Математическая экономика. Гераськин М.И. Математическая экономика 2008. Утверждено Редакционноиздательским советом университета в качестве учебного пособия (для студентов заочного обучения) самара издательство сгау 2008 2

• Название: Утверждено Редакционноиздательским советом университета в качестве учебного пособия (для студентов заочного обучения) самара издательство сгау 2008 2
• Анкор: Математическая экономика
• Дата: 26.05.2022
• Размер: 1.29 Mb.
• Имя файла: Гераськин М.И. Математическая экономика 2008.pdf
• Тип: Документы; #551403
• страница: 6 из 9

§3.8. Рациональная коммерческая деятельность в условиях олигополии и олигопсонии Структура рынка, на котором действует ограниченное количество промышленных организаций, называется конкуренцией средине многих. Рынок, на котором однородную продукцию предлагают несколько продавцов, называется олигополией. Рынок, на котором продукция определенного вида приобретается несколькими покупателями, называется о лиг оп сони ей. Главная особенность конкуренции среди немногих заключается в том, что все конкурирующие фирмы могут влиять нац е н ы предлагаемой продукции (в случае олигополии) или приобретаемых ресурсов (в случае олигопсонии). Поэтому прибыль каждой коммерческой организации зависит от политики других конкурирующих фирм. Оптимальная политика каждой коммерческой организации выбирается не только исходя из уровня прямого влияния этой фирмы на состояние рынков ресурсов и продукта, но и с учетом косвенного влияния – через взаимодействие других конкурентов. Политика организации, действующей в условиях олигополистиче- ской конкуренции, имеет много общего сиг рой в обоих случаях прибыль или выигрыш для каждого агента (фирмы или игрока) зависит от действий (расходования ресурсов и выпуска продукции или стратегий) других агентов. Наиболее характерным вариантом олигополистической конкуренции является ситуация, в которой два конкурента д у пол и я ) производят продукцию в соответствии со следующими производственными функциями
(
)
n
1
12
11
1
1
x
x
x
f
Q
,...,
,
=
,
(
)
n
2
22
21
2
2
x
x
x
f
Q
,...,
,
=
, где
1
Q
– объем выпуска первой фирмы
2
Q
– объем выпуска второй фирмы объем го ресурса, затраченный первой фирмой
i
2
x
– объем го ресурса, израсходованный второй фирмой. Черты олигополии и олигопсонии Задача коммерческой организации

Цена продукции определяется совокупным объемом выпуска
(
)
2
1
0
0
Q
Q
р
р
,
=
, то есть одновременное повышение объемов производства приводит к снижению результирующей цены Цены факторов производства определяются объемами закупок соответствующего фактора обеими фирмами
(
)
n
1,2,...,
i
x
x
р
р
i
2
i
1
i
i
=
=
,
;
, то есть если обе фирмы увеличивают объемы приобретения ресурсов, то цены на них возрастают Основная задача одной из конкурирующих коммерческих организаций заключается в максимизации прибыли путем варьирования объемов выпущенной продукции и израсходованных ресурсов
(
)
(
)
∑
=
−
=
n
1
i
i
1
i
2
i
1
i
1
2
1
0
1
x
Q
x
x
x
p
Q
Q
Q
p
П
i
1
1
,
,
max
,
при условии В данном случае рассматривается формулировка задачи первой из фирм, действующих в условиях олигополистической конкуренции. Функция Лагранжа для сформулированной задачи определения условного экстремума записывается в виде Условия оптимальности функции Лагранжа первого порядка
(
)
(
)
(
)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
=
λ
∂
∂
=
=
∂
∂
λ
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
−
=
∂
∂
=
λ
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
=
∂
∂
,...,
,
,
,
,
,
0
Q
x
x
x
f
L
n,
1,2,...,
i
0
x
f
x
x
x
p
x
x
p
x
x
x
p
x
L
0
Q
Q
Q
p
Q
Q
p
Q
Q
Q
p
Q
L
1
n
1
12
11
1
i
1
1
i
1
i
2
i
2
i
i
1
i
1
i
i
1
i
2
i
1
i
i
1
1
2
2
0
1
1
0
1
2
1
0
1
(3.22) Аналитическое решение

76 Выразив множитель Лагранжа из первого уравнения системы (3.22) и подставив его выражение вместо
λ
во второе уравнение системы (3.22), можно получить Полученные необходимые условия оптимальности содержат компоненты их, которые получили название предположительных вариаций, поскольку они отражают предположения первой фирмы относительно возможной реакции конкурента на выбранную ею политику. Выражение
1
2
Q
Q
∂
∂
представляет собой изменение объема выпуска продукции второго конкурента при единичном увеличении объема выпуска первого конкурента. Производные х характеризуют изменения затрат ресурса го вида второй фирмы при единичном увеличении израсходованного первой фирмой объема данного ресурса.
§3.9. Дуполия Курно Рассмотрим простейший случай олигополии, в условиях которой действуют два производителя однородного товара (д у пол и я ), производственный процесс которых характеризуется постоянным уровнем предельных издержек, а реализация происходит по линейной модели спроса. В этом случае функции издержек производителей имеют вид
,
,
,
0
d
0,
c
d
сQ
С
d
сQ
С
2
2
1
1
>
>
+
=
+
=
где
d – сумма постоянных издержек, с – величина предельных издержек. Функция предложения товара аддитивна
2
1
Q
Q
Q
+
=
, а функция спроса может быть представлена в виде
(
)
.
0
b
0,
a
,
Q
Q
b
a
р
2
1
0
>
>
+
−
=
Черты
дуполии

Функция прибыли одного из дуполистов записывается следующим образом П (3.23) поэтому можно записать условие первого порядка максимизации прибыли
(
)
[
]
0
c
Q
Q
Q
b
bQ
Q
Q
b
a
Q
П
1
1
2
1
2
1
1
1
=
−
∂
∂
−
−
+
−
=
∂
∂
Анализ дуполии Курно
1
основан на предпосылке о том, что предположительные вариации равны нулю, то есть каждый из дуполистов считает, что изменения объема выпуска его продукции не повлияют на объем выпуска продукции конкурента. Равновесие Курно для обеих фирм определяется условиями
0
Q
П
0
Q
П
0
Q
Q
2
2
0
Q
Q
1
1
2
1
1
2
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
,
или
(
)
(
)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
−
+
−
=
−
−
+
−
,
,
0
c
bQ
Q
Q
b
a
0
c
bQ
Q
Q
b
a
2
2
1
1
2
1
(3.24) откуда Соответственно равновесная рыночная цена составит р, а совокупный объем предложения равен
(
)
b
3
c
a
2
Q
Q
Q
2
1
−
=
+
=
1
Курно Антуан Огюстен (1801-1877) – французский математик, экономист, автор труда Исследования математических принципов теории богатства Гипотеза
Курно

78 Если олигополистическая конкуренция имеет место между
F фирмами, то обобщение полученных результатов приводит к выражениям
(
)
F
1,2,...,
=
j
b
1
F
c
a
Q
j
,
+
−
=
,
b
c
a
1
F
F
=
Q
1
F
Fc
a
р
0
−
+
+
+
=
,
В условиях неограниченного увеличения числа фирм равновесие Кур нос трем и т сяк равновесию, характерному для совершенной конкуренции, то есть
ƒ
индивидуальные объемы производства
0
Q
j
→
, так как отдельная фирма производит пренебрежимо малое количество продукции
ƒ
цена продукции р с, поскольку отдельная фирмане оказывает влияния на равновесную цену, равную предельным издержкам. Уравнения (3.24) могут быть преобразованы к виду
2
Q
b
2
c
a
Q
2
1
−
−
=
, (3.25)
2
Q
b
2
c
a
Q
1
2
−
−
=
. (3.26) Выражения (3.25) и (3.26) называются кривыми реакции д у полис тов на поведение друг друга графически они изображены на рис. 3.9. Равновесие достигается на основе взаимодействия реакций дупо- листов например, если в начальный момент времени первая фирма является монополистом, производя Q'
1
продукции, то появление второй фирмы с объемом выпуска
Q'
2
заставит первую снизить объем предложения дои т.д. Поскольку сам процесс достижения равновесия опровергает гипотезу Курно о фиксировании объема выпуска конкурента, то модель Курно не является аутентичной. Обобщение на случай более двух фирм Геометрическая интерпретация

Рис. 3.9. Равновесие Курно Кроме того, сумма прибыли одного дуполиста Курно равна сумме прибыли другого дуполиста (формула (3.23)):
(
)
[
]
(
)
d
cQ
Q
b
3
c
a
2
b
a
d
cQ
Q
Q
Q
b
a
П
1
1
1
1
2
1
К
1
−
−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
=
−
−
+
−
=
,
(
)
[
]
(
)
d
cQ
Q
b
3
c
a
2
b
a
d
cQ
Q
Q
Q
b
a
П
2
2
2
2
2
1
К
2
−
−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
=
−
−
+
−
=
,
2
1
П
П
=
Таким образом, сумма прибыли каждого из дуполистов Курно составит П (3.27)
§3.10. Дуполия Стэкельберга Рассматривается дуполия Стэкельберга
1
, в случае которой одна или обе фирмы предполагают, что конкурент выберет стратегию д у полис та Кур но. Например, первая организация предполагает, что конкурент будет играть в соответствии с кривой реакции Курно:
1
Генрих фон Стэкельберг (1886-1964) – немецкий математик, экономист, опубликовавший работы по теории игр в 1934 предложил модель организации рынков. Гипотеза
Стэкельберга

80 В этом случае предположительная вариация равна Следовательно, необходимое условие оптимальности имеет вид па кривая реакции первой фирмы определяется выражением В условиях предположения Стэкельберга финансовые результаты обеих фирм зависят от стратегии второй фирмы если она выбирает вариант реакции Курно (как предполагает первая фирма, то решением проблемы является равновесие Стэкельберга, определяемое пересечением кривых реакций Общий объем выпуска продукции равен Сумма прибыли первой фирмы составит ПС. (3.28) Таким образом, первая организация производит вдвое больше продукции, чем вторая, следовательно получает большую прибыль

ПС) В соответствии с кривыми реакции Стэкельберга, изображенными на рис. 3.10, равновесие Стэкельберга определяется их точкой пересечения. Рис. 3.10. Равновесие Стэкельберга Таким образом, установившееся равновесие приводит к неравному перераспределению сегментов рынка между дуполистами, причем общая
ёмкость рынка увеличивается по сравнению с равновесием Курно:
(
)
(
)
K
2
1
C
Q
b
3
c
a
2
b
4
c
a
3
b
4
c
a
b
2
c
a
Q
Q
Q
=
−
>
−
=
−
+
−
=
+
=
, где
Q Q
C
K
,
– ёмкости рынка (совокупный объемы выпуска дуполистов) в условиях равновесия Стэкельберга и Курно соответственно. Это происходит потому, что первая фирма, уверенная в строго определенной реакции второй фирмы
2
1
Q
Q
1
2
−
=
∂
∂
, может увеличить выпуск своей продукции по сравнению с выпуском в условиях равновесия Курно на

82
b
6
c
a
b
3
c
a
b
2
c
a
Q
Q
К
1
С
1
−
=
−
−
−
=
−
, в то время как снижение объема выпуска второй фирмы составит
b
12
c
a
b
3
c
a
b
4
c
a
Q
Q
К
2
С
2
−
−
=
−
−
−
=
−
, то есть в соответствии с реакцией второй фирмы снижение сегмента ее рынка по сравнению с приростом сегмента рынка первой фирмы происходит в пропорции
2
1
Q
Q
Q
Q
Q
Q
1
2
К
1
С
1
К
2
С
2
−
=
∂
∂
=
−
−
Другой возможной ситуацией дуполии является случай, когда вторая фирмане пользуется кривой реакции Курно, а действует также согласно кривой реакции Стэкельберга, то есть каждая фирмане правильно предполагает, что другая использует политику Курно. Равновесие определяется пересечением кривых реакций
Стэкельберга: Совокупный объем выпуска обеих фирм составит При этом суммы прибыли дуполистов равны
[
]
d
cQ
Q
bQ
a
П
П
CН
i
CН
i
CН
СН
2
СН
1
−
−
−
=
=
=
=
(
) (
)
(
)
=
−
−
−
−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
d
b
5
c
a
2
c
b
5
c
a
2
b
5
c
a
4
b
a
=
(
)
d
b
25
c
a
2
2
−
−
. (3.30)
Неравновесие
Стэкельберга

В условиях неравновесия Стэкельберга обе фирмы производят больше продукции, чем при равновесии Кур- но, однако получают меньшие суммы прибыли
(
)
(
)
(
)
b
225
c
a
7
d
b
9
c
a
d
b
25
c
a
2
П
П
2
2
2
K
i
CН
i
−
−
=
+
−
−
−
−
=
−
=
(
)
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
225
22
b
6
1
c
a
2
Использованы следующие обозначения
К
i
СН
i
Q
Q
,
– объемы выпускай фирмы в условиях неравновесия Стэкельберга и равновесия Курно;
К
СН
Q
Q
,
– соответствующие совокупные объемы выпуска.
“Неравновесие Стэкельберга” является единственной точкой равновесия сточки зрения теории игр, поскольку в этом случае обе фирмы делают неправильные предположения о стратегии конкурента и снижение прибыли является платой за ошибку.
§3.11. Кооперативная дуполия
Дуполисты могут вступить в соглашение ос о - в местной деятельности на рынке с целью получения максимальной совокупной прибыли так называемого простого товарищества. В этом случае условия выбора оптимальных значений объемов выпуска дуполистов имеют вид
(
)
[
]
(
) (П Оптимальная программа выпуска фирм должна удовлетворять условию) (П, так что
b
2
c
a
Q
Q
2
1
−
=
+
Максимизация совокупной прибыли

84 При равных производственных возможностях каждая фирма производит продукцию в объеме
b
4
c
a
Q
Q
2
1
−
=
=
. (3.31) Сумму совокупной прибыли дуполистов определим, подставив объемы продукции (3.31) в формулу прибыли дуполии (3.23): П. (3.32) На рис. 3.11 показаны кривые реакции Курно для первой
1
1
N
M
и второй
2
2
N
M
фирм, берущие начало из монопольных точек фирм Ми М, то есть значений объемов выпуска этих фирм, полученных при условии, что вторая фирма отсутствует. Например, для первой фирмы П max max
,
⇒
=
−
−
=
∂
∂
0
c
bQ
2
a
Q
П
1
1
1
b
2
c
a
Q
1
−
=
Точки
2
1
М также являются точками максимально возможной прибыли каждого дуполиста, то есть центрами семейств изопрофит (кривых равной прибыли каждая изопрофита, расположенная на большем расстоянии от точки
i
M
, соответствует меньшей прибыли й фирмы. Рис. 3.11. Типы дуполии Геометрическая интерпретация

Точки касания изопрофиты одной фирмы и кривой реакции Курно другой фирмы являются точками равновесия Стэкельберга.
Неравновесие Стэкельберга (точка Сна рис. 3.11) располагается выше и правее равновесия Курно (точка К на рис. 3.11), поскольку поведение обеих фирм в условиях неверных предположений о стратегии конкурентов (гипотеза Стэкельберга) близко к монополистическому образу действий. Кооп т им аль на ял и ни я М имеет полученное выше уравнение и представляет собой множество точек касания изо профит двух фирм. Таким образом, в пределах кооп т им аль ной линии ни одна из фирм немо же ту вели ч и т ь свою прибыль, неумен ь ш ив прибыль конкурента. Иначе говоря, сочетания объемов выпуска фирм на этой прямой являются равно эффективными точками для кооперативной дуполии, а сама линия определяет множество Паре то для дуполистов, стремящихся наращивать индивидуальную прибыль. Пример 3.11.1.
Рассмотрим две организации-дуполиста, у которых постоянные издержки отсутствуют, а удельные переменные издержки равны 1010 рублей на единицу выпуска функция издержек имеет вид С. Предположим, что максимальная цена, которую готов заплатить покупатель, составляет 1022 рубля, а при появлении на рынке каждой дополнительной единицы выпуска цена понижается на 0,5 рубля, то есть функция спроса р. В этом случае
(
)
(
)
288
5
0
1010
1022
b
c
a
0
d
2
2
=
−
=
−
=
,
,
.

86
1) В условиях равновесия Курно суммы прибыли каждой из фирм по формуле (3.27) равны
(
)
руб
32
9
288
d
b
9
c
a
П
П
2
К
2
К
1
=
=
−
−
=
=
, значит совокупная прибыль дуполии Курно составит (32+32)=64 руб.
2) При равновесии Стэкельберга первая фирма получит прибыль (формула (3.28))
(
)
руб
36
8
288
d
b
8
c
a
П
2
С
1
=
=
−
−
=
, а вторая фирма (формула (3.29)):
(
)
(
)
руб
18
16
288
8
288
b
16
c
a
d
b
8
c
a
П
2
2
С
2
=
−
=
−
−
−
−
=
Поэтому сумма прибыли дуполистов при этом равна (36+18)=54 руб.
3) В условиях неравновесия Стэкельберга суммы прибыли обеих фирм одинаковы (формула (3.30)):
(
)
,
руб
04
23
25
288
2
d
b
25
c
a
2
П
П
2
СН
2
СН
1
=
⋅
=
−
−
=
=
, то есть совокупная прибыль дуполии равна (2
⋅
23,04)=46,08 руб.
4) При кооперативной дуполии совокупная прибыль (формула (3.32)) составит
руб
72
4
288
П
=
=
Σ
, то есть наибольшая из всех рассмотренных вариантов. Таким образом, потери прибыли являются платой за конкурирующий характер стратегий дуполистов.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ 3.1 Оптимизация прибыли в условиях совершенной конкуренции
3.1.1. Фирма по производству линолеума использует пластмассу по цене 5 руб. за кг и краситель по цене 8 руб. за кг и продает товар по цене
100 руб. за кв. м. Коэффициенты ПФ равны
5
0,
=
α
,
5
0,
=
β
, А. Определить функции спроса на ресурсы, оптимальный объем выпуска и максимальное значение прибыли в долгосрочном периоде.
3.1.2. Решить задачу 3.1.1 для случаев а) возрастающей отдачи от расширения масштаба
0,6
=
8
0
β
=
α
;
,
; б) убывающей отдачи от расширения масштаба
0,6
=
2
0
β
=
α
;
,
; в) отсутствия эффекта расширения масштаба
0,7
=
3
0
β
=
α
;
,
3.1.3-3.1.4. Решить задачи 3.1.1-3.1.2 графически.
3.1.5-3.1.8. Решить задачи 3.1.1-3.1.4 в условиях краткосрочного периода, если объем затрат первого ресурса зафиксирован – закупки пластмассы ограничены объемом 10 кг вдень. Провести анализ безубыточности производственной программы в краткосрочном периоде, если цена линолеума в задаче 3.1.1 равна 100 руб. за кв.м., фиксированные издержки равны 2 млн. руб, удельные переменные издержки составляют 80 руб. за кв.м. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ 3.2 Оптимизация прибыли при несовершенной конкуренции
3.2.1. Фирма-монополист сотовой связи оплачивает эфир (й ресурс) по цене 300 руб. в час и труд операторов – й ресурс (фонд оплаты труда одного сотрудника 0,06 руб. Цена определяется выражением р (руб. за час связи).Определить оптимальный объем выпуска в случае Аи а) при убывающей отдаче от расширения масштаба
0,4
=
1
0
β
=
α
;
,
; б) при отсутствии эффекта расширения масштаба
0,6
=
4
0
β
=
α
;
,
. Найти оптимальный сточки зрения прибыли объём выпуска. Определить спрос на ресурсы и найти максимальную прибыль. Построить графики дохода, издержек, прибыли.

88 3.2.2. Решить задачу 3.2.1 для случаев а)
0,2
=
3
0
β
=
α
;
,
; б)
0,5
=
5
0
β
=
α
;
,
3.2.3. Две фирмы сотовой связи работают в условиях дуполии Кур- но функции издержек (за год) описываются выражением С,
i=1,2, сруб. (за минуту, d=2 тыс. руб функции спроса имеют вид
(
)
1
1
0
Q
Q
b
a
p
+
−
=
,
a=100 руб. (за минуту, b=0,05 руб. с минуты. Построить кривые реакции фирм, определить равновесный объём выпуска и сумму прибыли каждой фирмы при этом объёме.
3.2.4. Решить задачу 3.2.3, если первая фирма считает, что конкурент реагирует в соответствии с гипотезой Курно.
3.2.5. Решить задачу 3.2.3, если обе фирмы ошибочно предполагают, что конкурент реагирует в соответствии с гипотезой Курно.
3.2.6. Решить задачу 3.2.3 в условиях кооперативной дуполии.

Глава 4. ТЕОРИЯ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА