В. М. Анисимов, И. Н. Данилова
 Скачать 3.95 Mb.
|
|
0 , что и при нагревании пустого калориметра. Сделать 7 – 10 измерений времени нагревания калориметра с образцом через интервал температуры 1 С. Показания секундомера занести в табл. 8. Выключить нагреватель, открыть крышку калориметра и вынуть образец. 9. Построить график ( – 0 ) = f(t – t 0 ), откладывая по оси ординат разность времени нагревания калориметра с образцом и пустого калориметра ( – 0 ), а по оси абсцисс - изменение температуры калориметра (t – t 0 ). Понанесенным опытным точкам провести усредненную прямую и по формуле (4.81) определить угловой коэффициент k наклона прямой коси абсцисс. 10. По формуле (4.82) рассчитать теплоемкость С образца. 11. По формулами) определить удельную уди молярную мол C теплоемкости образца, используя для этого данные табл. 4.10. 12. Оценить погрешность результатов измерений. 13. Выключить установку тумблером Сеть. Контрольные вопросы 1. В чем заключается метод электрического нагрева для определения теплоемкости твердых тел 2. Почему в данной работе нагревание пустого калориметра и калориметра с образцом производится при одной и той же мощности источника питания нагревательного элемента 3. Рассчитайте согласно закону Дюлонга и Пти удельные теплоемкости алюминия 27 13 Al и железа 56 Вопросы по разделу 4 1. Какой газ называется идеальным Уравнение состояния идеального газа, границы его применимости. 2. Что такое изопроцессы и каким законам они подчиняются 3. Первое начало термодинамики, его физический смысл. 4. Расчет работы, совершаемой газом, и его внутренней энергии. 5. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам. 176 6. Что называется теплоемкостью вещества, а также удельной и молярной теплоемкостью 7. Как связаны молярные теплоемкости моли мол Вывести соотношение Майера. 8. Каков физический смысл универсальной газовой постоянной 9. Адиабатический процесс. Вывод уравнения Пуассона. 10. Первое начало термодинамики и работа газа в адиабатическом процессе. 11. Что называется числом степеней свободы молекул В чем заключается закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул 12. Расчет теплоемкостей моли мол идеального газа. 13. Расчет теплоемкости твердых тел. Закон Дюлонга и Пти. 14. Обратимые и необратимые процессы. Энтропия, ее физический смысл. 15. Второе начало термодинамики. Его формулировки и физический смысл. 16. Тепловые двигатели. Кпд. теплового двигателя. 17. Цикл Карно. Кпд. цикла Карно. 177 РАЗДЕЛ Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса Существует два подхода к описанию физических свойств систем, состоящих из большого числа частиц. С одной стороны, можно использовать термодинамический метод, при котором не рассматриваются внутреннее строение изучаемой системы и характер движения отдельных частиц. При этом состояние системы описывается набором термодинамических параметров (давление, температура, объем, концентрация и т.д.), характеризующих состояние системы в целом. С другой стороны, можно использовать статистический метод, основанный на использовании теории вероятностей. Сточки зрения молекулярной физики термодинамические параметры есть некие средние величины, характеризующие состояние системы в целом, которые могут быть определены из законов движения атомов или молекул на основе статистической физики. Статистические закономерности изучаются с помощью теории вероятностей. В теории вероятностей существует понятие случайного события, которое в результате опыта (или какого-либо действия) может как произойти, таки не произойти. Вероятность случайного события есть количественная мера ожидаемой возможности его появления. Так, если произведено N опытов, то при большом их числе вероятность w i какого-либо события , N N lim w i N i (5.1) где N i - число опытов, в которых произошло данное событие. В молекулярной физике в качестве опыта можно рассматривать измерение той или иной физической величины (например, скорости, импульса, энергии и т.д.) ив этом случае событием будет являться равенство результата измерений определенному значению. Поскольку для всех возможных событий в данных опытах N N i , то приходим к условию 1 N N 1 N N w i i i (5.2) Формула (5.2) носит название условия нормировки вероятности. Перейдем к случаю, когда характеризующая событие случайная величинах может принимать непрерывный ряд значений (например, скорость хаотического движения частиц. Теперь уже можно говорить не о вероятности совершения того или иного события, а о вероятности 178 получения результата в диапазоне от х дох+ х. Рассматривая малый интервал значений dx, имеем , N dN dw (5.3) где dw - вероятность получения результата в интервале от х дох+ х, dN - число опытов, в которых получен результат от х дох. Ясно, что вероятность dw пропорциональна ширине интервала dx, то есть dx ) x ( f dw , (5.4) где функция f(x), с помощью которой можно аналитически рассчитать вероятность dw, носит название функции распределения вероятностей или плотности вероятности. Тогда dN = N f(x)dx. (5.5) Свойства функции распределения 1. Условие нормировки. Согласно (5.2) для непрерывного распределения результата получаем (если х меняется от до ) 1 dx ) x ( f dw (5.6) Из выражения (5.6) следует, что площадь под графиком функции f(x) (рис) во всем диапазоне изменениях равна единице. 2. Вероятность w получения результата, лежащего в диапазоне от ха дох определяется по формуле b a dx ) x ( f w (5.7) Как показано на рис, вероятность w представляет собой площадь под графиком функции f(x) в диапазоне изменениях от а до b. Для числа опытов N, в которых получаем интересующий нас результат от а до b, согласно (5.5) имеем b a dx ) x ( f N N (5.8) Вообще говоря, интегрирование ведется во всем диапазоне значений х, в частности, это может быть и (0, ∞) для модуля скорости или энергии и т.д. f(x) a b x w Рис. 5.1 179 3. Зная функцию распределения f(x), можно найти среднее значение результатов измерения величины х. Среднее значение любой функции х) вычисляется по формуле х) 5.1 Распределение Максвелла Рассмотрим газ в состоянии теплового равновесия при температуре Т. Молекулы газа находятся в беспорядочном, хаотическом движении. Скорости молекул могут быть самыми различными и случайным образом изменяться при столкновении с другими молекулами. Перейдем к изучению закономерностей распределения молекул газа по скоростям. Рассмотрим распределение молекул по величине модулю) скорости v. Согласно (5.3) и (5.4) вероятность dw v того, что величина скорости у произвольно взятой молекулы находится в интервале от v до v + dv, равна dv ) v ( f N dN dw v v (5.10) Здесь v dN - число молекул, скорости которых лежат в интервале от v до v + dv; N - суммарное число молекул в газе. Вид функции распределения f(v) был получен Максвеллом (см.рис.5.2) 2 2 0 2 3 0 v 4 kT 2 v m exp kT 2 m ) v ( f , (5.11) где m 0 - масса молекулы газа, Т - температура газа, k = 1,38 10 23 Дж/К - постоянная Больцмана. f(v) 0 v v+dv v Рис 180 Для относительного числа молекул, имеющих величину скорости в диапазоне от v до v + dv, согласно (5.10) получаем так называемое распределение Максвелла по модулю скорости dv v 4 kT 2 v m exp kT 2 m N dN dw 2 2 0 2 3 0 v v (5.12) С помощью распределения Максвелла можно рассчитать характерные скорости молекул. 1. Наиболее вероятная скорость v в находится из условия, что функция f(v) максимальна, то есть Подставляя (5.11) и производя преобразования, получаем , RT 2 m в) где R = 8,31 Дж/(моль К) - универсальная газовая постоянная, - молярная масса газа. 2. Средняя арифметическая скорость молекул находится согласно формуле (5.9) интегрированием RT 8 m kT 8 dv ) v ( f v v 0 0 (5.14) 3. Средняя квадратичная скорость молекулы по определению равна кв ср (5.15) Находим согласно (5.9) выражение для 2 v : m kT 3 dv ) v ( f v v 0 0 2 Следовательно, с учетом определения (5.15), имеем RT 3 m кв ср (5.16) 5.2 Распределение Больцмана До сих пор мы считали, что на молекулы газа не действуют внешние силы. Теперь рассмотрим распределение частиц во внешнем потенциальном поле. Если поле отсутствует, то каждая молекула газа 181 может с равной вероятностью оказаться в любой точке пространства, занятого газом, то есть концентрация молекул будет везде одинакова. Как показал Больцман, при наличии внешнего потенциального поля вероятность z , y , x dw того, что молекула (взятая наугад) окажется в элементе объема dV = dxdydz вблизи точки с координатами x, y, z dxdydz kT ) z , y , x ( U exp B N dN dw z , y , x z , y , x , (5.17) где z , y , x dN - число молекулу которых координатах лежит в пределах от х дох, при этом y лежит в пределах от y дои координата z в пределах от z до z + dz; U(x,y,z) - потенциальная энергия молекулы во внешнем силовом поле. Из формулы (5.17) следует, что , kT ) z , y , x ( U exp BN ) z , y , x ( n dxdydz dN z , y , x где n(x, y, z) - концентрация молекул в в физически малом объеме вблизи точки (x, y, z). Полагая n(x 0 , y 0 , z 0 ) = n 0 , где n 0 - концентрация газа там, где U(x 0 , y 0 , z 0 ) = 0, получаем распределение Больцмана в общем виде kT ) z , y , x ( U exp n ) z , y , x ( n 0 (5.18) В качестве примера рассмотрим распределение газа в атмосфере Земли (считая температуру постоянной. Для молекулы газа вблизи поверхности Земли U(x, y, z) = m 0 gz, где z - высота над поверхностью Земли. Тогда концентрация молекул на высоте z: , kT gz m exp n ) z ( n 0 0 (5.19) где n 0 - концентрация молекулу поверхности Земли. Используя уравнение состояния идеального газа P = nkT, получим зависимость атмосферного давления от высоты , kT gz m exp P ) z ( P 0 0 (5.20) которая называется барометрической формулой. 182 5.3 Физические основы явлений переноса в газах Явления переноса обусловлены хаотическим движением молекул газа, которые, переходя из одних точек пространства в другие, переносят присущие им импульс, энергию и массу. К таким явлениям относятся внутреннее трение или вязкость (обусловленная переносом импульса, теплопроводность (обусловленная переносом энергии) и диффузия (обусловленная переносом массы вещества. Определяющую роль в явлениях переноса играют столкновения молекул в процессе их хаотического движения, вследствие чего все явления переноса протекают со скоростями, существенно меньшими скорости теплового движения. Для изучения движения молекул газа удобно использовать модель движения твердых упругих шаров, которые в промежутках между столкновениями перемещаются по инерции равномерно и прямолинейно. В момент столкновения происходит изменение скорости их движения как по величине, таки по направлению. Введем некоторые количественные характеристики. Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры молекул, называют эффективным диаметром d эф молекул. При увеличении температуры газа эффективный диаметр молекул уменьшается, однако в первом приближении в небольшом интервале температур d эф можно считать величиной постоянной для данного газа. Другой характеристикой является средняя длина свободного пробега молекул, то есть среднее расстояние, которое молекулы пробегают между двумя последовательными столкновениями , n d 2 эф) где n - концентрация молекул газа, те. число молекул в единице объема. При известных температуре Т и давлении Р газа она может быть определена из уравнения состояния идеального газа kT P n (5.22) За одну секунду молекула газа пробегает расстояние, равное ее средней скорости. Следовательно, среднее число столкновений молекулы за одну секунду z будет равно , v z (5.23) где v - средняя арифметическая скорость теплового движения молекул газа (5.14): 183 RT 8 m Явления переноса возникают при нарушении равновесия в системе, носят необратимый характер и стремятся привести систему в равновесное состояние. Они вызваны неодинаковыми значениями какой-либо величины в пространстве. Так, внутреннее трение вызвано разными скоростями течения слоев газа, теплопроводность - разностью температур слоев, диффузия - переменной концентрацией частиц вещества. Неоднородность в пространстве значений величины может быть задана с помощью ее градиента - вектора, характеризующего изменение этой величины при перемещении на единичную длину и направленного в сторону наиболее быстрого ее возрастания. При записи уравнений переноса будем полагать, что изменение этой величины происходит только вдоль одной из координат, например, вдоль оси ОХ. 5.4 Вывод уравнений переноса на основе молекулярно- кинетической теории газов Внутреннее трение (вязкость) Если скорость потока газа меняется от слоя к слою, тона границе между смежными слоями действуют силы внутреннего трения, которые стремятся выровнять скорости слоев. Рассмотрим поток газа, распространяющийся вдоль оси О рис. Его скорость изменяется непрерывно от слоя к слою по закону u = u(x). Каждая молекула газа обладает двумя типами движения упорядоченным со скоростью u и хаотическим тепловым движением со скоростью v . Выделим воображаемую поверхность площадью S, параллельную скорости течения слоев газа. За счет хаотического движения молекулы более быстрого слоя, расположенного слева от поверхности, переходят в более медленный слой, находящийся справа, и при столкновении передают часть своего упорядоченного импульса молекулам медленного слоя, ускоряя их движение. Это означает, что слой газа, расположенный справа от поверхности площадью S, будет подвергаться действию силы, направленной вдоль оси OY (по скорости упорядоченного движения слоев газа. В тоже время молекулы правого слоя, переходя в левый, при столкновении забирают часть упорядоченного импульса у более быстрых молекул этого слоя, тормозя их движение. Соответственно 184 на слой газа, расположенный слева от поверхности, будет действовать сила, направленная в сторону, противоположную скорости u упорядоченного движения (то есть противоположно оси OY). Эти силы и являются силами внутреннего трения. Каждая молекула, проходящая через поверхность площадью S, имеет импульс m 0 u, определяемый скоростью упорядоченного движения в том месте, где произошло последнее столкновение этой молекулы с другой. В среднем это соударение происходит на расстоянии от поверхности, равном средней длине свободного пробега Поэтому для молекул, движущихся в направлении оси ОХ, примем, что их скорость будет x u u , а для молекул, движущихся в противоположном направлении, - x u u , тогда импульс, переносимый через поверхность за одну секунду, будет ), u u ( Nm p x где N - число молекул, проходящих через поверхность площадью S в выбранном направлении за одну секунду. Согласно второму закону Ньютона, это и есть сила внутреннего трения, действующая между слоями газа вдоль поверхности площадью S. То есть силу внутреннего трения можно записать следующим образом u u Nm F x x 0 (5.24) Найдем число молекул, проходящих за одну секунду через поверхность S. Упрощенно представим, что молекулы движутся вдоль трех взаимно перпендикулярных осей ОХ, OY, OZ со средней арифметической скоростью v хаотического движения. Так как направления движения равновероятны, то одна треть всех молекул движется вдоль оси ОХ, причем половина из них - в положительном направлении. Соответственно, через поверхность площадью S за одну Y 0 X х - х х + p dx du F F u = u(x) Рис. 5.3 S 185 секунду как справа налево, таки слева направо будет проходить следующее число молекул S v n 6 1 N (5.25) Подставляя (5.25) в (5.24), получаем выражение для силы внутреннего трения в виде u u Sm v n 6 1 F x x 0 (5.26) Так как средняя длина свободного пробега молекул очень мала, разность скоростей в выражении (5.26) можно представить через градиент скорости газа dx du : dx du 2 u u x Учитывая, что произведение nm 0 равно плотности газа , можно записать S dx du v 3 1 F (5.27) Величина v 3 1 (5.28) называется коэффициентом вязкости (внутреннего трения. С учетом (5.28) выражение (5.27) принимает вид , S dx du F (5.29) и называется формулой Ньютона для силы внутреннего трения. Из уравнения (5.29) следует, что коэффициент вязкости численно равен силе внутреннего трения, действующей на единицу площади поверхности соприкасающихся слоев газа при единичном градиенте скорости. В СИ коэффициент вязкости измеряется в кг/(м с. Поскольку сила трения направлена вдоль поверхности, разделяющей слои газа, то направления силы трения и градиента скорости всегда взаимно перпендикулярны (рис. Поэтому уравнение (5.29) определяет только величину (модуль) силы трения. Следует заметить, что формула Ньютона (5.29) справедлива также и для жидких сред, однако в этом случае вместо выражения (5.28) необходимо использовать другие зависимости для расчета коэффициента вязкости . 186 Теплопроводность Это процесс передачи теплоты от более нагретого слоя газа к менее нагретому за счет хаотического теплового движения молекул. Рассмотрим явление теплопроводности. Пусть температура газа изменяется вдоль оси ОХ по закону Т = Т(х), как это показано на рис. Вследствие различия температуры слоев средняя кинетическая энергия молекул газа будет также различна. При соударении молекул в процессе их хаотического теплового движения происходит обмен кинетической энергией, что и обуславливает передачу тепла в направлении убывания температуры. Выделим поверхность площадью S, перпендикулярную оси ОХ. Поскольку процесс теплопроводности не сопровождается макроскопическим движением среды, то количество молекул, пересекающих эту поверхность за одну секунду слева направо и справа налево, будет одинаковым. Оно определяется формулой (5.25). Согласно закону равномерного распределения энергии по степеням свободы, каждая молекула обладает средней кинетической энергией, вычисляемой по формуле (4.27): , T m c kT 2 i 0 уд V (5.30) где i - число степеней свободы молекулы, уд V c - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме. Как видно из выражения (5.30), средняя энергия молекулы соответствует температуре газа в том месте, где произошло ее последнее столкновение с другой молекулой. Следовательно, молекулы, движущиеся в направлении оси ОХ, обладают энергией x , соответствующей температуре х Т , а молекулы, движущиеся в противоположном направлении, - энергией х, соответствующей температуре х Т . Тогда количество теплоты, переносимое через поверхность S за одну секунду (тепловой поток, запишется в виде 0 X Т=Т(х) dx dT Q S Рис. 5.4 х – х худ) Разность температур в уравнении (5.31) можно выразить через градиент температуры dx dT : dx dT 2 Т Т х х Учитывая, что n m 0 = , выражение (5.31) можно записать в виде S dx dT c v 3 1 Q уд V (5.32) Отсюда имеем формулу для определения коэффициента теплопроводности в газах c v 3 1 уд V (5.33) Подставляя (5.33) в (5.32), получаем закон Фурье, определяющий количество теплоты Q, переданное вследствие теплопроводности через поверхность площадью S, перпендикулярную оси ОХ, за время : , S dx dT Q (5.34) Из закона Фурье следует, что коэффициент теплопроводности численно равен количеству теплоты, проходящему через единицу площади поверхности за единицу времени при единичном градиенте температуры. В СИ единицей измерения коэффициента теплопроводности является Вт/(м К. Знак минус в уравнении (5.34) обусловлен тем, что перенос количества теплоты всегда осуществляется в сторону уменьшения температуры. Градиент же по определению всегда направлен в сторону увеличения соответствующей величины. Диффузия Это процесс выравнивания концентраций газов, который сопровождается переносом массы соответствующего компонента газа из области с большей в область с меньшей концентрацией. Рассмотрим простейший случай диффузии газов, когда компоненты двух газов мало отличаются друг от друга по массе молекул и их эффективному диаметру. Такой процесс называется самодиффузией. Предположим, что концентрация одного из компонентов газа изменяется вдоль оси ОХ по закону n = n(x) (рис. Выделим поверхность площадью S, перпендикулярную оси ОХ. Вследствие 188 неодинаковости концентраций число молекул этого компонента, проходящих в процессе хаотического теплового движения через поверхность S за одну секунду в положительном (N ) и отрицательном (N ) направлениях, будет различно. Соответственно, масса компонента газа, переносимая через поверхность S за одну секунду, запишется в виде M = m 0 (N – N ). Исходя из упрощенных представлений, число молекул, пересекающих поверхность S за одну секунду в рассматриваемом направлении, определяется формулой (5.25). Поскольку в среднем последнее соударение молекул происходит на расстоянии от поверхности, равном длине свободного пробега, молекулы, движущиеся в положительном направлении, будут иметь концентрацию x n , а молекулы, движущиеся в противоположном направлении, - концентрацию Следовательно, ) n n ( Sm v 6 1 M x x 0 (5.35) Зная, что n m 0 = , выражение (5.35) можно представить в виде ) ( S v 6 1 M x Выражая разность плотностей рассматриваемого компонента газа через градиент плотности dx d : , dx d 2 x получаем уравнение диффузии S dx d v 3 М) Согласно (5.36) можно записать формулу для расчета коэффициента диффузии D 0 X х – х х + S х) dx d M Рис. 5.5 189 v 3 1 D (5.37) Подставляя (5.37) в (5.36), получаем закон Фика, определяющий массу компонента газа, переносимую через поверхность площадью S, перпендикулярную оси ОХ, за время S dx d D M (5.38) Коэффициент диффузии численно равен массе данного компонента, переносимой через единицу площади поверхности за единицу времени при единичном градиенте плотности. В СИ коэффициент диффузии измеряется в мс. Знак минус в уравнении (5.38) обусловлен тем, что перенос массы осуществляется в сторону уменьшения концентрации (плотности) газа, а градиент по определению всегда направлен в сторону увеличения соответствующей величины. |