Математическая экономика. Гераськин М.И. Математическая экономика 2008. Утверждено Редакционноиздательским советом университета в качестве учебного пособия (для студентов заочного обучения) самара издательство сгау 2008 2
 Скачать 1.29 Mb.
|
|
§1.3. Дополнительные свойства производственной функции Помимо условий, включенных в определение ПФ, на вид функции, как правило, накладываются дополнительные ограничения. Свойство однородности состоит в том, что при увеличении затрат всех ресурсов в одинаковое количество раз w объем продукции возрастает в кратное w количество раз для любого w > 1. Показатель r > 0 называют степенью однородности функции Q, он характеризует эффект расширениям ас штаба производства если r > 1, то увеличение всех ресурсов враз приводит к возрастанию объема выпуска более чем враз, то есть эффект масштаба положителен если r < 1, то прирост факторов враз обеспечивает менее чем кратное возрастание объема выпуска, то есть эффект масштаба отрицателен. Пример 1.3.1. Фирма, выплавляющая металл, использует в качестве ресурсов труд рабочих и оборудование. В случае увеличения штата фирмы и парка оборудования в 2 раза объем продукции фирмы возрос в 4 раза. Следовательно фирма характеризуется положительным эффектом масштаба с коэффициентом r=2 (так как 2 2 =4). Наиболее употребительными являются линейно-однородные ПФ, для которых и, то есть эффекта расширения масштаба производства не наблюдается. Свойство необходимости всех ресурсов то есть при отсутствии хотя бы одного из ресурсов выпуск продукции отсутствует. Пример 1.3.2. Фирма, выплавляющая металл, согласно технологии использует в качестве сырья железную руду и топливо. Поскольку оба ресурса необходимы для производства, то производство будет остановлено в случае непоставки хотя бы одного из них. Свойство ограниченного роста вогнутость при возрастании ресурса от нуля до конечного значения происходит стремительный рост объема выпуска, который затем сходит на нет 0 x Q(x) , x Q(x) , Q(x) x 0 x x = ∂ ∂ ∞ = ∂ ∂ ∞ = ∞ → → ∞ → lim lim Условие вогнутости (так называемое условие ненасыщаемости) выражает неэффективность резервирования ресурсов. Пример 1.3.3. На целлюлозобумажном комбинате объем производства бумаги зависит от затрат используемой целлюлозы (хи количества станков (х) по функции Q=х 1 α х 2 β , α =0,5, β =0,1. При плановом режиме загрузки в месяц потребность в ресурсах составляет 20 тонн целлюлозы и 10 станков. Поэтому выпуск продукции достигает 20 0,5 ⋅ 10 0,1 =5,6 тонны. Предельный продукт второго ресурса MQ 2 = = ∂ Q/ ∂ x 2 = β х 1 α х 2 β -1 =0,1 ⋅ 20 0,5 ⋅ 10 -0,9 =0,06т/станок, то есть прирост продукции от приобретения дополнительного станка составит 0,06 тонны. Если фирма приобретет 100 станков, не обеспечив это расширение станочного парка увеличением поставок целлюлозы, то эффект от последнего приобретенного станка составит MQ 2 =0,1 ⋅ 20 0,5 ⋅ (10+99) -0,9 = 0,007т/станок. Поэтому резервирование ресурса окажется неэффективно. Линейно-однородные ПФ в соответствии с теоремой Эйлера могут быть представлены в виде L L Q K K Q Q ∂ ∂ + ∂ ∂ = . (1.1) Экономически это можно интерпретировать следующим образом пусть общество состоит из рабочих и капиталистов капиталист вкладывает капитал в производство до тех пор, пока дополнительный доход К не дос- Свойство эластичности ресурсов 16 тигнет установившейся в экономике нормы прибыли, то есть произведение нормы прибыли К на вложенный капитал К представляет собой доход капиталистов. Аналогично, нанимая рабочих, капиталист увеличивает их численность до тех пор, пока дополнительный доход L Q ∂ ∂ , приносимый очередным рабочим, не достигнет его заработной платы, то есть теория предельной производительности труда утверждает, что L Q ∂ ∂ есть заработная плата, поэтому слагаемое L L Q ∂ ∂ представляет собой доход рабочих, общая численность которых L. В таком случае Q – суммарный доход членов общества. Для теории производства уравнение (1.1) означает, что объем продукции складывается из частей, произведенных за счет использования каждого ресурса в отдельности. Разделив обе части формулы (1.1) на Q, имеем L К Е Е Q L L Q K Q 1 + = ∂ ∂ + ∂ ∂ = Q К , (1.2) то есть для линейно-однородной функции коэффициенты эластичности [ ] 1 , 0 E i ∈ , если хотя бы один из них больше нуля. Для однородной функции r E E L K = + , то есть сумма показателей эластичности определяется степенью однородности функции, то есть типом эффекта расширения масштаба производства. Таким образом, получено важное свойство коэффициентов эластичности ресурсов функции Кобба-Дугласа: сумма коэффициентов эластичности равна показателю эффекта расширениям ас штаба Пример 1.3.4. Объем продукции фирмы, рассмотренной в примере 1.3.3, при увеличении обоих ресурсов на 1% возрастет на r= α + β =0,5+0,1=0,6%. 17 §1.4. Эффекты расширения масштаба производства и замещения ресурсов Как было показано, эффект расширения масштаба производства характеризует множитель r w ; для однородной функции при r > 1 эффект масштаба положителен, при r < 1 – отрицателен. Среднюю числовую характеристику эффекта масштаба можно определить аналогично коэффициентам эластичности объема выпуска по производственным факторам Q(wx) w Q(wx) w ∂ ∂ , а при переходе к пределу получим выражения для коэффициента эластичности производства Е. (1.3) Эластичность производства характеризует прирост продукта в некоторой точке пространства затрат ресурсов (локальный эффект масштаба, так как изменение структуры ресурсов считается бесконечно малым (w → 1). Дифференцируя выражение ( как сложную функцию переменной w, имеем ∑ = ∂ ∂ = ∂ ∂ n 1 i i i x ) (wx Q(wx) w Q(wx) . (1.4) Подставив (1.4) в (1.3), получим ∑ ∑ ∑ = = = → = ∂ ∂ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ = n 1 i n 1 i x i i n 1 i i i 1 w w i E Q x x Q Q(x) w x ) (wx Q(wx) lim Е Таким образом, коэффициент эластичности производства равен сумме коэффициентов эластичности объема выпуска по ресурсам производства. С учетом выражения (1.2) это приводит к следующему выводу коэффициент эластичности производства равен показателю эффекта расширениям ас штаба производства. Эффект расширения масштаба 18 Особенность реальных производственных процессов состоит в возможности замещения одного фактора другим например, существует абстрактная возможность заменить единицу производственного оборудования эквивалентным по объему фондоотдачи количеством единиц труда. Однако реальное воплощение этой абстрактной возможности зачастую неосуществимо. Для случая двухфакторной ПФ числовая характеристика эффекта замены должна показывать, на какую величину dx 2 уменьшится объем затрат второго ресурса, если увеличить объем затрат первого ресурса на dx 1 , чтобы при этом объем выпуска Q остался неизменным. Предельной нормой замены (или MRTS — Mar- ginal Rate of Substitution) одного ресурса другим называется величина 1 2 x x dx dx S 2 1 − = , показывающая, каков объем высвобождаемого ресурса при увеличении затрат ресурса-заменителя на единицу. Из условия неизменности объема выпуска при замещении факторов следует Поэтому предельная норма замены равна отношению предельных продуктов факторов 2 1 2 1 x x MQ MQ x Q x Q S 2 1 = ∂ ∂ ∂ ∂ = . (1.5) В данном случае х является заменяемым фактором, х – заменителем. Из выражения (1.5) следует, что объем высвобождаемого х ресурса в расчете на единицу ресурсах тем больше, чем больше предельный продукт фак- тора-заменителя по сравнению с предельным продуктом заменяемого фактора. В противоположной ситуации норма замены определяется аналогично Эффект замены ресурсов Для функции Кобба-Дугласа в качестве примера получим выражение предельной замены по формуле (1.5): L K K Q L Q K Q L Q Пример 1.4.1. В фирме, производящей обувь, 5 сотрудников работают на 5 станках и выпускается 1000 пар обуви в месяц. Если коэффициенты эластичности ресурсов равны α =0,25, β =0,75, то норма замены составит (0,75 ⋅ 5)/(0,25 ⋅ 5)=3 чел./станок, то есть при приобретении дополнительно 1 станка фирма может уволить 3 рабочих, сохранив неизменный объем выпуска. Возможность замещения ресурсов друг другом характеризует ПФ сточки зрения различных комбинаций затрат ресурсов, обеспечивающих одинаковые объемы выпуска. Количественной характеристикой темпа изменения предельной нормы замены в пространстве ресурсов является эластичность замены ресурсов) Эластичность замены показывает, насколько процентов должно измениться соотношение ресурсов (при Q=const) при изменении предельной нормы замены на Соответственно характеру изменения коэффициента эластичности замены различают два класса ПФ VES (Variable Elasticity of Substitution) – функция с переменной эластичностью замены CES (Constant Elasticity of Substitution) – функция с постоянной эластичностью замены. Наибольшее значение имеет функция, для которой возможны следующие характерные случаи ∞ = 2 1 x x σ , то есть пределы взаимозаменяемости ресурсов отсутствуют 0 σ 2 1 x x = , то есть ресурсы взаимодопол- няют друг друга и используются в строго определенном соотношении. 20 §1.5. Изолинии производственных функций Изолинии представляют собой кривые, во всех точках которых соответствующая функция имеет постоянное значение того или иного параметра. Изо кванта это множество точек плоскости ресурсов, удовлетворяющих условию постоянства объема выпуска Уравнение изокванты в явном виде записывается как Вид изокванты показан на рис. 1.5. Например, для функции Кобба- Дугласа уравнение изокванты в явном виде выглядит следующим образом Рис. 1.5. Изокванта Экономический смысл изокванты заключается в том, что кривая показывает объем трудовых ресурсов, необходимых для получения продукта св зависимости от располагаемого объема капитала К. Линия постоянного продукта Пример 1.5.1. Для фирмы, выплавляющей металл, построены изо- кванты при выплавке 500, 800 и 1000 тонн металла в месяц (рис. 1.5). По рисунку можно определить, что при наличии 5 станков для выплавки 500 т в месяц требуется 5 рабочих, а для выплавки 1000 т – 30 рабочих. Свойства изо кванты. Если все ресурсы необходимы для производства продукта, тонет такого объема выпуска с, для которого изокванта имеет общие точки с осями координат. Это свойство вытекает из условия необходимости всех ресурсов. 2. Большему значению объема выпуска с соответствует более удаленная от начала координат изокванта, что следует из условия однородности. Изокванты, соответствующие различным значениям сне пересекаются. Изоклина это множество точек плоскости ресурсов, в которых наклон изоквант при различных значениях объема выпуска остается постоянным поскольку наклон графика функции выражает производная, то изоклина – множество точек, в которых Таким образом, геометрический смысл предельной нормы замены, как показано на рис. 1.6, состоит в том, что ϕ = Рис. 1.6. Изоклина Линия постоянного наклона изокванты 22 Например, для функции Кобба-Дугласа, как было показано выше, предельная норма замены пропорциональна значению коэффициента фондовооруженности L K : L K β S LK α = , то есть чем большей величиной основного капитала (фондов) в расчете на одного работника располагает предприятие, тем большая часть капитала может быть высвобождена и инвестирована в другие проекты при увеличении персонала на одного работника. Следовательно, уравнение изоклины функции Кобба-Дугласа определяется следующим угловым коэффициентом C LK S L K β S = α = §1.6. Виды производственных функций Рассмотрим основные виды ПФ, нашедших применение в практике экономического анализа производственных процессов, на примере функций двух ресурсов, поскольку они допускают наглядную геометрическую интерпретацию. 1. Линейная функция Коэффициенты линейной функции представляют собой значения предельных продуктов, так как 1,2. i , a x Q МQ i i i i = = ∂ ∂ = Это означает, что прирост объема выпуска в результате единичного увеличения объема затраченного ресурса постоянен и не зависит от исходного объема факторов. Предельная норма замены для линейной ПФ постоянна и равна , 2 1 x x a a S 2 1 = а эластичность замещения факторов бесконечна х Q 10 50 10 30 Изокванты линейной функции изображены на риса. Линейная ПФ применяется обычно при моделировании крупномасштабных систем (крупная отрасль, экономика в целом, в которых выпуск продукции является результатом одновременного использования множества различных технологий. Особое значение имеет предположение о постоянстве предельных производительностей ресурсов и их неограниченной замещаемости. Пример 1.6.1. Предприятие за последние 3 года показало следующие хозяйственные результаты Год Объем металла, тыс. тонн Количество станков, единиц Персонал, тыс. чел. 1 13 10 0,8 2 30 20 1,8 3 50 30 2,8 Определить значения коэффициентов ПФ, объяснить их экономический смысл. Спрогнозировать объем металла в й год, если запланировано довести количество прессов до 40 ед, численность работников – до 3,5 тыс. чел. Построив графики зависимости объема выпуска от затрат ресурсов рис. 1.7), приходим к выводу, что для данного предприятия характерна линейная функция от ресурсов 1 x (оборудование) и 2 x (персонал 2 2 1 1 x x a a Q + = . Составим функцию суммы квадратов отклонений 2 2t 2 1t 1 3 1 t t ) x x (Q S a a − − = ∑ = . Рис. 1.7. Пояснение к примеру 1.6.1 24 Найдем производные этой суммы по неизвестным коэффициентами приравняем их к нулю , 0 )x x x (Q 2 S 0 )x x x (Q 2 S 2t 2t 2 1t 1 3 1 t t 2 1t 2t 2 1t 1 3 1 t t 1 = − − − = ∂ ∂ = − − − = ∂ ∂ ∑ ∑ = = a a a a a a После преобразования получим Найдем из условий задачи суммы в этих уравнениях и подставим в систему , , 204 7 11 128 2230 128 1400 2 1 2 1 = + = + a a a a Решение этой системы уравнений позволяет получить / , ; / , чел т a станок т тыс a 4 17 028 0 2 1 = = Объем металла в й год равен , , , , , т тыс Q 62 5 3 4 17 40 028 0 x 4 17 x 028 0 2 1 = ⋅ + ⋅ = + = 2. Функция Ко б б а - Дуг л аса Коэффициент А представляет собой параметр шкалы (А > 0); коэффициенты суть коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам. Предельный продукт факторов пропорционален их среднему продукту Предельная норма замены равна 1 2 1 2 1 2 1 x x x x S x x α α − = α β = , поэтому эластичность замещения составляет 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 = α α − α − α = ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ = σ x x x x x x S S x x x x x x x x , то есть замещение данного фактора другим происходит в пропорции 1:1. В этом заключается недостаток такого рода ПФ они не всегда верно отражают реальные экономические процессы, так как не всегда один фактор можно заменить эквивалентным количеством другого. Изокванты функции Кобба-Дугласа изображены на рис. баб в г Рис. 1.8. Изокванты производственных функций 26 Функция Кобба-Дугласа чаще всего используется для описания среднемасштабных хозяйственных субъектов (корпорация, отрасль, характеризующихся устойчивым, стабильным функционированием, когда вовлечение дополнительной единицы ресурса приносит эффект, пропорциональный средней производительности имеющегося ресурса. 3 . Функция с фиксированными пропорциями (функция Леонтьева): . c x , c x Q 2 2 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = Коэффициенты с выражают количество го ресурса, необходимого для производства единицы продукта. Функция Леонтьева выражает решение задачи линейного программирования, возникающей в модели затраты- выпуск с ≤ x i , Q → max, поскольку фактор, ограничивающий объем выпуска, определяется условием минимальности. Эластичность замены факторов по любому ресурсу σ = 0, как видно из геометрической интерпретации функции Леонтьева на рис. в. Предельный продукт является кусочно-постоянной двухуровневой функцией соотношения 2 1 х х (фондовооруженности если если Функция Леонтьева предназначена для моделирования строго детерминированных технологий, не допускающих отклонения от технологических норм использования ресурсов на единицу продукции обычно используются для описания мелкомасштабных или полностью автоматизированных производственных объектов. х, кор. Q, тел. 200 Пример 1.6.2. На конвейере сборка телевизоров осуществляется путем соединения корпуса и кинескопа, то есть имеется фиксированная пропорция использования ресурсов с 1 =с 2 =1 (1:1). Если на сборку поступило 200 корпусов и 500 кинескопов в месяц, то, по функции Леонтьева, будет собрано 200 телевизоров. Предельный продукт первого ресурса (корпусов) в этом случае равен 1, то есть дополнительно полученный со склада корпус позволит собрать 1 телевизор предельный продукт второго ресурса (кинескопов) равен нулю, так как кинескопы имеются в избытке. Кривая выпуска показана на рис. 1.9. Рис. 1.9. Пояснение к примеру 1.6.2 28 ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ 1.1 Определение коэффициентов производственной функции 1.1.1. Металлургический завод за последние 3 года характеризовался следующими показателями хозяйственной деятельности Год Объем металла, тыс. тонн Количество прессов, единиц Численность работников, тыс. чел. 1 13 10 0,8 2 30 20 1,8 3 50 30 2,8 Построить графики кривых выпуска, на основе которых подобрать вид ПФ. Определить значения коэффициентов ПФ, объяснить их экономический смысл. Спрогнозировать объем металла в й год, если запланировано довести количество прессов до 40 ед, численность работников до 3,5 тыс. чел. 1.1.2. Решить задачу 1.1.1, если агрофирма за последние 3 года имела следующие показатели хозяйственной деятельности Год Объем сбора зерна, тонн Количество комбайнов, единиц Численность работников, чел. 1 15 2 12 2 20 5 18 3 22 10 25 Спрогнозировать объем сбора зерна в й год, если запланировано довести количество комбайнов до 20 ед, численность работников до 35 чел. 1.1.3. При сборке печатной платы используется 40 чипов и 90 соединительных проводов. Построить графики кривых выпуска, если на сборку подано а) 40000 чипов б) 130000 соединительных проводов. Определить значения коэффициентов ПФ, объяснить их экономический смысл. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ 1.2 Определение экономико-математических характеристик производственной функции 1.2.1-1.2.3. Для ПФ в задачах 1.1.1-1.1.3 получить выражения среднего и предельного продуктов, а также коэффициентов эластичности по ресурсам. Изобразить графически зависимости экономико-математиче- ских характеристик как функций соответствующего ресурса. В задачах 1.1.1,1.1.2 вычислить значения экономико-математических характеристик поданным го иго года работы, объяснить их экономический смысл, сопоставить эффективность работы в эти годы. |