Экономико-математическое моделирование (Колемаев В.). Экономико-математическое моделирование (Колемаев В. В. А. Колемаевэкономикоматематическоемоделирование макроэкономических
 Скачать 38.01 Mb.
|
|
§ 2.2), поэтому Уравнения (3.3.5) имеют следующее решение: 120 Поскольку параметры распределения труда связаны двумя соотношениями (3.3.1), то переменные являются функ- циями свободной переменной (0о = поэтому и функции в решении (3.3.6) также являются функциями Свободная переменная меняется в диапазоне где = 0 характеризует состояние экономики как «производство для производства» (производство предметов потребления отсутст- вует), а = 1 соответствует = 0, что означает полное отсутствие фондосоздающего производства, при этом = i = т.е. это ситуация отсутствия какого-либо производства вообще. Характер изменений на всем диапазоне изменения сво- бодной переменной определяется знаками функций > Поскольку то всегда имеет противоположный знак по отношению к Поскольку - = ft (l) = - ( 1 - Д) < но может иметь как положительный, так и отрицательный знак, то имеется два варианта поведения функции 3.1, 3.2). Рис. Поведение функции Поведение В обоих вариантах функция некоторой точке обра- щается в нуль, т.е. это точка перемены знака функции с положи- тельного на отрицательный. В точке выполняется следующее условие 121 т.е. после выделения материальному сектору доли труда = 8о( оставшаяся доля 1 — распределяется между и потребительским секторами таким образом, что доля потребитель- ского сектора равна его скорректированной доле А в распределении товарной продукции материального сектора. Все это дает основание считать точку границей между трудо- недостаточной и трудоизбыточной областями потребительского сек- тора: при < < — 8о)) потребительский сектор трудоне- достаточен, а при > Д(1 — — трудоизбыточен. Таким образом, если потребительский сектор трудонедостаточен согласно (3.3.6) при > происходит пе- релив труда из фондосоздающего в материальный и потребитель- ский секторы. Если же потребительский сектор трудодостаточен, то при донорами потребительского сектора становятся и мате- риальный, и фондосоздающий секторы. Подставив решение (3.3.6) в соотношения (3.3.3), получим: Динамика сбалансированных состояний по инвестиционным товарам и материалам Исследуется вся картина сбалансированного изменения состоя- ний трехсекторной экономики по инвестиционным товарам и ма- териалам при фиксированном распределении труда > О, + + = 1. Таким образом, любое состояние из рассматривае- мого множества удовлетворяет всем трем натуральным балансам, но один баланс рассматривается в статике, а два — в динамике. Эти состояния определяются двумя уравнениями: (3.3.8) поэтому из трех параметров , распределения инвестиционных ресурсов может свободно меняться только один (далее примем за свободную переменную Если производственные функции секторов являются функциями то удельные выпуски секторов будут иметь вид: (3.3.9) Из соотношений (3.3.9) находим дифференциалы удельных вы- пусков: , В дифференциалах уравнения (3.3.8) запишутся в следующей форме: Подставляя выражения (3.3.10) во второе уравнение системы (3.3.11), получим: (3.3.11) 123 Последнее равенство после деления частей на (1 — и приведения подобных членов принимает вид: Таким образом, система (3.3.11) приобрела следующую оконча- тельную форму: Уравнения имеют следующее решение: (3.3.13) Поскольку параметры распределения инвестиционных товаров связаны двумя соотношениями (3.3.8), то переменные являют- ся функциями свободной переменной поэтому и функции q\, в решении (3.3.13) являются функциями Свободная переменная меняется в диапазоне где = 0 характеризует состояние экономики как «производство для производства» (производство предметов потребления отсутствует), а — 1 соответствует = 0, что означает ситуацию «деиндустриа- лизация, полный коллапс производства», полное отсутствие всякого производства вообще. Характер изменений на всем диапазоне изменения свобод- ной переменной определяется знаками функций Поскольку = 0, = 0, = то 124 Поскольку 0, = +00, - < 0, то знак может быть как положительным, так и отрицательным, по- этому в некоторой точке видим, функции имеют характер изменения на интервале 0 < < 1, что и интервале 0 < < 1. Итак, при = и > 0 доля сектора в расходе ин- вестиционных товаров сокращается, материального и потребитель- ского — возрастает, а при < < и > 0 доля потребитель- ского возрастает за счет сокращения долей материального и фондо- создающего секторов. Динамика сбалансированных состояний с одинаковыми пропорциями в распределении трудовых и инвестиционных ресурсов Этот случай представляет особый интерес по двум причинам: 1) в такой ситуации наиболее четко видна уникальная роль фондо- создающего сектора в развитии всей экономики; 2) в этом случае удается в явном виде найти зависимости удельных выпусков секто- ров от свободной переменой и, следовательно, установить всю картину изменения производства в зависимости от доли ресурсов, направляемых в сектор. Одинаковость пропорций означает, что для каждого сектора его доли в трудовых и инвестиционных ресурсах одинаковы (поэтому можно будет говорить о доле каждого сектора в ресурсах, имея в виду и трудовые, и инвестиционные): Поскольку свободная переменная — доля фондосоздающего сектора в ресурсах, то остаточная доля 1 - приходится на матери- альный и потребительский секторы. Обозначив через h долю потре- бительского сектора в остаточных ресурсах, приходим к следующему распределению трудовых и инвестиционных ресурсов: Распределение (3.3.14) удовлетворяет по построению трудовому и инвестиционному балансам, а надлежащим выбором h , как пока- зано ниже, можно добиться выполнения и материального баланса. При распределении (3.3.14) удельные выпуски секторов соответст- венно равны: 125 (3.3.15) Подставив значения удельных в уравнение материально- го баланса, получим следующее линейное уравнение относительно решение которого имеет вид: (3.3.16) Функция убывает, начиная со значения = 1 и кончая нулевым значением в точке определяемой из уравнения (3.3.17) Подставив решение (3.3.16) в выражения (3.3.15) удельных вы- пусков секторов, получим удельные выпуски как функции от сво- бодной переменной в сбалансированных стационарных состоя- ниях экономики: (3.3.18) 126 Пример 3.2. Траектории удельных выпусков секторов. Подставив данные примера 3.1 в формулы (3.3.16), (3.3.18), получим общую картину сбалансированного изменения удельных выпусков секторов в зависимости от доли ресурсов направляемых в фондо- создающий сектор (табл. рис. 3.3, 3.4). Таблица 3.3. Доли секторов в ресурсах и удельные выпуски секторов (тыс. 3.3. Изменение долей (в ресурсах) материального и потребительского секторов Из табл. 3.3 и графиков на рис. 3.4 видно, что при движении по траектории с одинаковыми пропорциями в распределении ресурсов в направлении возрастания доли фондосоздающего сектора в ре- сурсах происходит быстрое возрастание удельных выпусков средств производства, в то время как удельное производство предметов по- В ценах 1983 г. 127 требления сначала сравнительно медленно растет вплоть до дости- жения максимального значения при =0,37, после чего начинается его ускоряющееся падение, которое завершается достижением нулево- го уровня при = 0,59 (ситуация «производство для производства»). Рис. 3.4. Изменение удельных выпусков секторов руб./чел.) Таблица 3.4. Прирост производства средств производства, обеспечивающий прирост производства предметов потребления на 1 руб. (руб.) Однако из практических соображений достигать оптимального состояния =0,37 нецелесообразно, так как при движении к , начиная с = 0, каждый новый рубль прироста удельного выпуска предметов потребления требует все большею прироста удельного выпуска средств производства, что видно из табл. 3.4. • 128 Альтернативный способ определения технологического оптимума Как отмечалось выше, шесть структурных переменных 9 = (0о, s = связаны тремя натуральными балансами, по- этому в их изменении имеется три степени свободы. Технологиче- ский оптимум определяется в результате решения задачи нелинейно- го программирования (3.2.1)—(3.2.5). В § 3.2 было найдено субопти- мальное решение этой задачи. Альтернативный способ определения технологического оптиму- ма состоит в сведении задачи нелинейного программирования к за- даче на безусловный экстремум и базируется на следующей форме распределения ресурсов: (3.3.19) где h — доля потребительского сектора в инвестиционных ресурсах, дос- тавшихся материальному и потребительскому секторам, О < h < 1; / — относительная трудообеспеченность инвестиционных ресурсов, на- правляемых в потребительский сектор, 0 < / < — . h Распределение (3.3.19) при фиксированных значениях удов- летворяет трудовому и инвестиционному балансам. Подбором h мож- но добиться выполнения и материального баланса. При такой фор- ме распределения роль свободных переменных выполняют /, В случае распределения (3.3.19) удельные выпуски секторов примут вид: (3.3.20) поэтому материальный баланс приобретет следующую форму: 129 Таким образом, в случае распределения (3.3.19) задача опреде- ления технологического оптимума сводится к следующей задаче: найти при выполнении материального баланса (3.3.21) и условий Если при А = 0 левая часть (3.3.21) превышает правую, т.е. то уравнение материального баланса (3.3.21) имеет единственное решение (3.3.23) поскольку левая часть монотонно убывает, а правая часть линейно возрастает с ростом А. Подставив зависимость (3.3.23) в функцию цели, приходим к сле- дующей задаче на безусловный максимум: (3.3.24) Для решения последней задачи применяем обычные необходи- мые условия безусловного экстремума: Частные производные остаточной доли А определяем по урав- нению материального баланса: 130 1-/А dh 1-й dl dh h dl 5A 1/A 1 й l - откуда находим dh 1 5й a? 1 (3.3.27) Подставив найденные значения производных в (3.3.25), полу- чим следующие уравнения для определения координат точки техно- логического оптимума: Полученная система уравнений (3.3.28) нелинейна относитель- но неизвестных /, поскольку удельные выпуски нелинейны относительно этих неизвестных. Однако в явном виде первое урав- нение является линейной функцией относительно неизвестного /, второе уравнение — относительно третье относительно s\. Воспользовавшись этим обстоятельством, разрешим каждое уравне- ние относительно соответствующей переменной: (3.3.29) доля сектора в расходе товарной продукции материального сектора. Соотношения (3.3.29) — неявное решение уравнений (3.3.28), во всяком случае, это эквивалентная форма данных уравнений, более пригодная для анализа. Например, из первого соотношения (3.3.29) следует, что /*< 1. Вместе с тем эта эквивалентная форма пригодна для построения итерационной процедуры поиска решения для каж- дого конкретного набора значений экзогенных параметров. Следует обратить внимание на тот факт, что попытка начать итерационную процедуру со значений , значительно отли- чающихся от координат точки технологического оптимума, зачас- тую приводит к выходу за пределы допустимой области и прерыва- нию процедуры. Чтобы избежать подобной ситуации, необходимо подобрать на- чальное значение как можно ближе к точке технологического оп- тимума. Для этого вначале продвигаемся по траектории с одинако- выми пропорциями в распределении ресурсов до точки локального максимума, которую и принимаем за начальную, после чего осуще- ствляем итерационную процедуру последовательно по параметрам /, как это показано в примере 3.3. > Пример 3.3. Определение точки технологического оптимума альтернативным способом. Применим альтернативный способ оп- ределения технологического оптимума для тех же исходных данных, что и в примерах 3.1, 3.2. В примере 3.2 был найден локальный максимум при движении по траектории с одинаковыми пропорциями при определении ре- сурсов. Координаты (свободные) точки локального максимума при- нимаем за начальные значения свободных переменных: /°=1. При этих значениях свободных удельные выпуски равны =0,48): =55,6, =28,0, поэтому и далее последовательным применением этих формул приходим к глобальному максимуму уже на 4-й итерации, как это показано в табл. 3.5 и на рис. 3.5 (цифрами указаны номера итераций). Глобальный максимум достигается при следующих значениях свободных переменных: /*=0,94, При этом h = поэтому точка глобального максимума имеет следующие координаты: 02=0,35, = 0,275, = 0,45, = 0,275. Таблица 3.5. Значения свободных переменных и удельных выпусков по итерациям руб./чел.) Номер итерации 1 h г 0 1,000 0,370 0,370 0,484 55,600 67,000 0,938 0,573 1 1,000 0,250 0,370 0,538 45,500 45,300 28,300 1,164 0,474 2 1,000 0,250 0,450 0,486 57,400 68,700 29,300 0,946 0,569 3 1,000 0,260 0,450 0,480 58,700 71,300 29,300 0,923 0,576 4 0,94 0,25 0,45 0,50 57,70 69,20 29,30 — — 3.5. Итерационное движение на плоскости в направлении точки глобального максимума Глобальный максимум равен 29,3 тыс. руб./чел., в то время как субоптимальное значение — 28,8 тыс. руб./чел. • Из проведенного теоретического исследования стационарных сбалансированных состояний трехсекторной экономики и из при- 134 меров 3.1—3.3 видно, что удельные выпуски секторов как функции долей ресурсов направляемых в фондосоздающий сектор, ве- дут себя следующим образом: • удельные выпуски секторов, производящих средства произ- водства, монотонно растут по каждой переменной; • удельный выпуск предметов потребления по каждой пере- менной имеет локальный максимум, при этом вся поверх- ность удельного выпуска имеет куполообразный характер с по- логими склонами. Поэтому продвижение к точке глобального максимума сопро- вождается все большими расходами (выпуском) средств производ- ства на каждую новую единицу выпуска предметов потребления. Таким образом, нецелесообразно вплотную приближаться к точке глобального максимума. Однако знать эту точку необходимо для то- го, чтобы суметь определить направление наиболее целесообразного движения в пространстве свободных переменных. Вопросы и задания 1. Почему субоптимальное решение задачи на максимум удельного выпуска предметов потребления, найденное в § 3.2, не является глобальным максимумом? 2. Изобразите на плоскости траекторию движения к субоп- тимальной точке. 3. Найдите локальный максимум удельного выпуска предметов по- требления при движении в пространстве ресурсов по траектории с фиксированными пропорциями в долях ресурсов, направляе- мых в фондосоздающий сектор — = у = const, / = 1 . ) 4. При / = 1 аналитически определите границу допустимой области на плоскости МОДЕЛИРОВАНИЕ В этой главе предпринимается попытка объяснить механизм воз- никновения и самоподдержания инфляции с помощью трехсскторной модели экономики. В § 4.1 раскрывается сущность инфляции и описываются классиче- ские приемы ее исследования, основанные на главном макроэкономиче- ском уравнении, согласно которому денег и спрос на них находятся в динамическом равновесии. Это уравнение справедливо, ко- гда экономика рассматривается как неструктурированное целое. В последующих параграфах представлен подход автора к выявле- нию механизма инфляции в рамках модели экономики. В этом случае экономика структурирована, поэтому основное макроэко- номическое уравнение распадается на три: баланс платежноспособного спроса и предложения потребительских товаров и два стоимостных ба- ланса секторов, производящих средства производства. Кроме того, име- ют место три натуральных баланса: трудовой, инвестиционный и мате- риальный. Таким образом, картина явления получается более детализи- рованной, а потому и более реалистичной. Исследование проводится в стационарном состоянии. В § 4.2 исследуется один виток инфляции, разделенный на два полу- витка. Началом первого полувитка служит повышение цен на потребитель- ские товары, началом второго — повышение цеп на средства производства. В § 4.3 устанавливаются условия, при выполнении которых инфляция уси- ливается, а при их размывании — ослабляется и сходит на нет. В § 4.4 ис- следуется влияние инфляции на производство и потребление. 4.1. Модели макроспроса и предложения денег. Сущность инфляции Под инфляцией понимается обесценивание денег, когда на ту же са- мую сумму некоторое время спустя можно купить меньше товара. Инфляция возникает вследствие нарушения баланса между товар- ным и денежным потоками. Внешним признаком инфляции является непрерывный рост общего уровня цен, охватывающий все рынки и все товары, в течение достаточно длительного промежутка времени. Для обеспечения баланса товаров и денег общая сумма денег в стране с учетом их оборачиваемости за год должна быть такова, 136 чтобы можно было выкупить произведенные за год инвестицион- ные и потребительские товары (стоимость расходуемых материалов входит в стоимость упомянутых товаров), т.е. валовой внутренний продукт (ВВП). Именно это положение реализуется в основном макроэкономическом уравнении Mv = (4.1.1) где М — общая масса денег, находящихся в обращении; v — скорость оборота денег за год; р — общий уровень цен (например, индекс цен по отношению к ценам базового года); Y — натуральное значение ВВП (например, ВВП в неизмененных це- нах базового года). Разумеется, необходимо учитывать выпуск облигаций, состоя- ние рынка ценных бумаг, внешнюю торговлю. В таком случае со- отношение (4.1.1) обычно записывается в форме М = kpY, (4.1.2) где — коэффициент, зависящий от скорости оборота денег (обратно про- порционально) и других перечисленных факторов. При анализе инфляции обычно пользуются основным макроэко- номическим уравнением в форме (4.1.1). Для включения инфляци- онных процессов достаточно, чтобы совокупный спрос превосходил совокупное предложение. По источникам этого превышения инфля- цию подразделяют на инфляцию спроса и инфляцию предложения. Инфляция спроса возникает тогда, когда темпы роста совокупного спроса превышают темпы роста ВВП. Увеличение совокупного спроса может произойти за счет роста ряда показателей, главными из которых являются фонд потребле- ния, инвестиции, государственные расходы, чистый экспорт. Из уравнения (4.1.1) видно, что при увеличении левой части (как за счет роста скорости оборота денег, так и за счет увеличения денеж- ной массы) правая часть при фиксированном объеме выпуска това- ров Y может возрасти лишь за счет роста цен. Известный монетарист М. Фридман по этому поводу писал, что инфляция — «денежный феномен, вызванный избытком денег по отношению к выпуску продукции». По представлениям другого мо- нетариста А. Мельтцера, «средний темп инфляции устанавливается в зависимости от среднего темпа роста денежной массы, как это имеет место сейчас, так и повсюду в прошлом». Инфляция предложения вызывается ростом издержек производства и, как следствие, сокращением совокупного предложения. 137 Два самых важных источника роста издержек повышение номинальной заработной платы и увеличение цен на сырье и энер- гоносители. Если денежная масса и объем выпуска товаров оста- лись неизменными, то единственным средством для обеспечения равенства (4.1.1) служит рост цен. В реальной экономике два названных типа инфляции разделить нельзя, они присутствуют одновременно. Большинство экономи- стов придерживается следующей точки зрения на эти два типа ин- фляции. Инфляция спроса существует до тех пор, пока существуют чрезмерные общие расходы. Инфляция, вызванная ростом издер- жек, сама себя ограничивает и постепенно сходит на нет, поскольку сопровождается сокращением выпуска товаров и занятости, что уменьшает возможности дальнейшего увеличения издержек. Что касается влияния инфляции на производство, то существу- ют две точки зрения на этот счет. Кейнсианцы считают, что кон- тролируемая инфляция — источник роста. По мнению монетари- стов, контролируемая инфляция вызывает краткосрочный рост про- изводства, который потом сходит на нет. В основе и того и другого подходов лежит допущение, что поведение цен несколько запазды- вает по отношению к изменению денежной массы. Рассуждения кейнсианцев базируются на уравнении, вытекаю- щем из условия максимума прибыли на национальном уровне: (4.1.3) р — уровень цен; — производственная функция национальной экономики; — норма прибыли, примерно равная процентной ставке. Если денег стало больше, то процентная ставка должна умень- шиться. Следовательно, при гипотезе инерционности цен должен согласно (4.1.3) уменьшиться предельный продукт капитала —, а дК для неоклассических производственных функций предельный про- дукт уменьшается, если капитал возрастает. Таким образом, падение нормы прибыли приводит к падению предельного продукта капитала, что с необходимостью предполагает увеличение спроса на инвестиционные товары. Итак, сравнительно небольшое увеличение денежной массы (такое, что некоторое время сохраняется прежний уровень цен) приводит к росту спроса на ин- вестиционные товары и соответственно к росту производства и со- кращению безработицы. Рассуждения монетаристов базируются на основном макроэко- номическом уравнении (4.1.1) и уравнении ценообразования (цены определяются объемом продукции, выпущенной месяц назад): 138 где я, rc_j — темп прироста цен (уровень инфляции) в текущий и прошлый моменты времени; Y,Y — текущий и установившийся объемы ВВП. В логарифмах уравнение (4.1.1) с учетом = = = log запишется в следующем виде: Взяв разность этих уравнений в смежные моменты времени, по- лучим: где я = (р — — темп роста цен, или уровень инфляции; т = — темп роста денежной массы. Система уравнений (4.1.4), (4.1.5) относительно я, у при Х имеет следующее Для исследования поведения экономической системы с учетом влияния инфляции на производство решенная система уравнений рассматривается в следующем виде: |