В. Нетребко, И. П
 Скачать 5.4 Mb.
|
|
§11. УравненияМаксвелла Краткие теоретические сведения В самом общем виде любые электромагнитные явления описываются следующими уравнениямиМаксвелла, которые в системе СИ имеют вид: t D j H ∂ ∂ + = rot , (11.1) t B E ∂ ∂ − = rot , (11.2) 0 div = B , (11.3) ρ = D div , (11.4) где H и E – напряженность, соответственно, магнитного и электрического поля, D и B –соответственно, электрическая и магнитная индукция, j – плотность тока проводимости, а ρ – объемная плотность свободного заряда. Чтобы получить замкнутую систему уравнений для электромагнитного поля, уравнения Максвелла следует дополнить материальнымиуравнениями, описывающими свойства среды и связывающие между собой векторы D и E , B и H , j и E . Следует помнить, что материальные уравнения не выражают, в отличие от уравнений Максвелла, фундаментальные законы электромагнитного поля, а описывают свойства реальных сред. Обычно их записывают в форме: D = εε 0 E , (11.5) §11. УравненияМаксвелла 193 B = µµ 0 H , (11.6) где ε – диэлектрическая, а µ – магнитная проницаемость среды. Плотность тока в проводящей среде определяется в каждой точке электрическим полем E , а также полем сторонних сил E ст , действующих на носители заряда. Для широкого класса материальных сред справедлив закон Ома: j = λ( E + E ст ). (11.7) Здесь λ– удельная проводимость среды. Входящие в правую часть уравнений Максвелла плотность заряда ρ и плотность тока j не могут задаваться независимо, так как удовлетворяют уравнениюнепрерывности (см. Раздел 6): 0 = + ∂ ∂ j div t ρ (11.8) Это уравнение выражает фундаментальный закон сохранениязаряда. Движение заряженных частиц сопровождается выделением тепла, равного работе сил поля (джоулевотепло), а плотность выделяемой при этом мощности описывается закономДжоуля-Ленца: ν= j E =λE 2 =j 2 / λ (11.9) Из системы уравнений Максвелла (11.1-4) следует теоремаУмова- Пойнтинга, выражающая закон сохранения энергии в электромагнитном поле: ∫ ∫ + − Π − = V S dV j dt dQ S d dt dW (11.10) Здесь §11. УравненияМаксвелла 194 ( ) ∫ + = V dV B H D E W 2 1 (11.11) – энергия электромагнитного поля в объеме V,ограниченном замкнутой поверхностью S, [ ] H E = Π – векторПойнтинга, имеющий смысл плотности потокаэнергии через границу S, Q – выделяемое в объеме V тепло. Последнее слагаемое в (11.10) выражает работу внешних (сторонних) сил, совершаемую в объеме в единицу времени. Во многих случаях удобно выразить поля через скалярный и векторный потенциалы ϕ и A : B = rot A (11.12) E = −grad ϕ − t A ∂ ∂ (11.13) В последней формуле первое слагаемое представляет потенциальную часть электрического поля, а второе – вихревую часть, обусловленную нестационарным магнитным полем. Точные решения уравнений Максвелла удается найти лишь в редких случаях. Обычно приходиться делать те или иные упрощения. Для прикладных задач часто используют квазистационарноеприближение. Оно основано на пренебрежении токомсмещения (членом t D ∂ ∂ ) в первом уравнении. Физически это эквивалентно пренебежению запаздыванием поля при его распространении от источника до точки наблюдения. В квазистационарном случае потенциалы A и ϕ сохраняют тот же смысл, что и в статике, и могут быть вычислены по ранее приведенным формулам (2.6) и (7.11). В этом приближении строится теория электрических цепей(см. Раздел 12). §11. УравненияМаксвелла 195 Примеры решения задач Пример 11.1 . Кольцо прямоугольного сечения изготовлено из материала с проводимостью λ=6⋅10 7 (Ом ⋅м) -1 . Внутренний радиус кольца равен R 1 =3 см, внешний – R 2 =5 см, а его высота – h=1 см. Кольцо находится в нестационарном магнитном поле, вектор индукции которого B параллелен оси симметрии кольца. Магнитное поле изменяется по закону > ≤ ≤ = , , 0 , 0 , ) ( R r R r t k t B где r – расстояние от оси кольца, а R>R 2 . Найдите силу тока, протекающего по кольцу, если k=0,1 Тл/c. Решение . Поскольку ток течет не в линейном контуре, а в объеме кольца, мы не можем решать задачу через интегральный закон электромагнитной индукции (10.1), а должны воспользоваться вторым уравнением Максвелла (11.2): t B E rot ∂ ∂ − = Симметрия задачи подсказывает, что удобнее всего ее решать в цилиндрических координатах {r, ϕ, z}, причем ось этой системы должна совпадать с осью кольца (так как магнитное поле обладает симметрией именно относительно оси кольца). В выбранной (рис.11.1) системе координат координаты вектора магнитной индукции равны: { } kt , 0 , 0 B = , Рис.11.1 §11. УравненияМаксвелла 196 а, с учетом представления ротора в цилиндрических координатах, второе уравнение Максвелла (11.2) в проекциях на координатные оси распадается на 3 скалярных уравнения: ( ) − = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ 1 , 0 , 0 1 k E r rE r r E z E z E E r r z r z ϕ ϕ ϕ ϕ (11.14) Также из соображений симметрии очевидно, что напряженность электрического поля E не может зависеть от координат ϕ и z. Поэтому система (11.14) упрощается: ( ) + − = ⇒ − = ∂ ∂ = ⇒ = ∂ ∂ = , 2 0 0 0 2 1 r C kr E kr r rE C E r E z z ϕ ϕ где C 1 и C 2 − константы интегрирования. Из ограниченности электрического поля при r=0 (его напряженность может иметь особенности только в точках, где имеются свободные заряды, а по условию задачи на оси цилиндра никаких зарядов нет) следует, что C 2 =0. Поэтому азимутальная проекция напряженности электрического поля равна: 2 kr E − = ϕ §11. УравненияМаксвелла 197 До сих пор не определенной является радиальная проекция вектора E . Найдем ее из четвертого уравнения Максвелла (11.4). Так как 0 = ρ , то 0 0 = E div ε , или 0 1 ) ( 1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z E E r r rE r z r ϕ ϕ Так как напряженность поля не зависит от ϕ и z, то уравнение упрощается и принимает вид , 0 ) ( = ∂ ∂ r rE r откуда 3 r C E r = Опять же, из ограниченности электрического поля при r =0 следует, что C 3 =0. Поэтому, радиальная проекция вектора E также равна нулю. Итак, мы нашли все три компоненты вектора напряженности электрического поля (с точностью до константы C 1 ): − = 1 , 2 , 0 E C kr Закон Ома (6.1) позволяет по известной напряженности электрического поля найти плотность протекающего в кольце тока: − = = 1 , 2 , 0 C kr E j λ λ λ / Из этого выражения видно, что константа интегрирования C 1 должна быть равна нулю в силу ограниченности кольца (ток, текущий вдоль оси кольца, не является замкнутым и, следовательно, не может поддерживаться). Итак, в кольце течет кольцевой ток с плотностью, зависящей от радиуса линии тока: ( ) ϕ λ e 2 kr r j − = , (11.15) §11. Уравнения Максвелла 198 где ϕ e – единичный вектор , направленный как показано на рис .11.1. Силу этого тока найдем , проинтегрировав это выражение по сечению кольца S: ( ) ∫ ∫ ∫ − − = − = = = S R R S R R h k rdr h k jdS S d j I 2 1 2 2 4 2 2 1 λ λ Здесь учтено , что вектор j параллелен нормали к площадке hdr dS = , а также соотношение (11.15). Отрицательное значение силы тока означает , что ток течет против направления орта ϕ e , то есть так , как показано на рис 11.1. Окончательно , ( ) 2 1 2 2 4 1 R R h k I − = λ = 24 А Пример 11.2. Плоскопараллельный диод представляет собой откачанный сосуд , в котором находятся анод и катод – две плоскопараллельные пластинки , расстояние между которыми равно d Определите распределение потенциала между катодом и анодом в таком приборе в предположении , что электроны , испускаемые катодом с малой начальной скоростью за счет явления термоэлектронной эмиссии , создают вокруг катода облако и только часть электронов движется к аноду Потенциал анода равен 0 U , а потенциал катода равен нулю Расстояние между анодом и катодом мало по сравнению с поперечными размерами пластин §11. УравненияМаксвелла 199 Решение . Пренебрегая краевыми эффектами на границах пластин - электродов , что можно сделать , так как расстояние между ними много меньше размеров пластин , допустим , что потенциал поля между пластинами определяется только координатой x ( рис .11.2). Пренебрегая магнитным полем движущихся электронов , получим из уравнений (11.2 и 11.4) уравнение Пуассона , описывающее распределение потенциала В этом случае оно имеет обычный вид , однако , в отличие от задач электростатики , плотность зарядов ρ ( х ) теперь не известна заранее , а должна быть вычислена в ходе решения задачи ( ) 0 2 2 ε ρ ϕ x dx d − = (11.16) Объемный заряд между электродами создают электроны Обозначим их концентрацию как ( ) x n , тогда ( ) ( ) x en x − = ρ , где − e заряд электрона Плотность тока в сечении const x = определяется скоростью электронов v : ( ) v x en j − = , откуда ( ) ev j x n = Скорость электронов найдем из закона сохранения энергии ( ) ( ) 0 2 2 2 0 2 ϕ ϕ e mv x e mv − = − , Рис.11.2 §11. Уравнения Максвелла 200 где m – масса электрона , − v скорость электронов в сечении x , − 0 v начальная скорость вылетающих с катода электронов , ( ) − 0 ϕ потенциал катода , по условию задачи равный нулю Так как скорость вылетающих с катода электронов мала по сравнению со скоростью , приобретаемой ими в поле , положим 0 0 ≈ v Тогда из закона сохранения энергии найдем m e v ϕ 2 = Подставляя найденное значение в выражение для ( ) x ρ , а его в уравнение Пуассона (11.16), получим для потенциала следующее дифференциальное уравнение 2 / 1 2 / 1 0 2 2 2 − − = = ϕ ϕ ε ϕ a e m j dx d , (11.17) где обозначено e m j a 2 0 ε = Умножим левую и правую часть (11.17) на dx d ϕ и проинтегрируем, получим ( ) C x a dx d + = ϕ ϕ 4 2 (11.18) По условию задачи катод окружен облаком электронов, а следовательно на электрон, находящийся около катода, не действует сила, или ( ) 0 0 = E . Переходя к потенциалу, получим ( ) 0 0 = dx d ϕ . Сам потенциал на катоде по условию задачи также равен нулю. Подставляя эти условия в (11.18), находим константу 0 = C После чего (11.18) преобразуется к виду §11. УравненияМаксвелла 201 ( ) x a dx d 4 / 1 2 ϕ ϕ = (11.19) Интегрируя (11.19), получаем ( ) 1 3 4 ) 2 3 ( C x a x + = ϕ Константу 1 C находим из условия ( ) 0 0 = ϕ : 0 1 = C , откуда ( ) 3 4 3 2 ) 4 9 ( x a x = ϕ (11.20) Здесь анеизвестная пока постоянная. Найдем ее из граничного условия на аноде: ϕ (d) = U 0 . Подстановка в (11.20) найденного значения а дает окончательно: 3 4 0 ) ( ) ( d x U x = ϕ (11.21) §11. УравненияМаксвелла 202 Пример 11.3. Плоский конденсатор, представляющий собой две круглые пластины радиусом R , заряжают постоянным током I , направление которого показано на рис.11.3. Определите напряженность магнитного поля H , возникающего в зазоре между пластинами конденсатора в зависимости от расстояния r от оси конденсатора. Сравните полученное выражение с формулой для напряженности поля H вне конденсатора. Чем можно объяснить скачок напряженности поля H при переходе через поверхность пластины конденсатора? Решение. Так как распределение тока проводимости вне пластин и токов смещения между ними обладает цилиндрической симметрией, воспользуемся этим фактом при выборе контура обхода для теоремы о циркуляции (см. рис.11.4). В силу симметрии модуль напряженности магнитного поля на окружности L , ось которой совпадает с током, одинаков во всех точках, поэтому циркуляция вектора H по такому контура равна rH dl H L π 2 = ∫ (11.22) Рис.11.4 Рис.11.3 §11. УравненияМаксвелла 203 Для контура, лежащего внутри конденсатора, как следует из уравнения (11.1), ее следует приравнять току смещения, пронизывающему контур L : ( ) I R r Q t R r t r D r t dS D t I S см 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∫ σ π π . (11.23) Из этого условия находим поле: I R r H 2 2 π = (11.24) Для определения поля вне конденсатора применим теорему о циркуляции к контуру 1 L (рис.11.4). Циркуляцию вектора H по этому контуру следует приравнять току проводимости I , заряжающему конденсатор, откуда r I H π 2 1 = (11.25) Скачок поля при переходе через пластину конденсатора обусловлен наличием радиальных токов, текущих по поверхности пластин в процессе зарядки конденсатора (рис.11.4). Пример 11.4. Заряженный и отключенный от источника плоский конденсатор с круглыми пластинами медленно разряжается объемными токами проводимости, возникающими в диэлектрике между обкладками из-за наличия слабой проводимости. Пренебрегая краевыми эффектами, вычислите напряженность магнитного поля внутри конденсатора. Решение . Воспользуемся цилиндрической симметрией в распределении токов и вычислим циркуляцию вектора Н для контура L , введенного в предыдущем примере: §11. Уравнения Максвелла 204 ∫ ∫ ∂ ∂ + = ∂ ∂ + = S S dS t j dS D t j rH σ π 2 (11.26) В силу закона сохранения заряда выражение в круглых скобках в правой части (11.26) равно нулю, следовательно равна нулю и напряженность поля H Пример 11.5. Заряженный и отключенный от источника плоский конденсатор с круглыми пластинами радиусом R пробивается электрической искрой вдоль своей оси. Считая разряд квазистационарным и пренебрегая краевыми эффектами, вычислите мгновенное значение напряженности магнитного поля H внутри конденсатора как функцию расстояния r от его оси, если сила тока в электрической искре в рассматриваемый момент времени равна I Решение . Как и в предыдущей задаче, воспользуемся симметрией в распределении токов и выберем контур L в виде окружности, плоскость которой параллельна пластинам, а ее центр совпадает с осью симметрии пластин, вдоль которой протекает ток. На этом контуре модуль вектора H в силу симметрии остается неизменным, поэтому rH dl H L π 2 = ∫ . Контур L пронизывает ток проводимости I , текущий в искре, и ток смещения, текущий в противоположную сторону и подсчитанный ранее в Примере 3 (11.23). Подставляя эти токи в выражение для циркуляции H получаем: I R r I rH 2 2 2 − = π , или − = 2 2 1 2 R r r I H π §11. Уравнения Максвелла 205 В отличие от предыдущего примера , теперь ток проводимости не распределен равномерно по объему поля между пластинами , а сосредоточен в узкой области вблизи оси конденсатора Пример 11.6. Обкладки плоского конденсатора имеют форму дисков радиусом R =10 см Пространство между обкладками заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической и магнитной проницаемостями ε и µ . Конденсатор включен в цепь переменного тока t I I ω cos 0 = Пренебрегая краевыми эффектами , вычислите электрическую и магнитные энергии , локализованные в конденсаторе Найдите отношение максимальной магнитной к максимальной электрической энергии При расчетах следует принять 1 = = µ ε , а частоту тока 100 2 = = π ω ν Гц Решение . Энергия электрического поля , заключенного между обкладками плоского конденсатора определяется выражением (5.8) и для данных задачи равна 2 0 2 2 2 2 R d Q C Q W эл π εε = = (11.27) Магнитное поле в конденсаторе создается током смещения Оно было подсчитано в Примере 3 и задается выражением (11.24). Плотность энергии магнитного поля задается выражением (9.9). Воспользуемся ею для определения энергии магнитного поля в конденсаторе Энергия поля в цилиндрическом слое , ограниченном радиусами r и dr r + равна 4 2 2 2 0 2 0 4 2 2 2 1 R r I rdr d dV H dW маг π µµ µµ ⋅ = = (11.28) Интегрируя это выражение по всему объему цилиндра , получаем §11. Уравнения Максвелла 206 ∫ = = R маг dI dr r R dI W 0 2 2 0 3 4 2 2 0 16 4 π µµ π µµ (11.29) Подставим в выражения (11.27) и (11.29) заданное по условию задачи выражение для тока и для заряда ( ) ∫ = = t I dt t I Q ω ω sin 0 и найдем отношение их максимальных значений π ω εε µµ 8 2 2 0 0 R W W k элек m маг m = = Учитывая, что скорость электромагнитных волн в вакууме определяется выражением 0 0 2 1 µ ε = c , перепишем найденное отношение в окончательном виде 14 2 2 2 10 5 , 0 8 − ⋅ = = c R k π µεω Видим, что энергия магнитного поля составляет ничтожную долю от энергии электрического поля, заключенного между обкладками конденсатора. Пример 11.7. Пространство внутри длинного соленоида, состоящего из N витков проволоки, заполнено однородным веществом с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью µ . Длина соленоида равна l , радиус R . По обмотке соленоида течет переменный ток t I I ω cos 0 = Пренебрегая краевыми эффектами, вычислите электрическую и магнитную энергии, локализованные внутри соленоида, и найдите отношение максимальных значений этих энергий. Численный расчет провести для 5 = R см, 1 = = µ ε при частоте тока 100 2 = = π ω ν Гц. §11. УравненияМаксвелла 207 Решение . Энергия магнитного поля, заключенного в катушке, определяется выражением (9.7), а ее индуктивность – формулой (9.15): t I l R N LI W маг ω π µµ 2 2 0 2 2 0 2 cos 2 2 1 = = (11.30) Для определения электрического поля в катушке отметим, что распределение тока обладает цилиндрической симметрией, поэтому силовые линии напряженности электрического поля будут окружностями, концентрическими с витками катушки. Выберем контур C , совпадающим с одной из силовых линий и запишем для него закон электромагнитной индукции: ∫ ∫ ∂ ∂ − = S C dS B t dl E (11.31) Индукция магнитного поля на оси соленоида задается выражением (9.13). Подставляя его в (11.31), получаем ( ) t I l r N r t I l N t rE ω π ω µµ π µµ π sin 2 0 2 0 2 0 = ∂ ∂ − = , откуда ( ) t I l Nr r E ω ω µµ sin 2 0 0 = (11.32) Энергия электрического поля, заключенная в катушке, может быть подсчитана через плотность энергии (5.9). Выберем цилиндрический слой между цилиндрами с радиусами r и dr r + , тогда энергия электрического поля в этом слое будет равна rdrl t I r l N dV E dW элек π ω ω µ µ εε εε 2 sin 8 2 1 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 0 2 0 = = §11. УравненияМаксвелла 208 Интегрируя по всей катушке, окончательно получим t I l R N dr r t I l N W R элек ω π ω µ µ εε ω π ω µ µ εε 2 2 0 4 2 2 2 0 2 0 0 3 2 2 0 2 2 2 0 2 0 sin 16 sin 4 = = ∫ Отношение максимальных значений электрической энергии к энергии магнитного поля равно 8 2 2 0 0 R W W k магн элек ω εε µµ = = Учитывая, что скорость электромагнитных волн в вакууме определяется выражением 0 0 2 1 µ ε = c , перепишем найденное отношение в окончательном виде 15 2 2 2 10 3 , 1 8 − ⋅ = = c R k µεω Пример 11.8. Внутри цилиндрической области пространства радиусом R=10 см (см. рис.11.5) магнитное поле направлено параллельно оси OO ′ воображаемого цилиндра, а его индукция изменяется по закону , ) ( t k t B = k=60 Тл/c. Вне этой области магнитная индукция равна нулю. На расстоянии a=19 см от оси OO ′ расположена, как показано на рисунке, тонкая проводящая палочка длиной l=22 см. Найдите разность потенциалов между концами палочки. Решение . Как внутри, так и вне области, Рис.11.5 §11. УравненияМаксвелла 209 занятой переменным во времени магнитным полем, существует электрическое поле, определяемое уравнением (11.2). Структура этого поля внутри области однородного цилиндрически симметричного магнитного поля была подробно рассмотрена в примере 1. Как было показано, в рассматриваемом случае отлична от нуля только азимутальная составляющая Е ϕ , и она равна –½ kr (r< R). Найдем теперь электрическое поле вне области магнитного поля. При r>R (В=0) эта составляющая удовлетворяет уравнению 0 ) ( = ∂ ∂ r rE ϕ , откуда следует Е ϕ = C/r. Теперь особая точка r = 0 не входит в расматриваемую область, и это решение не должно быть отброшено. Постоянная С находится из условия непрерывности вектора E при r = R: C/R = −½kR, откуда окончательно: r kR E 2 2 − = ϕ (11.33) Заметим, что найденное выражение для вихревого электрического поля есть не что иное как производная t A ∂ ∂ − в формуле (11.13) и могло быть легко получено из выражения для векторного потенциала. При помещении проводящей палочки во внешнее поле в ней произойдет перемещение свободных зарядов и их стационарное распределение должно удовлетворять условию равенства нулю полного электрического поля: 0 = ∂ ∂ − − = t A grad E r r ϕ , откуда следует i E grad r − = ϕ , где t A E i ∂ ∂ − = r r − поле электромагнитной индукции. Интегриуя это выржение вдоль палочки, получим выражение для искомой разности потенциалов: α ϕ 2 2 1 kR = ∆ , (11.34) §11. Уравнения Максвелла 210 где α − угол, под которым видны концы палочки из центра области магнитного поля. В рассматриваемой геометрии 2 2 4 arcsin 2 l a l + = α . Отметим, что рассчитанная разность потенциалов учитывает только потенциальную часть полного поля и, поэтому, не равна работе по перемещению пробного заряда от одного конца палочки до другого. Эта работа зависит от траектории (так как полное поле не потенциально), и включает как работу потенциальных сил, так и вихревой составляющей поля. Окончательно, 2 2 2 4 arcsin l a l kR + = ∆ ϕ = 0,314 В . Задание для самостоятельной работы 11.1. Из материала с проводимостью λ =6 ⋅ 10 7 (Ом ⋅ м) -1 изготовлен сплошной цилиндр длиной l =4 см и радиусом R =1 см. Цилиндр помещают в нестационарное магнитное поле, вектор индукции которого B параллелен оси цилиндра. Магнитное поле изменяется по закону > ≤ ≤ = , , 0 , 0 , ) ( 1 1 R r R r t k t B где r – расстояние от оси цилиндра, а R 1 > R . Найдите тепловую мощность, выделяющуюся в цилиндре за счет токов Фуко, если k =10 Тл/c. §11. Уравнения Максвелла 211 11.2. Внутри цилиндрической области пространства радиусом R =10 см (см. рис.11.6) магнитное поле однородно и направлено параллельно оси OO ′ воображаемого цилиндра, а его индукция изменяется по закону , sin ) ( 0 t B t B ω = В 0 =1.5 Тл. Вне этой области магнитная индукция равна нулю. Вне области магнитного поля расположен, как показано на рисунке, отрезок проводящей трубы с радиусами R 1 =12 см и R 2 =15 см и высотой h =20 см. Найдите среднюю тепловую мощность, выделяемую в трубе. Проводимость материала трубы λ =5 ⋅ 10 7 (Ом ⋅ м) -1 11.3. В проводнике, помещенном в нестационарное магнитное поле, циркулируют токи Фуко. Линии тока представляют собой окружности, центры которых лежат на оси z 0 , причем зависимость плотности тока от времени t и от расстояния r рассматриваемой точки проводника до оси z 0 описывается законом τ t e r k t r j − = ) , ( Определите индукцию магнитного поля в проводнике , если известно , что в момент времени t=0 она была равна нулю во всем объеме проводника 11.4. Для плоскопараллельного диода , описанного в примере 2, рассчитайте плотность объемного заряда ( ) x ρ как функцию расстояния x до катода Потенциал анода 0 U , расстояние между катодом и анодом d . Определите плотность заряда на расстоянии 2 / d от катода при условии B U 100 0 = , мм d 5 = Рис.11.6 §11. Уравнения Максвелла 212 11.5. Для плоскопараллельного диода, описанного в примере 2, определите плотность тока, протекающего через диод. Напряжение на аноде B U 200 0 = , расстояние между катодом и анодом мм d 5 = 11.6. Для плоскопараллельного диода, описанного в примере 2, найдите скорость электронов в точке, равноудаленной от катода и анода. Напряжение на аноде B U 100 0 = 11.7. Для плоскопараллельного диода, описанного в примере 2,определите время пролета электронов от катода к аноду. Потенциал анода 0 U = 100В, расстояние между катодом и анодом d = 10 мм. 11.8. К плоскому воздушному конденсатору, обкладки которого имеют форму дисков с зазором см d 1 = между ними, приложено переменное напряжение t U U ω cos 0 = с амплитудой B U 300 0 = и круговой частотой 1 6 10 3 − ⋅ = c ω Найдите амплитуду полей 0 H и 0 B на расстоянии см r 1 = от оси конденсатора, если это расстояние меньше радиуса обкладок конденсатора. Как изменятся эти амплитуды, если зазор между обкладками заполнить однородным диэлектриком с 10 = ε и 100 = µ ? 11.9. Заряженный и отключенный от источника плоский конденсатор с круглыми пластинами пробивается электрической искрой вдоль своей оси. Считая разряд квазистационарным и пренебрегая краевыми эффектами, вычислите полный поток электромагнитной энергии, вытекающей из пространства между обкладками. 11.10. Найдите плотность тока смещения см j в плоском конденсаторе, пластины которого раздвигаются со скоростью v , оставаясь параллельными §11. Уравнения Максвелла 213 друг другу. Если: 1)заряды на пластинах конденсатора остаются постоянными; 2)разность потенциалов U между пластинами остается постоянной. Расстояние между пластинами конденсатора d остается все время малым по сравнению с линейными размерами пластин. 11.11. По прямолинейному проводнику радиусом a течет постоянный ток с плотностью j . 1)Укажите для произвольной точки боковой поверхности провода направление составляющей вектора Пойтинга, обусловленной тангенциальной составляющей E . 2)Покажите, что произведение модуля вектора Пойтинга на величину площади боковой поверхности провода равно мощности, выделяемой током в проводе. 11.12. Цилиндрический электронный пучок радиусом R распространяется в свободном пространстве. Электроны пучка летят параллельно, их концентрация равна n , а кинетическая энергия каждого из них - W . Найдите величину и направление вектора Пойтинга в любой точке пространства. 11.13. Найдите индукцию магнитного поля, создаваемого потоком электронов в плоском диоде с круглыми электродами на расстоянии r =1см от оси прибора. Расстояние между анодом и катодом d =5мм, напряжение на аноде U 0 =200В. 11.14. Найдите величину силы Лоренца, действующей на электроны в плоском диоде с круглыми электродами за счет их собственного магнитного поля, вблизи края анода с радиусом R. Расстояние между анодом и катодом d, напряжение на аноде U 0 |