В. М. Анисимов, И. Н. Данилова
 Скачать 3.95 Mb.
|
|
Контрольные вопросы 1. Сформулируйте закон сохранения энергии для движения маятника. 2. Как определяется момент инерции маятника 3. Как теоретически подсчитывают момент инерции диска и чему он равен 4. Для чего в опытах используется электромагнит r R 1 R 2 L 3 2 1 Рис. 2.11 70 5. Какая существует связь между моментом силы и угловым ускорением для равноускоренного движения диска, момент инерции которого J? ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 Изучение динамики вращательного движения Цель работы изучение основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела и определение момента инерции тел. Методика измерений Принцип работы установки иллюстрирует действие основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела (2.19): М) где М - вращающий момент J - момент инерции тела относительно оси вращения - угловое ускорение вращающегося тела. Маятник (маятник Обербека), используемый в работе, представляет собой маховик крестообразной формы (рис. По четырем взаимно перпендикулярным стержням могут перемещаться грузы 11 массой m 1 каждый. На общей оси находится шкив, на который наматывается нить, перекинутая через другой шкив 5. На конце нити перемещается падающая масса m (8). Под действием падающей массы m нить разматывается и приводит маховик в равноускоренное вращательное движение, при этом угловое ускорение крестовины , r a (2.49) где а - линейное ускорение массы m; r - радиус шкива. Для равноускоренного движения смещение массы m: , 2 at h 2 (2.50) откуда находим ; t h 2 a 2 (2.51) ; r t h 2 2 (2.52) где h - смещение массы m, t - время движения массы m. 71 Момент силы F, приложенной к шкиву, по определению Мила (натяжение нити) может быть найдена из уравнения динамики поступательного движения массы m, подвешенной на нити (рис ma = mg – F, поэтому ) a g ( m F и , r ) a g ( m M (2.54) Используя формулу (2.48) и вычисляя из опыта h и t, можем записать расчетную формулу для экспериментального определения момента инерции крестовины 5 7 6 8 11 10 12 18 13 15 17 16 19 2 9 14 3 4 1 L б) а) Рис. 2.12 Рис. 2.13 F a m 72 h 2 t r t h 2 g m M J 2 эксп) Теоретическое значение момента инерции крестовины , 3 L m 4 R m 4 J J 2 2 2 т) где J 0 - суммарный момент инерции двухступенчатого шкива, оси и бобышки крестовины 4m 1 R 2 - момент инерции передвижных грузов крестовины R - расстояние от оси вращения до центра массы m 1 ; m 1 - масса передвижных грузов 3 L m 4 2 2 - момент инерции всех четырех стержней крестовины без грузов m 1 ; L - длина стержня m 2 - масса стержней. Экспериментальная установка Общий вид маятника изображен на рис. На вертикальной стойке крепятся три кронштейна верхний 2, средний 3 и нижний 4. Положение всех кронштейнов на вертикальной стойке строго зафиксировано. На верхнем кронштейне 2 крепится блок 5 изменения направления движения эластичной нити 6, на которой подвешен крючок 7 с грузами 8. Вращение блока 5 осуществляется в узле подшипников 19, который дает возможность уменьшить трение. На среднем кронштейне 3 крепится электромагнит 14, который удерживает систему с грузами в неподвижном состоянии. На этом же кронштейне расположен узел подшипников 9, на оси которого с одной стороны закреплен двухступенчатый шкив 13, на котором имеется приспособление для закрепления нити 6. На другом конце оси находится крестовина 10, представляющая собой четыре металлических стержня с нанесенными на них рисками через каждые 10 мм, закрепленных в бобышке 12 под прямым углом друг к другу. На каждом стержне могут свободно перемешаться и фиксироваться грузы 11, что дает возможность ступенчатого изменения момента инерции крестовины маятника. На нижнем кронштейне 4 крепится фотоэлектрический датчик 15, который выдает электрический сигнал на миллисекундомер 16 для окончания счета промежутков времени. На этом же кронштейне крепится резиновый амортизатор 17, о который ударяется груз приостановке. Маятник снабжен миллиметровой линейкой 18, по которой определяется начальное и конечное положение грузов, а следовательно, и пройденный путь. Миллисекундомер 16 с цифровой индикацией времени закреплен на основании 1. 73 Порядок выполнения работы 1. Закрепить нить на малом радиусе двухступенчатого шкива (r 1 = 2 см. Установить на платформу основного груза один разновес 8 (рис. 2.12). Передвижные грузы на крестовине закрепить на расстоянии около 100 мм от оси вращения. Проверить балансировку маятника маятник должен находиться в состоянии безразличного равновесия, если нить не натянута. 2. Нажать на кнопку Сеть, расположенную на лицевой панели секундомера, при этом должны загореться лампочка фотодатчика и цифровые индикаторы секундомера и сработать электромагнит, который зафиксирует крестовину в заданном положении. 3. Нажав на кнопку Пуски удерживая ее в этом положении, перевести основной груз в верхнее положение. Отпустить кнопку Пуск. 4. По шкале определить ход падающего груза h как разность отсчетов его верхнего и нижнего положений. Верхнее положение определяется по нижнему краю груза, нижнее - по оси фотодатчика, находящейся между двумя черными линиями. 5. Нажать на кнопку Сброс. 6. Убедившись, что основной груз неподвижен, нажать на кнопку Пуски удерживать ее в нажатом состоянии до момента пересечения падающим грузом оптической оси фотодатчика. Примечание В случае, если падающий груз слегка колеблется, то при падении он может ударить по фотодатчику, что весьма нежелательно Таблица 2.4 Малый шкив r 1 = 2 см № п.п m кг h м t c t c а м/с 2 М Нм с –2 J эксп кг м 2 М тр Н м 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 74 7. Произвести отсчет времени t движения маятника по миллисекундомеру. Записать измеренные значения t ив табл. 8. Повторить измерения по п.п. 3...7 еще два раза и определить среднее значение времени t 9. Повторить опыты по п.п. 1...8, добавляя по одному грузу на основной груз, не меняя положения грузов на крестовине. 10. Для средних значений времени t рассчитать все значения ускорения а по формуле (2.51) и вращающего момента М по формуле (2.54). Определить угловое ускорение по формуле (2.52). 11. Результаты измерений представить в виде графика, отложив по горизонтальной оси , а по вертикальной оси – М (рис. С помощью графика определить момент инерции системы J, как угловой коэффициент построенного графика M J , где Ми соответствуют друг другу. Таблица 2.5 Большой шкив r 2 = 4 см № п.п m кг h м t c t c а м/ с 2 М Нм с –2 J эк сп кг м 2 М тр Н м 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 МН м) ММ тр0 с) Рис 75 12. Найти момент силы трения тр М ( тр М равен координате точки пересечения графика с осью М) (рис. 13. Проделать те же измерения для шкива другого радиуса (r 2 = 4 см) и снова определить J и тр М . Результаты измерений занести в табл. 14. Выключить установку, нажав на кнопку Сеть. 15. Рассчитать доверительную и относительную погрешность результата измерений момента инерции для одной серии опытов. Контрольные вопросы 1. Напишите закон сохранения энергии применительно к данной работе. 2. Получите формулу для расчета вращающего момента М. 3. Что такое центр тяжести 4. Чему равен момент сил тяжести всех частиц тела относительно любой горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 Определение момента инерции тела и скорости полета пули Цель работы изучение динамики вращательного движения твердого тела с помощью крутильного маятника. Методика измерений Рассмотрим систему, состоящую из пули и маятника (рис. Пуля выстреливается в маятники застревает в пластилине, вызывая отклонение маятника. Удар считается абсолютно неупругим, отклонение маятника от положения равновесия за время соударения незначительным. Механическая энергия системы при неупругом ударе уменьшается. Сила тяжести маятника уравновешивается силой реакции подвеса. Кроме этой силы при ударе возникают горизонтальные силы в местах крепления проволок, препятствующие смещению оси маятника. Действие этих горизонтальных сил приводит к изменению импульса системы. В тоже время моменты указанных сил относительно оси вращения маятника равны нулю, поскольку линии их действия проходят через ось. п v Z L Рис. 2.15 Вид сверху) 76 Следовательно, для системы маятник - пуля можно применить закон сохранения момента импульса (2.23): п vL = J (2.57) Величина слева - это момент импульса системы до удара, справа - после удара m п - масса пули v - ее скорость L - расстояние от оси маятника до центра пули в момент удара (считается, что пуля летела перпендикулярно коси стержня маятника J - момент инерции маятника с прилипшей к нему пулей - угловая скорость маятника сразу после удара. Рассмотрим вращательное движение маятника после удара. Пренебрегая трением, можно применить для данного этапа закон сохранения механической энергии. Тогда кинетическая энергия маятника сразу после удара равна потенциальной энергии упругой деформации проволок в момент максимального отклонения маятника 2 c 2 J 2 2 (2.58) Здесь - максимальный угол отклонения маятника, с - коэффициент возвращающего момента, используемый при описании деформации кручения. Для расчета коэффициента с используется соотношение с с с 2 4 2 1 4 1 2 1 l l (2.59) где с, R 1 , l 1 - коэффициент возвращающего момента, радиус и длина нижней проволоки сто же для верхней проволоки G – модуль сдвига материала проволок для стали G = 8 10 10 Н/м 2 При расчете момента инерции маятника после удара моментом инерции пули можно пренебречь, тогда J = мг) где м - момент инерции маятника без грузов, г - момент инерции груза 3 (рис) относительно оси маятника Z. По теореме Штейнера (2.20): ma 12 h 4 r m ma J J 2 2 2 г) Здесь J 0 - момент инерции груза относительно оси, проходящей через его центр и параллельной оси маятника, r - радиус груза (диска, h - толщина диска, а - расстояние от его центра масс до оси маятника Z, m - масса груза (рис. 77 Используя соотношения (2.60) и (2.61), получим выражения для расчета моментов инерции маятника при двух положениях грузов a 12 h 4 r m 2 J J a 12 h 4 r m 2 J J 2 2 2 мм) Здесь и далее индекс 1 соответствует минимальному расстоянию между грузами, индекс 2 - максимальному. Запишем закон сохранения момента импульса (2.57) для двух положений грузов J vL m J vL m 2 п п) Запишем закон сохранения энергии (2.58) для минимального и максимального расстояния между грузами 2 c 2 J 2 c 2 J 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 (2.64) Решая совместно уравнения (2.62) - (2.64), получаем формулу для расчета момента инерции маятникам) Решая систему уравнений (2.63) и (2.64), получаем выражение для расчета скорости пули L m c J v п 1 (2.66) Экспериментальная установка Общий вид установки показан на рис. 2.16. Основным элементом установки является маятник. Он представляет собой горизонтальный стержень 7, закрепленный на вертикальной проволоке 6, натянутой между кронштейнами 5 установки. Вдоль стержня могут перемещаться два груза 3 массой m = 0,18 кг каждый. Винты 4 служат для закрепления грузов в определенном положении. На концах стержня находятся пластины 1, покрытые с одной стороны пластилином. На торце пластины находится вертикальная черта, которая служит индикатором для шкалы на прозрачном экране 78 2, закрывающем маятник, при определении положения и угла отклонения маятника от положения равновесия. На пластине имеются деления, показывающие расстояние от оси подвеса маятника. На самом стержне 7 нанесены поперечные штрихи на расстоянии 1 см друг от друга, первый на расстоянии 0,02 мот оси. Пистолет служит для стрельбы пулями (алюминиевыми кольцами. Мишенями являются пластины 7 маятника. В пистолете имеются две пары ручек - неподвижные 9 подвижные 10. Последние соединены со стержнем 8 на который помещается пуля. Порядок выполнения работы Упражнение 1. Определение момента инерции крутильного маятника r h Z 9 10 4 3 2 1 5 6 7 8 Рис. 2.16 Z Z a a Диск (груз) 79 1. Установить грузы маятника симметрично осина минимальном расстоянии друг от друга, измерить расстояние от оси проволоки до центра груза а по шкале маятника. Результат этого и последующих измерений заносить в табл. 2. Замерить по шкале на кожухе угловое положение неподвижного маятника 0 . Абсолютная величина 0 не должна превышать 5 . Таблица 2.6 3. Зарядить пистолета) сдвинуть ручки 9 вперед до упора б) Повернуть ручки 9 и поместить на стержень пулю в) Вернуть ручки 9 в горизонтальное положение и оттянуть их назад до щелчка. 4. Убедившись, что маятник неподвижен, произвести выстрел, наклонив ручки 9. Произвести отсчет максимального угла поворота маятника . Рассчитать угол отклонения маятника по формуле 1 = – 0 5. Измерить по шкале маятника расстояние L от следа пули до оси маятника Z. 6. Повторить измерения п.п 2...5 не менее х раз. 7. Рассчитать среднее значение максимального угла отклонения маятника 1 , как среднее арифметическое нескольких значений 1 , и среднее значение расстояния L . 8. Установить грузы маятника на максимальном расстоянии друг от друга, измерить а по шкале маятника. 9. Произвести измерения по п.п 2...4 не менее 4 рази рассчитать угол отклонения маятника по формуле 2 = – 0 10. Рассчитать среднее значение максимального угла отклонения 2 приданном положении грузов. 11. Измерить толщину груза h по шкале маятника и радиус грузов r при помощи штангенциркуля. 12. Рассчитать момент инерции маятника по формуле (2.65), подставляя полученные значения углов 1 ив радианах. 13. Рассчитать доверительную и относительную погрешность результата. а = а = № п/п град град град L м град град град 1 2 3 4 Среднее – – – – 80 Упражнение 2. Определение скорости полета пули 1. Измерить длины проволоки и их диаметры D 1 = 2R 1 и D 2 = 2R 2 2. По формуле (2.59) рассчитать коэффициент возвращающего момента с. 3. Используя выражение (2.62), рассчитать момент инерции маятника с грузами J 1 . Данные, необходимые для расчета получены в первом упражнении, масса пули m п = 0.75 г. 4. По формуле (2.66) для средних значений L и 1 рассчитать среднюю скорость полета пули v (подставляя 1 в радианах. 5. Рассчитать доверительную и относительную погрешность определения скорости пули. Контрольные вопросы 1. Почему систему крутильный маятник - пуля можно считать изолированной 2. Записать формулы для кинетической энергии вращающегося тела и потенциальной энергии закрученной проволоки. 3. Что такое коэффициент возвращающего момента 4. Как можно определить момент инерции маятника Вопросы по разделу 2 1. Кинематические характеристики вращательного движения тела. 2. Нормальное и тангенциальное ускорение тела. 3. Понятие момента силы относительно неподвижной точки. Каковы единицы измерения момента силы 4. Момент импульса относительно неподвижной точки. Уравнение моментов. 5. Закон сохранения момента импульса для системы материальных точек. 6. Понятие момента силы относительно оси. 7. Понятие момента импульса твердого тела относительно оси. 8. Написать основное уравнение динамики вращательного движения. 9. Что такое момент инерции тела Каков его физический смысл 10. Расчет момента инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно стержню. 11. Расчет момента инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости диска. 12. Теорема Штейнера, пример ее применения. 13. Кинетическая энергия вращающегося тела. 14. Закон сохранения момента импульса для твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси. 81 РАЗДЕЛ Механические колебания и волны 3.1 Незатухающие гармонические колебания. Маятники Колебаниями называются процессы, характеризующиеся той или иной степенью повторяемости во времени. По физической природе колебания могут быть механическими, электромагнитными и др. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, характеризующих состояние системы, повторяются через равные промежутки времени. Минимальный из этих промежутков называется периодом колебаний Т. За период колебаний совершается одно полное колебание. Число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний Т) Величина = 2 f (3.2) называется круговой или циклической частотой колебаний. Из (3.1) и (3.2) следует, что круговая частота и период колебаний связаны следующим образом Т) При периодических колебаниях величины х в любой момент времени t выполняется соотношение x(t) = x(t + T). Гармоническим колебательным движением называется периодическое движение, при котором смещение точки от положения равновесия в зависимости от времени t изменяется по закону синуса или косинуса ), t sin( A x 0 (3.4) где А - амплитуда колебания - максимальное абсолютное значение х 0 - круговая частота гармонических колебаний ( 0 t + ) - фаза колебания - начальная фаза - фаза колебаний в момент времени t = 0. Значения амплитуды Аи начальной фазы полностью определяются начальными условиями системы. Скорость v и ускорение а при гармонических колебаниях изменяются по законам ); t cos( A x dt dx v 0 0 (3.5) 82 ). t sin( A x dt x d a 0 2 0 2 2 (3.6) Из выражений (3.6) и (3.4) получим ха) откуда следует, что при гармонических колебаниях ускорение прямо пропорционально смещению точки от положения равновесия и всегда направлено противоположно ему. Из уравнений (3.6) и (3.7) получаем 0 x x 2 0 (3.8) Выражение (3.8) называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний а функция (3.4) является решением этого уравнения. Подставив (3.7) во второй закон Ньютона , a определим силу, под действием которой происходят гармонические колебания x m F 2 0 (3.9) Видно, что гармонические колебания обусловлены возвращающими силами, прямо пропорциональными смещению точки от положения равновесия и направленными противоположно смещению. Введем обозначение k m 2 0 (3.10) Тогда при гармонических колебаниях ; x k F (3.11) величина k называется коэффициентом возвращающей силы. Физический смысл k можно выяснить из уравнения (3.11). Коэффициент возвращающей силы численно равен возвращающей силе, вызывающей смещение х, равное единице. Уравнению (3.11) подчиняются, например, упругие силы пружин. Колебания систем, происходящие под действием сил, удовлетворяющих уравнению (3.11), называются собственными. Из соотношений (3.10) и (3.3) можно найти круговую частоту и период гармонических колебаний системы, происходящих под действием возвращающих сил ; m k 0 (3.12) 83 ; k m 2 T 0 (3.13) величины 0 и Т зависят только от устройства колебательной системы. В процессе гармонических колебаний полная механическая энергия системы в любой момент времени складывается из кинетической K и потенциальной U. Кинетическая энергия 2 mv K 2 Потенциальная энергия равна работе, которую производит упругая (квазиупругая) возвращающая сила приуменьшении смещения от х до 0, следовательно, 0 x 2 0 x 2 kx kxdx Fdx U (3.14) Полная энергия 2 kx 2 mv E 2 2 (3.15) Подставляя в формулу (3.15) выражения смещениях, скорости v (3.5) и используя (3.10), находим 2 A m E 2 2 0 (3.16) Из выражения (3.16) видно, что при гармонических колебаниях энергия системы - постоянная величина, прямо пропорциональная квадрату амплитуды колебаний. Одной из простейших колебательных систем является легкая спиральная пружина, к которой подвешен груз массой m (рис. Если вывести груз из положения равновесия, немного растянув пружину, и предоставить ее самой себе, тона груз будет действовать упругая (возвращающая) сила пружины, прямо пропорциональная смещению хи направленная в сторону, противоположную смещению ; kx F коэффициент возвращающей силы k в этом случае часто называют жесткостью пружины. Под действием силы F тело совершает собственные гармонические колебания, которые можно наблюдать при малом сопротивлении среды. Напишем второй закон Ньютона применительно к поступательному колебательному движению груза на пружине упр x x Рис. 3.1 84 , kx x m или 0 x m k x (3.17) Это уравнение того же типа, что и уравнение (3.8), и решением его является функция, представленная уравнением (3.4). Следовательно, грузна пружине совершает гармонические колебания при условии, если сила сопротивления пренебрежимо мала. Круговая частота 0 этих собственных колебаний и период Т выражаются формулами (3.12) и (3.13). Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей сего центром масс. В положении равновесия центр масс маятника С находится под точкой подвеса маятника Она одной с ней вертикальной оси (рис. При отклонении маятника от положения равновесия на угол возникает вращающий момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Величина этого момента , sin где m - масса маятника, а - расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника, а - плечо силы тяжести. При небольших углах отклонения, когда , sin вектор возвращающего момента будет равен mga M (3.18) В этом случае возвращающий момент силы тяжести прямо пропорционален угловому смещению маятника от положения равновесия. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения , J M (3.19) где M - момент силы, вызывающий вращение маятника J - момент инерции маятника относительно оси вращения - угловое ускорение. Подставив в уравнение (3.19) значение М из уравнения (3.18) и , dt d 2 2 получим , mga dt d J 2 а С 0 Рис. 3.2 85 откуда 0 J mga dt d 2 2 (3.20) Уравнение (3.20) - дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника. Этому уравнению тождественно удовлетворяет функция , t sin 0 0 (3.21) где В этом можно убедиться подстановкой значений ив уравнение (3.20). Используя связь между угловой частотой 0 гармонических колебаний и периодом, получаем Т. Частным случаем физического маятника является математический маятник - материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной L. Для математического маятника момент инерции J = mL 2 , а расстояние а = L. Следовательно, период колебаний математического маятника равен g L 2 T (3.23) В ряде случаев колеблющееся тело совершает не поступательное, а вращательное движение. К числу таких колебаний относятся, например, крутильные колебания тела, подвешенного на легкой упругой проволоке, относительно оси симметрии тела, совпадающей с проволокой рис. При повороте тела от положения равновесия в горизонтальной плоскости на небольшой угол в проволоке возникает возвращающий момент упругих сил, прямо пропорциональный углу закручивания , с М (3.24) М Рис 86 где с - коэффициент возвращающего момента. Физический смысл коэффициента с находим из соотношения (3.24). Коэффициент возвращающего момента численно равен моменту возвращающей силы при угловом смещении тела от положения равновесия на угол, равный единице. Величина с зависит от материала проволоки и ее размеров с) где G - модуль сдвига, характеризующий упругие свойства материала проволоки r - радиус проволоки L - длина проволоки. Напишем основное уравнение вращательного движения для тела, совершающего гармонические колебания относительно некоторой оси M J (3.26) где J - момент инерции колеблющегося тела - угловое ускорение. Из выражений (3.24) и (3.26) получаем дифференциальное уравнение гармонических крутильных колебаний, подобное уравнению (3.8): с) Решением уравнения (3.27) является функция, аналогичная (3.4): ) t sin( 0 0 (3.28) где - угловое смещение от положения равновесия 0 - амплитуда колебаний. Угловая скорость и угловое ускорение тела при собственных крутильных колебаниях изменяются по законам ). t sin( ), t cos( 0 0 2 0 0 Сопоставляя уравнения (3.27) и (3.8), получаем значения угловой частоты 0 и периода Т собственных крутильных гармонических колебаний тела, происходящих под действием упругого возвращающего момента ; J c 0 (3.29) c J 2 T 0 (3.30) |