Математическая экономика. Гераськин М.И. Математическая экономика 2008. Утверждено Редакционноиздательским советом университета в качестве учебного пособия (для студентов заочного обучения) самара издательство сгау 2008 2
 Скачать 1.29 Mb.
|
|
§2.1. Издержки коммерческой организации Издержки коммерческой организации C зависят от количества используемых ресурсов x i , i=1,2,...,n, ценна них p i , i=1,2,...,n и представляют собой сумму стоимостных оценок затрат всех ресурсов x i p i , i=1,2,...,n, используемых для производства данного вида продукции, при условии, что непроизводительные затраты ресурсов отсутствуют, то есть выбрана технология минимально возможных издержек ( ) ( ) , , , min , min 1,2 = i Функция C(x, p), удовлетворяющая этим условиям, получила название функции издержек. Функция издержек (затрат) характеризует минимальную сумму затрат как функцию объёма выпуска и цен ресурсов или, иначе, функция издержек характеризует минимальный уровень затратна производство фиксированного объема выпуска Q при условии, что фирма (коммерческая организация) использует оптимальные комбинации ресурсов ( С, где символом * обозначены значения затрат ресурсов при наиболее экономичном способе производства. Множество точек плоскости ресурсов производства при постоянном значении суммы издержек организации Сносит название изо кос- ты (рис p x p x 1 1 2 2 + = С Уравнение изокосты может быть также записано в явном виде 1 2 1 2 2 x p p р С x − = Увеличение суммы издержек приводит к параллельному смещению изокосты по направлению вверх и вправо от начала координат (на рис. 2.1 сумма издержек возросла от значения С до значения С. Определение функции издержек 30 Влияние цен ресурсов на положение изокосты сказывается в том, что изменяется угловой коэффициент наклона изокосты, например, при неизменной цене второго ресурса x 2 = x A 2 уменьшение цены первого ресурса обусловливает снижение наклона изокосты относительно оси первого ресурса (на рис. 2.1 цена первого ресурса уменьшается от значения р до значения р. Это означает, что при неизменном объеме затрат второго ресурса первый ресурс будет расходоваться тем в больших количествах, чем ниже его цена. Рис. 2.1. Изокоста В дальнейшем для упрощения изложения материала предполагается, что для производства продукции используются только два ресурса x 1 =L – трудовые ресурсы и x 2 =K – основные производственные фонды. Пример 2.1.1. Фирма, занимающаяся производством ткани, использует два ресурса пряжу по цене 10 руб./кг и рабочую силу (оплата труда работника 2000 руб. в месяц. На рис. 2.2. построены изокосты для ежемесячных издержек 100 тыс. руб, 200 тыс. руб. По рисунку можно определить, что для обеспечения издержек фирмы на уровне 100 тыс. руб. при потреблении 5 тонн пряжи число работников фирмы должно быть 25 чел. Если фирма готова увеличить издержки до 200 тыс. руб, то она может нанять 75 чел. Рис. 2.2. Пояснение к примеру 2.1.1 Различают издержки в длительном периоде или долгосрочные издержки) и издержки в коротком периоде, или краткосрочные издержки. В длительном периоде все ресурсы являются переменными. В коротком периоде часть ресурсов являются постоянными, и их количество не может быть изменено в пределах данного периода. Для краткосрочного периода издержки можно разделить на два вида переменные издержки С (Varied Costs), изменяющиеся при изменении объёма выпуска, и постоянные издержки Сне зависящие от объёма производства. К переменным издержкам относятся затраты на сырь, материалы, оплату труда производственных работников к постоянным - затраты на содержание зданий, сооружений, оборудования, административно-управленческие расходы, арендная плата, налоги и т.п. Таким образом, издержки в коротком периоде могут быть представлены как сумма постоянных и переменных издержек С Q С С Q S F V ( ) ( ) = + (2.1) где C S (Q) – краткосрочные издержки навыпуск единиц продукции С – постоянные издержки за период С Q V ( ) – переменные издержки на производство Q единиц продукции. Классификация издержек 32 Для анализа издержек широко применяют такие показатели, как предельные и средние (удельные) издержки. Предельные издержки характеризуют изменение затрат, обусловленное изменением выпуска продукции на единицу, и определяются как ( ) ( ) ( ) MC Q dC Q dQ C Q Q = ≈ Δ Δ , где символом “ Δ ” обозначено конечное изменение показателя. Этот показатель применим для анализа затратив долгосрочном, ив краткосрочном периодах. Поскольку постоянные издержки не зависят от объема выпуска, то краткосрочные предельные издержки с учетом (2.1) можно представить так ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) MC Q dC Q dQ d dQ C C Q dC Отсюда ясно, что краткосрочные предельные затраты характеризуют прирост переменных затрат при единичном приращении объема выпуска. Средние издержки) характеризуют затраты, приходящиеся на единицу продукции ( ) ( А Q C Учитывая (2.1), краткосрочные средние издержки можно представить следующим образом ( ) ( ) ( ) [ ] ( А, где c V – удельные переменные издержки (переменные издержки, приходящиеся на единицу продукции. Отсюда следует, что краткосрочные средние издержки снижаются с увеличением объема продукции, то есть имеет место экономия нар ас ширении производства в краткосрочном периоде. Предельные и средние издержки 33 §2.2. Функция издержек в долгосрочном периоде Функция издержек определяется в результате решения задачи минимизации издержек на производство фиксированного выпуска Q. Эту задачу можно записать в виде ( ) ( ) 2 2 1 1 x 2 1 x x p x p x C + = при условии, что β α = 2 1 x x A Q , Эта задача имеет наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 2.3). Если перемещать изокосту по направлению к началу координат до тех пор, пока она продолжает иметь общие точки с изоквантой, соответствующей фиксированному объёму выпуска Q 1 , то решением задачи минимизации издержек будет общая точка A 1 изокосты C 1 и изокванты Q 1 с координатами [x 1 * (Q 1 ), x 2 * (Q 1 )]. Эта точка касания зависит от объёма выпуска (поэтому записано [x 1 * (Q 1 ), x 2 * (Q 1 )] ). Если объём выпуска уменьшится до уровня Q 2 (Q 2 1 ), то изменится положение точки касания нас координатами [x 1 * (Q 2 ), x 2 * (Q 2 )]. Множество точек A i , i=1,2,...,n, соответствующих различным объемам выпуска Q i , i=1,2,...,n, образуют линию долгосрочного развития фирмы. Точки, находящиеся на этой линии, характеризуют минимальные издержки производства, соответствующие фиксированным объемам выпускаемойпродукции. И И Рис. 2.3. Траектория долговременного развития Задача определения функции издержек Геометрическая интерпретация 34 Изокванты на этом графике характеризуют технологические ограничения, те. каждая я изокванта отображает все комбинации ресурсов хи х, с помощью которых можно обеспечить выпуск Q i . Изо- косты характеризуют экономические ограничения те. каждая я изокоста отображает все комбинации ресурсов хи х 2 , имеющие при неизменных ценах ресурсов один и тот же уровень издержек C i . Поскольку задача минимизации издержек сводится к нахождению точки, в которой изокванта касается самой низкой изокосты, то это будет означать, что комбинация ресурсов, соответствующая точке касания, обеспечит потребный выпуск при минимальных издержках. Тогда комбинация ресурсов, соответствующая точке А, обеспечит минимальные издержки на уровне С выпуску Q 1 , а комбинация ресурсов [x 1 * (Q 2 ), x 2 * (Q 2 )], соответствующая точке А, – на уровне С выпуску Сформулируем условие касания наклони з о кванты должен быть равен наклону изо кос ты. Поскольку угол наклона изокванты определяется выражением ( ) 2 1 1 1 2 изокванты MQ MQ dx x dx = − = ϕ tg , а угол наклона изокосты, исходя из уравнения этой кривой, p x p x x p p p x 1 1 2 2 2 2 1 2 1 + = ⇒ = − С С равен ( ) 2 1 1 1 2 изокосты р р dx x dx = − = ϕ tg , то при изокванты изокосты ϕ = ϕ tg tg выполняется условие MQ MQ 1 2 = р р 1 2 . (2.2) Таким образом, долгосрочная траектория развития организации образована точками сочетаний ресурсов, отношение предельных продуктов которых приданном виде производственной функции равно отношению цен этих ресурсов Выразим известный фиксированный выпуск Q в точке рыночного равновесия через оптимальные объёмы используемых ресурсов ( ) ( ) Q A x x = 1 2 * * α β . (2.3) Подставим выражения предельных продуктов MQ 1 , MQ 2 (см. пример 1.3.3.) в условие минимальности издержек (2.2), и выразим x 2 * : p p x x A x x A 2 1 1 * 2 * 1 * 2 1 * 1 ⇒ = β α − β α β − α x x hx 2 1 2 1 1 * * * р р = = β α , (2.4) где 2 1 р р h α β = . Подставим x 2 * изв ПФ (2.3), откуда найдем x 1 * как функцию объема выпуска ( ) ⇒ = β α * 1 * 1 hx Ax Q ( ) ( ) β + α β + α − β β + α β + α − β ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ α β = = 1 1 2 1 1 1 * 1 Q p p A Q Ah Q x . (2.5) Выражение x 2 * (Q * ) определим, используя соотношение x 2 * =hx 1 * : ( ) β + α β + α − β ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ α β α β = 1 1 2 1 2 1 * 2 Q p p A p p Q x . (2.6) Найденные значения ( ) ( ) Q x , Q x * 2 * 1 представляют собой функции спроса нар е сур с ы . Они позволяют для известного значения объема выпуска определить необходимые количества ресурсов, при которых достигается минимум издержек. Подставим значения ( ) ( ) Q x , Q x * 2 * 1 в выражение функции издержек, получим зависимость суммы затрат организации от объема выпуска продукции С, ( ) β + α β + α β + α − β = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α β ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ α β + = 1 1 1 2 1 1 DQ Q p p A 1 p Q C , (2.7) Функции спроса на ресурсы Функция издержек 36 где Выражение (2.7) представляет собой функцию издержек. Необходимо подчеркнуть, что она является функцией выпуска C(Q), а не функцией затрачиваемых ресурсов C(x 1 ,x 2 ). Полученная функция издержек соответствует длительному периоду, то есть ( ) ( С СВ случае отсутствия эффекта расширения масштаба r= α + β =1 функция издержек представляет собой линейную функцию объема выпуска ) DQ Q С = Кривая функции издержек выпукла вверх при r>1; это означает, что при увеличении объема выпуска продукции происходит относительное уменьшение издержек, то есть наблюдается положительный эффект расширения масштаба производства. В случае r<1 кривая функции издержек выпукла вниз, что соответствует относительно более быстрому темпу роста издержек по сравнению с ростом объема производства. Пример 2.2.1. Для стекольного завода, приобретающего песок по цене 4 тыс. руб./т и топливо по цене 7 тыс. руб./т, определить характер кривых долгосрочных издержек C L (Q) при различных типах эффекта расширения масштаба отсутствие эффекта расширения масштаба (r=1) α β = 0 3 , ; = 0,7 ; возрастающая отдача от расширения масштаба (r=1,2) α β = 0 4 , ; = 0,8 ; убывающая отдача от расширения масштаба (r=0,8) α β = 0 2 , ; = 0,6 . Зависимость долгосрочных издержек от объема выпуска продукции (в тоннах) изображена на рис. 2.4. Функции издержек построены с использованием формулы (2.7), полагая А. Очевидно, что при возрастающей отдаче от расширения производства издержки фирмы растут замедленными темпами по сравнению с ростом объема выпуска, а в случае убывающей отдачи – ускоренными темпами. Графики на рис. 2.4 позволяют определить суммы издержек при различных объемах производства например, при выпуске 4 тонн стекла в месяц фирма, работающая в экономичном режиме, затратит 45 тыс. руб. (если эффект расширения масштаба отсутствует. Рис. 2.4. Кривые долгосрочных издержек §2.3. Долгосрочные издержки и расширение масштаба производства Из представленных на рис. 2.4 графиков следует, что важнейшим фактором, определяющим конфигурацию кривой, является величина отдачи от масштаба производства, которая для производственной функции Кобба–Дугласа характеризуется значением показателя r = + α β . При постоянной отдаче от масштаба производства r=1 кривая C L (Q) имеет вид луча, выходящего изначала координат. Это указывает на то, что долгосрочные издержки с расширением масштаба производства ( w > 1 ) увеличиваются в той же пропорции, в какой растет объём выпуска Q. Расширение масштаба производства связано с кратным увеличением используемых ресурсов. Поэтому ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) wx wx p wx p wx w p x p x wC Q wx wx w Q x x L 1 2 1 1 2 2 1 1 2 то есть как сумма затрат, таки объем выпуска продукции возрастают враз. Эффект масштаба 38 При возрастающей отдаче r>1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) wx wx p wx p wx w p x p x wC Q wx wx w Q x x L r 1 2 1 1 2 2 1 1 2 но w w r > , то есть рост объема выпуска опережает рост суммы издержек. Поэтому кривая C L (Q) (рис. 2.4) выпукла вверх. Важно подчеркнуть, что издержки с увеличением объёма выпуска возрастают, но возрастают всё медленнее. Наконец, на рис. 2.3 представлена кривая C L (Q) для случая убывающей отдачи от масштаба производства r<1. В этом случае w w r < , то есть при неизменных ценах затраты растут в большей степени, чем выпуск. Поэтому кривая C L (Q) является выпуклой вниз. Долгосрочные средние издержки определяются как ( ) ( С. (2.8) Долгосрочные предельные издержки определяются как ( ) ( ) ( ) Q AC r 1 DQ r 1 Q Q C Q MC L 1 r 1 L L = = ∂ ∂ = − . (2.9) Из сравнения расчётных формул AC L (Q) и MC L (Q) следует, что конфигурация этих кривых совпадает, но их расположение друг относительно друга, благодаря значению множителя 1 1 α β + = r , изменяется. При постоянной отдаче 1 1 r = , значит кривые AC L (Q), MC L (Q) совпадают. При возрастающей отдаче 1 1 r < , значит кривая MC L (Q) будет располагаться ниже кривой средних затрат AC L (Q). И, наконец, при убывающей отдаче 1 1 r > , значит кривая MC L (Q) пройдёт над кривой средних затрат AC L (Q). Пример 2.3.1. Для фирмы, рассмотренной в примере 2.2.1, построить и проанализировать графики AC L (Q) и MC L (Q). Значения AC L (Q) и MC L (Q) рассчитаны по формулами изображены на рис. 2.5, причем кривые средних издержек показаны Средние и предельные издержки сплошной линией, кривые предельных издержек – пунктирной линией. Увеличение объема выпуска при неизменной технологии обусловлено кратным множителю w увеличением используемых ресурсов. В случае постоянной отдачи от расширения масштаба производства (r=1) кривые средних и предельных издержек на рис. 2.5 совпадают. В случае возрастающей отдачи от расширения масштаба производства (r>1) кривые средних и предельных издержек будут убывающими, причем, поскольку предельные издержки отличаются от средних на множитель 1 1 r < , кривые будут сближаться. В случае убывающей отдачи от расширения масштаба производства (r<1) кривые средних и предельных издержек будут возрастающими и расходящимися, так как 1 1 r > . По рис. 2.5 можно определить, что при выпуске 4 тонн стекла в месяц фирма в среднем расходует 9 тыс. руб. на тонну (если эффект расширения масштаба положительный при этом выпуск дополнительной (й) тонны стекла обойдется фирме в сумму 8 тыс. руб. Рис. 2.5. Кривые долгосрочных средних и предельных издержек Таким образом, положительный эффект расширениям ас штаба производства заключается в том, что величины средних и предельных издержек снижаются су вели ч е ни ем объема выпуска, причем уменьшение предельных издержек происходит опережающими темпами. |