Математическая экономика. Гераськин М.И. Математическая экономика 2008. Утверждено Редакционноиздательским советом университета в качестве учебного пособия (для студентов заочного обучения) самара издательство сгау 2008 2
 Скачать 1.29 Mb.
|
|
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВАМИ. ГЕРАСЬКИН МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА ТЕОРИЯ ПРОИЗВОДСТВА И ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА САМАРА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВАМИ. ГЕРАСЬКИН МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА ТЕОРИЯ ПРОИЗВОДСТВА И ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА Издание третье, исправленное и дополненное Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия (для студентов заочного обучения) САМАРА Издательство СГАУ 2008 2 УДК 65.052 ББК У. в 6 я Г 371 Рецензенты проф, др техн. наук В. Г. За с ка нов проф, др экон. наук АИ. Ладошки н Гераськин МИГ Математическая экономика теория производства и потребительского выбора учеб. пособие / МИ. Гераськин. – е изд, испр. и доп. – Самара Изд-во Самар. гос. аэрокосм. унта, 2008. – 124 с 978-5-7883-0560-8 В пособии рассматриваются математические модели представления производственного процесса на основе аппарата производственных функций, математические методы оптимизации издержек производства и формирования производственной программы, оптимальной по критерию прибыльности коммерческой деятельности анализируются математические модели потребительского выбора. Приведены методические указания и варианты контрольных работ. Предназначено для студентов заочного обучения по специальности Менеджмент организаций, а также по другим специальностям, связанным с планированием производственно-финансовых показателей деятельности коммерческих организаций. УДК 65.052 ББК У. в 6 я ISBN 978-5-7883-0560-8 © Самарский государственный аэрокосмический университет, 2008 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ. 4 Глава 1. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ................................................................. 6 §1.1. Производственная функция. Основные понятия ........................................................... 6 §1.2. Экономико-математические параметры производственной функции. 10 §1.3. Дополнительные свойства производственной функции ............................................... 14 §1.4. Эффекты расширения масштаба производства и замещения ресурсов. 17 §1.5. Изолинии производственных функций. 20 §1.6. Виды производственных функций .................................................................................. 22 Глава 2. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ИЗДЕРЖЕК. 29 §2.1. Издержки коммерческой организации. 29 §2.2. Функция издержек в долгосрочном периоде ................................................................. 33 §2.3. Долгосрочные издержки и расширение масштаба производства ................................ 37 §2.4. Функция издержек в краткосрочном периоде. 40 §2.5. Функция издержек при переменном эффекте расширение масштаба производства . 42 Глава 3. ТЕОРИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ КОММЕРЧЕСКОЙ ОРГАНИЗАЦИИ ............ 48 §3.1. Проблема рациональной коммерческой деятельности ................................................. 48 §3.2. Рациональная коммерческая деятельность в условиях совершенной конкуренции .. 51 §3.3. Планирование по конкурентной модели в долгосрочном периоде. 55 §3.4. Планирование по конкурентной модели в краткосрочном периоде. 60 §3.5. Анализ безубыточности. 64 §3.6. Рациональная коммерческая деятельность в условиях монополии и монопсонии.... 67 §3.7. Оптимальный план производства в условиях несовершенной конкуренции ............. 69 §3.8. Рациональная коммерческая деятельность в условиях олигополии и олигопсонии.. 74 §3.9. Дуполия Курно .................................................................................................................. 76 §3.10. Дуполия Стэкельберга .................................................................................................... 79 §3.11. Кооперативная дуполия.................................................................................................. 83 Глава 4. ТЕОРИЯ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА .................................................... 89 §4.1. Функция полезности ......................................................................................................... 89 §4.2. Виды функции полезности. 92 §4.3. Количественная теория полезности ................................................................................ 98 §4.4. Задача потребительского выбора. 105 §4.5. Порядковая теория полезности. 109 §4.6. Различные типы благ (товаров) ....................................................................................... 112 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ...................................................................................... 117 РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ .................................. 118 КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ. 118 ОБРАЗЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА .......................................................................................... 122 4 ВВЕДЕНИЕ Процесс материального производства, то есть деятельность коммерческих организаций по созданию материальных продуктов, выполнению материальных работ или оказанию материальных услуг в целях общественного потребления, является основой стабильного функционирования национальной экономики и предпосылкой ее динамического развития. Ключевую роль в организационном обеспечении процесса производства играет выбранная коммерческой организацией стратегия рациональной деятельности, определяющая траекторию развития производственной системы. Разработка адекватной целям организации стратегии коммерческой деятельности невозможна без формального математического описания производственного процесса, взаимоотношений фирмы со своими поставщиками и покупателями, механизма формирования прибыли – главного критерия эффективного предпринимательства. Математические методы оптимизации являются основой выбора наивыгоднейшего для фирмы сочетания значений показателей финансово-хозяйственного состояния. Поэтому применение этих методов в комбинации с аутентичными математическими моделями функционирования хозяйствующих субъектов позволяет разработать и реализовать оптимальную сточки зрения выбранных критериев программу коммерческой деятельности. Математическое моделирование процессов материально-техниче- ского снабжения, производства и реализации сопряжено с риском принятия в качестве базы оптимизационной процедуры чрезмерно упрощенной схемы финансово-хозяйственного механизма, не обеспечивающей соответствие полученной оптимальной программы особенностям реальных экономических процессов. С другой стороны, использование сложной математической модели, приближающейся к уровню имитационной, может привести к невозможности применения существующих оптимизационных методов, что делает само моделирование бессмысленным. Современная математическая теория производства базируется на моделях, достаточно полно описывающих черты реальной производственной деятельности и допускающих аналитическое решение. Наряду с этим, рентабельная производственная деятельность немыслима без адекватных реальным предпочтениям покупателей продукции моделей, описывающих рациональный потребительский выбор. Цель моделирования потребительского выбора заключается в формировании таких основополагающих предпосылок планирования развития фирмы, как оценка особенностей рынка сбыта товаров, определение сравнительных характеристик предпочтительности товаров, в целом образующих маркетинговую стратегию. 6 Глава 1. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ §1.1. Производственная функция. Основные понятия Исследование экономических процессов в современном крупномасштабном производстве требует получения большого объема статистической информации для построения математических моделей типа «затраты-выпуск», поскольку такие модели учитывают внутреннюю структуру производства. Между тем, построение матрицы внутрипроизводственных затрат во многих случаях представляет собой крайне сложную задачу. С другой стороны, зачастую гораздо проще получить отчетные данные о поведении и взаимосвязи укрупненных показателей, таких как стоимость произведенного продукта, объем основных фондов, численность промышленно-производственного персонала и т.п. Оперируя такими укрупненными показателями и рассматривая коммерческую организацию (фирму) как черный ящик то есть изучая связь между объемами затраченных ресурсов и величиной произведенного продукта, можно сделать определенные выводы. Впервые функциональная взаимосвязь между объемом производства и объемом израсходованных ресурсов была использована в производственном анализе в 1928 г. в статье американских ученых экономиста Пола Дугласа и математика Чарльза Кобба Теория производства. В этой статье была предпринята попытка определить эмпирическим путем влияние величин затраченного капитала и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США. Были использованы статистические данные за 1899-1922 гг. и поставлены следующие задачи 1. Определить вид функций, наиболее точно выражающих количественные соотношения между тремя выбранными характеристиками производства. Найти значения коэффициентов конкретной функции этого вида. Зачем нужны производственные функции Возникновение теории производственных функций 7 3. Проверить достоверность значений функции, сравнив их с фактическими данными. Ч. Коббом была предложена функция вида β = L АК Q α , где Q – объем выпускаемой продукции К – объем основного капитала L – затраты труда А, α, β – коэффициенты, удовлетворяющие условиям 1 , 0 , , 0 А = β + α ≥ β α > Коэффициент А, предназначен для перевода единиц измерения труда и капитала в единицы измерения продукта коэффициенты α, β отражают вклад труда и капитала в изготовление продукта. С использованием метода наименьших квадратов были определены значения числовых коэффициентов 2 t t 1922 1899 t t ) L K A Q ( ln ln ln ln При этом оказалось, что А, α=0,25, β=0,75, то есть функция имеет вид Сравнение величины Q(K,L) с фактическим значением объема производства показало удовлетворительную достоверность расчетов на основе производственной функции. Производственной функцией (ПФ) производственного процесса называется отображение U D : Q → , моделирующее выпуск продукции в данном процессе. Область определения функции D представляет собой множество производственных ресурсов в стоимостном или натуральном выражении. Область значений функции U включает в себя область количественных оценок результатов производства, например, физический объем выпуска по каждому наименованию ассортимента или стоимостные показатели ( ) m Q Q Q Q ,..., , 2 Несмотря на широту введенного определения ПФ, наиболее исследованы функции для случая m=1, то есть имеется единственная (агреги- Определение производственной функции 8 рованная) количественная оценка результатов производства. В этом случае ПФ представляет собой обычную функцию нескольких переменных. Определение ПФ зависимость между объемом выпуска продукции Q и количествами затраченных производственных ресурсов ( ) n 2 1 x ,..., x , x x = : Следует учесть, что значение объема выпущенной продукции предполагается максимально возможным приданных затратах производственных ресурсов, то есть непроизводительные (холостые) затраты отсутствуют. Графически поверхность выпуска, формируемая ПФ, изображена на рис. 1.1. Рис. 1.1. Графическая интерпретация ПФ Зависимость, моделирующая реальный производственный процесс, имеет следующие свойства 1. При увеличении объема затрат одного из ресурсов и неизменном объеме затрат других ресурсов выпуск продукции возрастает n. 1,2,..., i , 0 х Q i = > ∂ ∂ Это свойство вытекает из гипотезы рационального выбора производителем ресурсов производства – ресурсы, не увеличивающие выпуск продукции, не применяются в процессе производства. Пример 1.1.1. Фирма, занимающаяся производством мебели, использует в качестве ресурсов труд рабочих и оборудование. В случае приобретения дополнительно деревообрабатывающего станка объем продукции фирмы должен возрасти, если только этот станок не выпускает бракованную продукцию. 2. При фиксированных объемах затрат всех ресурсов кроме одного последовательное увеличение этого ресурса обеспечивает постоянно снижающееся приращение величины продукта n. 1,2,..., i 0, х Q 2 i 2 = < ∂ ∂ Данное свойство обусловлено необходимостью сбалансированности затрат ресурсов в конкретном технологическом процессе увеличение затрат одного ресурса без соответствующего роста затрат другого ресурса не обеспечивает технологию фирмы полноценным потоком ресурсов следовательно дополнительный эффект от увеличения затрат ресурса снижается. Пример 1.1.2. В фирме, производящей обувь, работают 5 рабочих и используется 5 станков. В случае приобретения дополнительно одного станка объем продукции фирмы должен возрасти на 100 пар обуви в месяц. Если же вначале на 5 рабочих приходилось 20 станков, то приобретение дополнительно одного станка повысит объем производства только на 40 пар обуви в месяц, поскольку количество рабочих, обслуживающих станки, не изменилось. Геометрическая интерпретация этих условий приведена на рис. 1.2, где изображена зависимость величины произведенного продукта от объема затрат одного ресурса при фиксированных значениях затрат других ресурсов эта зависимость называется кривой выпуска. Первое условие означает, что касательная к кривой выпуска при всех возможных значениях расхода ресурса имеет положительный наклон, поскольку γ = ∂ ∂ tg i х Q Второе условие, преобразованное к виду 0 x Q x x Q i i 2 i 2 < ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ , показывает, что прирост продукта в расчете на дополнительные затраты единицы ресурса снижается приросте затрат ресурса. 10 Рис. 1.2. Кривая выпуска §1.2. Экономико-математические параметры производственной функции Основные характеристики ПФ рассматриваются на примере функции Средние продукты характеризуют удельный эффект использования ресурсов в производственном процессе фирмы. Средняя производительность труда это отношение произведенного продукта к количеству затраченного труда Средняя фондоотдача это отношение объема произведенного продукта к стоимости основных фондов К Q AQ = Для функции Кобба-Дугласа средняя производительность труда равна ив силу условия β < 1 является убывающей функцией аргумента L. Другими словами, с увеличением трудозатрат средняя производительность тру- Средние величины да падает, поскольку величина второго ресурса К остается неизменной, и привлекаемая рабочая силане обеспечивается дополнительными средствами производства фондовооруженость К при этом снижается. Аналогично интерпретируется средняя фондоотдача. Пример 1.2.1. В фирме, производящей обувь, 5 рабочих работают на 5 станках, и выпускается 1000 пар обуви в месяц. Поэтому средняя производительность труда одного рабочего составит (1000/5)=200 пар/чел. Фондовооруженность при этом равна (5/5)=1 станок/чел. Предположим, что наняты ещё 5 рабочих, в результате чего выпуск продукции увеличился до 1500 пар обуви в месяц. Средняя производительность труда рабочего снизится до (1500/10)=150 пар/чел. Фондовооруженность уменьшится (5/10)=0,5 станок/чел. Геометрически среднее значение продукта интерпретируется как угловой коэффициент секущей линии, проведенной изначала координат к точке кривой выпуска, характеризующей определенное значение продукта, то есть из рис. 1.3 следует, что Рис. 1.3. Геометрический смысл средних и предельных величин 12 Предельные продукты характеризуют эффект в виде объема продукции, получаемой от увеличения затрат ресурсов. Предельная производительность труда характеризует величину дополнительного эффекта от каждой затраченной единицы труда приданном сочетании ресурсов (К Исходя из определения ПФ при увеличении затрат труда, предельная производительность труда снижается. Геометрически предельный продукт, как показано на рис. 1.3, представляет собой угловой коэффициент касательной к кривой выпуска в данной точке γ = Для функции Кобба-Дугласа предельная производительность равна L Q β L AK MQ 1 β α L = β = − , то есть предельная производительность пропорциональна средней и всегда меньше ее, так как β < 1 (рис. 1.4). Рис. 1.4. Средний и предельный продукты функции Кобба-Дугласа Предельная фондоотдача определяется аналогично К Q MQ К ∂ ∂ = Предельные величины Пример 1.2.2. Фирма, рассмотренная в примере 1.2.1, нанимает дополнительного рабочего. Если коэффициент β =0,75, то увеличение продукции (предельная производительность) составит (0,75 ⋅ 200)=150 пар/чел. Если же фирма, имея 10 рабочих, наймет дополнительного рабочего, то увеличение продукции составит (0,75 ⋅ 150)=113 пар/чел. Большое значение для анализа ПФ имеют безразмерные коэффициенты, характеризующие процент прироста объема выпуска продукции при увеличении затрат ресурса на 1%, то есть коэффициенты эластичности. Эластичность продукта по фондам определяется по формуле Q К К Q Е К ∂ ∂ = Поскольку при неизменном объеме трудозатрат относительному увеличению объема основных фондов на К ΔК соответствует относительное увеличение выпуска на Q ΔQ , то относительное приращение выпуска составит К ΔК Q Q Δ , а переходя к пределу при ΔΚ → 0, получим выражение эластичности. Эластичность продукта потру д у Q L L Q Е L ∂ ∂ = имеет аналогичное значение. Параметры функции Кобба-Дугласа являются коэффициентами эластичности , L AK L K A Q K Q Е 1 K α = α = ∂ ∂ = β α β − α K K . L AK L L K A Q L L Q Е 1 - L β = β = ∂ ∂ = β α β α Поэтому для функции Кобба-Дугласа коэффициенты α, β постоянны и не зависят от объема факторов К, L. Коэффициенты эластичности 14 Пример 1.2.3. Фирма, рассмотренная в примере 1.2.1, планирует увеличить штат персонала на 10%. Если эластичность продукта по труду β =0,75, то увеличение продукции в результате составит (0,75 ⋅ 10)=7,5%. Можно сформулировать обратную задачу насколько процентов следует увеличить штат фирмы, если прирост объема производства должен составить 7,5%? Очевидно, количество работников должно возрасти на (7,5/0,75)=10%. |