Введение акселератора в контур положительной обратной связи
с динамической моделью Кейнса
Исследуем теперь, как изменится поведение экономики в фор- ме модели Кейнса (в приращениях) при ее включении в контур по- ложительной обратной связи с акселератором. Этот контур показан на рис. 1.15
— приращение ВВП, т.е.
=
Рис.
Акселератор в контуре положительной
обратной связи с динамической моделью Кейнса
Используя выражения (1.3.3), находим передаточную функцию указанного контура:
(1.3.10)
Поскольку образ входа
43
то с помощью передаточной функции контура определяем образ выхода:
И, наконец, по табл. 1.1 находим прообраз
(1.3.11)
(1.3.12)
Таким образом, введение акселератора в контур обратной связи с динамической моделью приводит к тому же значению
ВВП в установившемся режиме, что и в отсутствие обратной связи.
При этом сходимость к данному значению происходит быстрее, по- скольку Т—
Т. Однако ускорение сходимости достигается за счет сокращения потребления в начале переходного периода.
В самом деле, потребление в переходный период без введения акселератора имеет вид:
а с введением акселератора —
Поэтому действительно в начале переходного процесса (при t
имеет место сокращение потребления на величину а при t>t, напротив, потребление больше
44
Графики потребления с введением и без введения акселератора показаны на рис. 1.16.
Изменение потребления во времени
Регулирование
Регулирование представляет собой процесс, в ходе которого регули- руемый показатель у (выход) сравнивается с входом х.
При наличии отклонения регулируемый орган (регулятор) воз- действует, быть может, на регулируемый объект посредством испол- нительного органа.
Преимущество регулирования по сравнению с жестким управ- лением состоит в том, что не обязательно знать вид возмущающих воздействий на объект регулирования, поскольку регулирование осу- ществляется по отклонению. В этом же и его недостаток, так как ре- гулирование начинается тогда, когда отклонение уже возникло, т.е.
без упреждения, а следовательно, с запозданием.
Для регулирования характерно наличие контура обратной связи,
как это показано на рис. 1.17.
Используя правила определения передаточных функций соедине- ний, найдем образ выхода динамической системы, представленной на рис. 1.17 (передаточные функции элементов снабжены индексами этих элементов):
откуда
(1.3.13)
Требования к этой системе следующие: с одной стороны, она должна придерживаться на выходе входа x(t), а с другой стороны —
элиминировать возмущения z(t).
Если z(t) = 0, т.е. возмущений нет, то Z(s) = 0, и из (1.3.13)
45
(1.3.14)
Следовательно, для отработки входа передаточную функцию ре- гулятора надо выбирать такой, чтобы Y(s) X(s), тем самым
* 1, т.е. регулятор должен обладать большим усилением.
Рис.
Контур обратной связи,
осуществляющий регулирование
Если
= О, т.е. действуют только возмущения, то X(s) = 0,
из (1.3.13)
+
Следовательно, необходимо так выбирать передаточную функцию
регулятора, чтобы элиминировать возмущение, т.е.
0, чего
можно добиться также с помощью регулятора с большим усилением.
Однако выбор регулятора с большим усилением, как будет пока-
зано ниже, приводит к неустойчивости системы.
Устойчивость линейных динамических систем
Система называется устойчивой, если ее реакция на импульсное воз-
действие затухает, т.е. импульсная характеристика имеет нулевую
асимптоту:
0. (1.3.16)
46
В конце § 1.2 была найдена импульсная характеристика инер- ционного звена которая затухает в бесконечности, по- этому инерционное звено устойчиво. Исходя из этого устойчива и экономика, описываемая динамической моделью Кейнса, посколь- ку эта модель в непрерывном времени — инерционное звено.
Устойчивость линейного динамического звена
Импульсная характеристика звена является решением следую- щего уравнения:
(1.3.17)
Найдем преобразование Лапласа от обеих частей уравнения
(1.3.17):
Образ импульсной характеристики
и
Характеристический многочлен имеет п корней
...,
(обозначения соответствуют характеристическому уравнению
п
=
и может быть разложен на следующие множители:
Если среди корней встречаются комплексные, то они взаимно сопряженные, например,
= а + ко,
= а — /со. В таком случае множители с парой таких корней можно представить в виде квад- ратного трехчлена:
Исходя из этого, образ импульсной характеристики линейного звена примет вид (сначала располагаем комплексные корни, затем —
действительные):
где
— число пар взаимно сопряженных корней;
— 2к) — число действительных корней;
47
— коэффициенты разложения (1.3.18), которые определяются путем приведения правой части
(1.3.18) к
общему знамена- телю, равному
Из разложения
(1.3.18) вытекает следующий вид импульсной характеристики динамического звена как прообраза
(1.3.18) (снова воспользуемся табл.
1.1):(1.3.19)Из (1.3.19) видно, что динамическое звено устойчиво, т.е.
если отрицательны действительные части комплексных корней
< О,
j= действительные корни
Устойчивость и синергетика модели
Ниже в качестве примера детально исследуем условия устойчи- вости модели
Кроме того, покажем, что эта модель при определенных значениях параметров является синерге- тической, хотя и является линейной динамической системой второ- го порядка.
В работе [4] синергетические свойства экономики трактуются следующим образом:
экономика придает особое значение не линейным, а нелинейным аспектам экономического эволюционного процесса, не устойчивости, а неустойчивостям, не непрерывности, а разрывам, не постоянству, а структурным изме- нениям — в противоположность традиционному рассмотрению ли- нейности, устойчивости, непрерывности и неизменности». К важ- нейшим аспектам экономического эволюционного процесса автор относит неустойчивость, бифуркации и хаос в ди- намических экономических системах».
Выше (см. (1.2.18)) было показано, что непрерывным аналогом модели является следующее линейное неодно- родное уравнение второго порядка:
(1.3.20)
Согласно теории линейных дифференциальных уравнений общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего реше- ния однородного и частного решения неоднородного.
Общее решение однородного уравнения есть линейная комби- нация фундаментальных решений
(1.3.21)где
— корни характеристического уравнения
48
О, (1.3.22)
которое получается при поиске решения однородного уравнения в виде е .
Поскольку частным решением неоднородного уравнения служит константа в правой части (1.3.20), то общее решение неоднородно- го уравнения имеет вид:
Конкретное решение получаем при заданных начальных ус- ловиях.
Выбранное частное решение неоднородного уравнения является одновременно и его стационарным решением а точка на плоскости
и) переменной у и ее производной
и = у' является точкой равновесия.
Исследуем поведение решения уравнения (1.3.20) в окрестности точки равновесия Казалось бы, что при небольшом откло- нении от этой точки, вызванном некоторым внешним импульсным воздействием система, попавшая в точку должна после завершения переходного процесса снова возвратиться в точку равновесия . Однако, как будет показано ниже, это далеко не всегда так.
Далее для определенности будем рассматривать случай
< 0,
<0, как это показано на рис. 1.18, т.е. значение ВВП уменьши- лось, а скорость его роста с нулевой в устойчивом состоянии поме- нялась на отрицательную.
У
Рис.
Перевод системы из установившегося состояния (у
в неустойчивое состояние
+
49
Представим решение уравнения (1.3.20) при начальных условиях
в следующем виде:
тогда приращение ВВП относительно стационарного решения будет удовлетворять однородному уравнению
L
Ниже кроме поведения также изучаться эволюция ин- вестиций и потребления. Согласно модели годовые инвестиции со- стоят из постоянной части / и переменной части
За время At переменная часть составит
Перейдя к пределу при At
0, получаем
Поскольку
Тем самым текущее значение инвестиций
(1.3.24)
а текущее значение потребления как разность и инвестиций
равно соответственно
(1.3.25)
Решение однородного уравнения (1.3.23) при заданных началь- ных условиях имеет вид (1.3.21), где определяются из на- чальных условий. Характер решения зависит от типа корней харак- теристического уравнения (1.3.21), а тип последних в свою очередь обусловливается значением параметров
с. Вначале рассмотрим все возможные значения при условии, что
(1.3.26)
Следует заметить, что исследование устойчивости уравнения
(1.3.20) было схематически выполнено в [6]. В настоящей работе это исследование проводится в деталях, чтобы выявить случаи си- нергетического поведения системы.
В этом случае дискриминант характеристического уравнения положителен, а его корни
50
(1.3.27)
действительны и отрицательны, поскольку больший корень при
1
>
отрицателен.
Используя начальные условия (1.3.23), находим
Поэтому
Поскольку
Отсюда
Таким образом, система по завершении апериодического пере- ходного процесса возвращается в прежнее состояние покоя т.е. является устойчивой.
В начале переходного процесса при
< 0,
< О ВВП, а сле- довательно, потребление и инвестиции, продолжают еще некоторое время убывать, затем начинается их монотонный рост, который за- канчивается достижением их стационарных значений соответственно.
В т о р о й
В этом случае дискриминант равен нулю, и характеристическое уравнение имеет один корень кратности два, поэтому фундаментальными решениями однородного уравнения (1.3.20) яв- ляются
Следовательно, общее решение имеет вид:
51
Используя начальные условия (1.3.23), находим поэтому
Поскольку
Отсюда т.е. система возвращается в прежнее состояние покоя и, следователь- но, является устойчивой.
ВВП, потребление и инвестиции ведут себя на протяжении пе- реходного процесса аналогично их поведению в первом случае.
Т р е т и й
В этом случае дискриминант характеристического уравнения от- рицателен, поэтому его корни комплексные взаимно сопряженные:
где а <0,
>0.
Используя начальные условия находим
=
поэтому
Поскольку
Отсюда
•
Таким образом, система после затухающих гармонических коле- баний возвращается в первоначальное состояние покоя, т.е. является
52
ВВП, потребление, инвестиции при
<0,
<0 вначале про- должают убывать, затем растут и достигают установившихся значе- ний, после чего этот автоколебательный процесс продолжается с экспоненциально затухающей амплитудой вплоть до окончательного достижения этими показателями за бесконечный промежуток вре- мени своих стационарных значений.
у ч а /• =
С содержательной точки зрения этот случай означает, что весь прирост ВВП за год целиком идет на инвестиции.
При = 1 корни характеристического уравнения мнимые вза- имно сопряженные:
Используя начальные условия, находим поэтому где
Таким образом, при
= 1 система будет находиться в незату- хающих гармонических колебаниях, т.е. система неустойчива, по- скольку не возвращается в первоначальное устойчивое состояние, а потому является
На плоскости (л,
фазовых переменных траектория системы,
заданная уравнениями (1.3.28), (1.3.29), будет выглядеть как эллипс в канонической форме (рис. 1.19):
ВВП
будет колебаться в пределах +р, потребление — оста- ваться постоянным и равным стационарному значению
-I,53 а инвестиции — находиться в незатухающих автоколебаниях со- гласно уравнению
= I +
Рис.
Фазовые траектории системы при разных значениях
коэффициента акселерации
= 0,84,
= - 1 ,
= - 1 )
Это запредельный случай, поскольку на дополнительные инве- стиции (сверх постоянного значения пойдет больше, чем прирост
ВВП, и это превышение может осуществиться лишь за счет соот- ветствующего сокращения потребления.
В этом случае дискриминант характеристического уравнения от- рицателен, поэтому его корни комплексные взаимно сопряженные:
т.е. система будет находиться в гармонических автоколебаниях с экспоненциально возрастающей амплитудой, иными словами, сис- тема неустойчивая,
кая.
Потребление и инвестиции также находиться в гармони- ческих автоколебаниях с экспоненциально возрастающей амплиту- дой вокруг своих стационарных значений:
54
На рис. 1.19 для всех рассмотренных случаев показаны траекто- рии системы на плоскости фазовых переменных
и), и =
Таким образом, экономика, описываемая моделью Самуэльсо- устойчива при 0 < < 1 и обладает синергетическим свойством (неустойчива) при >
1.4. Линейные многосвязные динамические системы.
Динамическая модель Леонтьева
Многосвязной называется такая динамическая система, состояние ко- торой задается не одной, а многими выходными (фазовыми) пере- менными у\,
...,
при этом все они взаимно связаны друг с дру- гом.
Многосвязная система линейна, если производная любой фазо- вой переменной линейно зависит от фазовых переменных:
(1.4.1)
где
— входное воздействие на г'-ю фазовую переменную.
Любая односвязная линейная система может быть представлена в форме линейной многосвязной системы. Например, линейный динамический элемент порядка, заданный уравнением представляется в форме следующей линейной многосвязной систе- мы (относительно п фазовых переменных
у,
у',
—
•••,
Уп-\ = У
,=0 55
В матричном виде система уравнений (1.4.1) может быть запи-
сана в следующем виде:
(1.4.2)
Поскольку рассматриваемые системы, задаваемые уравнениями
(1.4.1) или (1.4.2), линейны, то к их исследованию может быть
применен математический аппарат, аналогичный использованному
для односвязных линейных систем.
В частности, если применить преобразование Лапласа к обеим
частям матричного
(1.4.2), то получим (напомним, что
Если начальные условия нулевые,
(1.4.3)
откуда или в развернутом виде:
где
= (sE - А) — передаточная
(в форме матрицы) многосвяз- ной системы.
Таким образом, найдя преобразование Лапласа от всех компо- нент входного вектора x(t), умножаем их затем на элементы
строки передаточной матрицы и складываем произведения, что дает
в итоге образ
фазовой переменной. Осталось к таб- лице преобразований Лапласа, чтобы получить прообраз т.е.
траекторию любой фазовой переменной, а в итоге и всю траек- торию системы y(t) при заданном входном воздействии x{t).
В передаточной матрице внедиагональные элементы
выражают перекрестные влияния фазовых переменных друг на
друга. Если бы все внедиагональные элементы были равны нулю
(т.е.
= 0,
то имело бы смысл изучать порознь п односвяз- ных линейных систем с передаточными функциями G\\(s), ...,
56
При переходе к многосвязным линейным системам все приемы анализа и синтеза систем, примененные для односвязных линейных систем, остаются в силе.
Многосвязная линейная система, как и односвязная, устойчива,
если ее реакция на импульсное воздействие в форме функции Ди- рака затухает.
Импульсное воздействие на систему выводит ее из состояния покоя, после чего система (в случае устойчивости) должна возвра- титься в состояние покоя. Исследование устойчивости сводится к исследованию поведения системы однородных дифференциальных уравнений при ненулевых начальных условиях (результат импульс- ного воздействия):
(1.4.4)
Согласно Приложению 1, общее решение однородного уравне- ния (1.4.4) имеет вид:
(1.4.5)
г д
е
— общие константы решения, которые для конкретного решения определяются на основе и начальных усло- вий
— корни характеристического уравнения
(1.4.6)
— нормированные собственные векторы матрицы
А, со- ответствующие ее собственным числам (корням харак- теристического уравнения), т.е. каждый вектор /,• явля- ется решением системы
=
Следует заметить, что форма общего решения (1.4.5) имеет силу для разных характеристических корней. Если же некоторые из них кратные, то надо внести изменения, указанные в Приложении 1.
Как видно из (1.4.5), достаточным условием устойчивости ли- нейной многосвязной системы является отрицательность действи- тельных характеристических корней.
Экономика в форме динамического межотраслевого балансакак многосвязная линейная динамическая системаСтатический межотраслевой баланс Леонтьева получается при- равниванием чистых выпусков отраслей
конечному спросу на про- дукцию отраслей1
:
Обозначения использованы такие, какие сложились в этой сфере экономической науки.
57
(1.4.7)
г
д
е
— вектор-столбец годовых валовых выпусков отраслей;
— вектор-столбец годового конечного спроса на про- дукцию отраслей;
— матрица прямых затрат, каждый элемент которой показывает, сколько единиц продукта необходимо для производства единицы /-го продукта. При этом предполагается, что не зависят от времени и мас- штаба производства.
Если теперь вектор конечных продуктов у, в каждый год t пред- ставить в виде двух векторов: инвестиционных товаров (продуктов)
и потребительских товаров, то получим модель динамического меж-
отраслевого баланса:
(1.4.8)
где
матрица приростных фондоемкостей, каждый элемент кото- рой показывает, сколько единиц продукта необходимо произвести для увеличения годового производства про- дукта на единицу;
с, — вектор-столбец конечного (непроизводственного) потребле- ния.
С экономической точки зрения соотношение (1.4.8) показывает
разделение вектора валовых выпусков (а следовательно, и каждый
его компоненты) на т р и части:
1) Ах, — текущее производственное потребление, вклю- чая амортизацию;
2
)
— капитальные затраты н а расширение произ- водства;
3) с, — конечное (непроизводственное) потребление.
Модель (1.4.7) с дискретным временем можно преобразовать в мо-
дель с непрерывным временем следующим образом:
Если обратная матрица В существует, то модель (1.4.9) может
быть приведена к виду:
58
(1.4.10)
т.е. к форме линейной многосвязной системы, входом в которую служит вектор конечного производственного потребления c{t), а вы- ходом — вектор валовых выпусков x(t).
Таким образом, для устойчивости экономики в форме динамиче- ского межотраслевого баланса достаточно (см. (1.4.6)), чтобы корни характеристического уравнения
(1.4.11)
имели отрицательные действительные части.
Например, при п = 1 соотношение (1.4.11) принимает вид:
где а — доля промежуточного продукта в валовом выпуске;
Ь — приростная фондоемкость валового выпуска,
поэтому
>
т.е. экономика неустойчива и может, вообще
b
говоря, неограниченно наращивать валовой выпуск.
Подобная картина имеет место и при п > 1, поэтому в модели баланса обязательно присутствуют ограничивающие факторы, кото- рые действуют в реальной экономике. Это прежде всего ограничен- ные трудовые ресурсы. Если известна траектория трудовых ресурсов
L(t), то текущий выпуск ограничен:
где / =
— вектор-строка отраслевых трудоемкостей.
Кроме того, другим ограничивающим фактором являются при- родные ресурсы, добыча и вовлечение которых в производственный оборот по мере исчерпания наиболее экономически эффективной их части становятся все более затруднительными и менее эффек- тивными.
1.5. Нелинейные динамические системы
Нелинейной называется система, имеющая в своем составе хотя бы один нелинейный элемент.
Метод анализа нелинейной системы зависит от вида нелинейно- сти. Существует два основных подхода к анализу нелинейных систем:
1) линеаризация системы (если это возможно) и последующее использование описанных выше методов исследования линейных динамических систем;
59
2) если линеаризация невозможна, то прямое решение нелиней- ных уравнений динамической системы (быть может, аналитическое решение, но, как правило, численное интегрирование на ЭВМ).
Рассмотрим уравнение нелинейною динамического
Данное уравнение целесообразно разрешить (если это возможно)
относительно старшей производной:
(1.5.2)
а затем перейти к системе дифференциальных уравнений относи- тельно переменных
...,
(1.5.3)
Далее необходимо получить или численное ре- шение уравнения (1.5.2) либо системы уравнений (1.5.3).
Система уравнений (1.5.3) является частным случаем общей сис- темы нелинейных уравнений (вход и его производные можно считать известными функциями времени), которая может служить описанием любой динамической нелинейной многосвязной системы
Рассмотрим вначале линеаризацию нелинейной односвязной сис- темы (нелинейной динамической модели а затем линеари- зацию нелинейной двухсвязной системы (модель цикла
Кейнса), а также прямое решение нелинейного уравнения (нелиней- ная односвязная система — модель
Нелинейная динамическая модель Кейнса
Метод линеаризации рассмотрим на примере нелинейной моде- ли Кейнса как нелинейного динамического звена первого порядка:
т.е. скорость роста ВВП является функцией ВВП и инвестиций. В ли-
нейной случае
60
Поскольку
> 0) — ВВП, х =
> 0) — инвестиции, то из экономических соображений следует, что
(1.5.6)
ду
т.е. с увеличением ВВП скорость роста замедляется, а с увели- чением инвестиций — возрастает.
Пусть при t = 0 инвестиции были равны и система находи- лась в некотором равновесном состоянии первая компонен- та которого определяется из уравнения (инвестиции считаются известными)
= 0.
При увеличении инвестиций с до / =
+ А/ (Д/ > 0) система будет удовлетворять уравнению
Представим ВВП в виде суммы постоянной и переменной частей:
Переменная часть удовлетворяет уравнению
= 0. (1.5.7)
at
Если приращение инвестиций Д/ сравнительно мало, то при эволюторном характере
7) переменная часть также сравнительно мала. Поэтому правую часть (1.5.7) можно разложить в окрестности точки ряд Тейлора, отбросив члены второго и более высоких порядков:
После перенесения члена, содержащего в левую часть и деле- ния обеих частей на получаем уравнение инерцион-
ду
ного звена:
— обобщенная предельная склонность к сбережению в начальном состоянии;
61
Из (1.5.8) вытекает, что переменная часть ВВП будет вести себя следующим образом:
а
ВВП в целом будет изменяться как функция
При этом новое равновесное состояние ВВП
Учет сбережений населения в упрощенной модели Кейнса
Выше нами была рассмотрена процедура линеаризации нели- нейной односвязной системы. Рассмотрим теперь линеаризацию нелинейной двухсвязной системы.
Для описания модели, как и ранее, введем следующие обозна- чения:
— валовой внутренний продукт (ВВП);
— процентная ставка на деньги (норма прибы- ли на деньги);
— функции спроса на инвестиции и деньги;
— функция сбережений населения;
— предложение денег (фиксированная вели- чина).
Спрос на
инвестиции растет с ростом ВВП, т.е. но па- дает с ростом процентной ставки Напротив, сбережения населения растут и при росте ВВП, и при росте процентной ставки,
Спрос на деньги растет с ростом ВВП (денег должно быть столько, чтобы их с учетом оборота хватило для покупки произве-
62 денного ВВП), но падает с ростом нормы процента, т.е.
Тогда модель делового цикла Кейнса можно записать в следую- щем виде:
(1.5.9)
(1.5.10)
а— коэффициент реакции ВВП на увеличение реальных инвестиций а > 0 ;
— коэффициент реакции процентной ставки на дефицит денег, >
Система (1.5.9) имеет естественную точку равновесия, опреде- ляемую как решение системы двух нелинейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными:
Обозначим через решение системы (1.5.10) и исследуем поведение динамической системы (1.5.9) в окрестности точки рав- новесия
Введем новые переменные как приращения старых отно- сительно координат точки равновесия:
Тогда в окрестности нулевой точки система (1.5.9) запишется в следующем виде:
(1.5.11)
а / а /
ду ду
дМ
_дМ
ду ду
где о(и) — члены более высокого порядка малости, чем
63
Система (1.5.11) — это линейная двухсвязная система с точно- стью до членов
Как описано в § 1.4, будем искать ее решение в виде
После подстановки выражений (1.5.12) в систему (1.5.11) полу- чим с точностью до о(и):
(1.5.13)
ду
Для того чтобы линейная система двух однородных алгебраиче- ских уравнений относительно имела ненулевое решение, не- обходимо, чтобы ее определитель был равен нулю:
Таким образом, получим характеристическое уравнение линеа- ризованной двухсвязной системы:
которое имеет следующее решение.
(1.5.14)
Чисто математическую сторону исследования в соответствии с
§ 1.4 выполним при следующих типовых обозначениях:
Тогда с учетом введенных типовых обозначений и при отбрасы- вании членов система из двух линейных однородных диффе- ренциальных уравнений (1.5.11) запишется следующим образом:
(1.5.15)
.0
где и — состояние системы в начальный момент времени.
Применив преобразование Лапласа с параметром s к обеим час- тям уравнения (1.5.15), получим
Отсюда
Находим по правилу обращения матрицы
(1.5.16)
Подставив выражение для обратной матрицы в (1.5.16), получаем откуда
(1.5.19)
Выражения (1.5.19) — это образ решения системы (1.5.15) при начальных условиях
\ = . Само решение — это реакция
65
линейной двухсвязной системы (1.5.15) на импульсное воздействие в начальный момент времени (8(0— дельта-функция). Если система устойчива, то после завершения переходного процесса она должна возвратиться в первоначальное нулевое
= 0,
со- стояние покоя. Если же система неустойчива, то она не вернется в первоначальное нулевое состояние.
Поведение системы, как это видно из полученного образа ре- шения (1.5.19), зависит от корней характеристического многочлена,
поскольку
Далее рассмотрим возможных случая:
1) корни мнимые:
2) корни комплексные:
3) корни действительные:
Корни мнимые. Деловой цикл Кейнса. Если
(1.5.20)
(1.5.21)
Поэтому в этом случае
Поскольку согласно табл. 1.1 прообразом является а прообразом —
то окончательно получаем:
66
(1.5.22)
Таким образом, система будет описывать замкнутый цикл, на- чиная с точки и , проходя через точку (-и ) и возвращаясь через
t — снова в точку
Этот замкнутый цикл показан на рис. 1.20.
Рис. 1.20. Деловой цикл Кейнса
Вернемся к экономической интерпретации условий возникно- вения делового цикла Кейнса. Прежде всего рассмотрим условие
(1.5.20), записав его в виде
ду
Поскольку
0, то из этого условия вытекает, что — > 0,
ду
т.е. скорость роста (по ВВП) спроса на инвестиции должна быть больше соответствующей скорости сбережений, кроме того, должно выполняться равенство
дМ
Условие отрицательности дискриминанта выполняется, по крайней мере, тогда, когда
67
т.е. скорость роста (по ВВП) реальных инвестиций выше скорости роста спроса на деньги, а скорость падения (по норме процента)
спроса на деньги выше скорости падения реальных инвестиций.
Корни комплексные. Если дискриминант характеристического уравнения (1.5.14) отрицателен, то корни уравнения комплексные взаимно сопряженные:
+
ду
где
В этом случае поведение системы зависит от знака действитель- ной части корней:
• если знак положителен, то имеют место автоколебания с экс- поненциально возрастающей амплитудой, и система удаляет- ся от точки равновесия;
• если знак отрицателен, то имеют место автоколебания с экс- поненциально убывающей амплитудой, и система возвраща- ется в точку равновесия.
Докажем это. Образ решения будет иметь вид:
поэтому образы переменных соответственно равны
(1.5.23)
Члены в квадратных скобках задают автоколебания, а множи- тель определяет экспоненциальное изменение амплитуды: при
а > 0 — ее неограниченное увеличение, при < 0 — ее уменьшение до нуля. Поведение системы в том и другом случаях показано на рис. 1.21 (пунктиром показан разделительный цикл).
Рис. 1.21. Фазовые траектории системы
при комплексных корнях характеристического уравнения
Вернемся к содержательной интерпретации условий возникно- вения рассматриваемой ситуации. Основное условие — отрицатель- ность дискриминанта, что эквивалентно неравенству
\2
(1.5.24)
Необходимым условием выполнения (1.5.24) является положи- тельность левой части данного неравенства:
69
Последнее
неравенство выполняется, по крайней мере, в том случае, когда т.е. спрос на деньги растет (по
у) быстрее, чем реальные инвестиции,
а реальные инвестиции падают (по быстрее, чем спрос на деньги.
Если дискриминант отрицателен, то поведение системы цели- ком определяется знаком действительности части корней
При т.е. когда спрос на инвестиции растет (по
у) быст- рее сбережений населения, то
а < 0, поскольку
Действительная часть корней останется отрицательной, если
В этом случае система в результате затухающих колебаний вер- нется в первоначальное состояние равновесия
Корни действительные. Если дискриминант характеристическо- го уравнения положителен, то оба корня действительны, поэтому можно разложить на про- стые дроби:
Образ решения примет вид:
Отдельные его компоненты
70
Поскольку согласно табл. 1.1 прообразом а про-
s-a
образом
Напротив, если хотя бы один из корней положителен, то имеет ме- сто неограниченное возрастание (убывание)
при uf
i
Если же
= 0, то система после экспоненциально затухающего переходного процесса перейдет в новое установившееся состояние
Поведение системы при
< О,
= 0 и
> 0 показано на рис. 1.22.
Снова вернемся к содержательной интерпретации условий воз- никновения рассматриваемой ситуации. Основное условие — поло- жительность дискриминанта, т.е. выполнение неравенства
Последнее неравенство эквивалентно следующему (в круглые скобки взяты заведомо положительные величины):
71
1.22. Фазовые траектории системы
при действительных корнях характеристического уравнения
Неравенство (1.5.26) будет выполняться, по крайней мере, в том случае, когда
(1.5.27)
Корень отрицателен, по крайней мере, тогда, когда производ- ная — становится пренебрежимо но оставаясь положитель-
ду
ной. Отрицательность "k\ следует при этом из неравенства (в круглых скобках заведомо положительные величины):
Выводы. Подведем итоги. Нелинейная динамическая система
(1.5.9) имеет точку равновесия являющуюся решением сис- темы из двух нелинейных алгебраических уравнений:
В результате некоторого импульсного воздействия система была
«выбита» из состояния равновесия в некоторое другое со-
72
стояние
r =
находящееся в окрестности равно- весного
Для изучения дальнейшего поведения системы (1.5.9) она была линеаризована, т.е. заменена приближенно линейным аналогом
(1.5.15) — линейной двухсвязной системой, в которой
=
=
ду
ду
Поведение линеаризованной системы определяется типом кор- ней характеристического уравнения
=
которое является квадратным алгебраическим уравнением:
к
2
+
+
= 0.
Если корни чисто мнимые
=
то система находится в незатухающих автоколебаниях с круговой частотой при этом ее координаты описывают замкнутый цикл, проходящий через начальную точку щ ,
Если корни комплексные взаимно сопряженные
= а ± /со),
то при а < 0 система находится в затухающих автоколебаниях и воз- вращается в точку покоя
=0,
= 0. При а > 0 система находит- ся в автоколебательном режиме с экспоненциально возрастающей амплитудой.
Если корни действительные то при
< 0 сис- тема из начального состояния возвращается в состояние покоя
=0,
= 0. При
= 0 система постепенно переходит в новое со- стояние покоя
При система неограниченно удаляется от начального состояния
Поскольку
<0,
ду
то варианты поведения реальной системы охватывают лишь часть вариантов поведения линейной двухсвязной системы, однако было показано, что возможна реализация всех описанных типов поведения.
Экономика в форме модели Солоу как односвязная
нелинейная динамическая система
Снова вернемся к рассмотрению модели Солоу, поскольку она выполняет роль базовой. Напомним, что в абсолютных показателях эта модель имеет вид:
73
где
у - В В П ;
/ — инвестиции;
С — фонд потребления;
L — число занятых;
— коэффициент износа;
v — темп прироста числа занятых.
Структурная схема этой модели уже приводилась в § 1.1. На рис. 1.23
представим ее в следующем виде.
Рис. 1.23. Структурная схема модели СолоуИз рис. 1.23 видно, что входом в систему служит число занятых
L, выходом — фонд потребления С, поэтому данная система одно- связная. В
системы имеется контур обратной связи, кото- рый образуется из нелинейного статического элемента
у =
F{K,распределительного линейного статического звена
у = I + С и инерционного звена
Поскольку в системе имеется нелинейный элемент у = ДА",
L), то система нелинейна.
Роль регулятора в контуре обратной связи выполняет распреде- лительное звено
у I + С. Обычно изучается такое долгосрочное регулирование, при котором соотношение между потреблением и накоплением постоянно. При этом где р — норма накопления.
74
В качестве альтернативного варианта рассмотрим регулирование с постоянными инвестициями /. Пусть в начальный момент t = О
система находилась в состоянии равновесия при инвестициях
Тогда установившееся решение инерционного з в е н а п о - этому
При постоянных инвестициях имеет место экстенсивный рост
ВВП у -
за счет роста числа занятых
=
Фонд потребления также растет:
Однако при этом фондовооруженность сокращается:
а удельное потребление (в расчете на одного занятого) вначале рас- тет, а затем сокращается. В самом деле, если F{K, L) — линейно- однородная функция, то удельное потребление равно:
Поскольку производная
<
v > 0)
в нуле положительна а для достаточно больших / отрицательна то в неко- торый момент t производная обратится в нуль:
Таким образом, при t > t удельное потребление начинает убы- вать. Поэтому возникает необходимость увеличить инвестиции с до некоторого нового значения / =
+
(Д/ > 0). Предположим,
что такое увеличение инвестиций произошло. Как с этого момента,
который примем за новое начало отсчета времени, изменится пове- дение системы?
75
Поскольку ОПФ удовлетворяют уравнению инерционного звена то как решение этого уравнения (которое было получено и иссле- довано в § 1.2) фонды будут изменяться следующим образом:
Поэтому ВВП как функция ОПФ и числа занятых
А/
•
будет возрастать за счет роста как фондов, так и числа занятых. По достижении фондами установившего значения рост ВВП про- должится только за счет роста числа занятых:
После этого по отмеченным выше соображениям (падение фон- довооруженности и удельного потребления) через некоторое время снова потребуется увеличить ежегодные инвестиции.
Интересно отметить, что при рассмотренном варианте регули- рования в течение всего переходного процесса норма накопления убывает:
Pit)
=
поскольку числитель постоянен, а знаменатель растет.
Управление динамическими системами
Под управлением понимается прямое воздействие на систему, направ- ленное на достижение заданного результата.
В этом заключается основное отличие управления от регулиро- вания, которое осуществляется на основе сравнения регулируемого
(выходного) показателя с задающим (входным).
Под оптимальным управлением понимается выбор из множества воз- можных такого варианта управления, который по заданному крите- рию является оптимальным.
76
Выше последовательно были исследованы все более усложняю- щиеся системы от линейных односвязных до нелинейных связных. Как видно из этого исследования, поведение любой нели- нейной многосвязной системы описывается следующими уравне- ниями движения:
у — вектор фазовых координат, задающий состояние системы;
х — вектор внешних (входных) задающих и (или) возмущающих воз- действий на систему;
— начальные значения фазовых переменных.
Если возмущающие воздействия пренебрежимо малы, некото- рые из задающих воздействий становятся управляющими, а некото- рые являются заданными известными функциями времени, то при- ходим к следующим уравнениям для управляемой динамической системы:
где — вектор управляющих параметров, и е
U — область допустимых значений управляющих параметров.
Управляющая траектория (управление)
называется допусти-
мой, если она и в точках разрыва непрерывна слева:
и, кроме того, при любом
е U.
Если задан закон управления, т.е. определена допустимая управ- ляющая траектория u(t), то уравнения для фазовых переменных принимают вид:
тем самым при любых начальных условиях
— однозначно оп- ределяется решение.
В качестве критерия оптимальности выбирается некоторый функ- ционал от фазовой и управляющей траекторий, который подлежит максимизации (минимизации):
где
= — возможное конечное значение вектора состояния.
77
Согласно принципу максимума Понтрягина, описанному в При- ложении 3, алгоритм нахождения оптимального решения задачи
(1.6.3), (1.6.4) заключается в следующем.
1. Для каждого уравнения движения (1.6.3) вводится двойствен- ная (сопряженная) переменная
2. Строится функция Гамильтона (гамильтониан):
(1.6.5)
3. Формируются уравнения для сопряженных переменных:
(1.6.6)
4. При фиксированных
t определяются значения управ- ляющих параметров, доставляющих максимум гамильтониану:
(1.6.7)
5. Из участков уравнений удовлетворяющих при каждом t со- отношению (1.6.7), формируется оптимальная управляющая траек- тория
Экономика в форме односекторной модели оптимального роста
как управляемая система
Односекторная модель экономического роста (модель Солоу),
рассмотренная в § 1.1, в абсолютных показателях имеет вид:
•
В этой модели:
ВВП;
L — число занятых;
— инвестиции;
С — фонд непроизводственного потребления;
v — темп прироста числа занятых;
— коэффициент износа (выбытия) ОПФ.
Переменные У, I,
К, L являются эндогенными (определяемыми внутри модели), коэффициенты v — экзогенными (задаваемыми извне модели).
В удельных показателях (в расчете на одного занятого) данная модель принимает вид:
78
где — ВВП в расчете на одного занятого;
— фондовооруженность;
— непроизводственное потребление в расчете на одного занято- го (удельное потребление).
Предположим теперь, что можно управлять удельным потребле- нием с целью максимизировать интегральное удельное дисконтиро- ванное потребление за длительный промежуток времени:
где б — коэффициент дисконтирования.
В этот интеграл будущие значения удельного потребления вхо- дят с экспоненциально весом.
Таким образом, приходим к следующей модели
оптимальногороста:(1.6.9)
(1.6.10)
(1.6.11)
В этой задаче выражение (1.6.9) задает критерий, (1.6.10) — об- ласть
допустимых значений управляющего параметра с — мини- мально допустимое с социальной точки зрения значение удельного потребления), (1.6.11) — уравнение для единственной фазовой пе- ременной
к. Решением данной задачи служит оптимальная допус- тимая траектория удельного потребления
c*(t), доставляющая мак- симум функционалу (1.6.9), и соответствующие ей оптимальные траектории фондовооруженности и удельного ВВП
= Вместе
k*(t) и составляют траекторию оп- тимального экономического роста.
В соответствии с алгоритмом принципа максимума Понтрягина вводим одну сопряженную переменную
(поскольку только одна фазовая переменная и строим гамильтониан:
(1.6.12)
79
Уравнение для сопряженной переменной имеет вид
Сопряженную переменную удобнее представить в виде = е q,
поэтому и для q получаем следующее уравнение:
Поскольку общее решение уравнения имеет вид:
Теперь надо максимизировать гамильтониан:
Поскольку, как видно из последнего выражения, гамильтониан линейно зависит от с с коэффициентом (1 — q), то его максимум достигается на концах отрезка [с, Дк)\ при q 1 и в некоторой промежуточной точке при q =
тем самым
(1.6.14)
При уточнении оптимального правила (1.6.14) необходимо при- нимать во внимание, что
q удовлетворяют уравнениям (1.6.11) и т.е. участки этих траекторий-решений участвуют в образо- вании правила (1.6.14).
Уравнения (1.6.11) и (1.6.13) имеют следующие стационарные решения
(1.6.15)
В частности, q = 1 является стационарным решением уравнения
(1.6.13), поэтому при q = 1 выполняется (1.6.15). Таким образом,
оптимальное правило приобретает следующий вид:
(1.6.16)
80
Исследуем теперь оптимальные траектории фазовой и сопря- женной переменных k*(t),
в предположении <
1. Вначале рассмотрим область q > 1. В этой области
= с,
поэтому уравнение для фазовой переменной принимает вид:
(1.6.17)
at
Обозначим через меньший корень уравнения
О,
графическое решение которого показано на рис. 1.24.
Поскольку тем самым поэтому при т.е. фондовооруженность убывает и удаляется от стационарного значения. Напротив, при и фондовооруженность возрастает, оставаясь левее стационарного значения Поскольку то со- гласно (1.6.13) тем самым q > 1 и непрерывно убывает, по- этому наступит такой момент t\, для которого при этом
Если же то согласно ( 1 . 6 . 1 3 ) у д а л я е т с я от стационарного значения
= 1.
2. Теперь рассмотрим область q < 1. В этом случае т.е. на потребление работают все фонды (нет ни расширения, ни
81
даже восстановления фондов), поэтому уравнение для фазовой пе- ременной примет вид:
Решение последнего уравнения —
Если
<к , то нет сходимости к стационарному значению
При фондовооруженность, убывая, в некоторый момент достигнет стационарного значения при
с
)
.
На рис. 1.25, 1.26 показаны оптимальные траектории фондово- оруженности и удельного потребления для тех случаев, когда имеет место сходимость к стационарным траекториям (верхний индекс соответствует области q > 1, верхний индекс (2) — области q < 1).
Рис. 1.25. Оптимальные траектории
фондовооруженности
Таким образом, получаем следующую картину оптимального управления. При q >1,
<
<
фондовооруженность непрерыв- но растет за счет того, что удельное потребление удерживается на предельно низком уровне. Как только в момент фондовооружен- ность достигает стационарного значения, система переходит на ста- ционарный режим: имеет место такое воспроизводство, которое по- зволяет поддерживать фондовооруженность на стационарном уров- не удельное потребление постоянно равно
82
При q < 1,
> в фонды не поступает никаких вложений,
не достигнет в момент стационарного значения после чего система входит в стационарный режим. Во всех остальных случаях система не достигает стационарного режима.
1.26. Оптимальные траектории
удельного потребления
Оптимальный рост замкнутой трехсекторной экономики, описы- ваемой в следующем разделе, представлен в Приложении 3.
Вопросы и задания
1. Что такое динамический элемент и динамическая система?
2. Почему экономика является динамической системой?
3. В чем сходство и различие понятий: «мультипликатор», «акселе- ратор», «инерционное звено», «колебательное звено»? Где эти по- нятия используются в экономике?
4. Что такое импульсная функция? Какова импульсная функция инер- ционного звена?
5. Что такое переходная функция? Какова переходная функция инер- ционного звена?
6. Какова переходная функция колебательного звена?
7. Как среагирует экономика в форме упрощенной модели Кейнса на увеличение ежегодных инвестиций с
ДО
Каков экономический смысл коэффициентов дан- ной модели?
83
8. Как среагирует экономика в форме модели на увеличение ежегодных инве- стиций с Каков экономический смысл коэф- фициентов данной модели?
9. Как изменится реакция экономики в форме динамической моде- ли Кейнса на изменение величины ежегодных инвестиций с
F =
+ Af при введении мультипликатора в контур обратной свя- зи с данной моделью?
10. Как изменится реакция экономики в форме динамической моде- ли Кейнса на изменение величины ежегодных инвестиций с до
/ =
+ А/ при введении акселератора в контур обратной связи с этой моделью?
11. Что такое передаточная функция?
12. Каковы передаточные функции акселератора,
упрощенной модели Кейнса, модели
13. Как найти передаточную функцию последовательного (параллель- ного) соединения, контура с обратной связью по передаточным функциям составляющих их
14. В каких соотношениях находятся импульсная и переходная функ- ции с передаточной функцией'.'
15. Какая линейная динамическая система является устойчивой?
16. Устойчива ли экономика в форме упрощенной модели Кейнса?
17. Устойчива ли экономика в форме модели
18. Что такое многосвязная динамическая система?
19. Можно ли говорить о передаточной функции нелинейной системы?
МОДЕЛИРОВАНИЕРАЗВИТИЯ НАЦИОНАЛЬНОЙ 
Скачать 38.01 Mb.