Математическая экономика. Гераськин М.И. Математическая экономика 2008. Утверждено Редакционноиздательским советом университета в качестве учебного пособия (для студентов заочного обучения) самара издательство сгау 2008 2
 Скачать 1.29 Mb.
|
|
§3.4. Планирование по конкурентной модели в краткосрочном периоде В рамках краткосрочного периода ограничение на ресурсы приводит к ограничению на объем выпуска Q Q ≤ , и соответствующему ограничению величины прибыли, которая может в данном случае не достигать оптимального значения в этом случае * Q Q ≤ , и значение Q , определяемое ограничением ( ) g x b r r ≤ (как правило, при обращении нестрогого неравенства в равенство, следует рассматривать как оптимальный объем выпуска в краткосрочном периоде. Таким образом, если в долгосрочном периоде задача рациональной коммерческой деятельности формулировалась как задача безусловной оптимизации, то при краткосрочном планировании возникает задача на определение условного экстремума. При краткосрочном планировании предположим, что первый ресурс ограничен величиной запаса b 1 , а второй имеется в неограниченном количестве. Особенности краткосрочного периода Оптимальный план В этом случае формируется функция Лагранжа, которая в случае двух факторов и одного ограничения имеет вид ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 1 0 х b х р х р х x Q p L − λ + + − = , , и необходимые условия оптимальности записываются следующим образом С учетом вида производственной функции Кобба-Дугласа из необходимых условий оптимальности следует ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = λ − = − β = λ − − α 3.11 Выражения (3.9)-(3.11) являются объединением условий их, поскольку они не могут выполняться совместно • если х, то есть х, то множитель Лагранжа λ показывает величину прироста дохода, который можно получить с единицы неиспользованного резерва ресурсах следовательно 0 = λ ; • если х, то есть ресурс 1 х использован в полном объеме, то значение может быть любым 0 ≠ λ ; • если х, то есть х, то множитель Лагранжа λ представляет собой сумму снижения дохода с единицы превышения запаса ресурса, атак как превышение считается невозможным, то Таким образом, при краткосрочном планировании возможны два случая 62 Изменение объема выпуска до некоторой величины, ограниченной условием х, то есть из уравнения (3.9) при их х в этом случае оптимальные значения факторов рассчитываются также, как в долгосрочном периоде (так как 0 = λ ): х Более значительное изменение объема выпуска, соответствующее полному исчерпанию ограниченного ресурса в этом случае оптимальные значения равны ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ β = = . 2 из p p Q х , 3 из b х 2 0 * 2 1 * 1 (3.12) Характерно, что при увеличении значения фиксированного ресурса ( b b 1 1 < ' ) изменяется объем выпуска, соответствующий границе между долгосрочными краткосрочным планами. Геометрическая интерпретация решения приведена на рис. 3.5. Рис. 3.5. Долгосрочный и краткосрочный планы Объем затрат второго ресурса для оптимального плана определяется из соотношения (3.12) с учетом вида производственной функции ( ) ( ) 2 0 * 2 * 1 * 2 р р х х А х β α β = , ⇒ ( ) 2 0 1 1 * 2 р р Аb х α β − β = , β − α ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ β = 1 1 2 0 1 * 2 р р Аb х . (3.13) Поскольку показатель степени 1 1 1 > β − , то величина затрат второго переменного) ресурса возрастает нелинейно при увеличении соотношения цен 2 0 р р , то есть чем дешевле изменяемый ресурс, тем в большем объеме он будет расходоваться для обеспечения оптимального значения объема выпуска. Кроме того, большему значению 1 b ограниченного ресурса соответствуют более значительные затраты переменного ресурса (при 1 ' 1 b b > на рис. 3.5). Оптимальный объем выпущенной продукции определяется из выражения производственной функции Кобба- Дугласа с учетом соотношения (3.12): β α ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ β = 2 0 * 1 * р р Q Аb Q , β − β β − α β − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ β = 1 2 0 1 1 1 1 * р р b А Q . (3.14) Поскольку в реальных производственных процессах, как было показано в работах Д. Кобба и П. Дугласа, значения показателей эластичности равны α=0,25, β=0,75, то из выражения (3.14) следуют выводы • оптимальный объем продукции возрастает пропорционально увеличению запаса фиксированного ресурса, так как 1 1 ≈ β − α ; • оптимальный объем выпуска возрастает ускоренными темпами с увеличением соотношения цен продукта и переменного ресурса, так как 1 1 > β − β ; Оптимальный объем выпуска 64 • значение оптимального объема выпуска не зависит от цены фиксированного ресурса. Пример 3.4.1. Решить пример 3.3.1, если поставки зерна ограничены объемом 400 тонн в года тыс. тонн б) 89 3 0 10 6 0 400 Q 6 0 1 2 0 6 0 1 2 0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − , , , , * , , тонн в) 9333 3 0 10 7 0 400 Q 7 0 1 3 0 7 0 1 3 0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − , , , , * , , тонн Во всех случаях оптимальный объем выпуска снизился §3.5. Анализ безубыточности Методика планирования на основе исследованной в предыдущих параграфах задачи коммерческой организации нашла применение при анализе безубыточности производственной программы организации. Безубыточность это такое финансово-хозяйственное состояние, при котором доход фирмы равен издержкам. Объем производства, при котором достигается состояние безубыточности, называется критическим. При этом делаются следующие предположения • Рассматривается модель совершенной конкуренции, следовательно значение предельного дохода постоянно и равно цене продукта, поэтому линия дохода – прямая. • Отдача от расширениям ас штаба производства предполагается постоянной поэтому график функции издержек представляет собой прямую линию. • Рассматривается краткосрочный период планирования, вследствие чего функция издержек представляется в виде суммы постоянных и переменных издержек. С учетом сделанных предположений используются следующие подходы к проблеме оценки рентабельности плана производства 65 1. Сопоставление валового дохода R(Q) с валовыми издержками Си отделение зоны прибыли от зоны убытка (рис. 3.6). Выражение для критического объема производства получим из условия равенства доходов и расходов р, v 0 F кр c p С Q − = , где v c – удельные (средние) переменные издержки. Значение объема выпуска кр, при котором достигается безубыточность в условиях покрытия переменных издержек ценой реализации, называется критическим значением. Сопоставление среднего дохода Ар и средних издержек АС, определяющее те же зоны прибыли и убытка (рис. 3.7). 3. Сопоставление предельного дохода Ми предельных издержек МС, выявляющее возможность дальнейшей деятельности организации. Поскольку для модели совершенной конкуренции 0 р Q R МR = ∂ ∂ = , а в условиях краткосрочного периода предельные издержки равны средним переменным издержкам v v с АС Q С МС = = ∂ ∂ = , тов этом случае необходимо сравнить значение цены продукта и величину удельных переменных издержек так, на рис. 3.7 в случае ' 0 0 р р = деятельность организации безубыточна при кр, а при кр Q Q 0 < ≤ возможно дальнейшее функционирование организации, поскольку р однако в случае '' 0 0 р р = безубыточная работа невозможна и организация должна быть ликвидирована, так как р 66 Рис. 3.6. Анализ "валовой доход - валовые издержки" Рис. 3.7. Анализ "предельный доход - средние издержки" Такой же вывод следует из рис. 3.6, так как сумма выручки при любом объеме выпуска меньше суммы переменных затрат в случае '' 0 0 р р = : З З З З 67 ( ) V '' C Q R < , а при ' 0 0 р р = выполняется условие ( Пример 3.5.1. Объем продукции мебельного комбината за месяц составляет 100 стульев, цена продукции 5 руб. Переменные издержки равны 2 руб. на единицу продукции, сумма косвенных (постоянных) расходов равна 110 руб. Оценить программу производства сточки зрения безубыточности. Критический объем продукции определяется из условия равенства валового дохода и валовых издержек он равен 37 2 5 110 c p С Q v 0 F . кр ≅ − = − = стуль- ев. Поэтому текущая производственная программа безубыточна. §3.6. Рациональная коммерческая деятельность в условиях монополии и монопсонии Многие производители, специализирующиеся на выпуске слабо стандартизированных товаров или осваивающие уникальные, не имеющие аналогов, виды продукции, сталкиваются с условиями монополии (или монополистической конкуренции. Монополия ( μωνω – один, πωλι – продавать, в отличие от совершенной конкуренции, характеризуется зависимостью цены товара ото б ъ ем ары н ка, то есть кривая спроса на монополизированный продукт имеет вид ( ) Q р р 0 0 = Следовательно, спрос на монополизированный продукт не является бесконечно эластичным напротив, кривая спроса в этом случае убывающая. Вместе стем, в условиях монополии производитель обладает возможностью влиять нац е ну реализуемого товара путем варьирования объема предложения, учитывая, что р, Черты монополии и монопсонии 68 то есть для увеличения объема продаж необходимо снижать цену и, наоборот, для увеличения цены необходимо уменьшить объем предложения. Зачастую организация, занимающаяся производством специфического вида продукции, является преобладающим покупателем собственных поставщиков, которые, в свою очередь, вынуждены производить сырье, материалы, полуфабрикаты и комплектующие изделия в строгом соответствии с требованиями, предъявляемыми заказчиком. В этом случае продукция поставщиков также становится нестандартизированной и может быть реализована в пределах узкоспециализированного рынка. Ситуация, при которой существует тесная взаимосвязь между поставщиком и покупателем, является обратной стороной монополии и носит названием оно пс они и . В условиях монопсонии ( μωνω – один, πσωνι – покупать) покупатель имеет возможность оказывать влияние на цену приобретаемых у поставщиков ресурсов путем варьирования объема закупок, то есть существует зависимость вида ( ) n. 1,..., i , x р р i i i = = Эта функция характеризует сумму затрат покупателя – монопсони- стана приобретение ресурсов В общем случае покупатель может приобрести большее количество ресурса, предложив более высокую плату за него, то есть n. 1,..., i , 0 x р i i = > ∂ ∂ Поскольку валовой доход организации определяется как ( ) ( р, а сумма издержек равна ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 x x р x x р Q C + = , тов условиях несовершенной конкуренции (комбинации монополии и монопсонии) задача рациональной коммерческой деятельности имеет вид Задача коммерческой организации 69 ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 2 1 1 1 0 x x Q x x Q x x р x x р Q Q р П 2 1 2 1 + − = , , , , max max при условии Предельный доход в этом случаев отличие от совершенной конкуренции, неравен постоянной цене товара, которая определяется выражением, а также зависит от объема выпуска ( ) ( ) Q p 2 p Q Q R Q MR 0 + = ∂ ∂ = , (3.15) где производная 0 Q p p 0 < ∂ ∂ = показывает, насколько рублей снижается цена продукции от своего начального значения р при увеличении объема предложения фирмы на единицу. Предельные издержки также зависят от объемов потребляемых ресурсов где 0 x p p i i i > ∂ ∂ = – рост цены ресурса при увеличении его закупок на единицу. Оптимальный план производства в условиях несовершенной конкуренции Решение задачи коммерческой организации может быть получено методом множителей Лагранжа Необходимые условия экстремума определяются приравниванием нулю всех частных производных функции Лагранжа Аналитическое решение 70 Первое условие показывает, что при оптимальных значениях ( ) * i * x , Q множитель Лагранжа равен предельному доходу ( Вторая группа условий показывает, что произведение предельного дохода и предельного продукта каждого фактора равно предельными з де р ж ка м этого фактора) В последнем условии представлена просто производственная функция) Условия (3.16),(3.17) являются исходными уравнениями определения объема выпуска и комбинации затрат ресурсов, максимизирующих прибыль. Кроме того, следует учитывать, что ранее полученное условие равенства предельного дохода предельным издержкам сохраняет силу и при монополии монопсонии: ( ) ( ) ( П, ( ) ( ) * * Q MC Q MR = . (3.18) Используем выражение (3.18) для получения формулы оптимального объема производства в рамках монополии (ситуация монопсонии не учитывается, то есть предельные издержки зависят только от объема выпуска по формуле (2.9)). Рассмотрим два частных случая а) отрицательный эффект расширения масштаба при r=0,5; подставим в (3.18) выражение предельного дохода (3.15) и предельных издержек (2.9): ⇒ = + −1 r 1 0 DQ r 1 Q p 2 p ⇒ = + −1 5 0 1 0 DQ 5 0 1 Q p 2 p , , p 2 D 2 p Q 0 − = * ; (3.19) б) отсутствие эффекта расширения масштаба при r=1; аналогично предыдущему случаю 71 ⇒ = + −1 1 1 0 DQ 1 1 Q p 2 p p 2 p D Q 0 − = * . (3.20) Функции спроса на ресурсы можно получить из условий (3.16), (3.17), выражения предельных продуктов MQ i получены в примере 1.3.3 : MQ 1 = х , MQ 2 = х выражения предельных издержек получим, продифференцировав С=p 1 x 1 +p 2 x 2 : MC 1 = p 1 , MC 2 = p 2 . Подставим эти выражения в (3.16): (р 0 +2 p Q*) αQ*/х 1 * = p 1 , (р 0 +2 p Q*) βQ*/х 2 * = p 2 . Откуда можно выразить ( ) ( ) 1 0 1 p Q Q p 2 p Q x * * * * + α = , ( ) ( ) 2 0 2 p Q Q p 2 p Q x * * * * + β = . (3.21) Таким образом, определив оптимальный объем производства по формулам, следует затем рассчитать спрос на ресурсы по формулам. На рис. 3.8 изображены кривые валового дохода R, совокупных издержек С, прибыли Па также зависимостей предельных и средних значений издержек и дохода. Отличие от вида соответствующих кривых в случае совершенной конкуренции состоит в том, что кривая дохода R имеет уменьшающийся темп роста при увеличении объема производства и, соответственно, кривая предельного дохода MR является убывающей. Таким образом интерпретируется ситуация монополии. Ситуация монопсонии не приводит к характерным геометрическим отличиям, поскольку вид кривой предельных издержек в общем случае непосредственно не зависит от объема выпуска. Геометрическая интерпретация 72 Поскольку при совершенной конкуренции оптимальное значение прибыли достигается при неизменной цене продукции р даже при минимальном объеме выпуска, тов условиях монополии оптимальная величина прибыли всегда не превышает суммы прибыли при совершенной конкуренции * * кон сов мон П П ≤ Максимум прибыли в условиях монополии достигается при объеме выпуска, не превышающем оптимальный выпуск в условиях совершенной конкуренции, то есть * * кон сов мон Q Q ≤ Пример 3.7.1. Если мукомольный завод (пример 3.3.1), приобретающий зерно по цене 200 руб. за тонну и энергию по цене 300 руб. за ки- ловатт-час, является монополистом, то цена его продукции снижается с ростом продаж р (руб. за тонну. Определить оптимальный объем выпуска а) при убывающей отдаче от расширения масштаба (r=0,5), 0,3 = 2 0 β = α ; , ; б) при отсутствии эффекта расширения масштаба (r=1) 0,7 = 3 0 β = α ; , . а) рассчитаем параметр D (см. пример 3.3.1): 3 0 3 0 2 0 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 p p A 1 p D 5 0 1 3 0 1 2 1 1 , , , , , , , , , , = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α β ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ α β + = − β + α − β тыс.руб.; оптимальный объем продукции равен (3.19): 56 16 002 0 2 3 0 2 10 Q , , , * = ⋅ + ⋅ = тонны б) параметр D для данного случая 49 0 3 0 3 0 2 0 7 0 1 3 0 7 0 1 2 0 D 1 7 0 , , , , , , , , , = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − тыс. руб оптимальный объем продукции (3.20): 2376 002 0 2 10 49 0 Q = ⋅ − − = , , * тонн. Рис. 3.8. Оптимальный выпуск в условиях монополии 74 |