В. М. Анисимов, И. Н. Данилова
 Скачать 3.95 Mb.
|
|
----- - кривая распределения Гаусса, - кривая распределения Стьюдента). Распределение Стьюдента при числе измерений n (начиная, примерно, с n = 20) переходит в распределение Гаусса, а при малом числе измерений мало отличается от него. Доверительную границу погрешности х для заданной w и при малом n определяют по формуле , t х n , w гр) где n , w t - коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности и числа измерений, находится по табл. 0.1 для заданных w и n. Таблица 0.1 Значения коэффициента Стьюдента n w n w 0.9 0.95 0.99 0.9 0.95 0.99 2 6.3 12.7 63.7 7 1.9 2.4 3.7 3 2.9 4.3 9.9 8 1.9 2.4 3.5 4 2.4 3.2 5.8 9 1.9 2.3 3.4 5 2.1 2.8 4.6 10 1.8 2.2 3.2 6 2.0 2.6 4.0 11 1.8 2.2 3.1 Обычно в лабораторных работах считается достаточной доверительная вероятность w = 0.9. Окончательный результат представляется в виде х х грот до ) t ( x n , w ; w, (0.11) что означает измеряемая величина принадлежит интервалу значений ( ; t x x n , w x n , w t x ) c доверительной вероятностью w. В итоге измерений и вычислений получают число, в котором различают цифры верные, не содержащие ошибок, и сомнительные, в которых содержатся ошибки. Рис. 0.9 ( х i ) 0 х 19 Абсолютная ошибка x n , w t x показывает, в каком знаке этого числа содержится неточность. Поэтому абсолютная ошибка округляется до одной значащей цифры. В окончательном результате оставляют все верные цифры и одну сомнительную. В промежуточном результате пишут еще одну цифру, что дает возможность точнее округлить окончательный результат. Для сравнения точности измерений величин обычно вычисляется относительная погрешность % 100 x гр) По величине относительной погрешности удобно сравнивать и результаты измерений однородных величин. При прямых измерениях может оказаться, что результаты отдельных измерений одинаковы, и тогда х i = 0. В этом случае доверительная граница погрешности прямых измерений определяется погрешностью прибора. Систематическая составляющая погрешности прибора с (связанная, например, со смещением начала отсчета шкалы, с неравномерностью нанесения штрихов шкалы и т.п.) может быть исключена введением соответствующих поправок к показаниям используемого прибора, полученных сравнением с эталонным. Случайная составляющая погрешности прибора (погрешность вследствие трения в деталях прибора, ошибки мертвого хода его подвижных частей, погрешность округления при отсчете по шкале прибора и т.п.) неотличима от прочих случайных погрешностей измерения. Суммарная погрешность прибора обычно задается величиной предельной погрешности , указанной в его паспорте или нанесенной на шкалу прибора. Если представляется возможность исключить систематическую составляющую погрешности сравнением с эталоном, то за случайную составляющую погрешности прибора принимают Если же исключить систематическую погрешность прибора по каким-либо соображениям не удается, то ее необходимо учесть, расширив соответствующим образом границу доверительного интервала. За величину с приходится принимать с так как доля ее в суммарной погрешности неизвестна. Иногда предельная погрешность задается классом точности приборах, где х равно максимальному значению рабочей 20 части шкалы. Тогда предельная погрешность х Например класс точности милливольтметра = 0.5, максимальное значение рабочей части его шкалы х = 150 мВ. Тогда = 0.005 150 мВ = 0.75 мВ и постоянна для всей шкалы прибора. Если в паспорте и на шкале прибора нет указаний о величине , то за принимают половину цены наименьшего деления шкалы или целое деление, если они трудно различимы. В случае однократных или повторных измерений величины х с совпадающими результатами при нормальном распределении случайной погрешности прибора доверительная граница рассчитывается по формуле , 3 k ) x ( w п г) где w k - коэффициент, зависящий от значения доверительной вероятности w; - абсолютная максимальная погрешность прибора, определяемая его классом точности либо половиной цены его наименьшего деления. Значения коэффициента w k для различной доверительной вероятности w приведены в табл. Таблица 0.2 w 0.9 0.95 0.99 0.997 w k 1.645 1.960 2.576 3.000 В общем случае, если значение доверительной границы случайной погрешности прямых измерений оказывается сравнимым со значением доверительной погрешности прибора, результирующая доверительная погрешность прямого измерения находится из выражения 3 k ) 1 n ( n x t x 2 w 2 n 1 i 2 i n , w г) Минимальное значение погрешности измерений есть приборная погрешность. 21 Результат измерений представляют в виде доверительного интервалах от г х дог х ; w = 0.9. Косвенные измерения Обычно приходится вычислять искомую величину по результатам измерений других величин, связанных с этой величиной определенной функциональной зависимостью. Такие измерения называются косвенными. Например, плотность тела (пластины) определяется через массу тела и его объем , h b L m V m где L, b, h - линейные размеры пластины. Величины m, L, b, h можно измерить, а затем вычислить плотность Итак, чаще всего искомая величина является функцией нескольких переменных А = f(x, y, z, ...) (0.15) Если величины x, y, z, ... случайны, то А тоже будет случайной величиной. Из теории вероятностей известно, что среднее значение функции случайной величины приближенно равно функции от средних значений ее аргументов при условии, что погрешности измерений аргументов х, y, z,... малы по сравнению с величинами x, y, z, ..., то есть ,...), z , y , x ( f A (0.16) где А - среднее значение величины Ах- средние значения величин x, y, z, ... (см формулу 0.1). Для оценки доверительной границы случайной погрешности косвенного измерения применяют формулу z z A y y A x г г г г) где г х , г y , , z г. - доверительные границы случайных погрешностей величин x, y, z, ... при одинаковой w; , х А x x 22 , z A , y A z z y y - частные производные функции А по x, y, z, ..., вычисленные при , z z , y y , x Относительная величина случайной погрешности косвенного измерения определяется в этом случае как %. 100 A А гp A (0.18) Если распределения величин х i , y i , z i ,... нормальные (i - порядковый номер измерения, то распределение величины А тоже будет нормальным, поэтому для определения доверительной границы случайной погрешности косвенного измерения р г А можно применить метод обработки случайных погрешностей прямых измерений. Для этого найдем значения ,...) z , y , x ( f A и ,...) z , y , x ( f А i i i i (0.19) для каждого номера измерений. Аналогично формуле (0.2) находят величины А А i (0.20) Оценкой средней квадратической погрешности величины А аналогично формулами) будет , ) 1 n ( n ) A ( n 1 i 2 i A (0.21) если случайные погрешности заведомо больше приборных. Доверительная погрешность гр А при малом числе измерений расчетов , ) 1 n ( n ) A ( t А n , w A n , w гр) где n , w t - коэффициенты Стьюдента (см. табл) для заданных w и n. Результат косвенного измерения величины А представляется в форме А А от ) t ( A n , w до ) t ( A n , w ; w. (0.23) 23 После этого по формуле (0.18) находится относительная величина случайной погрешности. В случае, если А = f(x, y, z, ...) - логарифмируемая функция, то относительная погрешность может быть определена из следующих соображений так как , x ) A (ln A A x 1 x A A 1 то z z ) A (ln y y ) A (ln гр гр гр x A (0.24) Расчет погрешностей при графической обработке результатов измерений В лабораторных работах 1, 2, 3, 11, 22, 23, 27, 44, 45 значения определяемых величин рассчитываются по угловому коэффициенту наклона k прямолинейного графика, построенного по экспериментальным точкам, коси абсцисс. Прямую проводят таким образом, чтобы точки находились как можно ближе к ней. Соответствующая процедура в статистике называется линейной регрессией и сводится к определению коэффициентов k и b линейной зависимости вида b kx y по совокупности результатов наблюдений x 1 , y 1 ; x 2 , y 2 ; ... x n , y Расчет коэффициентов выполняется с помощью метода наименьших квадратов по формулам 2 2 ) x ( ) x ( ) y )( x ( xy k (0.25) 2 2 2 2 ) x ( ) x ( ) xy ( x y ) x ( b (0.26) Здесь y , x средние арифметические значения величин x и y (см. формулу (0.1)), xy и 2 x для n измерений могут быть рассчитаны следующим образом n x x ; n y x xy n 1 i 2 i 2 n 1 i Для графика, построенного по коэффициентам, найденным по формулами, сумма квадратов расстояний по ординате от прямой до точек с координатами x i и y i оказывается наименьшей. При 24 вычислении этой суммы индекс i последовательно принимает значения от 1 до n, где n - количество пар x i , y i результатов наблюдений. Если графическая обработка результатов проведена достаточно аккуратно, то построенный график оказывается близким к оптимальному, а угловой коэффициент наклона графика x y мало отличается от коэффициента k, рассчитанного по методу наименьших квадратов. В этом случае для оценки погрешностей углового коэффициента наклона графика (k) и ординаты точки пересечения его с вертикальной осью (b) допустимо использовать выражения, применяемые при статистической обработке результатов по методу наименьших квадратов. Среднее квадратическое отклонение углового коэффициента наклона графика k и коэффициента b: n 1 i 2 i 0 k ) x x ( , (0.27) 2 0 b x (0.28) Здесь 0 0 y , а y 0 - оценка среднего квадрата отклонения по ординате результатов наблюдений y i от величин, рассчитанных по формуле b kx y с помощью вычисленных по методу наименьших квадратов коэффициентов n 1 i 2 i i 0 )] b kx ( y [ ) 2 n ( 1 y (0.29) При графической обработке y 0 это сумма квадратов вертикальных отклонений результатов наблюдений от построенной прямой, деленная на ) 2 n ( . Если делить на число наблюдений n, то получается заниженная, те. смещенная оценка среднего квадрата отклонения. Величина y 0 не зависит от количества наблюдений n, а k , как следует из выражения (0.27), должна уменьшаться с возрастанием n. Для уменьшения погрешности величины k следует стремиться к увеличению ширины интервала значений x, это видно из формулы (0.27). Если график отличается от оптимального, то сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от прямой не будет наименьшей, возрастут величины y 0 и k , как того и следует ожидать. Доверительная граница случайной погрешности и относительная погрешность вычисляются по известным формулами гр k n , w гр, (0.30) 25 где t w,n - коэффициент Стьюдента, определяемый по табл. В некоторых работах требуется по графику определить координату x 0 точки пересечения графика с горизонтальной осью. Если коэффициенты k, b и их граничные погрешности определены, то k b x 0 , х рассчитывается, как погрешность косвенных измерений 2 гр 2 гр 0 0 k k b b x гр) Суммируя вышесказанное, приведем краткие рекомендации по расчету погрешностей графического метода определения коэффициентов k и b линейной зависимости b kx y 1. Выбрать масштабы по осям так, чтобы разность максимальных и минимальных значений каждой величины была не менее 10 см. 2. Изобразить экспериментальные данные на графике точками, кружками или крестиками и провести прямую между точками так, чтобы расстояния от нее до экспериментальных точек были как можно меньше. 3. Выбрать на построенной прямой две достаточно удаленные друг от друга точки с координатами x l , y l , хи рассчитать коэффициент k по формуле l l x x y y k h h 4. Если необходимо, определить коэффициенты b их ординату и абсциссу точек пересечения прямой с О и ОХ. 5. Измерить вертикальные отклонения экспериментальных точек от графика с учетом масштаба и определить величину y 0 по формуле (0.29). 6. Рассчитать среднее отклонение k найденного углового коэффициента наклона k по формуле (0.27) и его граничную погрешность k гр по формуле (0.30). 7. Если требуется, определить погрешности коэффициентов b их по формулами. Правила приближенных вычислений При физических измерениях принято писать только значащие цифры, особенно в окончательном результате. При этом принято считать, что разряд сомнительной цифры числа совпадает с разрядом первой значащей цифры его абсолютной погрешности. 26 Числовые результаты удобно представлять следующим образом ставить запятую после первой отличной от нуля цифры, а все число умножить на соответствующую степень десяти. Например 21 000 = 2,1 10 4 ; 0.00015 = 1,5 Нуль в последнем разряде после запятой следует сохранять, если это верная или сомнительная цифра, незначащие нули отбрасывают. Чтобы приближенно найти количество значащих цифр в числах, необходимо пользоваться следующими правилами 1. Сложение и вычитание. Разряд сомнительной цифры суммы совпадает со старшим из разрядов сомнительных цифр всех слагаемых. 2. Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Результат любого из этих действий содержит столько значащих цифр, сколько их в исходном данном с наименьшим количеством значащих цифр. 3. Логарифмирование. Некоторое число и мантисса его логарифма содержат одинаковое количество значащих цифр. 4. Округление. Перед тем, как приступить к выполнению действия, нужно при помощи правил 1...3 определить количество значащих цифр или разряд сомнительной цифры) результата и округлить исходные данные. После выполнения действия необходимо округлить результат, сохранив в нем только значащие цифры. 5. Правило запасной цифры. Чтобы по возможности уменьшить ошибки округления, рекомендуется в тех исходных данных, которые это позволяют, а также ив результате, если он будет использоваться в дальнейших вычислениях, сохранить по одной лишней (запасной) цифре сверх того, что требуют правила 1...4. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 0 Определение плотности твердых тел правильной геометрической формы и расчет погрешностей Приборы и оборудование 1) штангенциркуль 2) микрометр 3) технические весы 4) разновески 5) полый цилиндр, или прямоугольная пластина, или цилиндр переменного диаметра. 27 Методика измерений Плотностью тела называется величина, измеряемая массой вещества, заключенной в единице объема тела. Средняя плотность выражается формулой , V m (0.32) где m - масса тела, V - объем тела. Единицей плотности является 1 кг/м 3 Масса - физическая величина, одна из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные и гравитационные свойства. По второму закону динамики Ньютона a m F (0.33) масса тела m является коэффициентом пропорциональности между силой F , действующей на тело, и ускорением a , которое получает тело под действием этой силы. Чем больше масса тела, тем меньше ускорение, которое оно приобретает, то есть чем больше масса, тем больше требуется времени для изменения скорости тела на определенную величину. В этом и заключается инертность, как свойство тел скорость любого тела не может быть изменена мгновенно, всегда для этого требуется некоторое время, то есть масса является мерой инертности тела, и поэтому она называется инертной массой. Масса есть величина, обладающая свойством аддитивности если известны массы частей тела m 1 , m 2 , m 3 , ... , то масса этого тела будет равна их сумме m = m 1 + m 2 + m 3 + ... . (0.34) Масса - величина скалярная. Она характеризует не только способность тела приобретать ускорение в результате воздействия на него другого тела, то есть является не только мерой инертности тела, но и мерой количества вещества, заключенного в нем. Наряду с перечисленными выше свойствами масса характеризует и гравитационные свойства тел. В теории гравитации Ньютона масса выступает как источник поля тяготения. Каждое тело создает поле тяготения, пропорциональное массе тела, и испытывает воздействие поля тяготения, создаваемого другими телами, сила которого также пропорциональна массе. Согласно закону всемирного тяготения, две точечные массы m 1 и m 2 притягиваются друг к другу силой, пропорциональной их массами обратно пропорциональной квадрату расстояния r между центрами масс 28 , r m m F 2 2 1 (0.35) где - гравитационная постоянная, определяемая опытным путем, равная 6.67 10 –11 мкг с. Частным случаем гравитационной силы является сила тяжести 0 mg F . Обозначим массу Земли М, ее радиус R, массу данного тела m, тогда сила, действующая на тело вблизи поверхности Земли по второму закону Ньютона , mg R Mm F 0 2 (0.36) где 2 0 R M g является ускорением свободного падения у поверхности Земли. В соответствии с принципом эквивалентности инертная и гравитационная массы численно равны. Силу тяжести можно измерять навесах, так как она примерно равна весу тела. Весом тела называют силу, с которой тело вследствие его притяжения к Земле действует на связь (опору или подвес. Поэтому можно определять массу тела взвешиванием на рычажных весах. На рычажных весах сравнивают веса тела и разновесков. Когда весы уравновешены, можно утверждать, что вес тела равен весу разновесков. Но если равны веса, то равны и их массы. Так как на разновесках указаны именно массы, то массу тела мы определяем, просто сложив числа, указанные на разновесках. Порядок выполнения работы I. Тело - полый цилиндр (рис. Плотность вещества цилиндра определяется по формуле h ) d D ( m 4 V m 2 2 (0.37) h d D Рис. 0.10 29 30 1. Определить исправность штангенциркуля. Для этого привести в соприкосновение его губки и убедиться в совпадении нулевой точки нониуса с нулем масштабной линейки штангенциркуля. 2. Измерить штангенциркулем высоту h, наружный D и внутренний d диаметры цилиндра 3...5 разв разных плоскостях. 3. Определить массу m цилиндра трехкратным взвешиванием на технических весах. 4. Результаты измерений занести в табл. 5. Вычислить среднюю плотность вещества по формуле , h ) d D ( m 4 2 2 (0.38) где D , d , m – средние значения величин. Плотность находить в г/см 3 и кг/м 3 6. Вычислить доверительную и относительную погрешности измерения по формулами. Тело - сплошной цилиндр переменного сечения (рис. Плотность вещества цилиндра определяется по формуле ) h d h D ( m 4 V m 2 2 1 2 (0.39) 1. Проверить исправность штангенциркуля. Для этого привести в соприкосновение его губки и убедиться в совпадении нулевой отметки нониуса и штангенциркуля. 2. Измерить штангенциркулем диаметры D и d и высоты h 1 и h 2 три раза в разных плоскостях. Результаты занести в табл. 3. Трехкратным (меняя чашки весов) взвешиванием определить массу цилиндра с помощью технических весов. 4. Вычислить среднюю плотность материала цилиндра по формуле D d Рис. 0.11 31 , ) h d h D ( m 4 2 2 1 2 (0.40) где 2 1 h , h , D , d , m – средние значения величин. Плотность находить в г/см 3 и кг/м 3 5. Вычислить доверительную и относительную погрешность измерений по формулами. Ш. Тело - прямоугольная пластина (рис. Плотность вещества пластины определяется по формуле h b L m V m (0.41) Для определения размеров прямоугольной пластины пользуются штангенциркулем и микрометром. 1. Измерить длину L и ширину b пластины штангенциркулем (в разных сечениях. 2. Проверить исправность микрометра. Для этого надо конец 4 микрометрического винта совместить с упором 3 и выяснить, совпадает ли нулевое деление основной неподвижной шкалы с нулевым делением круговой шкалы (рис. 3. Определить цену деления микрометрического винта и круговой шкалы. 4. Измерить микрометром толщину h пластины. 5. Результаты всех измерений занести в табл. 6. Каждое измерение повторить не менее трех раз. 7. Пользуясь техническими весами, определить массу пластинки трехкратным взвешиванием. 8. Вычислить среднюю плотность материала пластины как , h b L m (0.42) где h , b , L , m – средние значения величин. Плотность находят в г/см 3 и кг/м 3 L h b Рис. 0.12 32 9. Вычислить доверительную и относительную погрешность измерения по формулами. Контрольные вопросы 1. Инертная и гравитационная масса. Свойство аддитивности массы. 2. Как измеряется масса тела в работе 3. Что такое плотность вещества Какова ее размерность Вопросы по разделу 1. Как измерить линейные размеры с помощью штангенциркуля и микрометра 2. Что такое прямые и косвенные измерения 3. Дать определение грубой, систематической и случайной погрешности измерений. 4. Что такое результат измерения 5. Как определяется абсолютная погрешность отдельного результата измерений 6. Какая функция описывает закон нормального распределения погрешностей Привести графическую зависимость. 7. Что такое доверительная вероятность Как определить по кривой нормального распределения доверительную вероятность для заданного доверительного интервала 8. Как рассчитать среднеквадратичную погрешность при достаточно большом числе измерений 9. Когда применяется распределение Стьюдента? Как сего помощью определить доверительную границу погрешности прямого измерения 10. Как изменяется доверительная граница погрешности при изменении числа измерений и доверительной вероятности 11. Отчего зависят приборные погрешности 12. Как рассчитать доверительную границу случайной погрешности косвенного измерения 13. Что называется относительной погрешностью измерения 14. Какому критерию удовлетворяет график, построенный по методу наименьших квадратов 15. Как зависит граничная погрешность углового коэффициента k наклона графика коси ОХ от среднего квадратичного отклонения величины y? 16. Каковы пути уменьшения граничной погрешности коэффициентов k и b при графической обработке экспериментальных данных |