|
|
Учебник логики со сборником задаче издание, переработанное
I. Исходные символы) р, q, r и т.д. — пропозициональные переменные 2) р — отрицание p; 3) p q — конъюнкция p и q; 4) р — строгая импликация льюисовской системы 5) р — модальный оператор возможности
(возможно, р 6) р
= q — строгая эквивалентность, p = q равносильно
(р
q) (р. Аксиомы системы S1:
1) p q
q p;
2) p q
p;
3) p
p p;
4) (p q) r
p (q r);
5) p
p;
6) (p
q) (q
r)
(p
r);
7) p (Аксиома 5 может быть выведена из остальных, как было показано позднее. Так как конъюнкция связывает сильнее, чем импликация, то скобки можно опустить или заменить их точками, как это сделано у Льюиса.
III. Правила вывода S1.
1. Правило подстановки Любые два эквивалентных друг другу выражения взаимозаменимы.
2. Любая правильно построенная формула может быть подставлена вместо p, или q, или r и т.д. в любом выражении. Если выводимо p и выводимо q, то выводимо p q.
4. Если выводимо p и выводимо p
q, то выводимо q.
Льюис построил модальную пропозициональную логику S1 в виде расширения немодального (ассерторического) пропозиционального исчисления (сокращенно АПИ). При этом основные черты S1 и других его исчислений были скопированы с формализованной логической системы Principia Mathematica Рассела и Уайтхеда, сформулированы с помощью понятий, только терминологически отличающихся от понятий,
использованных в Principia Mathematica. Кроме Рассела и Уайтхеда идеи классической логики развивали многие современные математические логики, например американский логики математик С. Клини
39
Исчисления Льюиса построены аксиоматически по образцу по аналогии с Principia Льюис доказывает ряд специфических теорем.
В классической двузначной логике логическое следование отождествляется с материальной импликацией, допускаются такие формы вывода 1) р o (q o рте. истинное суждение следует из любого суждения (истина следует откуда угодно) и 2) рте. из ложного суждения следует любое суждение (из лжи следует все что угодно»). Это противоречит нашему содержательному, практическому пониманию логического следования, поэтому данные формулы, а также и некоторые другие, и соответствующие им принципы логического следования называются парадоксами материальной импликации. Льюис создал свои новые системы с целью избежать этих парадоксов и ввести новую импликацию, названную им строгой импликацией, такую, чтобы логическое следование представлялось нечисто формально, а по смыслу (содержательно) и новая импликация была бы ближе к союзу естественного языка если, то. В строгой импликации Льюиса р невозможно утверждать антецедент, тер, и отрицать консеквент, те. В системах Льюиса были устранены парадоксы материальной импликации, те. формулы 1) и 2) стали невыводимыми, но появились парадоксы строгой импликации. К ним относятся, например, такие формулы 3) ( ¡ р, 4) ( р. Итак, отождествлять строгую импликацию Льюиса со следованием нельзя. С целью исключить парадоксы строгой импликации Льюиса немецкий математики логик Ф.В. Аккерман (1896—1962) построил свою систему модальной логики. Он ввел так называемую сильную импликацию, которая не тождественна строгой импликации Льюиса, и модальные операторы Аккермана и Льюиса также не являются тождественными. Аккерман все логические термины и модальные операторы определяет через сильную импликацию так NA равносильно А o МА равносильно Здесь А — любая правильно построенная формула системы Аккермана; N — оператор необходимости М — оператор возможности А — отрицание А, знак «o» обозначает сильную импликацию. Знак «O» — логическая постоянная, обозначающая «абсурдно». Эта постоянная в свою очередь определяется так A & A¯ o O, где обозначает конъюнкцию. И последняя формула читается так из противоречия, те. Аи неА, следует абсурд. В системе Аккермана не выводятся формулы, структурно подобные парадоксам, ни материальной импликации, ни строгой импликации. Системы Льюиса и Аккермана являются бесконечнозначными. В отличие от этих систем первоначально построенные системы Лука севича являются конечнозначными: одна — трехзначная (1920), другая — четырехзначная (1953). В четырехзначной системе Лукасевича 40 также обнаружены парадоксы. Главный из них состоит в том, что ни Антецедент — первый член импликации, которому предпослано слово «если». Консеквент — второй член импликации одно аподиктическое предложение не истинно, тени одно суждение вида LD (где L обозначает необходимость, а D — любая формула) не является истинным. Это означало бы, что необходимых суждений нет, т.е. модальный оператор необходимо упраздняется. Лукасевич пишет Любое аподиктическое предложение должно быть отброшено» 41 Сам Лукасевич считает это достоинством своей системы, а понятие «необходимость» — псевдопонятием. С такой точкой зрения, конечно, согласиться нельзя. Интерпретации модальных логик различны. Известный австрийский философ и логик Р. Карнап (1891—1970) пытался интерпретировать модальные понятия (операторы) с помощью так называемой теории возможных миров, в которой допускается наличие множества «миров», один из которых — действительный, реальный мира остальные — возможные миры. Необходимым объявляется то, что существует во всех мирах, возможным — то, что существует хотя бы в одном. Р. Карнап в 1946 г, используя понятие описание состояния», предложил интерпретацию модальных операторов, в основе которой лежала идея различия возможного и действительного миров. В ином направлении шел финский логик Я. Хинтикка. Критически переосмыслив введенное Карнапом понятие описание состояния, он разрабатывал технику модальных множеств, те. миров, — оригинальную семантическую концепцию возможных миров. Разработка семантики возможных миров для модальных логик продол жается. Разнообразными проблемами модальной логики занимается американский логик Р. Фейс 42 В настоящее время разработаны многие виды модальностей (см. табл. 8, Теорией модальных логики построением новых модальных логических систем в нашей стране активно занимаются логики А.А. Ивин 43 , Я.А. Слинин 44 , О.Ф. Серебряников, ВТ. Павлов и др 7. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЛОГИКИ Положительные логики — это логики, построенные без операции отрицания. Их можно разделить на два вида 1) положительные логики в широком смысле слова, или квазипозитивные логики. Они построены без операции отрицания, но отрицание может быть выражено средствами этой логической системы 2) положительные логики в узком смысле слова, те. логики, построенные без операции отрицания, причем отрицание не может быть выражено средствами этой системы Можно предложить классификацию и по другому основанию числу логических операций, с помощью которых построена положительная логика. Квазипозитивными логиками, построенными на одной операции, являются логика, построенная на операции штрих Шеффера» (антиконъюнкции), и логика, основанная на операции антидизъюнк ции. Квазипозитивная логика, построенная на операции антидизъюнк ции, которая соответствует сложному союзу ни, ни и обозначается а ¯ b (ни а, ни b»), таблично определена так (табл. Таблица а ¯ bИ И Л И Л Л Л И Л Л Л И Ряд квазипозитивных логик основан на двух операциях. Положительными логиками в узком смысле, основанными на одной операции, являются импликативная логика, основанная на операции импликации, и логика, построенная на операции эквиваленции. Ряд положительных логик основан на двух операциях а) на импликации и конъюнкции б) на дизъюнкции и конъюнкции в) на импликации и дизъюнкции. Положительная логика (в узком смысле) является подсистемой (частичной системой) более сильных логик — интуиционистской и классической. Все утверждения положительных логик имеют силу как в интуиционистской логике, таки в классической логике. Внутри самих положительных логик также имеются различные по силе системы. Так, импликативная логика, включающая две аксиомы, слабее, чем положительная логика, включающая, кроме этих двух, аксиомы, характеризующие конъюнкцию и дизъюнкцию. Аксиоматическое построение подтверждает это соотношение самой сильной является классическая, слабее — интуиционистская, еще слабее — положительная логика. Общее между положительной логикой в широком смысле и положительной логикой в узком смысле в том, что среди логических констант этих систем нет операции отрицания. Отличия этих систем следующие 1) в квазипозитивных логиках операция отрицания выразима средствами этой логики, а в положительных логиках в узком смысле операция отрицания невыразима) квазипозитивные логики являются моделями классической логики, т.е. они эквивалентны классической логике высказываний. Положительные логики в узком смысле неэквивалентны классической логике, а являются ее подсистемой (частичной системой, а следовательно, слабее классической логики высказываний Роль положительных логик в искусственных языках весьма значительна, особенно конструктивной логики А.А. Маркова, которая строится на иерархии языков. В алфавите языка Я нет отрицания, ив нем нельзя выразить отрицание, ибо нет импликации. Марковым был построен язык Я который хотя и узок, но приспособлен для описания работы нормальных алгоритмов. Этот язык пригоден для выражения некоторых отношений между словами, встречающимися в чистой семиотике ив теории алгоритмов. С помощью языка Я (языка без отрицания) можно дать описание работы различных алгоритмов — ив этом состоит важное значение языка без операции отрицания. Итак, логическая система без операции логического отрицания находит свое применение при построении машинных программ. Но если взять искусственные языки, такие как ФОРТРАН или КОБОЛ и др., которые позволяют воспользоваться высокоэффективным способом программирования, тов их состав, кроме логического сложения и логического умножения, входит и логическое отрицание, соответствующее частице не и обозначаемое обычно знаком «». Все инструкции о том, как произвести сборку замков, мебели, машин, инструментов, технических приборов и др, основаны на содержательном (не формализованном) использовании положительной логики 8. ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВАЯ ЛОГИКА Эта логика представляет одно из направлений современной неклассической математической логики. Объективными основами появления паранепротиворечивых логик является стремление отразить средствами логики специфику мышления человека о переходных состояниях, которые наряду с устойчивостью и относительным покоем наблюдаются в природе, обществе и познании. В природе и обществе происходят изменения, предметы и их свойства переходят в свою противоположность, поэтому нередки переходные состояния, промежуточные ситуации, неопределенность в познании, переход от незнания или неполного знания к более полному и точному. Действие законов двузначной логики — закона исключенного третьего и закона непротиво речия — в этих ситуациях ограничено или вообще неприменимо. На необщезначимость этих законов указывал еще Аристотель. Говоря о будущих единичных случайных событиях, по Аристотелю, нельзя считать суждение истинным или ложным, оно неопределенно. Закон непротиворечия утверждает, что два противоположных суждения не могут быть истинными водно и тоже время ив одном и том же отношении. Нов разное время они могут быть оба истинными. Аристотель писал Все изменяющееся необходимо должно быть делимым необходимо, чтобы часть изменяющегося предмета находилась водном (состоянии, часть — в другом, так как невозможно сразу быть в обоих или нив одном» 45 Вследствие неопределенности интервалов и неопределенности состояний изменяющегося предмета предполагается временная интервальная паранепротиворечивая семантика, допускающая истинность как высказывания Атаки неА. Кроме временных интервалов с переходными состояниями наше мышление имеет дело с так называемыми нечеткими понятиями (нежесткими, расплывчатыми, размытыми — fuzzy), отражающими нежесткие множества, концепция которых предложена в 1965 г. американским математиком Л. Заде. Все это обусловило необходимость и возможность появления паранепротиворечивых логик (paraconsistent logics) — логических исчислений, которые могут лежать в основе противоречивых формальных теорий. Противоречивые данные возникают в судебных заседаниях, дискуссиях, полемике, постановке диагноза болезни, в научных теориях (прежних и новых), в ситуациях, связанных с решением нравственных проблем, ив других сферах интеллектуальной деятельности. В связи с этим встала проблема создания информационной системы, работающей с противоречивыми данными. Предшественниками паранепротиворечивой логики как нового вида неклассической формальной логики явились НА. Васильева и Я. Лукасевич. Как новый вид математической логики, паранепроти воречивая логика разрабатывалась в работах польского логика Ст. Ясь ковского (1948) и бразильского математика Ньютона да Коста (начиная с 1958 г, История паранепротиворечивой логики изложена бразильским логиком АИ. Аррудой в работе Обзор паранепротиво речивой логики. Математическая логика в Латинской Америке» 47 В паранепротиворечивых системах принцип (закон) непротиво речия лишен всеобщей значимости. Логике не присущи ни единство, ни абсолютность — эту мысль мы встречаем у многих современных логиков, в том числе у Н. да Коста. В статье, специально написанной для журнала Философские науки (Философское значение паранепро тиворечивой логики, Н. да Коста пишет Допустим, что имеющийся у нас язык дедуктивной теории Т содержит в себе символ отрицания. Т называют противоречивой (inconsistent) теорией, если и только если в Т имеются две теоремы, одна из которых есть отрицание другой; в противоположном случае Т считается непротиворечивой (consistent). T считают тривиальной, если и только если все формулы (или все высказывания) языка Т являются также теоремами Т в противном случае мы называем Т нетривиальной. Система логики паране противоречива, если она может быть использована как логика, лежащая в основе противоречивых, но нетривиальных теорий. Н. да Коста полагает, что вместо стандартных теорий множеств могут быть использованы паранепротиворечивые теории множеств. Система паранепроти воречивой логики в общем случае должна удовлетворять следующим условиям 1) из двух противоречащих формул Аи в общем случае нельзя вывести произвольную формулу В 2) дедуктивные средства классической логики должны быть максимально сохранены, поскольку они — основа всех обычных рассуждений. В первую очередь должен быть сохранен modus ponens, те. рассуждение по формуле (( a o b) a) o b. Паранепротиворечивая логика связана со многими видами неклассических логик с модальной логикой (те. системой S5) К.И. Лью иса, с многозначными логиками, с релевантной логикой, где тоже не принимается принцип из противоречия следует все что угодно. Исследование многозначных логик показало, что закон непротиворечия, т.е. формула , a а не является тавтологией в следующих системах трехзначных логиках — Я. Лукасевича, Г. Рейхенбаха (для циклического и диаметрального отрицаний, Р.П. Гудстейна, Д. Бочвара (для внутреннего отрицания тзначной логике Э.Л. Поста. В исследованных нами ( А.Г.) 13 формализованных логических системах из 17 имеющихся в них видов отрицания для 10 видов закон непротиворечия является тавтологией (доказуемой формулой, для остальных же 7 он не является тавтологией. Это происходит потому, что кроме значений истинности — истина и ложь — в многозначных логиках имеется значение неопределенно. Нов классической, конструктивных и интуиционистских логиках от закона непротиворечия нельзя отказаться, ибо в этих логиках отражены жесткие ситуации или — или» («истина — ложь, конструктивный процесс присутствует или его нет, одновременно то и другое не может быть. Поэтому классическая, инту иционистская, конструктивная и ряд других логик не годятся в качестве логик, которые могут быть основанием противоречивых, но нетривиальных теорий. Положительные логики также для этого не годятся, ибо в них нет операции отрицания. Некоторые современные логики (например, немецкий логик К. Вессель) не признают паранепротиворечи вых логик. Построением паранепротиворечивых логических систем и анализом их философского значения занимаются АС. Карпенко, А.Т. Ишмуратов и другие ученые. Интересны и оригинальны статьи американского математика Н. Белнапа Как нужно рассуждать компьютеру (1976) и Об одной полезной четырехзначной логике (1976), посвященные формализации общения с информационными системами, в которых содержится противоречивая информация. Белнап построил четырехзначную логику, значениями истинности которой являются следующие Т — говорит только Истину F — говорит только Ложь None — Не говорит ни Истины, ни Лжи Both — говорит и Истину, и Ложь. Н. Белнап отмечает, что входные данные поступают в компьютер из нескольких независимых источников, ив таких условиях проявляется типичная особенность информационной ситуации угроза противоречивости информации. Что в таком случае должен делать компьютер, особенно если в системе содержится необнаруженное противоречие Свою четырехзначную логику Белнап и предлагает в качестве практического руководства в рассуждениях 50 Итак, паранепротиворечивые логики демонстрируют возможность наличия очень сильных противоречивых, но нетривиальных (т.е. паранепротиворечивых) теорий 286ЗАКЛЮЧЕНИЕЦель познания в науке и повседневной жизни — получение истинных знаний и полноценное использование их в практике. Знание формальной логики и диалектики поможет предвидеть события и лучшим способом планировать деятельность, максимально предусматривать возможные последствия, выдвигать различные гипотезы, эффективнее обучать и самим обучаться, видеть логику вещей, т.е. объективную диалектику, умело вести полемику. В статье В.А. Светлова Нужна ли логика будущему учителю?» 1 (в которой вопрос, вынесенный в заголовок, носит в общем риторический характер) сформулированы некоторые перспективы дальнейшего изучения логики студентами педагогических вузов. Он пишет Что же может дать логика для подготовки учителя При самом умеренном ее изучении студент педагогического вуза за одиндва семестра мог бы дополнительно к стандартному курсу освоить теоретически и научиться применять практически (по выбору логику научного исследования, логические основы семантики и семиотики, логику научнопедагоги ческой работы, логику принятия решения (в условиях определенности, неопределенности ириска, логику спора, логику общения (межличностных отношений, логику структурного анализа сказок, мифов, художественных текстов, логику конфликтов (межличностных, политических, военных)». Интересным, перспективным направлением является анализ уже созданных и разработка новых программ для ЭВМ по курсу формальной логики (как традиционной с элементами символической логики, так и символической логики. Широкое применение логических знаний необходимо и при разработке обучающих программ для ЭВМ по различным школьным учебным дисциплинам (опыт составления разнообразных программ по математике, русскому языку, истории, иностранным языкам, географии и другим предметам имеется, и его предстоит изучить Такие программы созданы в Москве (Гуманитарная академия вооруженных сил, МГУ им. МВ. Ломоносова и МПГУ); в Минске (БГУ); в СанктПетербурге и др Конкретное применение знаний формальной логики учителю потребуется в школе при работе с понятиями и осуществлении логических операций сними (определение, деление понятий, классификация, обобщение и ограничение. Знание темы Суждение поможет учителю четко выявлять логическую структуру простых и сложных суждений, правильно производить отрицания суждений, работать с модальными суждениями. Мы надеемся, что запись сложных суждений с помощью логических союзов, которая очень нравится учащимся тре тьих—седьмых и старших классово чем свидетельствуют многочисленные эксперименты со школьниками, изучавшими элементы логики под руководством студентов МПГУ им. В.И. Ленина, в которых участвовало более 200 студентов и около 2500 учащихся, оживит любой урок по любому школьному предмету. В данной книге подробно освещена и тема «Умозаключение». Желательно в процессе преподавания любого предмета показать структуру различных форм умозаключений, при этом предложить учащимся в художественной литературе найти примеры этих видов умозаклю чений. Вообще, в художественной литературе можно найти богатейшее собрание самых интересных иллюстраций по курсу логики следует к этой работе подключить и студентов, и школьников. Это одна из заманчивых перспектив в методике изучения логики, свидетельствующая о тесном взаимодействии языка и мышления. Значительный интерес представляет раздел логики, посвященный полемике, спору, дискуссиям, разоблачению различных недопустимых уловок, используемых в полемике. Изучение логики желательно продолжить, прослушав ряд спецкурсов, самостоятельно изучив дополнительную литературу. Эти формы работы помогут студентам, освоившим основной курс формальной логики (как классической, таки многочисленных направлений неклассических логик, изложенных в последней главе, стать преподавателем логики в средней школе, лицее, гимназии. Потребность в таких преподавателях будет возрастать в связи с введением обязательного курса логики в средних школах с дифференцированным обучением СБОРНИК ЗАДАЧ
|
|
|
Скачать 1.73 Mb.