Экономико-математическое моделирование (Колемаев В.). Экономико-математическое моделирование (Колемаев В. В. А. Колемаевэкономикоматематическоемоделирование макроэкономических
 Скачать 38.01 Mb.
|
|
(7.5.4) При t = x это условие выполняется: Выберем 248 тогда условие (7.5.4) примет вид: (7.5.5) Достаточным условием выполнения (7.5.5) служит неравенство которое эквивалентно Таким образом, при неравенство выполнено, поэтому надо найти условия, для которых неравенство (7.5.5) вы- полняется при Рассмотрим левую часть (7.5.5) как функцию времени Имеем Поэтому для выполнения (7.5.5) необходимо (напом- жением Условие (7.5.6) является ключевым с точки зрения целесообраз- ности проведения перевооружения. Момент окончания перевооружения Т можно найти прибли- женно, если воспользоваться тем, что 249 Тогда поэтому (7.5.7) ЕСЛИ Т <2Х, переход к новому технологическому укладу окончен уже на этом этапе, при Т > 2т потребуется завершающий этап. Вопросы и задания 1. Найдите условия возможности и целесообразности внешней тор- говли при комбинации первого варианта (перелив ресурсов в ма- териальный сектор из потребительского) и второго варианта (пе- релив ресурсов в материальный сектор из 2. Что такое детерминанты внешней торговли? 3. Как вы понимаете нейтральность прогресса по Харроду, Хиксу и Солоу? 4. Каково ключевое условие целесообразности массового перевоо- ружения народного хозяйства? В чем его содержательный смысл? ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1 Справочные сведения о линейных дифференциальных уравнениях и системах линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Линейным уравнением п-го порядка называется уравнение вида где некоторая известная функция времени (правая часть уравнения). Если коэффициенты уравнения не зависят времени, то уравнение (П.1.1) называется уравнением с постоянными коэффици- ентами. Линейное уравнение называется однородным, если х = 0, и неоднородным в противном случае. Система решений ..., однородного линейного уравне- ния называется фундаментальной, если эти функции линейно незави- симы на рассматриваемом временнбм интервале. Если являются решениями уравнения (П.1.1) с пра- выми частями является решением этого уравнения с правой частью Поэтому для получения общего решения неоднородного уравнения надо к общему решению однородного уравнения добавить любое частное решение неодно- родного. Решение однородного уравнения Однородное уравнение имеет вид: 251 Прямой проверкой убеждаемся, что y(t) = решением однородного уравнения 1.2): если (ведь 0) X удовлетворяет уравнению: 1.3) Уравнение 1.3) называется характеристическим. Поскольку любой полином степени имеет п корней, то характеристическое уравнение имеет я корней и каждому корню отве- чает решение Если корень имеет кратность то наряду с решениями также являются (доказывается простой провер- кой). Решения, отвечающие кратному корню, линейно независимы. Если корень является комплексным (перенумеруем корни так, чтобы этот корень стал первым), то обязательно есть корень, сопряженный с ним (перенумеруем корни так, чтобы сопряженный корень стал вторым): Следовательно, решения являются комплексными поэтому заменяем их на действительные Эти два решения линейно поскольку независимы cos at, sin При разных данные решения линейно независимы, поэтому они образуют фундаментальную систему решений однородного урав- нения. Итак, общее решение однородного уравнения имеет вид: (чтобы не загромождать выражение, написали его в предположе- нии, что кратных корней нет, а первые корней — комплексные взаимно сопряженные). 252 Общее и конкретное решение неоднородного уравнения Добавив к общему решению однородного уравнения любое частное решение неоднородного уравнения получаем общее решение неоднородного уравнения Если заданы начальные условия то однозначно оп- ределяются константы общего решения, тем самым находится единственное конкретное решение для данных начальных условий. Частное решение определяется методом вариации постоянных, методом Коши или операторным методом. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Операторный метод основан на использовании преобразований Лапласа входящих в уравнение функций времени. Преобразованием Лапласа некоторой функции называется следую- щий интеграл от функции f(t), зависящий, вообще говоря, от ком- плексного параметра где F(s) — образ функции (прообраза) Преобразование Лапласа осуществляет отображение пространства (пространства функций времени) в пространство об- разов или частотное пространство. Для обратного преобразования из частотного пространства во справедливо выражение где — параметр преобразования Лапласа; 5 — параметр затухания; со — круговая частота, Преобразование функции и ее производной связаны следующим образом (интегрируем по частям): тем самым 253 Если /(0) = 0, то операции дифференцирования по времени во пространстве соответствует операция умножения на пространстве образов. Применив преобразование Лапласа к уравнению с по- стоянными коэффициентами и при нулевых начальных условиях, по- лучим следующее алгебраическое уравнение: Из 1.8) можно найти образ решения 1.9) как частное от деления образа правой части на характеристический многочлен уравнения, в который вместо X подставлен параметр преобразования s. Зная образ решения Y(s), можно найти само решение y{t) либо непосредственно по формуле обратного преобразования 1.6), ли- бо по таблице преобразований Лапласа (в гл. 1 приведена табл. 1.1 преобразований Лапласа от некоторых наиболее употребляемых в макроэкономических исследованиях функций). Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами Системой линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффи- циентами называется следующая система: Система линейных уравнений с постоянными коэффициентами может быть записана в матричном виде: - вектор-столбцы неизвестных функций (вре- мени) и правых частей (известных функ- ций времени); 254 — вектор-столбец производных; (л x — матрицы коэффициентов при неизвестных функциях. Если х = О, то система называется нормальной однородной: Решением однородной системы может быть вектор поскольку может быть решением уравнения если X — собственное число матрицы А, а / — отвечающий ему соб- ственный вектор (см. гл. 1): Собственный вектор является ненулевым решением линейного однородного алгебраического уравнения которое может существовать лишь тогда, когда равен нулю опреде- литель последней системы Уравнение (П.1.14) называется характеристическим уравнением системы. Оно имеет и корней Х\, ..., Х„, поэтому однородная систе- ма имеет и линейно независимых решений где — нормированный собственный вектор, отвечающий собственному числу матрицы А, если все разные и действительные. Если же есть комплексные (взаимно сопряженные) или кратные корни, то решения получают точно такую же форму, как и в случае линейного дифференциального уравнения порядка. 255 где — постоянные. В самом деле, после подстановки получаем: Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид: где п\ — число пар взаимно сопряженных комплексных корней; (п — 2п\) — число корней (для простоты считаем, что кратных корней нет). Общее решение неоднородной системы уравнений 1.10) сно- ва получаем как сумму общего решения однородной системы и ча- стного решения неоднородной системы. Конкретное решение сис- темы получается путем определения констант с\, ..., с помощью начальных условий = Точно так же, как и для линейного уравнения порядка, к решению системы (П.1.10), можно применить оператор- ный метод, если заданы нулевые начальные условия = 0. Дей- ствительно, применяя преобразование Лапласа к обеим частям ра- венства получаем откуда поэтому осталось по образам Y\(s), ..., восстановить прообразы Приложение 2 Исследование выражений, определяющих поведение трехсекторной экономики Динамика сбалансированных состояний по труду и материалам Исследуется вся картина сбалансированного изменения состоя- ний трехсекторной экономики по труду и материалам при фикси- рованном распределении инвестиционных товаров Таким образом, любое состояние из рассматривае- мого множества удовлетворяет всем трем натуральным балансам, но один баланс рассматривается в статике, а два — в динамике. Эти состояния определяются двумя уравнениями трудового и материального балансов: поэтому из трех параметров распределения труда свободно может меняться только один (далее примем за свободную пере- менную Если производственные функции секторов являются функция- ми то удельные выпуски секторов примут вид: (П.2.2) где Из соотношений (П.2.2) находим дифференциалы удельных выпусков: (П.2.3) В дифференциалах уравнения запишутся в следующей форме: Подставляя выражения (П.2.3) во второе уравнение системы (П.2.4), получим: Последнее равенство после деления обеих его частей на — и приведения подобных членов принимает вид: — доля /-го сектора = 2) в производственном по- товарной продукции материального секто- ра + 1). Таким образом, система (П.2.4) приобрела следующую форму: (П.2.5) где — скорректированная доля потребительского сектора в использовании товарной продукции материального сектора. Далее примем, что потребительский сектор имеет технологиче- ский уровень не меньше, чем материальный, т.е. > поэтому А < < Уравнения (П.2.5) имеют следующее решение: (П.2.6) где 258 Поскольку параметры распределения труда связаны двумя соотношениями то переменные являются функциями свободной переменной по- этому и ф у н к ц и и в решении (П.2.6) также являются функциями Свободная переменная изменяется в диапазоне где = характеризует состояние экономики как «производство для производства» (производство предметов потребления отсутствует), а = 1 соответствует = что означает полное отсутствие фондо- создающего производства, при этом т.е. это ситуация отсутствия какого-либо производства вообще. Характер изменений на всем диапазоне изменения сво- бодной переменной определяется знаками функций Поскольку то всегда имеет противоположный знак по отношению к Поскольку может иметь как положительный, так и отрицательный знак, по- этому имеется два варианта поведения функции П.2.1, П.2.2). 259 При функция некоторой точке обращается в нуль, т.е. это точка перемены знака функции с поло- жительного на отрицательный. В точке выполняется усло- вие т.е. после выделения материальному сектору доли труда оставшаяся доля 1 — распределяется между фондосоздающим и потребительским секторами таким образом, что доля потребитель- ского сектора равна его скорректированной доле Д в распределении товарной продукции материального сектора. Все это дает основание считать точку границей между трудо- недостаточной и трудоизбыточной областями потребительского сек- тора: при потребительский сектор трудонедос- таточен, а при — трудоизбыточен. Таким образом, если потребительский сектор трудонедостаточен то согласно при 0 происходит пе- релив труда из фондосоздающего в материальный и потребитель- ский секторы; если же трудодостаточен, то при > 0 донорами потребительского сектора становятся и материальный, и фондосоз- дающий секторы. Подставив решение (П.2.6) в соотношения (П.2.3), получим (П.2.7) Динамика сбалансированных состояний по инвестиционным товарам и материалам Исследуется вся картина сбалансированного изменения состоя- ний трехсекторной экономики по инвестиционным товарам и мате- риалам при фиксированном распределении труда > + + = 1. Таким образом, любое состояние из рассматривае- мого множества удовлетворяет всем трем натуральным балансам, но 260 один баланс рассматривается в статике, а два — в динамике. Эти состояния определяются двумя уравнениями: (П.2.8) поэтому из трех параметров распределения инвестицион- ных ресурсов может свободно меняться только один (далее примем за свободную переменную Если производственные функции секторов являются функция- ми то удельные выпуски секторов будут иметь вид: (П.2.9) где Из соотношений (П.2.9) находим дифференциалы удельных выпусков: (П.2.10) В дифференциалах уравнения (П.2.8) запишутся в следующей форме: Подставляя выражения (П.2.10) во второе уравнение системы (П.2.11), получим: 261 Последнее равенство после деления обеих его частей на (1 — и приведения подобных членов принимает вид: Таким образом, система приобрела следующую оконча- тельную форму: (П.2.12) Уравнения имеют следующее решение: (П.2.13) Поскольку параметры распределения инвестиционных товаров связаны двумя соотношениями (П.2.8), то переменные явля- ются функциями свободной переменной поэтому и функции решении являются функциями Свободная переменная меняется в диапазоне где 0 характеризует состояние экономики как «производство для производства» (производство предметов потребления отсутствует), a = 1 соответствует = 0, что означает ситуацию «деиндустриа- лизация, полный коллапс производства», полное отсутствие всякого производства вообще. Характер изменений на всем диапазоне изменения сво- бодной переменной определяется знаками функций Поскольку 262 Приложение 3 Оптимальный рост замкнутой трехсекторной экономики 1 Под оптимальным понимается такое динамическое распределение трудовых и инвестиционных ресурсов, при котором за длительное время дисконтированное удельное потребление максимально. Полученные результаты являются обобщением на случай трех- экономики результатов Эрроу по оптимальному росту в односекторной экономике и Удзавы по оптимальному росту в двух- секторной экономике. Задача решается с помощью принципа мак- симума Понтрягина. Напомним назначение секторов трехсекторной экономики: мате- риальный (нулевой) сектор производит предметы труда (топливо, электроэнергию, сырье и другие материалы); фондосоздающий (пер- вый) — средства труда (машины, оборудование, силовые устройства, производственные здания и сооружения и т.д.); потребительский — предметы потребления (продовольственные и непродовольственные товары, непроизводственные здания и сооружения, вооружение и другие предметы конечного непроизводственного назначения). Ниже предполагается, что производственные функции секторов являются линейно-однородными неоклассическими функциями где Xj, — выпуск, ОПФ и число занятых в секторе. Тогда согласно § 2.4 замкнутая трехсекторная модель экономики в относительных показателях задается следующими уравнениями: (П.3.3) (П.3.4) (П.3.5) где — текущая фондовооруженность /-го сектора; начальная фондовооруженность /-го сектора; Результаты Приложения 3 получены автором. 264 — текущее и начальное значения общего числа занятых, — народно-хозяйственная производительность /-го сектора; — доля /-го сектора в распределении трудовых ресурсов, — доля сектора в распределении инвестиционных ре- сурсов, — прямые материальные затраты на единицу продукции /-го сектора; — коэффициент износа ОПФ /-го сектора; — темп прироста числа занятых. Предполагается, что экзогенные параметры модели (а,-, i = 0, 1, 2, v — параметры производственных функций) постоянны. Ниже под экономическим ростом понимается монотонный рост во времени фондовооруженности секторов, т.е. а под сбалансированностью — выполнение в каждый момент времени t материального, трудового и инвестиционного балансов. Для обеспечения роста необходимо, чтобы в каждый момент времени t правые части уравнений были положительны: (П.3.6) в том числе и в начальный момент времени t = 0: (П.3.7) Если = монотонно растет и имеет предел то для роста фондовооруженности секторов достаточно выполнения условия и условия (П.3.8) где стационарное решение уравнения для фондовооруженности пер- вого сектора, т.е. решение алгебраического уравнения 265 Как говорилось выше, в качестве критерия оптимального управ- ления трехсекторной экономикой выбран максимум интегрального дисконтированного удельного потребления (П.3.9) управляющими параметрами служат параметры распределения ресур- сов которые удовлетворяют соотноше- ниям (П.3.3), (П.3.4), (П.3.5), а фазовыми переменными — фондо- вооруженность секторов, которая удовлетворяет уравнениям движе- ния Поскольку шесть управляющих параметров связаны тремя соотношениями (П.3.3)—(П.3.5), то три параметра — свободные. Выберем в качестве свободных параметры и разрешим уравнения (П.3.3)—(П.3.5) относительно (1 Если выбрано управляющее правило уравнениям (П.3.1), (П.3.10) однозначно определяются траектории фазовых переменных, а по этим траекто- риям и уравнениям (П.3.10) траектории вспомогательных управ- ляющих переменных • В теории оптимального уравнения допускается скачкообразное изменение управляющих параметров (их траектории кусочно-непрерывны), в то время как фазовые координаты непре- рывны по времени. В нашем случае скачок одного из управляющих параметров или означает просто переход каждой фазовой пе- ременной с траектории с левосторонними значениями управляю- щих параметров на траекторию с правосторонними значениями этих параметров, при этом фазовые переменные (фондовооружен- ность секторов) остаются непрерывными. 266 Совсем по-другому обстоят дела, если скачок произошел по па- раметру — доле фондосоздающего сектора в трудовых ресурсах (параметр мгновенно изменился на величину Ведь в этом случае фазовые переменные (фондовооруженность секторов также получат мгновенные приращения (т.е. претерпят разрыв!): где Возможны три варианта действий в таком случае: 1) сгладить скачок (приближенный вариант); 2) обеспечить непрерывность фазовых переменных за счет ди- версификации производства (переток трудовых ресурсов и ОПФ между секторами в момент скачка при сохранении достигнутых значений фондовооруженности секторов); 3) допустить в моменты скачков разрывы фазовых переменных при полном закреплении фондов за секторами (т.е. диверсифика- ция невозможна). Ниже будет применяться второй вариант, поскольку он соответ- ствует идеологии теории оптимального управления. Покажем меха- низм действия этого варианта в начальный момент времени. Пусть фактические начальные значения ОПФ секторов и фактическое распределение трудовых ресурсов было таким: или в относительных показателях: Тогда и начальное удельное потребление равно 267 Пусть согласно оптимальному правилу (см. ниже) при Произведем теперь диверсификацию производства в начальный момент времени в соответствии с новым (оптимальным) распреде- лением ресурсов при сохранении фондовооружен- ности секторов: в результате перетока трудовых ресурсов вместе с с со- хранением фондовооруженности секторов произошло следующее перераспределение производства (диверсификация): удельный вы- пуск материального сектора изменился на величину удельный выпуск фондосоздающего сектора увеличился на величину а удельный выпуск потребительского сектора сократился на величину Согласно принципу максимума вначале строим функцию Гамильтона Физически можно представить, что эти трудовые ресурсы и используемые ими фонды остались внутри прежних предприятий, но стали выпускать другую про- дукцию (произошла диверсификация!). 268 а затем систему уравнений для сопряженных переменных: Поскольку то уравнения для сопряженных переменных примут следующий вид: Граничные условия для сопряженных переменных задаются в конечный момент времени Поскольку в первом слагаемом функции Гамильтона есть мно- житель то удобнее перейти к преобразованным сопряженным переменным: Преобразованные сопряженные переменные удовлетворяют сле- дующим уравнениям (П.3.12) 269 В преобразованных сопряженных переменных функция Гамиль- тона примет вид: Уравнения движения при постоянных значениях управ- ляющих параметров имеют следующее стационарное решение (верхний индекс S — значок стационарности): = к которому стремится решение системы дифференциальных урав- нений (П.3.1) по завершении переходного процесса. При переходе в момент t в стационарное состояние функция Гамильтона (П.3.13) становится независимой от сопряженных и фазовых переменных: поэтому ее максимум как функции управляющих переменных 0, s достигается в некоторой точке s , которая определяется в ре- зультате максимизации удельного потребления в стационарном со- стоянии при выполнении условий (П.3.3)—(П.3.5). Из сказанного следует, что оптимальное правило нужно искать среди траекторий управляющих параметров, обладающих свойством Поскольку функция Гамильтона, а следовательно, и оптималь- ное правило, зависят от сопряженных переменных, то для вывода и конкретизации последнего необходимо проанализировать поведе- ние этих переменных во времени. Общее решение уравнения для имеет вид: Единственная возможность, когда это решение ограничено при больших значениях — это выбор т.е. 270 поведение решения этого уравнения в мере зависит от знака выражения Ъ В стационарной точке и в случае функции Ъ >0, поэтому стационарное реше- kf ние этого уравнения (П.3.17) положительно. Левое значение второй производной в стационарной о точке равно (в стационарной точке = const, = const, = const, const, i = 2): поэтому при подходе к стационарной точке > О, q{ < т.е. пер- вая сопряженная переменная убывает. В соответствии с принципом максимума Понтрягина теперь найдем максимум функции Гамильтона по свободным управляю- щим параметрам. Оптимальное управление трудовыми ресурсами Вначале найдем максимум по свободному параметру предва- рительно заменив в функции Гамильтона вспомогательный параметр его выражением через свободный параметр согласно Имеем Знак этого выражения определяется знаком квадратного трех- члена (относительно который имеет корни 272 Поэтому при производная положительна и, следова- тельно, функция Гамильтона растет, в противном случае — убывает. Поскольку минимально допусти- мое удельное потребление), то из вытекает, что где Обратим внимание на следующий факт: фондо- вооруженность материального и потребительского секторов может расти даже в том случае, когда ее производные равны нулю: если при этом растет фондовооруженность фондосоздающего сек- тора, Поэтому можно выбирать такие значения веду- щих управляющих параметров при которых В частности, ниже будет показано, что ведущий управляющий параметр надо всегда поддерживать на минимально допустимом значении а по условиям роста это значение следует из т.е. Ниже будет показано, что ведущий управляющий параметр согласно оптимальному управляющему правилу при определенных условиях надо поддерживать на минимально допустимом значении а по условиям роста это значение следует из —— = если при dt этом где — и определяется как раз из —— = Для определения согласно замечанию приравниваем нулю правую часть уравнения для фондовооруженности потребительского 273 сектора, предварительно подставив в него выражение для через тогда получим = Разрешив последнее уравнение относительно , имеем: Объединив и (П.3.19), получаем следующие ограниче- ния на управляющий параметр < < (П.3.20) В неравенстве (П.3.20) подразумевается, что < однако это не всегда так. В самом деле, для этого нужно, чтобы Разрешив данное неравенство относительно с , получаем: Поскольку правые части неравенства растут с ростом фондовооруженности секторов и при плавном изменении управ- ляющих параметров то неравенства (П.3.21) следует прове- рять в начальной точке, а также в точках разрыва управляющего правила по свободным параметрам поскольку при этом име- ет место разрыв и по вспомогательному параметру • Итак, < по крайней мере, тогда, когда неравенство (П.3.21) выполнено в начальной точке, т.е. Оптимальное управляющее правило параметру получается путем соединения условий оптимальности, полученных выше, с ог- 274 раничениями Поскольку то значение , в котором функция Гамильтона имеет локальный максимум по пара- метру исключается из рассмотрения. Если то и значе- ние исключается из рассмотрения, поэтому на отрезке функция Гамильтона монотонно растет достигая максимума — в точке Если же то функция Гамильтона на полуинтервале убывает, достигает минимума в точке после чего на по- луинтервале возрастает, поэтому ее максимум достигается в одном из концов отрезка управление инвестиционными ресурсами Теперь найдем максимум функции Гамильтона по свободным параметрам Выразив через свободные параметры получаем следующее выражение для функции Гамильтона как функции параметров Поскольку функция Гамильтона линейно зависит от а ко- эффициент при отрицателен, то оптимальное правило со- стоит в выборе По параметру также имеет место линейная зависимость Поэтому оптимальное правило при < по параметру со- стоит в следующем: Для конкретизации управляющего правила (П.3.23) исследуем знак функции • Имеем Но поскольку не удается найти (0) = , то заменяем в послед- нем выражении на = (ведь (?) убывает). Тогда со- гласно В случае, если производственные функции секторов являются функциями вида (П.3.24) растет), откуда следует, что 276 по крайней мере, в том случае, когда (П.3.25) На самом деле, верхняя граница 5, определяемая из условия больше, чем поскольку значение было заменено меньшим значением Рассмотрим теперь в стационарной точке Из последнего выражения видно, что (П.3.26) поскольку Таким образом, имеется два варианта оптимального правила по параметру 1) если (П.3.27) 2) если 5 > 8 , то (П.3.28) Приведение потребления в будущие моменты времени к начальному осуществляется с помощью экспоненциаль- н о убывающих весов При э т о м т е м самым бу- дущее потребление имеет с точки зрения настоящего меньшую ценность. При выборе 8 сравнительно большим будущее потребле- 277 ние практически не принимается во внимание, в то время как пре- следуется цель максимизировать именно настоящее потребление. С содержательной точки зрения это означает, что интересами будущих поколений пренебрегают. Напротив, при малых значениях 5 интере- сы будущих поколений принимаются во внимание, хотя и с несколь- ко меньшими весами по сравнению с настоящим поколением. С учетом сделанного замечания параметр дисконтирования 5 надо выбирать сравнительно небольшим. На наш взгляд, наиболее реалистичен случай (П.3.29) поскольку слишком малое значение 8 означает, что придается чрезмерный приоритет будущим значениям удельного потребления в ущерб настоящим. Нижняя граница б будет найдена ниже. Нижняя и верхняя границы интервала (П.3.29) оказались про- порциональными параметру (далее для простоты примем, что ко- эффициенты износа ОПФ секторов одинаковы и равны = поэтому одинаковы и параметры Синтез оптимального правила управления трудовыми и инвестиционными ресурсами Выше были найдены фрагменты оптимального управляющего правила по управляющим параметрам , при различных зна- чениях параметра дисконтирования 5. По этим фрагментам опти- мальное правило может быть синтезировано для любых значений экзогенных параметров. Ниже оптимальное правило синтезируется для наиболее интересного с практической точки зрения случая В этом случае оптимальное правило по параметру имеет вид согласно которому выделяются этапа: 1) ускоренный рост при t < 2) замедленный рост при t > . 278 Этап ускоренного роста < t < На этом этапе доля фондосоз- дающего сектора в инвестиционных ресурсах поддерживается на максимально допустимом уровне = который определяется из условия, что доли материального и потребительского секторов устанавливаются на минимально допустимых уровнях: (П.3.30) поэтому Строение управляющего правила по параметру (см. зависит от соотношений между величинами Поскольку условия «нулевого» роста материального и потребительского секто- ров уже были использованы при выборе Поскольку точка локального минимума функции Гамиль- тона (причем значение может быть даже отрицательным), то поэтому причем растет, поскольку Ведомый параметр согласно изменяется следующим образом: Фазовые переменные подчиняются уравнениям движения (в которых управляющие переменные изменяются согласно опти- мальному управляющему правилу с начальными условиями 279 — фактическая доля /-го сектора в трудовых ресурсах при = 0. Этап замедленного роста На этапе замедленного роста доля сектора в инвестиционных ресурсах под- держивается на минимально возможном уровне: (П.3.33) Наличие добавки вызвано необходимостью «дотянуть» фон- довооруженность фондосоздающего сектора до оптимального ста- ционарного значения При управлении (П.3.33) фондовооруженность фондосоздающе- го сектора удовлетворяет следующему уравнению движения: которое имеет решение (П.3.34) В связи с тем, что условие нулевого роста фондовооруженности потребительского сектора теперь освободилось при то его (условие) можно использовать для установления ниж- ней границы параметра 280 • Поскольку Если функция удовлетворяющая условиям (П.3.33), (П.3.36), задана, то по формуле (П.3.34) однозначно определяется а затем по формуле (П.3.33) — (?). Зная и находим (П.3.35) (П.3.36) Докажем (при условии, что ПФ секторов — функции Дугласа), что в момент достижения стационарного оптимального (П.3.37) В самом деле, согласно оптимальному правилу по параметру в окрестности имеет место альтернатива причем = только в том случае, когда < < и Докажем вначале, что Указанное неравенство в развер- нутом виде записывается следующим образом = Рассмотрим последнее неравенство в момент t - тогда (П.3.38) поэтому неравенство эквивалентно следующему (подставляем вы- шеуказанные выражения в неравенство, используем обозначение 5 Xh и соотношение (1 + (1 fe 2 281 Последнее неравенство будет выполнено, если (используем но ведь это очевидное неравенство, так как h > в оптимальной стационарной точке < поэтому данное неравенство будет выполнено и в некоторой окрестности стационар- ной оптимальной точки (т.е. при некоторых t, ), если только в точке t = не произошел скачок по управляющему параметру Докажем теперь, что (П.3.39) Рассмотрим содержимое квадратных скобок в оптимальной ста- ционарной при этом снова используем соотношения (П.3.38): Таким образом, в окрестности оптимальной стационарной точки где — решение уравнения (П.3.40) 282 Итак, при h > в окрестности t = t Поскольку при t = = то на интервале (?, най- дется такой момент времени в который (П.3.42) т.е. в этот момент времени произойдет переключение управляюще- го параметра со значения на значение (Г). Если бы оказалось, что всегда т.е. отре- зок \h, не существует, то вышеприведенный синтез оптимально- го правила стал бы бессмысленным. Используя реальные данные РФ, покажем, что такой отрезок может существовать. Так, согласно данным 1 экономики РФ конца гг. =0,14; 02=0,56. По данным экономики РФ за гг. доцент кафедры приклад- ной математики ГУУ Л.А. Константинова нашла коэффициенты функций и коэффициенты прямых материальных затрат секторов, которые оказались следующими: =1,35, =0,29; =2,71, =0,49, =0,52. В [6] по этим данным был найден техонологический оптимум экономики РФ тех лет. Оказалось, 00=0,4, 02=0,35. По формуле (П.3.25) находим оценку снизу h верхней границы Выбрав таким образом, что имеем по формуле А = 0,38. Поэтому т.е. отрезок действительно существует. Народное хозяйство РСФСР: Статистический ежегодник. — М.: Статистика, 1960-1990. 283 Таким образом, для наиболее интересного с практической точки зрения случая синтезировано следующее оптимальное управляющее правило. Этап ускоренного роста Фазовые переменные находятся по уравнениям дви- жения при и с начальны- ми условиями где — фактическая доля /-го сектора в трудовых ресурсах в начальный момент времени. Начальная фаза этапа замедленного роста < Фазовые переменные находятся по уравнениям дви- жения при и с начальны- ми условиями где — конечная фондовооруженность /-го сектора, опреде- ленная на предыдущем этапе. 284 Завершающая фаза этапа замедленного роста Фазовые переменные находятся по уравнениям движения при и с начальными условиями где — конечная фондовооруженность /-го сектора на началь- ной фазе этапа замедленного роста. На рис. приведены графики изменения во времени управляющих параметров фондовооруженности фондосоз- дающего сектора и удельного потребления. Рис. П.3.1. Оптимальное по управляющему параметру Рис. П.3.2. Оптимальное правило по управляющему параметру 285 П.3.3. График фондовооружен- ности фондосоздающего сектора Рис. График удельного потребления Итак, оптимальный экономический рост, найденный с помощью принципа максимума Понтрягина по трехсекторной модели эконо- мики, имеет характерные черты мобилизационной экономики. На первом этапе происходит перелив трудовых и инвестиционных ре- сурсов из потребительского сектора (за счет сокращения удельного потребления до минимально допустимого уровня с) в секторы, производящие средства производства. В результате имеет место ус- коренный рост производственного потенциала всех секторов, в осо- бенности фондосоздающего, вплоть до переломного момента вре- мени в который фондовооруженность всех секторов становится весьма близкой к оптимальным стационарным значениям. После этого наступает этап замедленного роста, на котором фондовоору- женность секторов постепенно достигает своих оптимальных ста- ционарных значений. На начальной фазе этапа происходит перелив инвестиционных ресурсов в потребительский сектор, на завершаю- щей фазе к инвестиционным присоединяются и трудовые ресурсы. Приложение 4 О соотношении оптимальных управляющих правил переходного и стационарного режимов 1 В модели оптимального экономического роста, описанной в § 1.6, в качестве критерия оптимальности рассматривается дисконтиро- ванное удельное потребление При этом роль фазовой координаты выполняет фондовоору- женность к, роль управляющего параметра — удельное непроиз- водственное потребление с, а критерием служит дисконтированное удельное потребление — параметр дисконтирования. В этой задаче где L) — линейно-однородная неоклассическая производственная функция; где v — соответственно коэффициент износа и темп прироста числа за- нятых. Решение этой задачи с помощью принципа максимума Понтря- гина приводит при < к к следующему правилу: где с — решение задачи в стационарной постановке Такой же характер имеет решение и для замкнутой ной экономики, как это показано в Приложении 3. Все это дает основание полагать, что подобная закономерность при определен- ных условиях имеет место и в общем случае. Результаты Приложения 4 получены автором. 287 Рассмотрим общую задачу оптимального управления в стацио- нарной постановке: (П.4.2) (ПАЗ) критериальная функция; — переменные (фазовые координаты); управляющие параметры; область допустимых значений управ- ляющих параметров; — набор функций, определяющих ог- раничения задачи. Тогда соответствующая задача управления в динамической по- становке с дисконтированным критерием выглядит следующим образом: (П.4.4) (П.4.5) где — u(t) — кусочно-непрерывные (непрерывные слева) управления, принимающие значения в области управления U. Согласно принципу максимума Понтрягина решение задачи (П.4.4), (П.4.5) начинается с построения функции Гамильтона (П.4.6) (П.4.7) Граничные условия для сопряженных переменных задаются в конечный момент времени Т (условия трансверсальности): • . 288 и уравнений для сопряженных переменных но в нашем случае Т = F = 0, поэтому должно быть (П.4.8) Из уравнений (П.4.7) согласно следует, что их решение при ограниченных при если матрица А, составлен- ная из производных правых частей уравнений (П.4.5) по фазовым координатам устойчива в любой точке на допустимой фазовой траектории, т.е. имеет в такой точке собственные значения с отрицательными дей- ствительными частями. Исследуем решение прямых уравнений (П.4.5) при условиях, характерных для моделей экономического роста: (П.4.9) Обозначим стационарное решение уравнений (П.4.5) при фик- сированном управлении и eU через т.е. х (и) — решение при = const системы алгебраических уравнений (полагаем, что это решение единственное) D Докажем теперь, что при х° < (и) и фиксированном и Рассмотрим конечно-разностный аналог уравнений (П.4.5) Поскольку , поэтому из сле- дует, что при движении по фазовой траектории с - const (П.4.12) т.е. при фиксированном управлении фазовые координаты являют- ся возрастающими функциями времени. 289 Предположим теперь, что при неограниченном росте имеется предел но это оказывается невозможным, так как и) > О, поэтому из точки х(ы), как начальной, можно снова начать движение по воз- растающей разовой траектории. Поэтому в случае существования предела последний оказывает- ся равным х поскольку является неподвижной точкой относи- тельно уравнения Но предел существует, поскольку любая последовательность и) возрастает и ограничена сверху значением Итак, • Пусть теперь имеется некоторое допустимое управление u(t) такое, что Тогда снова получаем В самом деле, любая последовательность x(nAt, u(nAt)) возрас- тает и ограничена сверху константой поэтому имеет предел, следовательно, существует и предел Осталось только показать, что по- скольку при продолжалось бы движение в силу Если бы то получилось бы, что u{t) = п, но lim u{t) = и, поэтому й - и. Итак, 290 Рассмотрим теперь оптимальное управляющее правило и (?) как одно из допустимых. Поскольку = 0, то максимальное значение гамильтониана (П.4.6) определяется при больших t путем решения задачи на максимум При этом согласно доказан- ным выше утверждениям оптимальная траектория как одна из до- пустимых удовлетворяет условию где = и (t). Но к должна доставлять максимум и) при f(x, и) - 0, по- этому п = и . Итак, если (х, имеет ограниченные производные по х, а мат- рица первых производных функций, задающих нелинейные ограни- чения статической задачи, является устойчивой в каждой точке до- пустимой области, то при больших значениях t значение управления динамической задачи с дисконтированным критерием оптимальности совпадает со значением управления статической нелинейной задачи. В частности, если оптимальное правило имеет конечное число переключений, то с момента последнего переключения значение оптимального управления динамической задачи становится равным значению оптимального управления статической задачи. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ 1. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984. 2. Каменский ГЛ., А.Э. Математические осно- вы теории управляемых систем. М: Физматгиз, 1969. 3. Замков Ю.Н. Математические методы в экономике. — М.: ДИС, 1997. 4. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. - М.: Мир, 1999. 5. М. методы и экономи- ческая теория. — М.: Прогресс, 1975. 6. Колемаев ВА. Математическая экономика: Учебник. 2-е изд. — М.: 2002. 7. Колемаев ВА., В.И. и др. Математические методы принятия решений в экономике: Учебник. — М.: 1999. 8. Крутое В.И. и др. Основы теории автоматического регулирования. — М.: Машиностроение, 9. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. — М.: Мир, 1991. 10. Петров А.А., Поспелов Опыт математического мо- делирования экономики. — М.: 1996. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциаль- ных уравнений. — 7-е изд. - М.: Физматгиз, 1987. 12. Математическая теория оптимального управления. — М.: Наука, 1976. 13. П. Экономика. М.: Прогресс, 1992. 14. Столерю Л. Равновесие и экономический рост. М.: Статистика, 1974. 15. Л.С., Гальперин В.М., Гребенников Леусский A.M. Мак- роэкономика: Учебник. СПб.: Изд-во СПб. гос. ун-та экономики и финансов, 1992. 16. Харрис Л. Денежная теория. М.: Прогресс, 1990. 17. П. Экономическая кибернетика на практике. — М.: Экономика, 1983. 18. У.Р. Системы и информация. - М.: Изд-во иностранной лите- ратуры, 1964. 292 Дополнительная литература К главе 1 1. Колемаев А. Математические модели макроэкономической динами- ки. - М.: ГАУ, 1996. 2. Колемаев Математические модели макроэкономики. — М.: ГАУ, 1994. К главе 2 1. Колемаев А. Трехсекторная модель экономики // Сборник трудов Международной академии информатизации. Секция АПК. — М.: КО- ПИЯ-ПРИНТ, 1997. - С. 335-345. 2. Колемаев Моделирование сбалансированного экономического роста // Вестник университета. — № 3. — М.: У, 2000. — С. 41—48. К главе 3 1. Колемаев Трехсекторная модель экономики // Сборник трудов Международной академии информатизации. Секция АПК. — М.: КОПИЯ-ПРИНТ, 1997. - С. 335-345. К главе 4 1. Колемаев А. Условия возникновения и самоподдержания инфляции // Сборник трудов Международной академии информатизации. Секция АПК. М.: КОПИЯ-ПРИНТ, 1998. С. 45-57. 2. Колемаев' А. Моделирование инфляции и налогообложения с помо- щью трехсекторной модели экономики // Вестник университета. — № 1. - М.: ГУУ, 1999. - С. 52-66. К главе 5 1. Колемаев А. Моделирование инфляции и налогообложения с помо- щью трехсекторной модели экономики // Вестник университета. — № 1. - М.: ГУУ, 1999. - С. 52-66. К главе 6 1. Колемаев А., Галкин А. Сотрудничество и конкуренция в трехсектор- ной экономике // Вестник университета (серия ИИСУ). — 4. — М.: ГУУ, 2003. К главе 7 1. Колемаев В А., Белова Е.Ю. Моделирование внешней торговли страны с сырьевой направленностью экономики // Сборник трудов Между- народной академии наук высшей школы. — Вып. 5. — 1999. 2. Колемаев А., Белова Е.Ю. Исследование условий целесообразности вхождения национальной экономики в мировой рынок // Вестник университета (серия ИИСУ) - № 1. - М.: ГУУ, 2000. - С. 37-52. 3. Колемаев А. Детерминанты внешней торговли // Вестник универси- тета (серия ИИСУ) № 1. - М.: ГУУ, 2000. - С. 53-64. 4. Колемаев А. Влияние внешней торговли на национальную экономику // Сборник трудов Международной академии наук высшей школы. — Вып. 6. - 2000. 293 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 Раздел I. МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 12 1.1. Экономика как нелинейная динамическая система. Модель Солоу 12 1.2. Линейная динамическая система. Равенство спроса и предложения: динамическая модель Модель 18 1.3. Анализ и синтез динамических систем. Устойчивость динамических систем. Устойчивость и синергетика моде- ли Хикса 35 1.4. многосвязные динамические системы. Дина- мическая модель Леонтьева 55 1.5. Нелинейные динамические системы 59 1.6. Управление динамическими системами 76 Раздел II. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ НАЦИОНАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКИ 85 Глава 2. ТРЕХСЕКТОРНАЯ ЭКОНОМИКА КАК МАКРОМОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА 86 2.1. Трехсекторная модель экономики 86 2.2. Производственные функции секторов экономики РФ 90 2.3. Стагнация 94 2.4. Сбалансированный экономический рост 97 Глава 3. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ ТРЕХСЕКТОРНОЙ ЭКОНОМИКИ 3.1. Натурально-стоимостные балансы ПО 3.2. «Золотое» правило распределения труда и инвестиций между секторами 3.3. Исследование сбалансированных стационарных состояний 294 Глава 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНФЛЯЦИОННЫХ 4.1. Модели макроспроса и предложения денег. Сущность инфляции 136 4.2. Исследование инфляции с помощью трехсекторной модели экономики 140 4.3. Условия возникновения и самоподдержания инфляции 145 4.4. Влияние инфляции на производство 147 Глава 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ 160 5.1. Роль и функции налогов в обществе 160 5.2. Налоги в трехсекторной модели экономики 165 5.3. Управление налогообложением для обеспечения сбалан- сированного экономического роста Раздел III. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ С 181 Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ОТКРЫТОЙ ТРЕХСЕКТОРНОЙ МОДЕЛИ ЭКОНОМИКИ 182 6.1. Открытая трехсекторная модель экономики. Переходные процессы и стационарные состояния 182 6.2. Оптимальное распределение ресурсов • 186 Глава 7. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВНЕШНЕЙ ТОРГОВЛИ И НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА 195 7.1. Условия возможности и целесообразности внешней торговли 195 7.2. Детерминанты внешней торговли 202 7.3. Влияние внешней торговли на национальную экономику 216 7.4. Влияние конкуренции материального и потребительского секторов на внешнюю торговлю 224 7.5. Моделирование научно-технического прогресса 241 ПРИЛОЖЕНИЯ 251 Приложение 1. Справочные сведения о линейных дифференци- альных уравнениях и системах линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 251 Приложение 2. Исследование выражений, определяющих поведение трехсекторной экономики 257 Приложение 3. Оптимальный рост замкнутой трехсекторной экономики 264 Приложение 4. О соотношении оптимальных управляющих правил переходного и стационарного режимов 287 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 292 295 • Учебник Колемаев Владимир Алексеевич ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ Редактор Т.А. Балашова Корректор Б. Костромцова Оригинал-макет Н.Г. Оформление художника В.А. Лебедева Лицензия серии ИД № 03562 от 19.12.2000 г. Подписано в печать 26.08.05. Изд. № 808 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 18,5. Уч.-изд. л. 13,0 Тираж 15 000 экз. (1-й завод - 3 000). Заказ4640 ООО «ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА» Генеральный директор В.Н. Закаидзе 123298, Москва, ул. Ирины Левченко, 1 Тел.: 8-499-740-60-15. Тел./факс: 8-499-740-60-14 E-mail: unity@unity-dana.ru t Отпечатано во ФГУП ИПК «Ульяновский Дом печати» 432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14 |