Математическая экономика. Гераськин М.И. Математическая экономика 2008. Утверждено Редакционноиздательским советом университета в качестве учебного пособия (для студентов заочного обучения) самара издательство сгау 2008 2
 Скачать 1.29 Mb.
|
|
§4.4. Задача потребительского выбора Геометрическое место точек (множество точек) пространства благ, для которых сумма затрат потребителя на их приобретение неизменна, называется бюджетной линией const, = = + I х р х р 2 2 1 1 (4.16) где I (Income) – доход потребителя. Условие (4.16) выражает равенство доходов и расходов. Изображенная на рис. 4.7 бюджетная линия аналогична рассмотренной выше линии ограниченного времени. Экономический смысл бюджетной линии состоит в том, что она показывает количество второго товара, которое, истратив весь доход, может приобрести потребитель при различных количествах первого товара. Рис. 4.7. Бюджетная линия Пример 4.4.1. Для потребителя, получающего ежемесячный доход 300 руби руб, построены бюджетные линии на рис. 4.7. По рисунку видно, что, покупая 2 кг мяса, потребитель может приобрести 7 литров молока в месяц при доходе 300 руби литров – при доходе 500 руб. Бюджетная линия 106 Потребитель при составлении набора благ решает следующую задачу определить количество потребляемых благ ( ) 2 1 х , х , при которых максимизируется совокупная полезность ( ) 2 1 х х U , max при выполнении бюджетного ограничения . I х р х р 2 2 1 1 ≤ + Графически задача выбора потребителя может быть решена путем построения семейства кривых безразличия и бюджетной линии (рис. 4.8): . I х р х р 2 2 1 1 = + Затем из всех кривых безразличия выбирается та, которая касается бюджетной линии (то есть имеет одну общую точку с ней. Соответствующая этой кривой безразличия полезность U будет максимально возможной полезностью приданном доходе I, а сочетание ( ) * 2 * 1 х , х – искомым набором благ. Рис. 4.8. Решение задачи выбора Задача выбора. Графическое решение Предпосылкой существования и единственности решения является выпуклость кривой безразличия, вытекающая из закона убывающей предельной полезности. На кривой безразличия этот закон выражается следующим образом поскольку при единичном уменьшении потребления второго благах объем первого блага растет на ха при снижении второго блага на х первое благо потребляется на х больше, причем если , то , " ' '' ' 1 1 2 2 x x х х Δ < Δ > это означает, что при большем исходном объеме заменяемого блага для его адекватной замены требуется меньшее количество блага-заменителя, и наоборот. Иными словами, предельная полезность благах ниже при большем объеме его потребления, чем при меньшем. Значит закон убывания предельной полезности соответствует убыванию предельной нормы замены (уменьшению угла наклона кривой безразличия к осям х или х. В точке А на рис. 4.8 с координатами * 2 * 2 х , х угловые коэффициенты бюджетной линии и касательной к кривой безразличия (предельной нормы замены) равны ( ) ( ) , * * 2 2 1 1 2 1 х MU х MU р р = (4.17) то есть при оптимальной комбинации благ цена одного должна превосходить цену другого блага во столько же разв ос коль кора з первое благо полезнее второго. Пример 4.4.2. Потребитель, рассмотренный в примере 4.2.1, покупает молоко по цене 10 руб. за литра зубную пасту по цене 15 руб. за тюбик. Какой товарный набор наиболее выгоден для потребителя, если он может потратить на покупку этих товаров не более 120 руб. в месяц Запишем бюджетное ограничение 10х 1 +15х 2 =120. Подставим выражения предельных полезностей, найденные в примере 4.2.1: 1 x 2 MU 1 1 − = , 1 x 1 MU 2 2 − = , 108 а также цены товаров р, р в условие оптимального выбора (4.17): ( ) 1 1 x 3 1 x 15 10 1 x 1 1 x 2 1 2 2 1 + − = ⇒ = − − . (4.18) Подставим это выражение для х в бюджетное ограничение 10х 1 +15[(х 1 -1)/3+1]=120, откуда выразим оптимальный объем потребления первого товарах литра. Оптимальный объем потребления второго товара найдем по формуле (4.18): х * 2 =(х 1 -1)/3+1=(7,3-1)/3+1=3,1 тюбика. Таким образом, потребитель, приобретая литрам о л ока и 3 , 1 тюбика пасты в месяц при доходе вру б . , достигает максимального удовлетворения. Его уровень удовлетворенности при этом найдем, подставив оптимальные объемы потребления товаров в функцию полезности (пример 4.2.1): ( ) ( ) ( ) ( ) , , ln , ln ln ln полез ед 4 4 1 1 3 1 3 7 2 1 x 1 x 2 U 2 1 = − + − = − + − = Пример 4.4.3. Предположим, что цены товаров в примере 4.4.2 возросли молока на 2 руб, зубной пасты на 4 руб. Вследствие этого реальный доход, то есть покупательная способность потребителя, понизилась. Какую компенсацию должен получить потребитель, чтобы он мог приобрести товары в прежних количествах Если бы потребитель приобретал 1 литр молока и 1 тюбик пасты, то компенсация должна быть равна повышению цен Δ р 1 + Δ р 2 =2+4=6 руб. Но поскольку товарный набор потребителях, х, то компенсация вычисляется по формуле Δ I= Δ р х * 1 + Δ р 2 х. (4.19) Таким образом, чтобы сохранить прежний уровень удовлетворенности, потребитель должен получить 2 ⋅ 7,3+4 ⋅ 3,1=27 руб при таком приросте дохода он может приобрести прежний товарный набор по возросшим ценам. 109 §4.5. Порядковая теория полезности Порядковая орд и на лист с ка я ) теория полезности выражала переход от поисков абсолютной величины стоимости к ее относительной величине. Основными предпосылками отказа от кардиналистско- го подхода к определению полезности явились а) невозможность количественно оценить субъективную полезность потребителя в силу несоответствия требования объективного измерения субъективным оценкам б) неизмеримость предельной полезности как основы кардиналист- ской теории в) неадекватность закона убывающей предельной полезности для некоторых экономических явлений, например, перекрестного влияния благ в наборе – увеличение количества одного субститута (печенья) влечет снижение предельной полезности другого субститута (баранок) при неизменном количестве его потребления – увеличение объема потребления одного комплимента (хлеба) приводит к увеличению предельной полезности другого комплимента (масла, хотя объем последнего постоянен. Основой нового подхода к определению полезности стали кривые безразличия, использованные в работе английского экономиста Джона Хикса и Роя Аллена Еще раз о теории стоимости, опубликованной в 1934 г. Метод кривых безразличия предполагает, что потребитель имеет субъективную шкалу предпочтений, а функция полезности устанавливает порядок предпочтений наборов благ. В результате от неизмеримой предельной полезности можно перейти к предельной норме замещения, которая выражает количество благах, от которого потребитель согласен отказаться в обмен на дополнительную единицу блага 1 х Поскольку предельная норма замещения равна соотношению цен благ, то этот показатель объективен, и величина 2 1 х х MRS может Метод кривых безразличия 110 быть установлена даже в том случае, когда сама полезность предполагается неизмеримой. Однако аппарат кривых безразличия также не был свободен от существенных недостатков 1) принцип убывания предельной нормы замены, выражающий закон убывания предельной полезности, определяет форму кривых безразличия, однако этот принцип не является универсальным на рис. 4.9 изображены кривые безразличия для субститутов (риса) и комплиментов (рис. б, которые не удовлетворяют этому принципу Рис. 4.9. Кривые безразличия субститутов и комплиментов 2) карта безразличия имеет статический характер, отражая неизменность предпочтений потребителя появление новых или исчезновение имеющихся благ набора требует построения новой карты безразличия 3) предположение о способности потребителя определить бесконечном ног орав но ценных комбинаций благ нереали- стично. Развитием ординалистской теории полезности стала теория выявленных предпочтений, предложенная в 1938 г. американским экономистом Полом Самуэльсоном в работе Замечания по поводу чистой теории поведения потребителя. Концепция выявленных предпочтений П. Самуэльсон утверждал, что потребитель, приобретая определенный набор благ, выявляет свое предпочтение и, если потребитель рационален, тов ы явленное предпочтение сохранится и при изменении структуры цен (рис. 4.10). В результате при анализе поведения потребителя удается избежать использования кривых безразличия, которые невозможно получить с помощью опытных наблюдений, а основываться только на объективных данных о доходе и ценах благ. Рис. 4.10. Выявление предпочтения Набор благ х считается предпочтительнее наборах, если " ' ' ' X P X P ≥ (то есть ∑ ∑ = = ≥ n 1 i i i n 1 i i i x p x p " ' ' ' ). Если потребитель выбирает набор благ х по ценам ' p , в то время как он мог бы купить при этих ценах другой набор благ х, то он тем самым выявляет свое предпочтение. Подход П. Самуэльсона использовался ранее (в 1915 г) в работах ЕЕ. Слуцкого, поэтому рассматриваемый ниже анализ изменения цены носит название метода Слуцкого-Самуэльсона. Главный недостаток концепции П. Самуэльсона – требование неизменности системы предпочтений, то есть опора на «среднестатического» потребителя. 112 §4.6. Различные типы благ (товаров) Коэффициент чувствительности спроса по цене показывает, насколько единиц изменится спрос на данный товар, если его цена увеличится на 1 рубль. Коэффициент чувствительности спроса подох оду показывает, насколько единиц изменится спрос на данный товар, если доход потребителя увеличится на 1 рубль. В соответствии со знаками показателей чувствительности блага могут быть отнесены к одному из следующих типов 1. Нормальные и ценные блага 0, I x , 0 p x * j i * j > ∂ ∂ < ∂ ∂ то есть спрос на благо снижается при увеличении его цены и возрастает при увеличении дохода потребителя (например, масло. 2. Нормальные им а л о ценные блага 0, I x , 0 p x * j i * j < ∂ ∂ < ∂ ∂ то есть спрос на благо снижается как при увеличении его цены, таки приросте дохода потребителя. Например, ценным благом может считаться масло, а малоценным – маргарин. 3. Товары Гиф фин а » : 0, p x i * j > ∂ ∂ это означает, что спрос на благо растет при увеличении его цены. Товары Гиффина 1 являются малоценными. Примером товаров Гиффина может служить труд низкоквалифицированных работников для небольших предприятий как потребителей при повышении цены блага (минимальной оплаты труда, предприятие, не имея возможности приобрести технологичное оборудование в связи с бюджетным ограничением, вынуждено нанимать еще больше низкооплачиваемых работников. Другой пример товаров Гиффина: продовольственные товары в комбинации с одеждой – повышение цены на продукты приводит к тому, что реальный доход потребителя снижается настолько Роберт Гиффин (1878-1943) – английский экономист, исследовавший проблемы потребительского выбора. Коэффициенты чувствительности что он не может потреблять прежнее количество одежды и вынужден большую часть дохода расходовать на продукты. Таким образом, главная особенность товаров Гиффина – их относительная дешевизна по сравнению с возможными аналогами. Безразмерные показатели чувствительности комбинации благ к изменению параметров рынка получили название коэффициентов эластичности. Эластичность спроса подох оду показывает, насколько процентов изменится объем потребления блага при изменении дохода на 1 %: В соответствии со значениями I x i Ε различают следующие типы благ, кривые «доход-потребление» которых приведены на рис. 4.11: 1. Низкокачественные малоценные) блага, спрос на которые падает с увеличением дохода . 0 I x i < Ε 2. Блага первой необходимости, потребление которых не зависит от изменения дохода . 0 I x i = Ε 3. Качественные ценные) блага, объем потребления которых увеличивается с ростом дохода Коэффициенты эластичности 114 Рис. 4.11. Кривые «доход-потребление» 4. Предметы роскоши, потребление которых растет опережающими темпами по сравнению с увеличением дохода Эластичность спроса по цене показывает насколько процентов изменится объем потребления блага при изменении его цены на 1 %: * * i i i i р x x р р x i i ⋅ ∂ ∂ = Ε При существенных колебаниях рыночных цен используют формулу средней эластичности ( ) ( ) ' *' *' '' ' ' '' *' ' *' ' *' *' '' ' * / / i i i i i i i i i i i i i i р x x x р р р р x x 2 x x 2 р р р x i i + + ⋅ − − = + + ⋅ Δ Δ = Ε . (4.20) На карте кривых «цена-потребление» (кривых спроса на рис. 4.12) коэффициент эластичности позволяет различить блага следующим образом 1 . Нормальные блага, которые приобретаются в больших объемах по меньшей цене р В том числе вполне заменяемые блага, спрос на которые бесконечно падает при малом увеличении цены . i i р x −∞ = Ε Рис. 4.12. Кривые «цена-потребление» 115 2 . Незаменимые блага, изменение цены которых не влияет на объем потребления (спрос совершенно не эластичен р 3 . Товары Гиф фин а , спрос на которые растет с увеличением цены р Блага Гиффина с совершенно эластичным спросом невозможны ввиду бюджетного ограничения. Перекрестная эластичность спроса по цене показывает процентное изменение спроса на одно благо при процентном изменении цены другого . x р р x * i j j * i р x j i ⋅ ∂ ∂ = Ε В соответствии со значением этого коэффициента блага могут быть взаимозаменяемыми р, взаимодополняемыми р или независимыми ( ) 0 i i р x = Ε Пример 4.6.1. Рыночная цена масла животного возросла сруб. за кг до 100 руб, вследствие чего средний потребительский спрос на него упал с 5 кг в месяц до 4 кг в месяц. Насколько эластичен спрос на масло Определим коэффициент эластичности спроса на масло по формуле (4.20): % ' *' *' '' ' ' '' *' ' *' 1 4 5 100 80 100 80 4 5 x x р р р р x x i i i i i i i i р x i i − = + + ⋅ − − = + + ⋅ − − = Ε . Таким образом, при повышении цены масла на 1% спрос на него снижается на 1%. То есть масло относится к нормальным благам, спрос на которые существенно эластичен 116 ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ 4.1. Анализ функции полезности 4.1.1. Предпочтения потребителя описываются логарифмической функцией полезности с коэффициентами а, ах, х. Насколько единиц повысится удовлетворенность потребителя, если он потребляет кг мяса (й товар) и изнашивает 3 пары носков (й товар) в месяц и решил купить дополнительную пару носков 4.1.2. Решить задачу 4.1.1, если у потребителя степенная функция полезности с коэффициентами Ах, х. Потребитель решил купить дополнительно 1 кг мяса, а носки использует в неизменном количестве. 4.1.3-4.1.4. В задачах 4.1.1, 4.1.2 построить график кривой полезности мяса (при постоянном количестве используемых носков. Графически объяснить предельную полезность. 4.1.5. Потребитель в задаче 4.1.1 приобретает 5 кг мяса в месяц. Сколько пар носков он должен изнашивать ежемесячно, чтобы его удовлетворенность составила 10 единиц 4.1.6. Потребитель в задаче 4.1.2 изнашивает 3 пары носков в месяц. Сколько мяса он должен покупать ежемесячно, чтобы быть удовлетворенным на 30 единиц 4.1.7. Степень удовлетворенности потребителя из задачи 4.1.1 равна единицам. Сколько он потребляет мяса и изнашивает носков ежемесячно, если он согласен за лишний кг мяса отказаться от х пар носков Построить график кривой безразличия. Показать геометрический смысл нормы замены. 4.1.8. Степень удовлетворенности потребителя из задачи 4.1.2 равна единицам. Сколько он потребляет товаров, если взамен на две пары носков он согласен есть на 1 кг мяса меньше Построить график кривой безразличия. Показать геометрический смысл нормы замены. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ |