Глава 1. Математические методы исследования динамических экономических систем
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В настоящей главе макроэкономические процессы изучаются как переходные процессы в динамических системах, поэтому эконо- мика рассматривается как динамическая система.
Дается ориентированное на экономику математиче- ских методов исследования динамических систем, а также рассмат- риваются математические модели переходных процессов в макро- экономической системе.
Экономика как нелинейная динамическая система. Модель Солоу
Основные понятия и определения
Система — это совокупность составляющих ее элементов и взаи- мосвязей между
Социально-экономические системы — целе-
реализующие системы.
Подсистема — часть системы, реализующая цели, согласован- ные с целями системы или являющиеся частью целей системы. Если автономные цели подсистемы противоречат целям системы, то через определенное время произойдет распад системы.
Надсистема — окружающая систему среда, в которой функцио- нирует система.
Любая система обладает свойством т.е. такими свойствами, которые не присущи отдельным составляющим ее эле- ментам.
Экономическая система, понимаемая как национальная, — это сово- купность национальных хозяйственных единиц (предприятий, орга- низаций), объединенных производственно-технологическими и орга- низационно-хозяйственными
В свою очередь хозяйственная единица может иметь сложную структуру.
Экономическая система состоит из двух главных подсистем: про-
изводственной и финансово-кредитной.
Здесь приведено одно из многих определений наиболее соответствующее дальнейшему изложению.
Надсистемой экономики как системы служат экономика других стран, природа и общество.
Любая
(самоорганизующаяся) система или любая ее подсистема, любой ее элемент, в свою очередь, могут рас- сматриваться как контур обратной связи, состоящий из
управляемо-го объекта О и
органа управления (регулятора)
R, как это показано на рис. 1.1, на котором введены следующие обозначения:
х — вход в управляемый объект (например, ресурсы);
у — выход из управляемого объекта (например, продукция);
и — управляющий сигнал (выход органа управления).
Пунктиром обозначен агрегированный элемент.
Рис. Структурная схема управляемого объектаЭлементы, из которых состоит система, могут быть статическими или динамическими.
Статический элемент системы
Статический элемент без задержки (мгновенно) преобразует вход
х в
у =Иными словами, этот элемент рассматривается как «черный ящик», внутреннее устройство которого в данном
исследовании не принимается во внимание, а предметом изучения является то, как вход преобразуется в выход. Причина
х мгновенно преобразуется в следствие
у. Время подразумевается по умолчанию. Оно одинако- во для входа и выхода.
Например, в теории однопродуктовой фирмы выпуск
у задается как функция затраченных на выпуск ресурсов:
где
F(x) — вообще говоря, нелинейная производственная функция многих переменных
13 Таким образом, фирма рассматривается как
нелинейный стати-ческий элемент.Другим примером является описание экономики страны в виде макроэкономической производственной функции где
Y— валовой внутренний продукт;
К — основные производственные фонды;
L — число занятых.
Так, мультипликативная производственная функция экономики
США, расчитанная по данным за гг., имеет вид:
где
Y, К измеряются в млрд. долл., а / , - в млн. чел.
Динамический элемент системы
Динамический элемент характеризуется тем, что его выход в любой момент времени
1 зависит не только от входа в настоящий момент
t,но и от значений входа и, быть может, выхода в прошлые моменты времени
t — 1,
t — 2, ...Например, в статической форме линейная связь между нацио- нальным доходом
N и потреблением С в любой год / может быть представлена в форме (индекс времени
t опущен, но подразумевает- ся по умолчанию):
С= элемент),
где — доля фонда потребления в национальном доходе.
В динамике эта связь может быть представлена в виде:
(динамический элемент),
т.е. потребление в текущий год
1 зависит от величины национального дохода не только в настоящий год
t, но и в предшествующие годы
t - t-2.Таким образом, в динамическом элементе причина переходит в следствие не мгновенно, а с некоторым запозданием.
Динамическая системаСистема называется
динамической, если в ее составе имеется хотя бы один динамический элемент.
Пример 1.1. Экономика в форме модели Солоу как динамическаясистема. В модели Солоу экономика рассматривается как замкну- тое единое неструктурированное целое, производит один универ- сальный продукт, который может как потребляться, так и инве- стироваться.
14
В этой модели рассматривается пять макроэкономических пока- зателей (эндогенных переменных):
Y— валовой внутренний продукт (ВВП);
/ — валовые инвестиции;
С — фонд потребления;
основные производственные фонды;
L — число занятых в производственной сфере.
Первые три переменные (Y, I,
являются показателями типа потока (их значения накапливаются в течение года), переменные
L — мгновенные переменные (их значения могут быть измерены,
вообще говоря, в любой момент непрерывного времени).
Модель Солоу с дискретным временем. Модель Солоу с дискрет- ным временем задается системой уравнений вида:
(1.1.1)
где t = 0 — базовый год;
t= T — конечный год изучаемого периода;
считаются заданными.
С содержательной точки зрения эти уравнения имеют следую- щий смысл. Первое уравнение задает ВВП как производственную функцию от ресурсов — основных производственных фондов и числа занятых, второе уравнение — распределение ВВП на валовые инвестиции и потребление. Третье уравнение — это рекуррентное соотношение для определения ОПФ будущего года по значениям
ОПФ и инвестиций текущего года. В этом уравнении — коэффи- циент выбытия (износа) ОПФ в расчете на год. Данный коэффици- ент предполагается постоянным. Из уравнения видно, что инвести- ции, сделанные в текущем году, материализуются в фонды в будущем году, т.е. лаг капиталовложений равен одному году. Четвертое урав- нение — это рекуррентное соотношение для определения числа за- нятых в будущем году на основании числа занятых в текущем году.
Как видим, данное уравнение основано на гипотезе постоянства го- дового темпа прироста числа занятых v.
С точки зрения классификации элементов на статические и ди- намические, уравнения (1.1.1) (каждое из которых является форма- лизованной записью элемента) могут быть истолкованы следующим образом. Первое уравнение задает нелинейный статический элемент
(вход —
выход —
второе уравнение — линейный статиче- ский элемент (вход —
выход —
), третье уравнение — ли- нейный динамический элемент (вход —
выход —
чет- вертое уравнение — линейный динамический элемент (вход —
выход —
15
Таким образом, экономика в форме модели Солоу,
видимым образом неструктурированная, на самом деле структурируется в контур с обратной связью, показанный на рис. 1.2. Тем самым эко- номика в форме модели Солоу является
динамической системой, по- скольку в ее составе имеются динамические элементы.
1.2. Структурная схема модели СолоуСтруктурную схему, представленную на рис. 1.2, можно пере- строить с управленческой точки зрения. В самом деле, в реальной экономике одним из наиболее важных рычагов управления являет- ся распределение ВВП на накопление (валовые инвестиции) и по- требление. Поэтому статическое распределительное звено (второе уравнение (1.1.1)) на самом деле можно рассматривать как управ- ляющее. Подобный вариант структуры показан на рис. 1.3. На этой схеме первое и третье звенья вместе образуют объект управления,
второе (распределительное) звено играет роль управляющего, а вы- ход четвертого звена служит входом систему, выходом которой является потребление
Сама система из управляемого объекта и управляющего звена выделена пунктиром.
Рис. 1.3. Скорректированная структурная схема модели Солоу16 Модель Солоу с непрерывным временем. Предположим теперь, что время, измеряемое вначале с дискретностью в один год, будет из- меряться с дискретностью
At (например, полугодие, квартал, месяц,
декада, день). При дискретности в один день время можно считать практически непрерывным.
При дискретности
At модель Солоу будет выглядеть следующим образом:
(1.1.2)
где
— соответственно ВВП, инвестиции и потребление за год, начи- нающийся в момент
— выбытие фондов за время
—
At, — инвестиции за время
(t — прирост числа занятых за время
При переходе к пределу при
At 0 уравнения (1.1.2) принимают следующую форму
(уравнения модели Солоу с непрерывным временем):(1.1.3)
Данная модель может быть
представлена в такой же структурной форме, как это показано на рис. 1.2, 1.3, однако при этом уравнения
(3), (4) (1.1.1) должны быть заменены уравнениями (3), (4) (1.1.3).
Следует отметить, что модель Солоу в дискретной форме (1.1.1)
и модель Солоу в непрерывной форме (1.1.3), несомненно, являют- ся разными моделями и расчеты по ним приводят к разным, однако достаточно близким, результатам.
Как видно из примера 1.1, экономические динамические систе- мы могут быть представлены в форме конечно-разностных уравне- ний (дискретное время) и в форме дифференциальных уравнений
(непрерывное время). Между математическими методами диффе- ренциальных и конечно-разностных уравнений нет существенного различия: при решении дифференциальных уравнений на ЭВМ их приближенно заменяют на конечно-разностные; напротив, любое конечно-разностное уравнение можно приближенно заменить диф- ференциальным.
При характеристике модели Солоу обычно го- ворят, что в ней экономика представляет собой неструктурирован- ное целое и производит один агрегированный продукт, который может как потребляться, так и инвестироваться. Данное утвержде- ние можно интерпретировать как представление экономики в виде одного динамического элемента (ведь экономика неструктурирована!).
Однако при более детальном знакомстве с моделью (как это сле- дует из примера 1.1) становится ясно, что экономика в форме мо- дели Солоу состоит из четырех элементов, объединенных в контур обратной связи. Кроме того, экономика нелинейна, поскольку связь между выпуском и затратами ресурсов задается в виде нелинейной производственной функции.
Таким образом, даже агрегированное модельное представление экономики позволяет сделать вывод о том, что она является слож-
ной динамической системой.
1.2. Линейная динамическая система.
Равенство спроса и предложения:
динамическая модель Кейнса.
Модель
Основные результаты в исследовании динамических систем с непрерывным временем были получены при изучении технических систем в рамках теории автоматического регулирования. В качестве основного математического инструмента при этом использовался аппарат дифференциальных уравнений. Полученные для технических приложений результаты ныне постепенно адаптируются к экономике.
В настоящем параграфе экономические динамические системы рассматриваются как линейные динамические системы с непрерыв- ным временем. Необходимый для их изучения аппарат дифферен- циальных уравнений справочно приведен в Приложении 1. В случае нелинейности динамической системы необходимо применять либо более сложный математический аппарат для ее изучения, либо ли- неаризовать систему.
Линейный динамический элемент
Поскольку динамическая система имеет в своем составе хотя бы один динамический элемент, а статический элемент является част- ным случаем динамического, то вначале целесообразно изучить по- ведение динамического элемента.
Нелинейный динамический элемент «-го порядка задается урав- нением вида где
— входное воздействие на элемент (вход);
— реакция элемента на входное воздействие (выход);
В частности, линейный динамический элемент порядка за- дается линейным дифференциальным уравнением
Наиболее часто в практических приложениях
встречаются эле- менты нулевого порядка {мультипликатор, акселератор), первого порядка
{инерционное звено) и второго порядка. Звено второго по- рядка может быть либо
колебательным звеном, либо двумя последо- вательно соединенными инерционными звеньями.
МультипликаторМультипликатор — линейное статическое звено, задаваемое уравнением
Например, валовые инвестиции / как вход следующим образом связаны с валовым внутренним продуктом как выходом:
г д
е
— доля валовых инвестиций в ВВП;
— коэффициент усиления (мультипликатор), который пока- зывает, на сколько должен быть увеличен ВВП для увели- чения валовых инвестиций на единицу.
Таким образом, в
широком смысле мультипликатор — усилитель- ное линейное статическое звено, в
узком смысле — сам коэффициент усиления.
АкселераторАкселератор — дифференцирующее звено нулевого порядка, выход которого пропорционален скорости входа.
Например, инвестиции могут быть выражены через скорость изменения
ВВП следующим образом:
где
— коэффициент акселерации, т.е. прирост потребности в инвестициях при увеличении ВВП на единицу.
19 При дискретности времени или
=
1 (один год) то же
урав-нение выглядит следующим образом:Инерционное звеноИнерционное звено задается дифференциальным уравнением первого
порядка(1.2.2)Уравнение (1.2.2) можно привести к стандартному виду путемделения его на(1.2.3)(Содержательный смысл постоянной времени
Т будет выяснен ниже.)
Инерционное звено описывает процесс «отработки» заданного входного воздействия
x(t) (значок «» опустим), таким образом,
что скорость «отработки» пропорциональна разности между вхо- дом и выходом:
> Пример 1.2.
Модель освоения введенных производственных мощ-ностей. Обозначим через
х (х = const) введенную производственную мощность, а через
— фактическое производство на базе этой мощности в момент
t (фактическое использование мощности,
< x). Сделав предположение, что прирост производства пропор- ционален недоиспользованной мощности:
= у(х - приходим к уравнению инерционного звена:
= (1.2.4)
at уВ соответствии с теорией линейных дифференциальных уравне- ний (см. Приложение 1) общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного ре- шения неоднородного.
20
Общее решение однородного уравнения
(1.2.5)
имеет вид:
Подставив его в (1.2.5), получим:
но у О, поэтому приходим к характеристическому уравнению (от- носительно X):
Поскольку частным решением неоднородного уравнения (1.2.4)
является у = х, то общее решение этого уравнения примет вид:
Константу С находим из начального условия поэтому окончательно имеем
Переходный процесс освоения производственных мощностей,
описываемый этим решением, завершается выходом на заданный размер мощности
= х.
Общая картина переходного процесса показана на рис. 1.4.
Рис. 1.4. Переходный процесс освоения
производственных мощностей
21
При = О решение примет вид:
поэтому
=
е
т.е. постоянную времени Т можно опреде- лить как длину промежутка времени, в течение которого переходный процесс проходит основную часть («2/3) своего пути от 0 до х. •
Пример 1.3. Модель установления равновесной цены. В модели рассматривается рынок одного товара, время считается непрерыв- ным, спрос d и предложение s линейно зависят от цены:
Основное предположение модели состоит в том, что изменение цены пропорционально превышению спроса над предложением:
т.е. в случае действительного превышения спроса над предложени- ем цена возрастает, в противном случае — падает.
Из основного предположения модели вытекает следующее диф- ференциальное уравнение для цены:
т.е. процесс описывается уравнением инерционного звена с
— равновесная цена (точка пересече- ния прямых спроса и предложения). Таким образом, цена как выход инерционного звена ведет себя так, как это показано на рис. 1.4. •
Экономика в форме динамической модели Кейнса
как инерционное звено
В этой модели предполагается, что ВВП y(t + 1) в следующем году равен совокупному спросу предыдущего (текущего) года, а сово- купный спрос, состоящий из спроса на потребительские (С) и инве- стиционные товары, зависит только от ВВП текущего года:
При линейной зависимости спроса на потребительские товары от ВВП и примерном постоянстве спроса на инвестиционные товары приходим к соотношению
22
где
— минимальный объем фонда потребления;
с ( 0 < с < 1) — склонность к потреблению.
Соотношение, действующее при
дискретности времени в один год, при дискретности
At примет форму:
где (1 —
с) — склонность к накоплению.
При А/
О приходим к уравнению инерционного звена (роль по- стоянной времени выполняет величина обратная склонности к накоплению):
Последнее уравнение имеет равновесное (стационарное) решение
Если в начальный момент спрос на инвестиционные товары изменился с величины до / ( / >
то в экономике будет проис- ходить переходный процесс от значения ния
(СМ. рис. 1.4). При этом
Передаточная функцияПонятие передаточной функции динамического элемента связа- но с
операторным методом решения дифференциального уравнения.
Суть метода состоит в решения дифференциального урав- нения к решению алгебраического уравнения. В основе метода —
переход от первоначальных функций времени
x(t), y(t) к их образам
X(s), Y(s) — преобразованиям Лапласа этих функций. Необходимые о преобразованиях Лапласа даны в Приложении 1, здесь же напомним только определение преобразования Лапласа для не- которой а также формулу обратного перехода от образа к прообразу:
Скачать 38.01 Mb.