.7)
§ 2.4. Упругие волны. Звук
Рис. 2.4.1. Графическое изображение плоской волны:
а — зависимость смещения от положения равновесия точек с различными координатами x в некоторый момент времени б — зависимость смещения от положения равновесия точек с некоторой фиксированной координатой x в различные моменты времени (? — длина волны;
Т — периода б

Если в среде распространяется несколько волн, то происходит их сложение. Интерференцией называется явление сложения когерентных волн, в результате которого наблюдается усиление их амплитуды в одних точках пространства и ослабление в других. Под когерентными понимаются волны, которые характеризуются одинаковой частотой
? и независящей от времени разностью фаз ??,
2
x x
v
?
?
?? =
? х называется разностью хода волн.
Условие максимального усиления волна их максимального ослабления —
(
)
?
? =
+
2 1
2
x n
;
(
)
?? =
+ ?
2 где n = 0, ±1, ±2, Подробнее явление интерференции будет рассмотрено в параграфе Распространение волны сопровождается переносом энергии,
включающей в себя кинетическую энергию колеблющихся частиц и потенциальную энергию упругой деформации. Из выражения) следует, что средняя повремени объемная плотность энергии (энергия единицы объема, переносимой волной, равна ?
2 2 2 2
d
1
d
1
d
2
d
2
E
m где dE — энергия, заключенная в объеме dV; А — амплитуда колебания частиц
? — их циклическая частота
? = d / d m
V — плотность среды, в которой распространяется волна.
Потоком энергии волны называется количество энергии, переносимой через некоторую поверхность за единицу времени =
=
d d
E
wSv где v — скорость волны.
Поток энергии, приходящийся на единицу площади поверхности, перпендикулярной распространению волны, называется интенсивностью Глава 2. Механика

Единица измерения объемной плотности энергии — джоуль на метр в кубе
[ ]
w
= Дж/м
3
; потока энергии — ватт Ф = Вт интенсивности ватт на метр в квадрате [I] = Вт/м
2
Выражение (2.4.14) может быть записано в векторной форме Вектор r
I
называют вектором Умова. Вектор Умова показывает направление распространения волны и равен количеству энергии,
переносимой за единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной направлению распространения волны.
Продольные упругие волны с частотами от 16 до 20 000 Гц,
воспринимаемые органами слуха человека, называются звуковыми волнами. Колебания с частотой ? > 20 000 Гц называются ультразвуком, ас Гц — инфразвуком. Скорость звука в воздухе при t = С равна
=
0 331, 6
v мс. Энергетической характеристикой звука, как и любой волны, является интенсивность. На частоте 1000 Гц человек способен воспринимать звуки в диапазоне интенсивности от I
0
= 10
–12
Вт/м
2
до I
max
= 10 Вт/м
2
, где I
0
— порог слышимости
(наименьшая интенсивность звука, при которой звук еще воспринимается органами слуха I
max
— порог болевого ощущения (наибольшая интенсивность звука, при которой восприятие звука органами слуха еще не вызывает болевого ощущения. Порог слышимости и порог болевого ощущения зависят от частоты воспринимаемого звука (рис. 2.4.2) и могут отличаться у разных людей. Как правило, с возрастом порог слышимости увеличивается,
а порог болевого ощущения — уменьшается.
Так как диапазон интенсивностей звуков, воспринимаемых человеком, очень велик, то для сравнения интенсивностей звука удобно использовать логарифмические единицы и логарифмическую шкалу:
?
=
0
lg
I
L
I
,
(2.4.15)
где I
0
= 10
–12
Вт/м
2
— стандартный порог слышимости на частоте = 1 кГц Б — уровень интенсивности звука. Несмотря на то что
L
Б
— безразмерная величина, для ее числового значения принята единица бел (Б).
Как правило, уровень интенсивности звука измеряется не в бе- лах, а в децибелах (1 дБ = 0,1 Б. Уровень интенсивности звука в децибелах выражается как Уровень интенсивности звука принято измерять в децибелах, так как в промежуточном диапазоне частот и интенсивностей звуков минимальное заметное различие в уровне интенсивности звука, воспринимаемое ухом человека, соответствует примерно 1 дБ 2.4. Упругие волны. Звук

Рис. 2.4.2. Кривые равной громкости — зависимость уровня интенсивности от частоты при заданной громкости. Нижняя кривая соответствует порогу слышимости верхняя — порогу болевого ощущения 10 По мере распространения в среде звуковая волна вызывает ее сгущение и разрежение, которые создают добавочные изменения давления по отношению к его среднему значению в среде. Поэтому звук иногда оценивают в единицах звукового давления, которое связано с интенсивностью звука следующим образом где p — средняя амплитуда звукового давления
? — плотность среды, в которой распространяется звук v — скорость звука.
На частоте 1000 Гц порогу слышимости соответствует давление p
0
= 2•10
–5
Па, порогу болевого ощущения — p max
= 60 Па.
Так же как и интенсивность звука, звуковое давление удобно выражать в логарифмических единицах:
Глава 2. Механика

65
??
=
=
2 2
0 0
10 lg
20 lg p
p
L
p Громкостью звука называется величина, характеризующая звуковое ощущение для данного звука. Громкость сложным образом зависит от интенсивности звука (а следовательно, и звукового давления) и частоты.
Согласно закону Вебера Фе хне р а, увеличение раздражения в геометрической прогрессии вызывает увеличение его ощущения в арифметической прогрессии. Поэтому громкость измеряется в логарифмических единицах (фонах):
=
0
lg
I
E
k
I
,
(2.4.19)
где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от частоты и интенсивности звука. Условно принимают, что на частоте Гц
= 1
k
, поэтому на указанной частоте уровень громкости совпадает с уровнем интенсивности (рис. Громкость — субъективная величина, но, тем не менее, громкость звука данной частоты может быть оценена путем сравнения с громкостью чистого тона частотой 1000 Гц. На основании средних данных, полученных у людей с нормальным слухом, были построены кривые равной громкости (рис. 2.4.2), позволяющие определить связь между громкостью и интенсивностью звука на разных частотах.
Изменение частоты звуковых колебаний, связанное с относительным движением источника и наблюдателя, называется акустическим эффектом Доплера. Когда источники приемник звука сближаются, частота звука повышается (так как при этом наблюдатель встречает за один и тот же интервал времени больше волн, чем при отсутствии движения, а если они удаляются, — понижается.