Методичка по вычислительной математике. Методы вычислительной математики для решения задач информационно. Учебнометодическое пособие для выполнения лабораторных работ Волгоград, 2019 удк 519. 6(075. 8) Ббк в19я7 Печатается по решению редакционноиздательского совета Волгоградского государственного университета
 Скачать 0.84 Mb.
|
2. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ2.1 Лабораторная работа 1. «Теория погрешностей и машинная арифметика»Цель: сформировать навыки решения задач на вычислительные погрешности. Порядок выполнения работы Теоретическая часть Основные определения Абсолютная и относительная погрешность Определение. Приближенным числом называется число, незначительно отличающееся от точного числа и заменяющее последнее в вычислениях. Математическая запись Определение. Под абсолютной погрешностью Δ приближенного числа понимается разность Отсюда следует, что заключено в пределах или Определение. Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю соответствующего точного числа Так как обычно неизвестно, то на практике применяют оценку 2) Верные цифры числа Всякое положительное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби  где - цифра числа в i – м разряде, m – старший десятичный разряд числа. Пример: Определение. Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном представлении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Пример. = 0.002080. Здесь только первые три нуля не являются значащими. Определение. n первых значащих цифр приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины разряда, выражаемого n – й значащей цифрой, считая слева направо. Цифры, не являющиеся верными, называются сомнительными Пример. Если в числе = 0.03450 все цифры верные, то . Таким образом, если для приближенного числа известно, что то, по определению, первые n цифр этого числа являются верными. Пример. , . Тогда  Т.е. m-n+1=-1. Т.к. m = 1, то n = 3. Следовательно, приближенное число имеет 3 верных цифры и его следует округлить следующим образом: 3) Связь относительной погрешности с количеством верных знаков числа Если положительное приближенное число имеет относительную погрешность, то количество верных знаков n данного числа можно определить по формуле и в качестве n взять ближайшее целое к число. 4) Погрешности арифметических действий   Общая формула вычисления погрешности  Машинный нуль, машинная бесконечность, машинный эпсилон. В ЭВМ для вещественных чисел используется двоичная система счисления и принята форма представления чисел с плавающей точкой  ,  . Здесь - мантисса;  - двоичные цифры, причем всегда =1, p-целое число называемое двоичным порядком. Количество t цифр, которое отводится для записи мантиссы, называется разрядностью мантиссы. Диапазон представления чисел в ЭВМ ограничен конечной разрядностью мантиссы и значением числа p. Все представимые числа на ЭВМ удовлетворяют неравенствам:  , где  ,  . Все числа, по модулю большие , не представимы на ЭВМ и рассматриваются как машинная бесконечность. Все числа, по модулю меньшие , для ЭВМ не отличаются от нуля и рассматриваются как машинный нуль. Машинным эпсилон называется относительная точность ЭВМ, то есть граница относительной погрешности представления чисел в ЭВМ. Покажем, что  . Пусть  , тогда граница абсолютной погрешности представления этого числа равна  . Поскольку  , то величина относительной погрешности представления оценивается так: .Машинное эпсилон определяется разрядностью мантиссы и способом округления чисел, реализованным на конкретной ЭВМ. Примем следующие способы определения приближенных значений параметров, требуемых в задаче: 1. Положим  , где n - первое натуральное число, при котором происходит переполнение.2. Положим  , где m – первое натуральное число , при котором совпадает с нулем. 3. Положим  , где k – наибольшее натуральное число, при котором сумма вычисленного значения 1+ еще больше 1. Фактически есть граница относительной погрешности представления числа .Результаты вычислительного эксперимента: Машинная бесконечность  ;машинный нуль  ; машинное эпсилон  Контрольный пример Задача 1. Постановка задачи: дан ряд   . Найти сумму ряда S аналитически. Вычислить значения частичных сумм ряда SN= и найти величину абсолютной и относительной погрешностей погрешностей при значениях N=10, 102, 103, 104, 105. Построить гистограммы зависимости погрешностей и количества верных цифр результата от N.Аналитическое решение задачи (только если не получилось в Mathcad): SN=  =    ,  . ОТВЕТ: S = = 44.Теоретический материал. Пусть - точное значение, - приближенное значение некоторой величины. Абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина  . Относительной погрешностью значения (при 0) называется величина . Так как значение как правило неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:   . Величины  и  называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей. Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре. Введем функцию S(N)=  . Тогда абсолютную погрешность можно определить с помощью функции d(N) = .Вычисления в MATHCAD приведены в файле «таком-то» (см. фрагмент программы на MATHCAD) Указание. Предварительно ознакомьтесь с форматами представления результатов. Результаты вычислительного эксперимента:
Здесь следует описать, как вы определили количество верных цифр. Вывод: сформулировать самостоятельно. Задача 2. Постановка задачи: для пакета MATHCAD найти значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон. Искомые величины в MATHCAD найдены методом простого перебора. Выводы сформулировать самостоятельно. Фрагмент текста программы в системе MATHCAD:  Примеры решения задач Задача 1. Округлить сомнительные цифры приближенного числа x с относительной погрешностью d, оставив в его записи только верные цифры. x = 42.221, d = 0.5%. Решение: 1) Найдем количество верных цифр числа x: Отсюда n = 3 2) Округляем x до трех цифр x = 42.2 Задача 2. Записать формулу для оценки абсолютной погрешностей функции трех переменных: , если Решение:  Задача 3. Дано точное число b и приближенное число x с погрешностью . Указать правило оценки абсолютной и относительной погрешностей функции: Решение:  Задача 4. Дано число a = 547.78, определенное с абсолютной погрешностью . Определить количество верных цифр числа а. Решение: 1) Найдем относительную погрешность числа 2) Найдем количество верных цифр . Отсюда n = 4, a = 547.8 Контрольные вопросы Дайте определения приближенного числа, абсолютной и относительной погрешности. Какие цифры для заданного приближенного числа являются значащими? Приведите примеры. Какие цифры для заданного приближенного числа являются верными? Приведите примеры. Какие цифры для заданного приближенного числа являются сомнительными? Приведите примеры. Обозначьте связь относительной погрешности с количеством верных знаков числа Как определяется погрешность арифметических действий? Объясните общую формулу вычисления погрешности. Опишите форму представления чисел в ЭВМ. Дайте определения машинной бесконечности, машинного эпсилона, границы относительной погрешности. Опишите способы их определения. Как оценивается величина относительной погрешности? Практические задания Задача 1. Дан ряд  (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1). Найти сумму ряда аналитически. Вычислить значения частичных сумм ряда  и найти величину погрешности при значениях N=10, 102, 103, 104, 105.ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ: 1. Найти сумму ряда S аналитически как предел частичных сумм ряда (см контрольный пример) или с использованием средств MATHCAD. 2. Используя функцию  , вычислить значения частичных сумм ряда при указанных значениях N.3. Для каждого N вычислить величину абсолютной погрешности  , относительную погрешность d и определить количество верных цифр в S(N) 4. Представить результаты в виде гистограмм. Задача 2 . Дана функция f(a,b,c) (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1). Значения переменных указаны в варианте со всеми верными цифрами. Оценить погрешность результата, используя: a) оценки погрешностей для арифметических операций; b) общую формулу погрешностей. Результат представить в двух формах записи: с явным указанием погрешностей и с учетом верных цифр. Задача 3. Для пакета MATHCAD найти значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон (см. контрольный пример). ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 1 Таблица к задаче 1
Таблица к задаче 2
|
101
