§1.1. Функция полезности Функция полезности представляет собой зависимость между количественно выраженной удовлетворенностью потребителя использованными благами (товарами) и объемами потребления этих благ где
U – полезность набора благ
n
2
1
x
x
x
,...,
,
– объемы потребления благ. Поскольку полезность является субъективным понятием, то для функции полезности первоначально не определены а) точка отсчета, то есть нулевой уровень полезности б) шкала, то есть единица измерения удовлетворенности. Следовательно, любая возрастающая функция от
U также может выражать полезность блага, например
( )
( )
( )
x
U
0
b
a,
b,
x
U
a
x
U
⇔
>
+
=
, то есть линейная функция от функции полезности также есть функция полезности. Зависимость полезности от объема потребления блага
i
x
при фиксированных объемах потребления других благ (рис. 4.1) называется кривой полезности Рис. 4.1. Кривая полезности Определение функции Экономико- математические характеристики
90 Вид зависимости значения
( )
i
x
U
от объема потребления го блага при постоянных объемах потребления других благ характеризует предельная полезность го блага
( )
1,2
i
,
x
x
U
MU
i
i
=
∂
∂
=
. (4.1) Предельная полезность представляет собой прирост полезности набора благ
(
)
2
1
x
,
x
при увеличении объема потребления го блага на единицу. Изолинии функции полезности (кривые постоянной полезности, впервые примененные английским экономистом Фрэнсисом Эджу- ортом в 1881 г, получили название кривых безразличия. Основное условие, которому отвечают кривые безразличия (рис. 4.2) – неизменность величины полезности во всех точках кривой
(
)
const
,
=
2
1
x
x
U
. (4.2) Рис. 4.2. Кривые безразличия (
U
1
=10 баллов U
2
=20 баллов U
3
=30 баллов) Пример 4.1.1.
Для потребителя, покупающего масло и мед, построены кривые безразличия, изображенные на рис. 4.2. Используя кривую безразличия, соответствующую уровню полезности U
1
=10 баллов, можно определить, что при потреблении х кг масла потребитель должен приобретать х литров меда, чтобы быть удовлетворенным на 10 баллов. В этом состоит экономический смысл кривых безразличия.
Если же потребитель при той же степени удовлетворенности 10 баллов хочет приобрести х кг масла, то он готов отказаться от х- х литров меда. В этом проявляется эффект замены при постоянному ровне удовлетворенности в случае увеличения потребления одного товара сокращается потребление другого товара. Количественной характеристикой интенсивности эффекта замены а значит и формы кривых безразличия) служит предельная норма замены) Поскольку прирост полезности равен нулю при условии
(
)
const
,
=
21xxU, то
( )
( )
0dxxxUdxxxUdU2211=
∂
∂
+
∂
∂
=
, следовательно
( )
( )
212112MUMUxxUxxUdxdx−
=
∂
∂
∂
∂
−
=
, а при подстановке этого выражения в (4.3) получим
21XXMUMUMRS21=
. (4.4) Так как предельная норма замены
21XXMRS показывает, насколько единиц можно сократить потребление блага
2x, чтобы при единичном увеличении потребления блага
1x полезность набора благ не изменилась, то из условия (4.4) вытекает следующий вывод воск о ль кора з предельная полезность блага- заменителя превышает предельную полезность замещаемого блага, во столько же раз сокращение объема его потребления превзойдет прирост потребления блага- заменителя. Виды функции полезности В работе Опыт новой теории измерения жребия, опубликованной в 1738 г, швейцарский математик Даниил Бернулли впервые предложил способ количественного определения полезности блага на основе вероятностной теории игр. Полезность или выгода есть результат, получаемый потребителем ото б ладан и я благом достижения выигрыша. Диапазон изменения объема потребления блага
x разбивается на два интервала
1) при
0xx>
благо обеспечивает доход (полезность значение есть объем блага, соответствующий нулевому уровню полезности
2) при
0xx0<
<
располагаемый объем блага снижает уровень удовлетворенности (приводит к убытку причем чем меньше имеющийся объем блага, тем существеннее снижение удовлетворенности потребителя иначе говоря, это интервал «антиблага». Рис. 4.3. Вид кривой полезности Сточки зрения теории игр благо интерпретируется как выигрыша «антиблаго» – как сумма ставки, необходимая для получения соответствующего выигрыша (рис. 4.3). В игре со справедливыми ус-
Логарифмическая функция Благо «Антиблаго» ДоходУбыток
93
ловиями убыток от проигрыша должен быть равен выгоде от выигрыша, то есть при должно выполняться условие В дальнейших рассуждениях Д. Бернулли использовал следующее предположение объем блага
0
x
, соответствующий полной неудовлетворенности потребителя (
U=0), несопоставим с максимально возможным объемом потребления блага
n
x
, то есть В этом случае дугу
n
0
U
U
можно рассматривать как кривую, близкую к отрезку прямой линии, угловой коэффициент которой, как видно из рис. 4.4, равен
x
a
; параметра представляет собой длину подкасательной проекции значения функции на ось аргумента, если рассматривать зависимость хот. Рис. 4.4. Предположение Бернулли Для получения уравнения кривой
n
0
U
U
значению имеющегося блага дается бесконечно малое приращение
dx, приводящее к соответствующему приросту полезности
dU. С учетом принятого предположения угловые коэффициенты дуги
n
0
U
U
и дуги
(
)
dU
U
U
j
j
+
;
как отрезка кривой, равны
94
⇒
=
x
a
dx
dU
,
dx
x
a
dU
=
(4.5) Решением дифференциального уравнения (4.5) является функция
C
x
a
U
+
= ln с начальным условием
( )
0
U
x
U
0
0
=
=
, откуда
0
C
x
a
0
=
+
ln
,
0
x
a
C
ln
−
=
,
0
x
x
a
U
ln
=
. (4.6) Таким образом, функция полезности представляет собой логарифмическую кривую, подкасательная которой равна а, асимптота – ось ординат. Поэтому сумма дохода и убытка (длина подкасательной
а)остается постоянной для любых игровых ситуаций, так как рассматривается игра с полной суммой. Однако функция полезности вида (4.6), имеющая адекватную игровую интерпретацию, не нашла широкого применения в теории полезности, так как на интервале
0
x
x
0
<
<
функция (4.6) принимает отрицательные значения. Более распространена логарифмическая функция Бернулли, полученная путем смещения дуги
n
0
U
U
параллельно самой себе влево до совпадения точки
0
U
сточкой, абсцисса которой х, то есть при сдвиге на величину
(
)
1
x
0
−
:
(
)
,
ln
0
х
х
x
х
a
U
0
0
≥
>
−
=
Для случая нескольких благ логарифмическая функция записывается в виде
(
)
(
)
0.
x
x
0
a
x
x
a
x
x
a
U
U
U
i
0
i
i
02
2
2
01
1
1
2
1
≥
>
>
−
+
−
=
+
=
,
,
ln ln
(4.7) Пример 4.2.1.
Предпочтения потребителя, приобретающего
10 литров молока и 2 тюбика зубной пасты в месяц, выражаются
логарифмической функцией полезности с коэффициентами
95
1
a
2
a
1
x
x
2
1
02
01
=
=
=
=
,
,
. Потребитель рассуждает о том, что ему полезнее приобрести дополнительно 1 литр молока или 1 тюбик пасты Запишем функцию полезности потребителя
(
)
(
)
1
x
ln
1
x
ln
2
U
2
1
−
+
−
=
.
Для ответа на вопрос потребителю нужно сравнить предельные полезности молока и пасты приданном объеме потребления этих товаров. Вычислим предельные полезности по формуле (4.1):
( )
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
,
,
ln ln ln
литр
полез
ед
22
0
1
10
2
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
1
x
2
x
x
U
MU
1
1
1
1
2
1
1
1
=
−
=
−
=
∂
−
∂
=
=
∂
−
+
−
∂
=
∂
∂
=
,
( )
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
тюбик
полез
ед
1
1
2
1
1
x
1
x
1
x
x
1
x
1
x
2
x
x
U
MU
2
2
2
2
2
1
2
2
ln ln Таким образом, потребителю значительно полезнее приобрести дополнительно тюбик пасты, чем литр молока. Продолжая игровую интерпретацию (рис. 4.3), Д. Бернулли ввел понятие среднего выигрыша (среднего значения полезности
2
1
2
2
1
1
f
f
U
f
U
f
U
+
+
=
, где
j
f
– частота получения го блага (наступления го выигрыша. Полагая
а
1
=а
2
=а, то есть считая сумму дохода и убытка одинаковой для всех рассматриваемых товаров, получим формулу средней полезности) (Поскольку логарифмическая функция является возрастающей, то подлогарифмическое выражение также представляет собой функцию полезности) (Степенная функция
96 В общем виде степенная функция записывается следующим образом) Функция (4.8)
применяется для описания предпочтений потребителя, который неудов лет воре н при отсутствии хотя бы одного блага. Смысл теории игр, вложенный Д. Бернулли в функцию средней полезности, позволил интерпретировать полезность в задачах определения первоначального объема блага, необходимого для достижения определенного уровня полезности, и прироста удовлетворения, связанного с приращением располагаемого объема блага. В этом случае предполагается, что речь идет об одном благе, которое может иметься в различных количествах и, следовательно, обеспечивать разный уровень удовлетворенности. Пример 4.2.2.
Продавец планирует реализовать товар заруб, однако, как правило, из 100 сделок аналогичного типа 5 оказываются неудачными. Сделка может быть застрахована заруб. Определить а) начиная с какой суммы капитала продавец может отказаться от страховки б) каким минимальным капиталом должен располагать страховщик, чтобы ему были выгодны такие условия страхования. Определим размер начального капитала продавцах, считая х, δ
+
=
12хх, δ
– прирост капитала. Приравняем среднюю полезность при отказе от страховки (
)
,
10051100951х10000х⋅
+
и при согласии застраховать сделку х Уравнение (
)
9200хх10000х110051100951+
=
⋅
+
имеет приближенное решение х. Поэтому если капитал продавца превышает сумму 5043 руб, то прирост средней полезности в случае отказа от страховки выше, чем в случае ее принятия. Размер начального капитала страховщика определим из условия равенства его средней полезности при принятии на себя страхования и при отказе от страхования 97
(
)
[
]
(
)
,
110051100951х10000800х800х=
−
+
⋅
+
откуда х. Таким образом, если страховщик имеет капитал, превышающий 14243 руб, то ему полезнее взять на себя обязанности страхования, чем отказаться от них. Пример 4.2.3. Предприниматель имеет товары на складе на сумму 4000 руби товары, отгруженные на сумму 8000 руб, причем, как правило, десятая часть отгруженных товаров не оплачивается покупателями. Определить полезность запасов предпринимателя. По формуле средней полезности (
)
.,
руб10752400080004000U101109=
⋅
+
=
а за вычетом оставшихся на складе товаров полезность отгруженных товаров равна 6752 руб Рассмотренные примеры показывают, что полезность (степень удовлетворенности) может быть количественно оценена. Английский экономист Рой Джордж Аллен (1906-1983) предложил вид функции полезности, которая получила название квадрат и ческой, или функции Аллена. Рис. 4.5. Функция Аллена Основной предпосылкой выбора вида функции было существование потребителей, для которых возможность пользования определенными благами ограничена, вследствие чего Функция Аллена
98 чрезмерный рост объема одного из благ при неизменном объеме потребления другого снижает общую полезность. Иначе говоря, полезность выражается абсолютной величиной отклонения объемов потребления благ друг от друга, взятой с обратным знаком
2
1
х
х
U
−
−
=
Более удобной является дифференцируемая функция полезности, поэтому функцию модуля целесообразно заменить на квадратическую функцию
(
)
,
2
2
1
х
х
U
−
−
=
или, в более общем виде
(
)
.
х
а
х
а
х
х
а
а
2
х
а
х
а
U
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
−
−
=
−
−
=
(4.9) Функция Аллена, вид которой при фиксированном объеме потребления первого блага показан на рис. 4.5, всегда отрицательна и представляет собой функцию потерь, которые несет потребитель если располагаемые объемы благ отличаются от заданных удельных потребностей аи а
⇒
=
2
2
1
1
х
а
х
а
;
х
а
а
х
1
2
1
2
=
только в этом случае потери равны нулю и полезность максимальна.
§4.3. Количественная теория полезности Экономисты XIX века (Уильям Джевонс, Леон Вальрас), как основоположники кардинал ист с кого количественного) подхода к оценке полезности потребителя, предполагали, что потребитель способен оценить потребляемые им товары сточки зрения величины полезности, причем целью потребителя является максим из а ц и я полезности. Поэтому первоначально полезность набора благ представлялась как сумма полезностей всех входящих в комплект благ, то есть использовалась аддитивная функция полезности Аддитивная функция полезности
99
( х (4.10) где
i
U
– полезность блага Следовательно, предполагалась независимость полезно- ст ей отдельных благ друг от друга. В современной теории многокритериального выбора решений вид
(4.10) агрегированного критерия по-прежнему широко распространен, однако вводится зависимость альтернатив по полезности, выражаемая коэффициентами значимости х (4.11) Функции полезности, рассмотренные выше, также являются аддитивными функциями вида (4.11). Пример 4.3.1.
Провести упорядочение по полезности альтернативных проектов трех моделей автомобилей при следующих значениях критериев (объемов благ) и коэффициентов значимости Модель
№
п/п Критерий (благо) я я я Коэффициент значимости
1 Цена, тыс. руб 28
30
30
0,4
2 Полезный объем, м
4 5 6
0,1
3 Расходы на обслуживание,
тыс. руб.
3 1 2
0,2
4 Скорость, км/ч 180
180
200
0,3 Определим полезность благах как возрастающую безразмерную функцию объема благах, то есть большему количеству блага должно соответствовать большее значение его полезности
( )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<
∂
∂
=
>
∂
∂
=
∑
∑
если
,
,
,
если
,
0
х
U
х
1
х
х
х
0
х
U
х
х
х
U
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
100 Расчет частных полезностей проведен в таблице Модель Модель Номер критерия я я я я я я
1 1/28
1/30 1/30 0,1024
0,35
0,33
0,33
2 4 5 6 15 0,27
0,33
0,40
3 1/3 1 1/2 1,833
0,18
0,55
0,27
4 180
180 20 560 0,32
0,32
0,36 Полезности моделей с учетом коэффициентов значимости равны Итак, модели предпочтительны в следующем порядке
1
Модель,
2
Модель,
3
Модель
Цель максимизации количественной полезности нашла выражение в закономерностях, полученных немецким экономистом Германом Госсеном в 1854 г. в работе Развитие законов общественного обмена и вытекающих отсюда правил человеческой деятельности. Первый закон Гос сена водном непрерывном акте потребления полезность последующей единицы блага убывает при повторном акте потребления полезность каждой единицы блага уменьшается по сравнению с ее полезностью при первоначальном потреблении. Математическая запись этого закона имеет вид ММ) то есть предельная полезность блага помер ее гоп от ре б лени я уменьшается. Законы
Госсена
Этот закон также получил название аксиомы ненасыщения», поскольку при М функция полезности возрастающая, то есть насыщения потребителя не наступает. Рассмотренные виды функции полезности удовлетворяют аксиоме ненасыщения. Первый закон Госсена был получен эмпирическим путем на основе обобщения субъективных мнений о полезности потребления благ в различных количествах. Пример 4.3.2.
Потребитель, рассмотренный в примере 4.2.1, приобретал 10 литров молока и 2 тюбика зубной пасты в месяц, и при логарифмической функции полезности
(
)
(
)
1
x
1
x
2
U
2
1
−
+
−
=
ln его удовлетворение от дополнительного литра молока составляло
литр
полез
ед
22
0
1
10
2
1
x
2
MU
1
1
,
=
−
=
−
=
. Если же данный потребитель будет приобретать 30 литров молока в месяц, то увеличение закупок молока на 1 литр принесет ему дополнительно
литр
полез
ед
07
0
1
30
2
1
x
2
MU
1
1
,
=
−
=
−
=
, то есть предельная полезность уменьшится. Второй закон Гос сена максимум полезности потребляемых благ за ограниченный период времени достигается, если затраты времени на потребление каждого блага таковы, что предельные полезности благ одинаковы. Речь идет о задаче определения условного экстремума функции полезности )
∑
=
i
i
i
х
U
U
при ограниченном времени потребления благ где
i
t
– время потребления единицы го блага,
T
– располагаемый фонд времени.
102 Задача решается методом множителей Лагранжа функция Лагранжа имеет вид
( х (4.13)
λ
– множитель Лагранжа. Необходимые условия оптимальности определяются системой уравнений Из первого уравнения системы следует М (4.14) Деление одного уравнения (4.14) на другое приводит к соотношению
( )
( )
,
*
*
2
1
2
2
1
1
t
t
х
МU
х
МU
=
(4.15) то есть наклон линии ограниченного времени (линия Т на рис. 4.6) должен быть равен наклону касательной к кривой безразличия
U при оптимальных объемах потребления благ. Рис. 4.6. Второй закон Госсена
Введем координаты
,
x
t
y
,
x
t
y
2
2
2
1
1
1
=
=
выражающие интервалы времени, затрачиваемые на потребление благ. Кривая безразличия будет представлена в новых координатах функцией полезности
( )
( Предельные полезности благ равны
( )
( )
( )
( )
1,2.
i
,
t
y
MU
x
y
y
y
U
x
y
U
x
МU
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
=
⋅
=
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
=
Подставив это условие в соотношение (6), можно получить
( )
( ММ )
( )
,
1
y
МU
y
МU
*
2
2
*
1
1
=
то есть в момент окончания потребления каждого блага предельные полезности всех благо дина ко вы. Экономический смысл множителя Лагранжа
λ
состоит в том, что прирост фонда времени Т на единицу приведет к увеличению полезности набора на (из уравнения (4.13)), то есть представляет собой предельную полезность времени. Пример 4.3.3.
Самолет летчика А. Ляпидевского, доставивший продукты героям-челюскинцам, зимовавшим на льдине в Северном ледовитом океане, имел возможность продолжать стоянку в течение 2 часов. Определить, какое количество хлебай товар) и одежды (й товар) полярники должны разгрузить, чтобы их полезность была максимальна, если их предпочтения выражает степенная функция вида
8
,
0
2
2
,
0
1
x
x
U
=
. Сколько времени они должны затратить на разгрузку каждого товара, если 1 кг хлеба можно разгрузить за 3 мина упаковку одежды за 5 минут. Выражения предельных полезностей имеют вид
( )
[
]
кг
полез
ед
x
x
2
0
x
x
x
x
x
U
MU
8
0
2
8
0
1
1
8
0
2
2
0
1
1
1
,
,
,
,
,
−
=
∂
∂
=
∂
∂
=
,
104
( )
[
]
,
,
,
,
,
упак
полез
ед
x
x
8
0
x
x
x
x
x
U
MU
2
0
2
2
0
1
2
8
0
2
2
0
1
2
2
−
=
∂
∂
=
∂
∂
=
. Приравняв эти выражения, получим
1
2
2
0
2
2
0
1
8
0
2
8
0
1
х
4
х
x
x
8
0
x
x
2
0
=
⇒
=
−
−
,
,
,
,
,
,
. Учитывая затраты времени на разгрузку, составим уравнение фонда времени
часа
2
х
60
5
х
60
3
2
1
=
+
, откуда находим количество товаров, которые необходимо разгрузить, чтобы максимизировать полезность зимовщиков
упак
9
20
х
кг
2
5
х
2
1
,
,
,
=
=
. Поэтому на разгрузку хлеба они должны потратить
мин
5
104
5
9
20
t
х
мин
5
15
3
2
5
t
х
2
2
1
1
,
,
.,
,
,
=
⋅
=
=
⋅
=
. Основным результатом количественной теории полезности стал закон спроса, полученный американским экономистом Альфредом Маршаллом в 1927 г. в работе "Принципы экономики. Мар- шалл исходил из того, что предельная полезность денег, равная отношению предельной полезности блага к его цене, остается постоянной Это объясняется тем, что, по второму закону Госсена, потребитель мак- симизирует свою полезность путем потребления широкого ассортимента товаров, следовательно, изменение цены одного товара не повлияет на покупательную способность денег в целом. Отсюда следует, что предельная полезность блага пропорциональна его цене а поскольку, согласно первому закону Госсена, предельная полезность обратно пропорциональна объему потребления благах то
,
х
1
р
i
i
то есть кривая спроса является убывающей. В этом состоит закон спроса.
1
Деньги фигурируют здесь в своей функции меры стоимости. Закон спроса
Скачать 1.29 Mb.