Экономико-математическое моделирование (Колемаев В.). Экономико-математическое моделирование (Колемаев В. В. А. Колемаевэкономикоматематическоемоделирование макроэкономических
 Скачать 38.01 Mb.
|
|
23 Образ производной можно найти по образу функции: поэтому (1.2.9) В частности, при При В табл. 1.1 приведены преобразования Лапласа некоторых функций. Таблица Преобразования Лапласа типовых функций 24 Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения динамического элемента (1.2.1) (пользуясь формулой (1.2.9) для об- раза производных): где откуда Передаточной функцией динамической системы (подсистемы, элемента) называется отношение образа выхода к образу входа при нулевых условиях. Из (1.2.10) видно, что передаточная функция линейного дина- мического элемента является дробно-рациональной функцией па- раметра s. Например, передаточная функция инерционного звена равна (см. (1.2.3)) В передаточной функции динамической системы (подсистемы, звена) содержатся все сведения о ее поведении при нулевых на- чальных условиях. В самом деле, по входу x(t) находим его образ X{s), затем умножаем этот образ на передаточную функцию, тем са- мым получаем образ выхода Y(s) = G(s)X(s) и, наконец, пользуясь либо табл. 1.1, либо непосредственно формулой (1.2.8), определяем выход Если начальные условия ненулевые, то к этому решению еще добавится «шлейф», образ которого — 25 Колебательное звено Колебательное звено задается дифференциальным уравнением второго порядка с отрицательным дискриминантом, составленным из коэффициентов в левой части уравнения (1.2.11) Колебательное звено описывает циклические процессы в эко- номике. Пример 1.4. система управления запасами как колебательное звено. Пусть и x(t) — фактические интен- сивности расхода и поступления товара в систему управления запа- сами в момент Поскольку интенсивность расхода заранее неиз- вестна, то всегда будет образовываться запас y(t) (если y(t) > 0, то это действительно запас, если y(t) < 0, то это дефицит). Изменение запаса следующим образом связано с интенсивностями расхода и поставок: (1.2.12) Управлять интенсивностью поставок можно только по известно- му значению запаса (ведь интенсивность расхода неизвестна!). Имеется два варианта управления: 1) изменение поставок пропорционально (с обратным знаком) величине запаса (при положительном запасе интенсивность поставок уменьшается, при отрицательном — увеличивается): 2) изменение интенсивности поставок пропорционально (с об- ратным знаком) как запасу, так и скорости его изменения: (при положительном запасе интенсивность поставок уменьшается, при отрицательном — увеличивается, при положительной скорости роста запаса интенсивность поставок уменьшается, при отрицатель- ной — увеличивается). с л у ч а й . Взяв производную от обеих частей (1.2.12) и подставив в это выражение — = получаем дифференциаль- dt ное уравнение второго порядка для запаса: 26 Это уравнение колебательного звена с 1, = 0 и дискрими- нантом d = 0. Характеристическое уравнение имеет вид (под- ставляем в однородное уравнение у = Его корни взаимно сопряженные мнимые: Пусть на вход системы, находившейся в начальный момент в состоянии равновесия х = 0, у = 0, 0, начали поступать заявки на товар с интенсивностью x(t) =x = const. Таким образом, интен- сивность расхода можно представить в виде графика, показанного на рис. 1.5. 0 Рис. 1.5. Интенсивность расхода Или алгебраически: где — функция Хэвисайда. Производная от функции Хэвисайда равна обобщенной функ- ции Дирака 5(0, которая принимает бесконечно большое значение Поскольку то в этой ситуации — = и уравнение (1.2.13) принимает вид: dt (1.2.14) 27 Решим это уравнение операторным методом, применив преоб- разование Лапласа к обеим частям уравнения: (1.2.15) где — преобразование Лапласа выхода — преобразование Лапласа от правой части (1.2.15), поскольку Из (1.2.15) находим преобразование Лапласа выхода И, наконец, по табл. 1.1 восстанавливаем выход: х . v(t) Таким образом, в первом случае при постоянной интенсивности расхода х запас будет испытывать незатухающие гармонические колебания с амплитудой — (рис. 1.6). При таких незатухающих колебаниях промежутки, когда имеет- ся действительный запас > 0, будут чередоваться с промежутка- ми дефицита < О, что крайне отрицательно скажется на финан- совом положении организации, отвечающей за систему управления запасами. Для того чтобы система управления запасами снова во- шла в состояние равновесия, необходимо учитывать не только ве- личину запаса но и скорость его изменения —, как это и пре- dt дусмотрено во втором случае. Рис. 1.6. Поведение запаса при поставке, пропорциональной запасу 28 В т о р о й Снова, как и в первом случае, берем про- изводную от обеих частей (1.2.12) и подставляем в это выражение Получаем дифференциальное уравнение второ- го порядка для запаса: Уравнение (1.2.16) отличается от (1.2.13) наличием в левой час- dy ти члена пропорционального скорости изменения запаса. dt Характеристическое уравнение имеет вид: Его корни взаимно сопряженные комплексные с отрицательной действительной частью: Если с момента времени t = 0 на вход системы стали поступать заявки на товар с постоянной интенсивностью = х — const, то уравнение (1.2.16), описывающее поведение системы, принимает вид Снова решим это уравнение операторным методом. Имеем: откуда Таким образом, поведение запаса описывается затухающими гар- моническими колебаниями с амплитудой — , график которых приведен на рис. 1.7. • 29 Рис. Поведение запаса при поставке, пропорциональной запасу и скорости его изменения Экономика в форме модели Самуэльсона- Хикса как линейное динамическое звено второго порядка Модель отличается от динамической моде- ли Кейнса введением в соотношение (1.2.6) акселератора (далее под у будем понимать ВВП, поскольку большая буква Y используется для обозначения образа выхода): где (О < < 1) — коэффициент акселерации, показывающий, на сколько возрастут инвестиции, если ВВП возрастет на единицу. С учетом введенного соотношения линеаризованная модель Са- примет вид: Последнее соотношение при дискретности At имеет вид: При переходе к непрерывному времени, т.е. при Л/ 0, окон- чательно получаем уравнение линейного динамического звена вто- рого порядка: 30 Данное уравнение имеет частное стационарное решение, по форме такое же, как и в модели Кейнса: Общее решение уравнения равно сумме частного и общего реше- ний однородного уравнения: Общее решение последнего уравнения является (см. Приложе- ние 1) линейной комбинацией экспонент параметры которых удовлетворяют характеристическому уравнению Исследование этого решения и тем самым исследование пове- дения экономики в форме модели приведено в § 1.3. Характеристики динамического звена Все сведения о возможных вариантах поведения динамического звена содержатся в его уравнении. Эти же сведения в закодирован- ном виде содержат характеристики звена. Основной характеристи- кой звена является передаточная функция. Выше было показано, как с помощью передаточной функции по заданному входу найти выход. Точно такое же назначение имеют и другие характеристики. Импульсной характеристикой (функцией) называется ответная (вы- ходная) реакция динамического звена на импульсное входное воздей- ствие в форме функции Дирака Поскольку образ функции Дирака то образ импульсной характеристики Поэтому сама импульсная характеристика где — обратное преобразование Лапласа. 31 Переходной характеристикой (функцией) называется ответная реакция динамического звена на ступенчатое входное воздействие в форме функ- ции Хэвисайда Поскольку образ функции Хэвисайда то образ переходной функции: s Поэтому сама переходная функция Частотная характеристика задает установившуюся реакцию динами- ческого звена в форме вынужденных автоколебаний на синусоидаль- ное входное воздействие sin и равна Амплитуда выходных колебаний равна а сдвиг по фазе = Пример 1.5. Характеристики инерционного звена. Напомним, что инерционное звено задается уравнением (1.2.3): передаточная функция которого Найдем импульсную характеристику звена, т.е. реакцию на им- пульсное входное воздействие в форме функции Дирака По- скольку образ характеристики равен передаточной функции + Ts то по табл. 1.1 находим прообраз, т.е. импульсную функцию инер- ционного звена 32 Итак, если на вход находящегося в начальный момент в покое инерционного звена подано импульсное воздействие, то после зату- хающего экспоненциально переходного процесса звено снова возвра- тится в состояние покоя. График переходного процесса (импульсной функции) показан на рис. 1.8. 0 Рис. 1.8. Импульсная функция инерционного звена Переходная функция как реакция на единичное ступенчатое воз- действие имеет своим образом (см. выше) поэтому сама переходная функция как прооораз равна (вновь ис- пользуем табл. 1.1) Следовательно, после завершения экспоненциального переход- ного процесса инерционное звено перейдет в новое состояние рав- новесия График переходной функции инерционного звена представлен на рис. 1.9. Рис. 1.9. Переходная функция инерционного звена 33 Теперь найдем реакцию инерционного звена на синусоидальное входное воздействие sin со/ по табл. 1.1: поэтому образ выхода Последнее выражение можно представить в виде и по табл. 1.1 найти его прообраз (реакцию системы на синусоидаль- ное воздействие): Первое слагаемое — быстро затухающий экспоненциальный пе- реходный процесс, второе и третье слагаемые — вынужденные гар- монические колебания. Итак, в результате указанного воздействия на выходе по заверше- нии переходного процесса установятся вынужденные автоколебания: амплитуда которых равна , т.е. меньше амплитуды входных колебаний в раз, а сдвиг по фазе равен = На рис. 1.10 показаны входное синусоидальное воздействие и выходные установившиеся гармонические колебания с амплитудой и сдвигом по фазе - Все сведения об амплитуде и сдвиге по фазе вынужденных ав- токолебаний по отношению к синусоидальному входу содержатся в частотной характеристике. Действительно, 34 поэтому радиус частотной характеристики (корень квадратный из суммы квадратов действительной и минимальной частей) равен , т.е. амплитуде выхода, а аргумент — сдвигу по фазе ср. • 1.10. Установившиеся автоколебания на выходе инерционного звена в ответ на входное гармоническое воздействие 1.3. Анализ и синтез динамических систем. Устойчивость динамических систем. Устойчивость и синергетика модели Анализ динамической системы — это разбиение системы на элементы и установление связей между ними. Существуют основных вида соединений (связей) между элементами динамической системы: 1) последовательное соединение (рис. 1.11) — вход соединения яв- ляется входом первого элемента, выход первого элемента — входом второго элемента, выход второго элемента — выходом соединения; 2) параллельное соединение с суммирующим звеном (рис. 1.12) — вход соединения является одновременно и входом каждого из эле- ментов, сумма (разность) выходов элементов — выход соединения; 3) замкнутый контур с обратной связью (рис. 1.13) — в контуре имеются управляемый и управляющий элементы и суммирующее звено, вход в контур в сумме (разности) с выходом управляющего 35 элемента поступает на вход управляемого элемента, выход послед- него является выходом соединения. 1.11. Последовательное соединение Рис. Параллельное соединение Рис. Контур обратной связи Синтез динамической системы заключается в построении (проектиро- вании) системы с требуемыми свойствами либо возможно близкими к требуемым. Например, наиболее частым и важным является требование ус- тойчивости системы. Первый шаг в этом направлении — определить характеристики системы по характеристикам составляющих ее элемен- тов. Решив эту первую задачу, можно подойти и к решению основной: меняя состав системы, взаимосвязи между элементами и характери- 36 стики элементов, можно из всех возможных вариантов выбрать та- кую систему, характеристики которой ближе всего к желаемым. Поскольку основными соединениями элементов в системе явля- ются последовательное, параллельное и контур с обратной связью, то прежде всего необходимо уметь находить характеристики этих соединений. Но все характеристики элементов и систем определя- ются по передаточной функции, поэтому задача сводится к нахож- дению передаточной функции соединения по передаточным функ- циям составляющих его звеньев. Передаточная функция последовательного соединения Последовательное соединение показано на рис. Согласно определению передаточная функция есть отношение образов выхо- да и входа, поэтому Таким образом, передаточная функция последовательно соединен- ных элементов равна произведению их передаточных функций. Пример 1.6. Модель ввода и освоения производственных мощно- стей. Выше было показано, что процесс освоения введенных про- изводственных мощностей можно описать в форме инерционного звена. Если принять, что процесс ввода мощностей также можно описать с помощью инерционного звена, то объединенный процесс ввода и освоения мощностей, таким образом, подобен двум после- довательно соединенным инерционным звеньям с постоянными времени Т\, где — длительности соответственно ввода и освоения примерно двух третей мощности. Передаточная функция этого последовательного соединения Отсюда поскольку где х — объем и мощности. Представим дробно-рациональное выражение образа выхода в виде отдельных простых дробей: 37 Коэффициенты дробей определим при приведении их к общему знаменателю: откуда (приравниваем нулю коэффициенты при s s 2 , а коэффици- ент при — единице) - Теперь находим по табл. 1.1 прообраз каждой из простых дробей. Окончательно получаем следующее выражение для введенной и освоенной мощности: которое достаточно быстро сходится к полной мощности х. • Передаточная функция параллельного соединения Из рис. 1.12 видим, что (1.3.2) Таким образом, передаточная функция параллельно соединенных элементов с суммирующим звеном равна сумме (разности) передаточ- ных функций элементов. Передаточная функция замкнутого контура с обратной связью Из рис. 1.13 38 поэтому Y(s) = Отсюда = X(s) Введение мультипликатора в контур обратной связи с динамической моделью Напомним, что динамическая модель Кейнса имеет вид 1 : (1.3.4) где у — ВВП; С — фиксированная часть фонда потребления; / — инвестиции; с — предельная склонность к потреблению (0 < с < 1); — предельная склонность к накоплению. Разделив левую и правую части уравнения (1.3.4) на (1 — с), по- лучим: (1.3.5) г д е — постоянная времени инерционного звена, обратно про- порциональная склонности к накоплению; — установившееся значение ВВП для данного объема инве- стиций /. Рассмотрим поведение экономики в форме инерционного звена которая в начальный момент = 0 находилась в состоянии равновесия после чего инвестиции увеличились с до /= + Д/ (Д/> 0). Тогда правую часть (1.3.5) можно предста- вить в виде двух слагаемых: В свою очередь, решение уравнения (1.3.5) можно разложить на две соответствующие части: где — переменная часть переходного процесса y(t). Выходная переменная модели обозначена малой буквой у, поскольку большая буква Y предназначена для образа. 39 Переменная удовлетворяет уравнению (1.3.6) Его решение было найдено в § 1.2: Поэтому по завершении переходного процесса экономика дей- ствительно перейдет в состояние Исследуем теперь, как изменится поведение экономики при ее включении в контур обратной связи с мультипликатором. Контур обратной связи, образованный из модели Кейнса и муль- типликатора с коэффициентом усиления а > показан на рис. 1.14. Если выход мультипликатора добавляется к входному воздействию, то имеет место положительная обратная связь, если вычитается — отрицательная. Мультипликатор в контуре обратной связи с динамической моделью Кейнса Используя выражение (1.3.3), находим передаточную функция контура с обратной связью: 1 40 Знак «—» при а в знаменателе (1.3.7) соответствует положитель- ной обратной связи, знак «+» — отрицательной обратной связи. Поскольку образ входа то можно определить образ выхода с помощью передаточной функции Следует заметить, что те же самые результаты можно получить, погрузив мультипликатор внутрь модели Кейнса. В самом деле, из рис. 1.14 видно, что входом в инерционное звено служит + ат|, т.е. сумма или разность входа в систему и выхода из нее, про- пущенного через мультипликатор Поэтому приращение ВВП удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению: а решение данного уравнения как раз и имеет вид (1,3.8). После завершения переходного процесса решение (1.3.9) при- нимает вид (стационарное решение): Значения ВВП, инвестиций и потребления в установившемся ре- жиме при первоначальных инвестициях инвестициях / = + Д/, а также при введении положительной и отрицательной обратных свя- зей приведены в табл. 41 Таблица 1.2. Значения ВВП, инвестиций и потребления Таким образом, введение мультипликатора (0<а<1) в контур положительной обратной связи с моделью Кейнса приводит к более высоким приростам ВВП, инвестиций и потребления, однако при этом переходный процесс имеет более длительный характер по сравнению с процессом при отсутствии обратной связи, поскольку при 0 < а < 1 Напротив, при введении отрицательной обратной связи прирос- ты ВВП, инвестиций и потребления ниже, однако переходный про- цесс протекает быстрее, поскольку при а > О |