|
|
Учебник логики со сборником задаче издание, переработанное
§ 3. МНОГОЗНАЧНЫЕ ЛОГИКИ
Если в двузначной логике высказывание бывает истинным или ложным, тов многозначных логиках число значений истинности аргументов и функций может быть любым конечными даже бесконечным. В настоящем параграфе отрицание обозначается через Nx или конъюнкция — через Кху или х у, нестрогая дизъюнкция — через Аху
или х
у, материальная импликация — через Сху или х o у. Значения функции от аргумента а будем записывать так а. Тавтологией (или общезначимой) называется формула, которая при любых комбинациях значений входящих в нее переменных принимает значение истина (чаще всего в рассматриваемых системах истина обозначается цифрой Развитие многозначных логик, по нашему мнению, подтверждает мысль, что истина всегда конкретна, а также положение об относительном характере конкретнонаучных знаний то, что является тожде
ственноистинным водной логической системе, не оказывается тождественноистинным в другой.
Трехзначная система Лукасевича
28
Трехзначная пропозициональная логика была построена ЯЛу касевичем в 1920 г. В ней истина обозначается 1, ложь — 0, нейтрально —
1
/
2
. В качестве основных функций взяты отрицание (обозначается Nx) и импликация (Сху); производными являются конъюнкция
(Кху) и дизъюнкция (Аху). Тавтология принимает значение Отрицание и импликация соответственно определяются матрицами (табл. 15, 16) и равенствами так:
Таблица 15
x
Nx
1 0
1
/
2 1
/
2 Таблица 16
y
1 1
/
2 0
x
1 1
1
/
2 0
1
/
2 1
1 1
/
2 0
1 1
1
2601) [ Nx] = 1 – [ x]; 2) [ Сху] = 1, если х d у 3) [ Сху] = 1 – х + [ у], если х > [ y] или в общем виде 4) [ Сху] = min(1,1 – [ x] + Конъюнкция определяется как минимум значений аргументов: [ Кху] = min([ x], у дизъюнкция — как максимум значений хи у: [ Аху] = max([ x], [ у]). На основе данных определений отрицания конъюнкции и дизъюнкции в системе Лукасевича не будут тавтологиями (законами логики) закон непротиворечия и закон исключенного третьего двузначной логики, а также и отрицания законов непротиворечия и исключенного третьего. Поэтому логика Лукасевича не является отрицанием двузначной логики. В логике Лукасевича тавтологиями являются правило снятия двойного отрицания, все четыре правила де Моргана и правило контр апозиции: а o b { b¯ o a¯ . Не являются тавтологиями правила приведения к абсурду двузначной логики ( x o x¯ ) o x¯ и ( x o ( y¯ y)) o те. если из х вытекает противоречие, то из этого следует отрицание х). Это можно доказать, взяв хи В системе Лукасевича не являются тавтологиями и некоторые формулы, структурно выражающие правильные дедуктивные умозаключения традиционной логики, формализованные средствами алгебры логики, а именно modus tollens, простая деструктивная дилемма, а также формулы разделительно категорического силлогизма с нестрогой дизъюнкцией. Все тавтологии логики Лукасевича являются тавтологиями в двузначной логике, ибо если отбросить значение 1 / 2 , тов логике Лукасеви ча ив двузначной логике определения функций конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания соответственно совпадут. Но так как в логике Лукасевича имеется третье значение истинности — 1 / 2 , тоне все тавтологии двузначной логики являются тавтологиями в логике Лу касевича. Трехзначная система ГейтингаВ двузначной логике из закона исключенного третьего выводятся Исходя из утверждения, что истинным является лишь второе, Гейтинг разработал трехзначную пропозициональную логику. В этой логической системе импликация и отрицание отличаются от определений этих операций у Лукасевича лишь водном случае. Истина обозначается 1, ложь — 0, неопределенность — Тавтология принимает значение 1 (табл. 17, 18). Таблица Отрицание Гейтинга
x
Nx
1 0
1
/
2 0
0 Таблица Импликация Гейтинга
y
1 1
/
2 0
x
1 1
1
/
2 0
1
/
2 1
1 0
0 1
1 1
1. [Сху] = 1, если х d у. [Сху] = у, если х > Конъюнкция и дизъюнкция определены обычным способом как минимум и максимум значений аргументов.
Если учитывать лишь значения функций 1 и 0, то из матриц системы Гейтинга вычленяются матрицы двузначной логики. В этой трехзначной логике закон непротиворечия является тавтологией, но низа кон исключенного третьего, ни его отрицание тавтологиями не являются. Оба правильных модуса условнокатегорического силлогизма, формула (x o y) o (y
¯
o x
¯
), правила де Моргана и закон исключенного четвертого
— тавтологии.
Хотя по сравнению с логикой Лукасевича в матрицах отрицания и импликации Гейтингом в его системе были произведены небольшие изменения, результаты оказались значительными в системе Гейтинга являются тавтологиями многие формулы классического двузначного исчисления высказываний.
Трехзначная система Бочвара
29
Система нашего отечественного логика ДА. Бочвара построена на разделении высказываний на имеющие смысл (те. истинные или ложные) и бессмысленные. Бочвар выделяет внешние формы (или функции) и внутренние. Внутренние формы Бочвар называет классическими содержательными функциями переменных высказываний, а внешние формы — неклассическими. У Бочвара истина обозначается ложь — F, бессмысленность — S. Мы обозначим истину как 1,
ложь — 3, бессмысленность — 2. Тавтология принимает значение ас обозначают переменные высказывания. В настоящей работе не приводится полное определение функций (в силу его сложности. Бочвар ввел два вида отрицания — внутреннее и внешнее, которые определяются таблично, а — внутреннее отрицание, а — внешнее отрицание, a¯ — внутреннее отрицание внешнего утверждения. В системе Бочвара ни закон тождества двузначной логики, ни его отрицание не являются тавтологиями. Отрицание закона тождества сыграло важную роль при анализе парадокса Рассела. Бочвар жене отбрасывает принципа есть а или а l а в его системе формула а l а не является доказуемой. Противоречиями в логике Бочвара являются следующие формулы 1) a a; 2) a { a; 3) а l а. Здесь знак «{» означает внешнюю равнозначность (эквивалентность, знак «l» — внешнюю равно сильность. Бочвар построил свое трехзначное исчисление с целью разрешения парадоксов классической математической логики методом формального доказательства бессмысленности определенных высказываний. В частности, с помощью своей системы Бочвар смог разрешить парадокс Рассела о множестве всех нормальных множеств, доказав не существование такого предмета, как множество всех нормальных множеств. В действительности это означает, что, поскольку предметная область состоит из фиксированных предметов, о которых можно рассуждать по законам классической формальной логики, множество всех нормальных множеств нельзя рассматривать как фиксированный предмет, не изменяющийся в то время, пока о нем идет речь. Система Бочвара позволяет элиминировать парадокс Рассела, не прибегая к теории типов. nNзначная система Поста30 Система Поста является обобщением двузначной логики, ибо при = 2 в качестве частного случая мы получаем двузначную логику. Своей системе Пост дал интерпретацию. Значения истинности суть 1, 2, …, при n t 2), где n — конечное число. Тавтологией является формула, которая всегда принимает такое значение i, что 1 d i d S, где 1 d S d n – значения 1, …, S называются выделенными или отмеченными возможно, что S > Пост вводит два вида отрицания ( N1 x и N2 x), соответственно называемые циклическими симметричным. Они определяются путем матриц и посредством равенств Первое отрицание определяется двумя равенствами. [N
1
x] = х + 1 при х ≤ n–1. 2. [N
1
n] = Второе отрицание определяется одним равенством = n – [x] + Матрица первого и второго отрицания имеет вид (табл. Таблица 19
x
N
1
x
N
2
x
1 2
n
2 3
n – 1 3
4
n – 2 4
5
n – 3
…
…
…
n – 1
n
2
n
1 Характерной особенностью двух отрицаний Поста является то,
что при n = 2 эти отрицания совпадают между собой и с отрицанием двузначной логики, что подтверждает тезис многозначная система
Поста есть обобщение двузначной логики.
Конъюнкция и дизъюнкция определяются соответственно как максимум и минимум значений аргументов. При значении для х, большем 2, законы непротиворечия и исключенного третьего представляют собой тавтологию, а отрицание этих законов не является тавтологией.
Если значениями истинности являются 1, 2, 3, то из n&значной системы Поста вычленяется трехзначная логика, те. Р. Аналогично при значениях истинности 1, 2, 3, 4 получается четырехзначная логика Р и т.д.
Трехзначная система Р Поста имеет следующую форму (табл. 20, Таблица 20
p
3
p
¯
3
p
1 2
3 2
3 2
3 1
1
Пояснения
Первое отрицание
Второе отрицание
Таблица 21
q
p ⋅
3
q
p ∨
3
q
p ⊃
3
q
p ≡
3
q
p
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1
1 2 3 1 1 1 1 2 3 1 2 3 2
2 2 3 1 2 2 1 2 2 2 2 2 3
3 3 3 1 2 3 1 1 1 3 2 Пояснения max(p, q)
min(p, q)
(
¯
3
p)∨
3
q
(p ⊃
3
q)∧
3
(q ⊃
3
p)
В этих таблицах приняты обозначения, введенные Постом при n = 3: первое отрицание обозначается через ( 3 р, второе отрицание — через ( ¯ 3 p), конъюнкция — через ( p ⋅ 3 q), дизъюнкция через ( p ∨ 3 q), импликация — через ( p ⊃ 3 q), эквиваленция — через ≡ 3 Если в качестве значений истинности взяты лишь 1 «истина» и 3 ложь, то из таблиц системы Р Поста вычленяются таблицы для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции двузначной логики. Трехзначная системаРейхенбаха31 Аппарат многозначных логик находит все более широкое применение в различных науках. Проанализируем применение аппарата трехзначной логики Г. Рейхенбаха к квантовой механике. Большинство операций этой системы было введено уже Постом, но с целью приложения своей системы к квантовой механике Рейхен& бах вводит новые. У Поста было введено два вида отрицания — первое и второе. В системе Рейхенбаха они называются циклическим отрицанием и диаметральным отрицанием, кроме них Ренхенбах ввел полное отрицание. В системе Рейхенбаха имеются стандартная импликация (⊃) и стандартная эквивалентность (≡). Вводятся и другие операции альтернативная импликация (→), квазиимпликация (∋) и альтернативная эквивалентность (≡). Знаком «⋅» обозначена конъюнкция — дизъюнкция. Таблица для трех видов отрицаний Рейхенбаха. Обозначения: А — циклическое отрицание А — диаметральное отрицание; А¯ — полное отрицание. Рейхенбах обозначил истину как 1, неопределенность — ложность — 3. Тавтология принимает значение 1 (табл. Другие функции Рейхенбаха определяются матрицами так (табл. Таблица 22 AA– AA¯ 1 2 3 2 2 3 2 1 3 1 1 1 Таблица 23 ABA ⋅ BA ∨ BA ⊃ BA → BA ∋ BA ≡ BA ≡ B1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 3 3 3 3 3 2 1 2 1 1 1 2 2 3 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 3 3 2 3 1 2 2 3 3 1 3 1 1 1 2 3 3 3 2 3 2 1 1 2 2 3 3 3 3 3 1 1 2 Отметим ряд свойств, присущих отрицаниям в системе Рей& хенбаха. Для циклического отрицания верен закон снятия тройного отрицания А ≡ A, те. в результате тройного отрицания A возвращаемся к исходному значению А. Для циклического отрицания законы непротиворечия и исключенного третьего, правила де Моргана двузначной логики не являются тавтологиями, но тавтологией является закон исключенного четвертого ∨ A ∨ Для диаметрального отрицания сохраняется правило снятия двойного отрицания – А ≡ А. Ни сами законы непротиворечия и исключенного третьего, ни их отрицания при диаметральном отрицании не являются тавтологиями. Для полного отрицания оказались тавтологиями закон непротиво& речия, псевдозакон исключенного третьего, закон исключенного четвертого, правила де Моргана, закон À Рассмотрев три вида отрицания в их взаимосвязи, Рейхенбах показал, что между циклическими полным отрицанием имеет место следующее отношение: А¯ ≡ A ∨ Ранее отмечалось, что для циклического отрицания является тавтологией закон исключенного четвертого A ∨ A ∨ A. Последние два члена его можно заменить на основании равенства (1) на Аи получить для полного отрицания формулу А ∨ А, которую Рейхенбах назвал «псевдозаконом исключенного третьего, ибо он не имеет свойств закона исключенного третьего двузначной логики. Причина последнего в том, что полное отрицание не имеет свойств обычного отрицания: оно не дает нам возможности определить значение истинности А, если мы знаем, что А истинно. Из таблицы 24, определяющей полное отрицание, следует, что если А истинно, то А может быть как ложным, так и неопределенным. Таблица 24 AA¯ И Н Н И Л И Вследствие этой двусмысленности для полного отрицания нельзя определить обратной операции, те. операции, ведущей от А к А. Взаимосвязь трех видов отрицания выражается в том, что закон непротиворечия сохраняется в таких трех формах, 2) ; 3) À À À À À À ⋅ ⋅ ⋅− Рейхенбах построил свою трехзначную систему для описания явлений квантовой механики. По его мнению, говорить об истинности или ложности высказываний правомерно лишь тогда, когда возможно осуществить их проверку. Если нельзя ни подтвердить истинность высказывания (те. верифицировать его, ни опровергнуть его с помощью проверки (фальсифицировать, то такое высказывание должно оцениваться третьим значением — неопределенно. К числу таких высказываний относятся высказывания о ненаблюдаемых объектах в микромире. Сам Рейхенбах так пишет о значении трехзначной логики для квантовой механики Введение третьего значения истинности не делает все высказывания квантовой механики трехзначными. Рамки трехзначной логики достаточно широки, чтобы включать класс истинно&лож& ных формул. Когда мы хотим все высказывания квантовой механики ввести в состав трехзначной логики, то руководящей идеей будет поместить в истинно&ложный класс те высказывания, которые мы называем законами квантовой механики» 32 Бесконечнозначная логика как обобщениемногозначной системы ПостаИсходя из системы Р Поста мы (А. Г) строим бесконечнозначную систему Gℵ 0 . Значениями истинности являются 1 (истина, 0 («ложь») и все дробные числа в интервале от 1 до 0, построенные в форме (ив форме ( 1 / 2 ) k ⋅ (2 k –1), где k — целочисленный показатель. Это числа, 1 / 2 , 1 / 4 , 3 / 4 , 1 / 8 , 7 / 8 , 1 / 16 , 15 / 16 , …, ( 1 / 2 ) k, ( 1 / 2 ) k ⋅ (2 k –1), …, 0. Операции отрицание, дизъюнкция, импликация и эквиваленция в G
ℵ
0
— определены следующими равенствами. Отрицание р = 1 – р. Дизъюнкция р ∨
ℵ
0
q] = max([p], [q]).
3. Конъюнкция p ∧
ℵ
0
q] = min([p], [q]).
4. Импликация [p ⊃
ℵ
0
q] = р ∨
ℵ
0
q].
5. Эквиваленция: [p ≡
ℵ
0
q] = [ (p ⊃
ℵ
0
q) ∧
ℵ
0
(q ⊃
ℵ
0
р)].
Отрицание в системе G
ℵ
0
является обобщением второго (симметричного) отрицания n&значной логики Поста. Посредством именно второго отрицания строятся конъюнкция, импликация и эквиваленция в системе G
ℵ
0
. Система G
ℵ
0
, построенная предложенным способом, имеет множество тавтологий*. Тавтологией, например, является формула, гласящая, что отрицание р, повторенное два раза, даст первоначальное значение р
¯
ℵ
0
(р) ≡
ℵ
0
p. Тавтологиями в G
ℵ
0
будут четыре правила де Моргана.
Тавтологии в G
ℵ
0
являются тавтологиями в двузначной логике,
ибо бесконечнозначная система G
ℵ
0
является обобщением системы Р
n
Поста, а последняя есть обобщение двузначной логики.
Для проверки правильности построения G
ℵ
0
предложенным нами способом на основании системы G
ℵ
0
построили систему G
3
, взяв в качестве значений истинности 1,
1
/
2
, 0. Система G
3
совпадает с системой Р
3
Поста. Из системы G
ℵ
0
также вычленяется четырехзначная система значениями истинности аргументов которой являются 1,
1
/
2
,
1
/
4
, 0, а значениями истинности функций 1,
1
/
2
,
1
/
4
,
3
/
4
, Отрицание определяется по формуле = 1 – Конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция в G
4
определены табл. В четырехзначной системе G
4
содержится классическая двузначная логика при значениях истинности 1 (истина) и 0 (ложь, атак же система P
3
Поста (при значениях истинности 1,
1
/
2
, Аналогично из G
ℵ
0
вычленяется система G
5
, а также G
6
, G
7
, G
8
и т.д.
|
|
|
Скачать 1.73 Mb.