1.1 Динамика поступательного движения. Закон сохранения импульса Первый закон Ньютона. Тело (материальная точка) сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействия со стороны других тел или полей не выведут его из этого состояния. Мерой воздействия является сила. Этот закон называют законом инерции. Он выполняется в инерциальных системах отсчета. Система отсчета покоящаяся или движущаяся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы сама является инерциальной. Система отсчета, связанная с Землей неинерциальна за счет вращения Земли. Влияние этого фактора невелико, и для большинства практических задач земную систему можно приближенно считать инерциальной. Второй закон Ньютона. Упомянутая в первом законе сила является векторной величиной На тело (материальную точку) могут действовать несколько (k) ил. Тогда их векторная сумма равна равнодействующей R. Например см. рис ирис В общем случае k
1
i i
F
R
(1.1) Рис. 1.1 Рис. 1.2
34 Проекции этой силы на координатные оси k
F
R
,
j
F
R
,
i
F
R
k
1
i i
z k
1
i i
y k
1
i i
x z
y x
(1.2) где k
,
j
,
i
- единичные векторы (орты. При рассмотрении системы материальных точек (тел) силы взаимодействия точек между собой являются внутренними для данной системы, а силы воздействия на точки этой системы со стороны других тел называются внешними. Кроме упомянутого выше (0.33) выражения для второго закона Ньютона, второй закон может быть представлен как
,
dt p
d
F
(1.3) здесь v
m p
- импульс (количество движения) - мера механического движения тела (материальной точки. Формулировка закона первая производная повремени от импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Закон (1.3) можно представить в виде
).
v m
(
d p
d dt
F
(1.4) Здесь dt
F
- импульс силы. Тогда импульс действующей на тело силы равен изменению импульса тела. Согласно (1.3)
;
dt
)
v m
(
d
F
если можно считать m = const, то
;
a m
dt v
d m
F
и мы получаем уравнение (0.33), известное как основное уравнение динамики поступательного движения материальной точки. В прямоугольных декартовых координатах оно выглядит как
F
k z
m
;
F
j y
m
;
F
i x
m z
y x
(1.5)
35 Если на систему материальных точек действуют несколько внешних сил, тов основном уравнении динамики поступательного движения равнодействующей, и а - ускорение центра масс системы м
ц a
m
R
(1.6) Если система тел (материальных точек) замкнута в механическом отношении, то есть сумма внешних для системы сил равна
0
R
, получаем n
1
i i
i системы const v
m p
;
0
)
p
(
dt d
(1.7) m
i
, i
v
- масса и скорость го тела системы. Это закон сохранения импульса системы. Соответственно, сохраняются и проекции импульса на оси координат z
y x
p
,
p
,
p
: i
p p
x x
, j
p p
y y
, k
p p
z z
; const v
m p
,
const v
m p
,
const v
m p
n
1
i i
i z
n
1
i i
i y
n
1
i i
i x
z y
x
(1.8) Третий закон Ньютона. Два тела (материальные точки) действуют друг на друга с силами, которые равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки
21 12
F
F
(1.9) Силы
12
F
и
21
F
приложены к разным телам. Из третьего закона следует, что в замкнутой в механическом отношении системе сумма внутренних сил (взаимодействия тел системы) равна нулю n
1
i n
1
k ik
0
F
(1.10) где n - число тел системы.
36
1.2 Энергия, работа, мощность. Закон сохранения энергии Различные формы движения материи могут превращаться друг в друга в определенных количественных соотношениях. Для измерения различных форм движения материи введена единая мера, называемая энергией (Е. К механической энергии относят два вида энергии - кинетическую
(K) и потенциальную (U). При поступательном движении кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью v равна
2
mv
K
2
(1.11) Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех частей этой системы n
1
i
2
i i
n
1
i системы m
K
K
(1.12) n - число тел (материальных точек) системы. Изменение кинетической энергии системы равно работе сил, действующих на эту систему со стороны других тел или полей dK = А
(1.13) Работа есть мера изменения механической энергии. Работа силы на элементарном перемещении r d
r d
F
A
(1.14) Работа - скалярная величина, являющаяся функцией процесса. Отсюда функционал (А. Так как ds r
d
- элементарный путь, то А = F dS cos = F
s dS
(1.15) где F
s
- проекция силы F
на направление перемещения r d
, - угол между F
и r Если положение начальной и конечной точек движения характеризуется r
1
и r
2
, то
,
dS
F
r d
F
A
S
0
s r
r
2 1
(1.16) где S - длина элемента траектории тела.
37 Для характеристики скорости совершения работы, то есть работы, совершаемой в единицу времени, вводится понятие мощности. Мгновенная мощность
;
dt
A
N
(1.17) Так как
,
dt v
F
r А то
,
v
F
N
(1.18) то есть мощность равна скалярному произведению силы, приложенной к телу (материальной точке) на скорость тела. Мощность измеряется в ваттах. Средняя мощность
,
t
A
N
(1.19) где t - время совершения работы А. Если работа сил зависит только от начальных и конечных положений точек их приложения, не зависит от траектории и от закона движения по траектории, то такие силы называются консервативными, а поле потенциальным. В потенциальном поле (рис)
)
А
(
)
А
(
b
12
а
12
(1.20) При перемещении тела (материальной точки) по замкнутой траектории в потенциальном поле
0
r d
F
L
(1.21) Работа консервативных сил в потенциальном поле совершается за счет энергии потенциального поля путем ее убыли АС другой стороны (m = const):
2
mv d
mvdv vdt dt dv А) Получаем
0.
U
2
mv или dU;
2
mv d
2 Следовательно const
U
K
(1.24)
1 2 а b Рис. 1.3
38 Это закон сохранения механической энергии для системы в потенциальном полете. при отсутствии неконсервативных сил, к которым, например, относятся силы сопротивления и трения. Пример потенциальная энергия тела (материальной точки) в однородном силовом поле. На точку со стороны поля действует сил
F
, направленная вдоль оси OY dy
F
r Тогда
),
0
(
U
y
F
U
y
(1.25) где U(0) - потенциальная энергия в точке y = 0. Если материальная точка массой m находится в гравитационном поле, то сила y
F - ила тяжести
,
mg
F
y тогда
U
= mgy + U(0).
(1.26) В поле сил тяжести у поверхности Земли y = h, где h - высота подъема над уровнем h = 0.
U = mgh + U(0).
(1.27) Закон сохранения энергии для тела, движущегося в поле тяготения Земли const mgh
2
mv
U
K
2
(1.28) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 25(ф)
Определение коэффициента сопротивления жидкой среды Цель работы определение зависимости коэффициента сопротивления движению тела в жидкости от размеров тела.
Методика измерений На твердый шарик, опускающийся в вязкой жидкости, действуют три силы (рис сила тяжести g
V
g ш, выталкивающая сила Архимеда Аи сила сопротивления движению шарика С, обусловленная силами
0
Y
A
F
C
F
Т
F
2R
ш Рис. 1.4
39 внутреннего трения жидкости. Сила Архимеда F
А
На тело, погруженное в жидкость плотностью
0
, со стороны жидкости действует сила, направленная вертикально вверх и приложенная к центру тяжести погруженной части тела (сила Архимеда, как это показано на рис.
,
g
V
F
0
A
(1.29) где V - объем погруженного в жидкость тела, g - ускорение свободного падения. Сила сопротивления При относительном движении твердого тела и вязкой среды жидкость, газ) на тело действует сила сопротивления, которая при малых скоростях пропорциональна скорости тела и направлена в сторону, противоположную вектору скорости тела (рис
,
v r
F
C
(1.30) где коэффициент пропорциональности r (коэффициент сопротивления среды) зависит от формы, поперечных размеров тела и свойств среды, в которой оно перемещается. Коэффициент сопротивления r численно равен силе сопротивления при единичной скорости движения. Размерность r: гм м kг
]
v
[
]
F
[
]
r
[
2
Уравнение движения шарика радиусом ш в жидкости (второй закон Ньютона, записанный в проекции на ось OY (рис) имеет вид rv g
R
3 4
g
R
3 4
ma
0 ш ш
3
ш
(1.31) Здесь ш - плотность вещества шарика,
0
- плотность жидкости. Все три силы, входящие в правую часть уравнения (1.31) направлены по вертикали сила тяжести - вниз, выталкивающая сила и сила сопротивления - вверх. На начальном участке шарик падает с ускорением и скорость его увеличивается. При этом сила
A
F
g
V Рис. 1.5 Рис. 1.6
40 сопротивления возрастает. После достижения некоторой скорости v
0
, при которой сумма всех действующих на шарик сил становится равной нулю, шарик будет двигаться с постоянной скоростью. Такое движение шарика называется установившимся. В этом случае уравнение (1.31) принимает вид
0
rv
)
(
g
R
3 4
0 0
ш
3
ш
(1.32) Решая уравнение (1.32) относительно коэффициента сопротивления r, получаем v
3
)
(
g
R
4
r
0 0
ш
3
ш
(1.33) Следовательно, для определения коэффициента сопротивления движению шарика в жидкости необходимо знать размеры шарика, плотности материала шарика и жидкости, а также скорость падения шарика. Экспериментальная установка В работе в качестве сосуда, в котором находится исследуемая жидкость, используется стеклянный цилиндр рис. Снаружи цилиндра укреплены кольцевые горизонтальные метки 1 и 2, расположенные одна от другой на расстоянии L (верхняя метка должна быть ниже уровня жидкости на (5...8) см. Цилиндр укреплен на подставке, имеющей винты и отвес, предназначенные для установки вертикальности цилиндра. Время падения шарика в жидкости определяется с помощью секундомера. Плотности материала шарика и жидкости приведены на подставке. Порядок выполнения работы
1. Установить метки 1 и 2 на цилиндре и измерить расстояние между ними по линейке (глаз наблюдателя при отсчете положения меток должен находиться на одной горизонтали сметкой. Измерить диаметр d каждого шарика при помощи микрометра или данные сообщает лаборант. Обычно студенты получают три пары шариков разных диаметров. Определить радиус шарика ш отверстие для шариков
(5–8)см
L Рис. 1.7 1
2
41 3. Опустить шарик в жидкость как можно ближе коси цилиндра и с помощью секундомера измерить время падения шарика между метками 1 и 2. Опыт с шариком одного итого же диаметра повторить два раза. Измерения записать в табл. Таблица 1.1
№ п.п d м ш м ш
кг/м
3 0
кг/м
3
L м t c мс r кг/с
1 2
3 среднее
1 2
3 среднее
1 2
3 среднее
4. Измерения поп повторить с шариками другого диаметра (еще два-три размера.
5. По формуле t
L
v
0
рассчитать скорость установившегося движения каждого шарика.
6. Вычислить значение коэффициента сопротивления для каждого опыта и среднее значение r
для каждого размера шарика.
7. Построить график зависимости среднего коэффициента сопротивления от радиуса шарика
).
R
(
f ш. Вычислить доверительную и относительную погрешности измерения коэффициента сопротивления движению шарика одного из диаметров по формулами. Контрольные вопросы
1. Что называется силой Архимеда
2. Отчего зависит сила сопротивления движению тела в жидкости (газе
3. Опишите методику измерения коэффициента сопротивления, используемую в данной работе.
4. Запишите уравнения движения шарика на начальном и основном участках.
42 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 Изучение упругого удара шаров Цель работы Проверка законов сохранения импульса и механической энергии, изучение зависимости средней силы удара и времени соударения от относительной скорости шаров. Методика измерений
При упругом соударении твѐрдые тела претерпевают деформацию. При этом кинетическая энергия в начальной фазе удара частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию сталкивающихся тел. Вслед за этим, в завершающей фазе удара, потенциальная энергия упругой деформации переходит в кинетическую энергию этих тел. Для понимания явления соударения реальных твѐрдых тел следует рассмотреть два предельных случая удара абсолютно неупругий удар и абсолютно упругий удар. При абсолютно неупругом ударе упругой деформации не возникает, а кинетическая энергия тел частично или полностью превращается во внутреннюю энергию. После удара тела объединяются и движутся с одинаковой скоростью, как единое твердое тело или покоятся. В этом случае выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения полной энергии системы тел механической и внутренней, но закон сохранения механической энергии не выполняется. При абсолютно упругом ударе кинетическая энергия тел частично или полностью превращается в потенциальную энергию упругой деформации, которая потом опять переходит в кинетическую энергию тел после удара. В случае абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. При этом система соударяющихся тел должна быть замкнутой. Абсолютно
упругий удар твердых тел является идеализацией, то есть в природе не существует. Рассмотрим подробнее соударение двух металлических шаров массами m
1
и m
2
, подвешенных на нитях длиной L, как показано на рис. Будем считать, что удар является центральным, те. в момент соударения шары движутся по прямой, проходящей через их центры.
01
m
2 m
1 Рис. 1.8
h
43 В исходном состоянии шары находятся в положении равновесия. Если правый шар массой m
1
отклонить на угол
01
и отпустить, ток моменту соударения его в нижней точке с неподвижным левым шаром он разовьет скорость v
01
. Эту скорость можно найти, записав закон сохранения механической энергии (1.28) для первого шара
2
v m
gh m
2 01 1
1
(1.34) Откуда gh
2
v
01
,
(1.35) где h – высота подъема центра масс шара 1 при отклонении его на угол Учитывая, что
2
sin
L
2
)
cos
1
(
L
h
01 2
01
, получаем
2
sin gL
2
v
01 2
01
(1.36) В результате соударения шар 2 приобретает скорость v
2
, а скорость первого шара станет равной v
1
. Эти скорости можно найти также из закона сохранения энергии по формулам, аналогичным (1.36)
2
sin gL
2
v
;
2
sin gL
2
v
2 2
2 1
2 1
(1.37) Здесь
1
и
2
– углы, на которые отклонятся, разлетевшись после удара, первый и второй шары, соответственно. Если бы удар шаров был абсолютно упругим, тов соответствии с законом сохранения импульса (1.7) и механической энергии (1.28), имели бы место равенства
2 2
1 1
01 1
v m
v m
v m
(1.38)
2
v m
2
v m
2
v m
2 2
2 2
1 1
2 01 1
(1.39) Реальные шары, однако, не являются идеально упругими, а удар – абсолютно упругим. Это не нарушает закон сохранения импульса
(1.38), но делает несправедливым равенство суммарных кинетических энергий шаров дои после соударения (1.39). Поэтому для характеристики близости реального упругого удара к абсолютно упругому вводятся коэффициент восстановления скорости k c
и коэффициент восстановления энергии k э, определяемые выражениями
44
,
K
K
K
K
K
K
k
;
v v
v v
v v
k
02 01 2
1 э 02 1
2 0
r r
c
(1.40) где v r0
, v r
– относительные скорости шаров дои после удара К, К – суммарные кинетические энергии шаров дои после удара. Пусть в рассмотренном опыте m
1
<
В этом случаем шары после удара движутся в разные стороны (скорость v
1
направлена противоположно скоростями, а скорость второго шара до удара v
02
= 0. Тогда можно записать
2
v m
2
v m
K
;
v v
v
0
K
,
2
v m
K
;
v v
2 2
2 2
1 1
1 2
r
02 2
01 1
01 01 0
r
(1.41) С учетом формулы (1.41) для коэффициентов восстановления из
(1.40) имеем
;
v v
v k
01 1
2
c
(1.42)
2 01 1
2 2
2 2
1 э v
m v
m v
m k
(1.43) Средняя сила удара шаров может быть найдена из второго закона Ньютона (1.3) v
m
F
,
(1.44) где - время соударения, v – изменение скорости одного из шаров за это время. Для второго шара начальная скорость v
02
= 0, поэтому
2 02 2
v v
v Тогда из (1.44) получаем выражение для расчета средней силы удара шаров
2 2
v m
F
(1.45) Экспериментальная установка В работе для исследования упругого удара шаров используется экспериментальная установка, общий вид которой приведен на рис.
45 К штативу 1 прикреплены на нитях при помощи специальных скобок два шара 2. Углы отклонения подвесов от вертикали определяются по шкале 3. Электромагнит 4 служит для удержания одного из шаров в отклоненном положении. Электромагнит может перемещаться вдоль шкалы 3. Электромагнит и соединенные тонкими проводами с металлическими скобками клеммы верхнего кронштейна 5 подключены к электронному блоку 6. Электронный блок предназначен для управления электромагнитом и регистрации времени соударения шаров. Порядок выполнения работы
1. Аккуратно вставить в правую скобу алюминиевый шар со стальной вставкой, а в левую скобу – стальной или латунный шар.
2. С помощью регулировочных опор выставить основание установки таким образом, чтобы нижние визиры скоб подвеса указывали на нулевые отметки шкалы 3.
3. Отрегулировать положение шаров в вертикальной и горизонтальной плоскостях до совмещения верхних визиров скоб подвеса. Регулировку производить изменением длины подвеса шаров, а Рис. 1.9 3
2 1
4 5
6
46 также изменением положения узлов крепления нитей на верхнем кронштейне.
4. Зарегистрировать в заголовке табл начальные положения шаров, отсчитанные по шкале 3: О – для правого шара и О – для левого шара.
5. Определить длину подвеса L (от центра шара до точки подвеса.
6. Переместить электромагнит по шкале 3 в крайнее правое положение и зафиксировать его.
7. Включить в сеть шнур питания электронного блока 6 и нажать клавишу «Вкл. сеть, расположенную на задней панели блока. После этого на табло индикации высветятся нули, а на электромагнит 4 будет подано напряжение. Таблица 1.2 Оград Оград (м) .
8. Произвести три соударения шаров, оставляя левый шар в положении равновесия, а правый, отклоняя на угол, задаваемый положением электромагнита. Определить при первом соударении шаров время удара , при втором – первый отброс (угол отклонения Серия
№ п.п.
N
01 град с
N
1 град град град град град.
2.
1 3.
4.
5. Среднее
1.
2.
2 3.
4.
5. Среднее
1.
2.
3 3.
4.
5. Среднее
47 подвеса от вертикали) правого шара N
1
, при третьем – первый отброс левого шара Каждое измерение производить следующим образом а) Отклонить правый шар до соприкосновения с электромагнитом и записать значение угла отклонения его подвеса от вертикали б) Убедившись, что левый шар находится в состоянии покоя, нажать кнопку Старт на электронном блоке 6. После этого произойдет удар шаров. в) Произвести отсчет либо времени удара , либо отброса правого шара N
1
, либо отброса левого шара г) Результаты измерений занести в табл. д) Нажать клавишу Стоп. При этом на табло
индикации электронного блока высветятся нули, а на электромагнит будет подано напряжение.
9. Выполнить измерения поп пять раз при одном и том же положении электромагнита.
10. Провести измерения , N
01
, N
1
и N
2
при трех положениях электромагнита, меняя значение N
01
в пределах (10 15)º.
11. Выключить электронный блоки питание электромагнита, нажав на клавишу «Вкл. сеть, расположенную на задней панели блока.
12. Найти средние значения времени соударения
, а также значений N
1
и N
2
для каждой серии измерений.
13. Определить углы отклонения шаров по формулам
,
O
N
;
O
N
;
O
N
2 2
2 1
1 1
1 01 01
(1.46) используя средние значения N
1
и N
2 14. Определить по формулами) скорости v
01
, v
1
, v
2
для каждой серии измерений и полученные значения занести в табл. 1.3. Таблица 1.3 m
1
= кг, m
2
= кг, Серия v
01 мс v
1 мс v
2 мс р
нач. кг мс р
кон. кг мс k
c
– э
– с
F
H
1 2
3 15. Взвесить шары на технических весах или узнать массы шаров у лаборантов. Записать полученные значения в заголовок табл.
48 16. Для каждой серии измерений а) Подсчитать начальный импульс системы (до соударения)
01 нач v
m p
(1.47) и конечный импульс
1 1
2 кон v
m v
m р,
(1.48) учитывая, что после удара шары движутся в противоположные стороны б) Сравнить значения начального и конечного импульсов по формуле нач кон p
p n
(1.49) в) Определить коэффициент восстановления скорости k c
по формуле (1.42). г) Рассчитать коэффициент восстановления энергии k э по формуле (1.43). д) Записать в табл среднее значение времени удара (из табл) и по формуле (1.45) определить среднюю силу удара
F. Занести полученные значения в табл.
17. Построить графики а) зависимости силы удара от относительной скорости сталкивающихся шаров F = f(v
01
); б) зависимости времени соударения от относительной скорости сталкивающихся шаров = f(v
01
). Контрольные вопросы
1. Какой удар называется абсолютно упругим
2. Какой удар называется абсолютно неупругим
3. Какие законы сохранения выполняются при абсолютно упругом ударе
4. Какие законы сохранения выполняются при абсолютно неупругом ударе
5. Какой удар называется центральным
6. Как определить среднюю силу центрального упругого удара шаров
7. Что характеризуют коэффициенты восстановления скорости и энергии
8. В каких пределах может изменяться коэффициент восстановления энергии
49 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № а Изучение неупругого удара шаров Цель работы проверка законов сохранения импульса и энергии, определение потерь энергии на неупругую деформацию при неупругом ударе. Методика измерений Рассмотрим применение законов сохранения импульса и энергии при соударении двух тел (рис. Будем рассматривать соударение двух неупругих шаров, движущихся вдоль прямой, соединяющей их центры. Такой удар называется центральным. При ударе шары деформируются. Часть энергии, которой они обладали, переходит в энергию деформации. При неупругом ударе кинетическая энергия тел полностью или частично переходит во внутреннюю. Тела после удара либо покоятся, либо движутся вместе с одинаковой скоростью как единое целое. При абсолютно неупругом ударе закон сохранения импульса выполняется, а закон сохранения механической энергии - нет. В этом случае можно говорить о выполнении закона сохранении в более широком смысле - о сохранении суммарной энергии (механической и внутренней. Запишем закон сохранения импульса v
)
m m
(
v m
v m
2 1
2 2
1 1
(1.50) и закон сохранения энергии
,
E
2
v
)
m m
(
2
v m
2
v m
2 2
1 2
2 2
2 1
1
(1.51) где m
1
, m
2
- массы соударяющихся шаров
2 1
v
,
v
- скорости их до удара v - скорость шаров после удара Е - энергия деформации. Изменение полной механической энергии соударяющихся тел в этом случае равно изменению их кинетической энергии Е = нач – K
конеч.
;
,
)
v v
(
)
m m
(
2
m m
2
v
)
m m
(
2
v m
2
v Е 2
1 2
1 2
1 2
2 1
2 2
2 2
1 где
)
v v
(
2 относительная скорость шаров перед ударом.
01
L h Рис. 1.10
50 При ударе неупругие тела приобретают деформацию, которая сохраняется после удара (остаточная деформация. При этом совершается работа, которая затрачивается на энергию деформации Е. Работа деформации равна убыли полной механической энергии тел
)
v v
(
)
m m
(
2
m m
E
A
2 2
1 2
1 Если второе тело до удара было неподвижно (
0
v
2
), то
K
)
m m
(
m v
)
m m
(
2
m m
E
1 2
1 2
2 1
2 1
2 В работе два шара из неупругого материала (пластилина) с массами m
1
и m
2
подвешены на нитях длиной L (рис. 1.10). Если шар 1 отклонить на угол
01
от его первоначального положения и отпустить, ток моменту соударения с неподвижным шаром 2 в нижней точке он будет иметь скорость v
1
:
,
gh
2
v
;
2
v m
gh m
1 2
1 где h - высота подъема центра масс шара m
1
при его отклонении на угол
01
. Из рис видно
2
sin
L
2
cos
L
L
h
01 До удара
2
sin gL
2
v
01 1
(1.52) После неупругого удара
,
2
sin gL
2
v
(1.53) где v, - начальная скорость и угол отклонения шаров после удара. Из соотношений (1.34) - (1.37) получим выражение для энергии, затраченной на деформацию при неупругом ударе
2
sin gL
m
2 2
sin
2
sin Е 2
2 01 2
1
(1.54) При m
1
= m
2
= m
2
sin
2 2
sin mgL
2
E
2 01 2
(1.55)
Доля энергии системы, потерянной при неупругой деформации
51 2
sin
2
sin
2 1
K
E
01 2
2 1
(1.56) Экспериментальная установка Общий вид экспериментальной установки изображен на рис. Она состоит из основания 1 с регулируемыми опорами 2, двух маятников 3 и 4 с механизмом изменения межцентрового расстояния 5, двух шкал 6, 7; электромагнита 11 и микросекундомера 10. Маятники представляют собой шары, подвешенные на нитях к вертикальной
9 8 5
3 4
11 12 7
10 14 17 16 15 13 6
1 2 Рис. 1.11
52 стойке. Нити двойные и имеют зажимы для регулировки и фиксации их длины. Механизм изменения межцентрового расстояния шаров приводится в действие ручкой 8 и фиксируется гайкой 9. Две шкалы служат для определения начальных углов и углов отклонения шаров от положения равновесия после удара. Шкалы можно перемещать и фиксировать в выбранном положении при помощи винтов. Максимальный отсчет по каждой шкале составляет 15 . Электромагнит предназначен для удержания подведенного к нему шара в отклоненном положении. Регулировка усилия притяжения шара осуществляется винтом 12. Положение электромагнита должно быть отрегулировано так, чтобы его ось совпадала с центром подведенного к нему шара и чтобы он правильно ориентировал шар в плоскости шкалы.
С помощью регулировочных опор 2 устанавливается вертикальное положение маятников в соответствии с уровнем. В исходном состоянии шары должны касаться друг друга, стрелки шаров должны находиться в параллельной вертикальной плоскости со шкалами.
Микросекундомер служит для измерения времени соударения шаров (в этой работе не используется. На передней панели установки находятся кнопка Сеть (13) для включения питания электромагнита (220 В кнопка Пуск (16) для отключения электромагнита. Порядок выполнения работы Перед началом измерения взвесить шары на аналитических весах или узнать их массы у лаборанта. Установить прибор устойчиво и горизонтально с помощью регулируемых опор 2. Шары должны соприкасаться в положении равновесия, что достигается регулировочным винтом 5. Удар должен быть центральным, что достигается регулированием длины нитей подвеса. Установить шкалы так, чтобы положение равновесия шаров было близко нулю каждой шкалы, закрепить шкалы. Зафиксировать положения равновесия шаров в делениях шкал. Включить установку в сеть 220 В, нажать кнопку Сеть на панели. При этом должны загореться лампы цифрового индикатора. Измерить длину нитей подвеса (до центра шаров) линейкой. Измерения повторить три раза. Найти среднее значение L и использовать его в расчетах. Упражнение 1.
1. Подвесить на нити два шара с покрытием из пластилина.
53 2. Отклонить первый шар до соприкосновения с электромагнитом. Шар будет удерживаться магнитом. Отметить показания по шкале
(рис.1.11).Определить угол отклонения шара
01 от начального положения (одно деление шкалы - 1 ).
3. Проверить, находится ли второй шар в состоянии покоя в положении равновесия (если нужно - придержать рукой.
4. Нажать кнопку Пуск. Произойдет неупругий удар шаров.
5. Определить угол отклонения шаров после удара и записать в табл. Таблица 1.4 Материалы шаров пластилин - пластилин
01 15 10 5
№ п.п град Е Дж
- град Е Дж
- град Е Дж
-
1 2
3 среднее значение
6. Используя формулу (1.54) или (1.55), рассчитать потери энергии при неупругом ударе Е - энергию деформации. Из формулы (1.56) найти .
7. Повторить п.п 1...5 три раза для каждого значения угла
01
= 15 ,
10 , 5 . Результаты занести в табл. Упражнение 2.
1. Заменить второй шар на металлический. Таблица 1.5 Материалы шаров пластилин - металл
01 15 10 5
№ п.п град Е Дж
- град Е Дж
- град Е Дж
-
1 2
3 среднее значение
54 2. Повторить упражнение 1.
3. Рассчитать потери энергии на неупругую деформацию по формулами занести в табл. Контрольные вопросы
1. Почему в работе требуется, чтобы удар был центральным
2. Чему равна потенциальная энергия упруго деформированного твердого тела
3. Могут ли быть скорости шаров после абсолютно упругого удара одинаковыми
4. Один шар движется, а другой неподвижен. Как изменится скорость первого шара после абсолютно упругого удара и после абсолютно неупругого удара, если массы шаров одинаковы Если масса второго шара значительно больше, чем первого Вопросы по разделу 1 1. В каком законе Ньютона встречается понятие силы
2. Какие силы Вызнаете. В чем заключается закон всемирного тяготения Ньютона
4. Что такое равнодействующая нескольких сил, приложенных к телу (материальной точке
5. Основное уравнение динамики поступательного движения тела.
6. Что такое импульс тела и импульс силы
7. Третий закон Ньютона.
8. Что называется замкнутой механической системой
9. Закон сохранения импульса.
10. Работа, мощность.
11. В чем особенности консервативных сил
12. Показать, что сила тяжести консервативна.
13. Когда выполняется закон сохранения полной механической энергии
14. Какое поле называется потенциальным
15. Какой удар называется абсолютно упругим Абсолютно неупругим
16. Какие законы сохранения выполняются при абсолютно упругом ударе
17. Какие законы сохранения выполняются при абсолютно неупругом ударе
18. Чем объясняется уменьшение механической энергии при абсолютно неупругом ударе
19. Получите выражение для потенциальной энергии сжатой пружины.
55 РАЗДЕЛ Вращательное движение твердого тела Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси - движение с одной степенью свободы. Мера перемещения тела - вектор
d
- направлен вдоль оси вращения Z по правилу правого винта (рис. Угловая скорость тела равна отношению вектора элементарного углового смещения тела к продолжительности этого смещения
;
dt d
dt d
(2.1) При равномерном вращении угловая скорость = const, а угол поворота = t. Линейная скорость v
произвольной точки А, удаленной на расстояние R от оси Z:
;
dt dS
v dS = Rd =R dt; Получаем v = R . Вектор
R
, тогда можно записать
]
[
R
,
v
(2.2) С другой стороны
].
R
,
]
r
,
[
)]
R
r
(
,
]
r
,
[
v
[
[
z Но так как вектора
и z
r
коллинеарны, то Вектор t , характеризующий быстроту изменения угловой скорости, называется угловым ускорением dt d
(2.3) Если угловая скорость возрастает, то вектор углового ускорения направлен по оси вращения в туже сторону, что и
. Приуменьшении направление вектора
противоположно Линейное ускорение точки А (рис) получаем, используя выражение для скорости (2.2):
],
R
,
[
R
]
R
,
[
]]
R
,
[
[
]
R
,
[
]
v
,
[
a a
dt v
d a
2
n
(2.4) где n
a - нормальное a
- тангенциальное ускорение.
Z
Z
d v
d dS r
z r
A Рис. 2.1
R
56 Введем понятия момента силы и импульса относительно неподвижной точки О. Моментом силы относительно неподвижной точки О называется векторное произведение радиуса-вектора r
, проведенного из точки О к точке приложения силы, насилу (см. рис
]
[
F
,
r
M
. (2.5) Модуль этой величины
,
FL
sin где sin r
L
- плечо силы, те. кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы, - угол между векторами и Вектор М перпендикулярен плоскости, в которой находятся вектора, и направлен по обычному правилу векторного произведения. Аналогично моментом импульса материальной точки m относительно неподвижной точки О называется векторное произведение
]
v m
,
r
[
L
,
(2.6) модуль которого sin Получим связь моментов силы Ми импульса L
. Производная повремени от момента импульса частицы равна dt
)
v m
(
d
,
r v
m
,
dt r
d
]
v m
,
r
[
dt d
dt
L
d
(2.7) Так как v
dt r
d
, то первое слагаемое в (2.7)
0
]
v m
,
v
[
v m
,
dt Согласно (1.3) второе слагаемое можно представить в виде
M
]
F
,
r
[
dt
)
v m
(
d
,
r
(2.8) Подставляя (2.8) в (2.7), получаем уравнение моментов для материальной точки.
M
dt
L
d
(2.9)
L Рис. 2.2
М
F
О
57 Распространим (2.9) на систему материальных точек. Запишем (2.9) для каждой точки, учитывая, что на нее действуют как внутренние, таки внешние силы. При сложении этих уравнений сумма моментов внутренних сил обратится в нуль и получим уравнение моментов для системы материальных точек n
1
i внеш,
(2.10) те. производная повремени от момента импульса системы материальных точек относительно неподвижной точки О равна векторной сумме моментов всех внешних сил относительно той же точки О. Для замкнутой системы n
1
i внеш и получаем закон сохранения момента импульса для системы материальных точек const
L
L
n
1
i i
(2.11) Для получения уравнения движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, следует применить уравнение (2.9), взяв проекцию этого уравнения для точек тела на ось вращения Z. Если к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, приложена сила F
, то момент силы относительно оси Z рис) будет z
z
]
[
F
,
R
M
. (2.12) Так как F
можно представить в виде (рис
,
F
F
F
F
R
z
(2.13) то
;
0
F
,
R
0
F
,
R
F
,
R
F
,
R
F
,
R
z z
R
z z
z следовательно z
z
]
[
F
,
R
M
,
(2.14) то есть величина момента силы относительно оси Z определяется тангенциальной составляющей силы F
и плечом ее Уравнение динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Z
R
F
F
Z
Z Рис. 2.3
58
M
dt
L
d z
z
(2.15) Здесь z
L
- момент импульса вращающегося тела относительно оси вращения. В соответствии с рис для системы материальных точек, составляющих вращающееся тело n
1
i n
1
i n
1
i z
i i
i z
i i
zi z
i i
i z
;
]
v m
,
R
[
]
v m
,
r
[
]
v Вектор n
1
i i
i zi
]
v m
,
r
[
перпендикулярен оси Z и поэтому первое слагаемое равно нулю. Тогда n
1
i n
1
i
2
i i
2
i i
n
1
i n
1
i i
i i
z i
i i
z
R
m
R
m
]]
R
,
[
m
,
R
[
]
v m
,
R
[
L
(2.16) Сумма произведений масс m всех материальных точек, составляющих тело (систему тел) на квадраты их расстояний R
i от некоторой оси (вращения, называется моментом инерции системы относительно этой оси. n
1
i
2
i i
,
R
m
J
(2.17), где J - скалярная величина, в системе СИ измеряется в кг м
2
Тогда из (2.16) и (2.17) получаем
J
L
z
(2.18) Продифференцировав повремени выражение (2.18) имеем
).
J
(
dt d
M
)
L
(
dt d
z Если момент инерции вращающегося тела постоянен, то
J
dt d
J
M
z
(2.19) Это основное уравнение динамики вращательного движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Теорема Штейнера (рис момент инерции тела относительно произвольной оси О равен сумме момента инерции
Z
Z
O
O
C m a Рис. 2.4
59 тела относительно оси “Z”, проходящей через центр масс Си параллельной данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния а между осями. ma
J
J
2
z
0
(2.20) Кинетическая энергия вращающегося относительно неподвижной оси тела также зависит от его момента инерции К) Элементарная работа при вращении твердого тела А = М d ,
(2.22) где М - вращающий момент, d - угол поворота тела под действием момента М. Из уравнения (2.15) вытекает закон сохранения момента импульса для тела или системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси. В самом деле, если для замкнутой системы
0
M
z
, то n
1
i i
i z
const
J
L
(2.23) где n - число тел системы.
То есть, если суммарный момент сил, действующий на тело или систему тел относительно оси вращения, равен нулю, то момент импульса этого тела или системы тел относительно оси вращения остается неизменным. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № ф) Определение момента инерции диска с отверстием и расчет погрешностей Цель работы Измеряя геометрические размеры и массу диска, рассчитать его момент инерции. Методика измерений В работе момент инерции определяется для круглой тонкой металлической пластины (диска) радиусом R
1
с круглым отверстием радиусом R
2
(рис. Пластины изготовлены из разных материалов сталь, латунь, сплав алюминия. Расчет момента инерции производится относительно оси ОО, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его геометрический центр.
60 Момент инерции (2.17) материальной точки массой m относительно оси, от которой она удалена на расстояние r, равен
2
mr
J
(2.24) Получим выражение для момента инерции J
0
тонкого сплошного диска массой m и радиусом R относительно оси ОО, перпендикулярной его плоскости и проходящей через его геометрический центр (рис. Введем понятие поверхностной плотности массы диска
2
R
m
(2.25) Представим, что система материальных точек сосредоточена внутри кольца радиусом r бесконечно малой ширины dr. Тогда площадь кольца rdr
2
ds
, а масса
2
R
mrdr
2
ds dm
(2.26) Момент инерции кольца относительно оси ОО:
2 3
2 0
R
dr mr
2
dm r
dJ
(2.27) Для нахождения момента инерции диска относительно оси ОО проинтегрируем выражение (2.27)
2
mR
dr r
R
m
2
dJ
J
2
R
0 3
2
R
0 0
0
(2.28) Момент инерции диска с круглым отверстием (рис) можно определить как разность моментов инерции сплошного большого диска
0
J и малого диска
0
J , который занимал бы отверстие в большом диске и был сделан из того же материала и имел такую же толщину Рис. 2.5
ZZ
OO a Рис. 2.6
O
O dr r
R
61 0
0 0
J
J
J
(2.29) Момент инерции большого сплошного диска массой m
1
согласно формуле (2.28) равен
2
R
m
J
2 1
1 0
,
(2.30) а малого диска массой m
2
определяется по теореме Штейнера (2.20)
2 2
2 2
2 0
a m
2
R
m
J
(2.31) Следовательно, из формул (2.29) – (2.31) имеем
)]
a
2
R
(
m
R
m
[
2 1
a m
2
R
m
2
R
m
J
2 2
2 2
2 1
1 2
2 2
2 2
2 1
1 0
. (2.32) Масса m диска с вырезом равна
2 1
m m
m
(2.33) и может быть определена с помощью технических весов. Выразим m
1
и m
2
через массу m диска с вырезом. Для этого запишем m
1
, m
2
и m через поверхностную плотность материала
(2.25):
2 2
1 1
S
m и, где
2 2
2 2
1 1
R
S
и
R
S
Следовательно
2 2
2 2
1 1
R
m и) Подставляя (2.34) в (2.33), получаем выражение для массы диска с вырезом
)
R
R
(
m
2 2
2 1
(2.35) Из (2.34) и (2.35) можно получить формулы для расчета масс m
1
и m
2
через массу m:
2 1
2 2
2 2
1 2
1 1
)
R
R
(
1 1
R
R
R
m m
,
2 1
2 1
)
R
R
(
1
m m
;
(2.36)
1
)
R
R
(
1
R
R
R
m m
2 2
1 2
2 2
1 2
2 2
,
62 1
)
R
R
(
m m
2 2
1 2
(2.37) Подставляя m
1
ив формулу (2.32), получаем
1
)
R
R
(
)
a
2
R
(
m
)
R
R
(
1
mR
2 1
J
2 2
1 2
2 2
2 1
2 2
1 0
(2.38) Так как геометрический центр на диске не обозначен, то с помощью штангенциркуля измеряют не радиусы диска R
1
и отверстия R
2
, а их диаметры
2 1
R
2
d и. Расстояние между осями а определяют по измерениям, показанным на рис 2
D
2
d
L
a
. (2.39) Тогда окончательно расчетная формула для момента инерции J
0
диска с вырезом примет вид
1
)
d
D
(
)
D
d
L
2
(
2
d
)
D
d
(
1
D
8
m
J
2 2
2 2
2 0
(2.40) Экспериментальная установка В состав экспериментальной установки входят
1) диск с круглым отверстием.
2) штангенциркуль для измерения геометрических размеров диска,
3) технические весы и разновески для определения массы диска. Порядок выполнения работы
1. Измерить штангенциркулем (рис) диаметр диска D и отверстия d трижды с угловым смещением 120 . Результаты измерений записать в табл.
2. Измерить штангенциркулем размер L дважды с двух сторон диска.
3. Определить массу диска с вырезом m двукратным взвешиванием навесах, меняя местами диски разновески.
4. Рассчитать средние арифметические значения и. Используя средние значения и, по формуле (2.40) определить момент инерции диска с вырезом Рис. 2.7 a
L
D d
63 Таблица 2.1
№ п.п
D мм мм мм мм мкг кг
2
m кг кг мкг м 1
–
2
–
3
–
–
–
–
– ср.
6. Вычислить доверительную и относительную погрешность измерения по формулами Контрольные вопросы
1. Вывести формулу для момента инерции сплошного диска относительно оси, проходящей через центр масс.
2. Как в работе определяется масса диска с вырезом и вырезанной части диска
3. Как в работе измеряется расстояние между центром диска и осью отверстия ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 Экспериментальное определение момента инерции вращающейся системы Цель работы измерение и теоретический расчет момента инерции системы тел и изучение вращательного движения твердого тела. Методика измерений Маятник Максвелла (рис) представляет собой диск, жестко посаженный на стержень и подвешенный на двух параллельных нитях бифилярный подвес. Намотав нити на стержень, маятник можно поднять на некоторую высоту h
0
, то есть сообщить ему потенциальную энергию относительно нижнего положения, которое определяется длиной нити подвеса. В верхнем положении маятник освобождают. Силы и моменты сил, действующих на маятник, сообщают ему одновременно поступательное и вращательное движение. Считая данную физическую систему (подвес - маятник - Земля) замкнутой, запишем для нее закон сохранения энергии
,
mgh mgh
2
mv
2
J
0 2
2
(2.41)
64 где J - момент инерции маятника относительно оси стержня m - масса маятника, равная массе диска
6 со стержнем 7 (см. рис) и массе сменного колеса 8;
- угловая скорость маятника v - скорость центра масс h
0
- начальная высота подъема маятника. Начальное состояние системы при t = 0: h = h
0
; v = 0; = 0; U = Конечное состояние системы h = 0; v = v max
; = max
; U = 0. Легко показать, что при выполнении соотношения (2.41) ускорение маятника а
является постоянным. Для этого продифференцируем (2.41) повремени, учитывая, что скорость центра масс dt dh v
связана с угловой скоростью маятника и радиусом r стержня, на который наматывается нить, соотношением v = r:
0
dt dh mg dt dv mv dt или, разделив на v,
0
mg dt dv m
dt dv Следовательно, так как для данного маятника J, m и r являются постоянными, ускорение а будет равно const mr
J
1 1
g dt dv а,
(2.42) При аи в выбранной системе отсчета (рис)
,
2
at
S
2
(2.43) где t - время падения маятника S = (h
0 h) - расстояние, пройденное телом за это время. Из соотношений (2.42) и (2.43) находим момент инерции маятника max v
h
0 h
0 a
v
t=0 Рис. 2.8
65 1
S
2
gt mr
J
2 2
(2.44) Из (2.44) видно, что, измерив непосредственно t, S, r и m, можно изданных опыта найти момент инерции тела. Однако электромагнит 13
(рис.2.10б),
удерживающий маятник в начальном положении, обладает инерционностью. После выключения он продолжает удерживать диск еще некоторое время t. При одновременном включении миллисекундомера и размыкании цепи электромагнита отсчет времени начинается на t секунд раньше начального момента падения маятника. Измеренное значение времени падения получается завышенным. Эту систематическую ошибку можно исключить. Запишем формулу (2.43) с учетом t, времени задержки тела электромагнитом
2
)
t или
).
t t
(
2
a
S
(2.45) Из (2.45) видно, что график зависимости
)
t
(
f
S
(рис) представляет собой прямую с угловым коэффициентом
2
a При этом величина t не влияет на наклон прямой, а значит, и на точность определения ускорения, которое будет равно а = 2k
2
(2.46) Поэтому окончательную формулу для определения момента инерции запишем в виде
,
1
a эксп) где а - ускорение центра масс маятника, определяемое по наклону прямой рис) из формулы (2.46); r - радиус стержня m - масса маятника m = m
0
+ m
1
; m
0
- масса диска 6 со стержнем 7 (указана на диске m
1
- масса сменного кольца 8 (указана на каждом кольце. t
(t– t) мс Рис. 2.9
66 Экспериментальная установка Общий вид экспериментальной установки показан на рис. На вертикальной стойке 12 основания 1 крепятся два кронштейна верхний 2 и нижний 3. Верхний кронштейн снабжен электромагнитами
13 и устройством 4 для крепления и регулировки бифилярного подвеса
5. Маятник представляет собой диск 6, закрепленный на стержне 7, подвешенном на двух нитях. На диске крепятся сменные кольца 8. Масса сменных колес 8 указана на каждом кольце. Маятник со сменными кольцами фиксируется в верхнем исходном положении с помощью электромагнита. На вертикальной стойке нанесена миллиметровая шкала 14, по которой определяется ход маятника. Фотоэлектрический датчик 9 закреплен на кронштейне 3. Кронштейн 3 обеспечивает возможность перемещения фотодатчика
13 4 2
12 3
15 1
16 6
8 11 10 14 5
7 9 а) Рис. 2.10 б)
67 вдоль вертикальной стойки и его фиксирования зажимом 15 в любом месте шкалы в пределах (0 - 420) мм.
Фотодатчик 9 предназначен для выдачи электрических сигналов на миллисекундомер 10, который является прибором для измерения времени. Порядок выполнения работы Упражнение 1. Экспериментальное определение момента инерции
1. Установить по высоте кронштейн 3 в крайнее нижнее положение так, чтобы его поверхность, окрашенная в красный цвет (служит указателем, совпадала с нижней отметкой шкалы 14 (цифра 40).
2. Надеть и закрепить сменное кольцо 8 на диск 6. Установить необходимую длину нити (с помощью устройства 4) так, чтобы нижняя кромка сменного кольца находилась на (4 - 5) мм ниже оптической оси метка 11) фотодатчика. Ось маятника должна быть горизонтальной.
3. С помощью регулировки опор 16 добиться того, чтобы диск 6 на бифилярном подвесе находился посередине фотодатчика 9.
4. Нажать кнопку Сеть на панели миллисекундомера 10.
5. Накрутить нити на стержень 7 виток квитку и зафиксировать маятник в верхнем положении при помощи электромагнита 13. Нити подвеса в этом положении должны быть слегка ослабленными.
6. Установить индикатор отсчета времени на ноль, нажав кнопку Сброс. Таблица 2.2
Кольцо № 1
№ п.п
S м t c t
c а м/с
2
J
эксп кг м 1
2 3
1 2
3 1
2 3
1 2
3
68 7. Нажать кнопку Пуск. Происходит выключение электромагнита и включение миллисекундомера. В момент пересечения маятником оптической оси фотодатчика отсчет времени прекращается.
8. Вновь поднявшийся маятник в верхнем положении задержать рукой и осторожно опустить вниз, размотав нить.
9. Записать время падения маятника t по миллисекундомеру, а также расстояние S между начальными конечным положением маятника в табл.
10. Повторить еще два раза измерения по п.п. 4...9 и найти среднее значение времени движения груза t
11. Проделать операции 2...10 для трех – пяти различных значений расстояния S, устанавливая его перемещением кронштейна 3. Для каждого значения расстояния S предварительно установить нужную длину подвеса (п.
12. Построить график зависимости
)
t
(
f
S
, откладывая по оси абсцисс среднее значение времени t
для каждого расстояния S. (рис. 2.9).
13. По наклону прямой определить ускорение маятника а = 2k
2 14. По формуле (2.47) вычислить момент инерции.
15. Проделать измерения (п.п. 1...14) с другим сменным кольцом и записать результаты измерения в табл. Таблица 2.3
Кольцо № 2
№ п.п
S м t c t
c а м/с
2
J
эксп кг м 1
2 3
1 2
3 1
2 3
1 2
3 16. Рассчитать доверительную и относительную погрешность измерения для одного из опытов.
69 Упражнение 2. Теоретическое вычисление значения момента инерции маятника На рис 1 - стержень (m
1
, r, 2L, J
1
); 2 - диск (m
2
, R
1
, J
2
); 3 - сменное кольцо (m
3
, R
1
, R
2
, J
3
). Момент инерции стержня r
m
2 1
J
2 Момент инерции диска
R
m
2 1
J
2 1
2 Момент инерции сменного кольца
).
R
R
(
m
2 1
J
2 2
2 1
3 Массу m
1
или m
2
определяют по известной плотности материала
( = 2700 кг/м
3
) и соответствующим геометрическим размерам. Для всех лабораторных установок m
0
= m
1
+ m
2
; m
0
= 0,135 кг,
J
J
J
J
3 2
1
тeop
Радиусы R
1
и R
2
и другие необходимые размеры измеряют штангенциркулем. Масса m
3
указана на каждом сменном кольце (или сообщается лаборантом. Сравнение расчетных и экспериментальных результатов т эксп т тeop
Скачать 3.95 Mb.