В. Нетребко, И. П
 Скачать 5.4 Mb.
|
Краткие теоретические сведения Вектор намагниченности.Тело, помещенное во внешнее магнитное поле, намагничивается и создает собственное магнитное поле, которое накладывается на внешнее поле по принципу суперпозиции. Согласно гипотезе Ампера, частицы, из которых состоит тело, можно рассматривать как маленькие контуры, обтекаемые так называемыми молекулярными (или амперовыми) токами, связанными с орбитальным движением электронов. С такой точки зрения возникновение дополнительного магнитного поля можно объяснить ориентацией этих контуров во внешнем магнитном поле. Основные закономерности поведения намагничивающихся сред объясняются в рамках задачи «замкнутый контур с током в магнитном поле», рассмотренной в предыдущем параграфе. Для макроскопического описания магнитного поля в веществе вводится усредненная по объему вещества его характеристика – вектор намагниченности V p J i m i ∆ = ∑ r r , (8.1) где i m p r − магнитные моменты всех амперовых токов, оказавшихся внутри бесконечно малого объема V ∆ . Величина вектора J r зависит от индукции внешнего поля и от свойств рассматриваемого вещества. Эта связь задается материальнымуравнением и считается известной из опыта. Для удобства описания магнитного поля в материальных средах вводится вектор напряженности магнитного поля J B H v r r − = 0 µ (8.2) §8. Магнитноеполеввеществе 144 Для достаточно слабых полей и большинства всречающихся в природе веществ можно считать, что H J r r χ = (коэффициент пропорциональности χ называется магнитнойвосприимчивостью вещества); и материальное уравнение для магнитного поля, согласно (8.2) принимает вид H B r r 0 µµ = , (8.3) где χ µ + = 1 – безразмерная константа, называемая магнитной проницаемостьювещества. Описание магнитного поля в терминах векторов B r и H r позволяет не вводить явно плотность молекулярных (амперовых) токов, хотя в некоторых случаях рассмотрение этих токов упрощает решение задач. По своим магнитным свойствам все вещества подразделяются на диамагнетики( 0 < χ , 1 < µ , J r и B r ориентированы противоположно), парамагнетики( 0 > χ , 1 > µ , J r и B r ориентированы в одном направлении) и ферромагнетики. В последних линейная зависимость между J r и B r нарушается даже в сравнительно слабых полях, и равенство (8.3) выполняется лишь приближенно, причем µ>>1 (в сплавах железа, то есть сталях, магнитная проницаемость может превышать 10 3 ). В некоторых средах (постоянных магнитах) намагниченность слабо зависит от внешнего поля и задается обычно условиями задачи. Уравнение (8.3) в этом случае неприменимо, и следует использовать непосредственно соотношение (8.2). Закон полного тока.В произвольной намагниченной среде циркуляция вектора напряженности магнитного поля H r по любому замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов I, которые охватываются этим контуром: I l d H L = ∫ r r (8.4) Это важнейшее интегральное соотношение магнитостатики называется закономполноготока или теоремойоциркуляции напряженности магнитногополя. При этом каждый ток, охватываемый контуром, считается §8. Магнитноеполеввеществе 145 положительным (отрицательным), если из конца вектора плотности этого тока обход контура виден происходящим против часовой стрелки (по часовой стрелке). Если контур интегрирования N раз обходит ток I (с учетом направления), то в правую часть (8.4) следует подставить NI. Число N называют кратностьюсцепления тока с контуром. Дифференциальное соотношение, соответствующее интегральной теореме (8.4), имеет вид j H r r = rot , (8.5) где j r – плотность тока проводимости в рассматриваемой точке пространства Магнитное поле в однородной среде. Магнитная проницаемость вещества не входит явно в закон полного тока. Поэтому заданная конфигурация токов будет создавать одинаковое распределение поля H r в вакууме и в безграничной однородной среде. (Для неоднородной среды это, конечно , не справедливо). Соответственно, формулы (7.4) и (7.11) могут быть применены к полям в однородной намагничивающейся среде, если заменить в них µ 0 на µµ 0 : [ ] ∫ = L r r l d I B 3 0 , 4 r r r π µµ , (8.6) ∫ = L r l Id A r v π µµ 4 0 (8.7) Как следует из уравнений (8.3), (8.5) и определения векторного потенциала (7.12), для произвольного распределения токов с объемной плотностью j r в однородной среде с магнитной проницаемостью µ векторный потенциал A r удовлетворяет векторномууравнениюПуассона: j A r r µ µ 0 − = ∆ (8.8) Граничные условия для магнитного поля. Из свойства соленоидальности магнитного поля следует, что на границе раздела двух §8. Магнитноеполеввеществе 146 сред с различными значениями µ нормальные компоненты вектора B r непрерывны; по теореме о циркуляции в отсутствие на границе раздела поверхностных токов проводимости тангенциальные компоненты вектора H r также непрерывны: 2 1 2 1 ,... τ τ H H B B n n = = (8.9) Тангенциальные компоненты вектора B r на границах претерпевают разрыв. Физически это связано с разрывом вектора намагниченности j r и может быть объяснено протеканием по границе поверхностного молекулярного тока, плотность которого равна величине скачка тангенциальной составляющей вектора намагниченности. Пример 8.1. Найдите индукцию магнитного поля, создаваемого тороидом, обмотка которого содержит N витков. Ток, протекающий по обмотке, равен I, магнитная проницаемость сердечника µ . Решение . Тороид – кольцевая катушка, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора. При достаточно плотной упаковке витков такую катушку можно рассматривать как систему одинаковых витков с центрами на средней линии тороида, плоскости которых перпендикулярны к этой линии. При повороте тороида вокруг оси симметрии он переходит сам в себя, поэтому линии магнитной индукции суть концентрические окружности с центрами на оси симметрии тороида, и вдоль силовой линии величина вектора магнитной индукции постоянна. Теорема о циркуляции, примененная к произвольной силовой линии, дает: = = ∫ тороида вне тороида внутри NI rH l d H 0 2 π r r , где r - радиус выбранной линии магнитной индукции. Видно, что поле сосредоточено внутри тороида и равно: , 2 r NI Н π = r NI B π µµ 2 0 = (8.10) §8. Магнитноеполеввеществе 147 Пример 8.2. Катушка (соленоид) намотана на длинный прямой сердечник из однородного магнетика с магнитной проницаемостью µ и имеет N витков. Ток, протекающий по обмотке, равен I,длина соленоида l много больше его радиуса R. Найдите индукцию и напряженность магнитного поля на оси соленоида внутри сердечника и вне его. Решение . Наличие сердечника не дает возможность воспользоваться непосредственно формулой (7.4) для определения магнитного поля. Согласно гипотезе Ампера, поле в сердечнике создается как током I так и микротоками во всем сердечнике, совокупное действие которых равносильно действию добавочного (заранее неизвестного) тока I’ , обтекающего поверхность сердечника (рис. 8.1). Тогда, по аналогии с примером (7.Пр.4) (7.21), можно написать, что индукция поля на оси соленоида в точке с координатой z, отсчитываемой от середины соленоида, равна ( ) z Cf B = , где ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 / 2 / 2 / 2 / l z R l z l z R l z z f − + − − + + + = , C – подлежащая определению константа. На оси сердечника напряженность магнитного поля равна ( ) 0 µµ z Cf H c = , а на оси в воздухе вне соленоида ( ) 0 µ z Cf H b = . По теореме о циркуляции, примененному к бесконечной силовой линии, совпадающей с осью соленоида, IN dz H dz H dz H Hdz l b l l c l b = + + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ − − ∞ − ∞ ∞ − 2 / 2 / 2 / 2 / В приближении длинного соленоида << 1 l R R C dz H dz H l b l b 0 2 / 2 / µ = = ∫ ∫ ∞ − ∞ − , а ( ) R l C dz H l l c − = ∫ − − 2 0 2 / 2 / µµ , Рис.8.1 §8. Магнитноеполеввеществе 148 (пренебрегая членами ( ) 2 / l R ) откуда следует, что ( ) IN R l C CR = − + 0 0 2 2 µµ µ , откуда ( ) ( ) R l IN C 1 2 0 − + = µ µµ . Окончательно, ( ) ( ) ( ) ( ) z f R l IN z B 1 2 0 − + = µ µµ . При l R << µ будет ( ) ( ) z f l IN z B 2 0 µµ = , т.е. индукция поля в µ раз больше индукции в отсутствие сердечника. Если же l R >> µ (а для ферромагнитных сердечников 7 3 10 10 − µ и выполнение этого условия вполне возможно) ( ) ( ) z f R IN z B 2 0 µ = . Напряженность поля внутри и вне соленоида равна соответственно ( ) ( ) ( ) ( ) z f R l IN z H c 1 2 − + = µ , ( ) ( ) ( ) ( ) z f R l IN z H b 1 2 − + = µ µ . На торцах сердечника вектор H r претерпевает разрыв, возрастая в µ раз при переходе из сердечника в пустоту. Внутри соленоида вдали от концов ( ) l z << ( ) 2 ≈ z f , поэтому поле можно считать однородным: ( ) ( ) R l IN z B 1 0 − + ≈ µ µµ (8.11) Пример 8.3. По бесконечному прямолинейному цилиндрическому проводу радиусом R течет ток I, равномерно распределенный пo сечению проводника. Найдите напряженность магнитного поля H r как функцию расстояния от оси провода. Решение . Выберем цилиндрическую систему координат ρ,ϕ,z. Ось Oz направим по оси провода в сторону тока. Поскольку перенос начала отсчета вдоль оси Oz и поворот вокруг Oz не изменяет конфигурацию токов в новой системе координат, вектор H r зависит только от ρ. Для нахождения напряженности поля в произвольной точке пространства M рассмотрим нормальное сечение провода, плоскость которого включает данную точку. Выделим на сечении провода элементарную площадку ϕ ρ ρ d d ds = 1 , через §8. Магнитноеполеввеществе 149 которую вдоль оси Oz течет ток 1 1 jds dI = (j - плотность тока). Он вносит вклад 1 H d r в поле H r , причем 1 1 r H d r r ⊥ . Возьмем симметричную относительно ОМ элементарную площадку ds 2 Её вклад 2 H d r перпендикулярен 2 r r и 2 1 H d H d r r = Суммарный вклад 2 1 H d H d H d r r r + = перпендикулярен ОМ. Так как при данной конфигурации тока суммирование вкладов можно произвести симметричными парами, то поле, создаваемое проводом, перпендикулярно ОМ. Отсюда следует, что силовые линии H r представляют собой окружности. Для вычисления величины поля воспользуемся теоремой о циркуляции вектора H r (8.4): ∑ ∫ = i i L I l d H r r . В качестве контура L выберем окружность радиуса ρ M (см. рис. 8.2), проходящую через точку М. Поскольку l d H r r || , то ( ) dl H l d H M ρ = r r . На окружности L const M = ρ и, следовательно, ( ) const H M = ρ . Таким образом, из (8.4) имеем ( ) > ≤ ≤ = = = ∫ ∫ R I R R I H Hdl l d H M M M M M L L ρ ρ π πρ ρ πρ , 0 , / 2 2 2 r r . Отсюда ( ) > ≤ ≤ = R I R R I H M M ρ πρ ρ π ρ ρ , 2 / 0 , 2 / 2 (8.12) Полученный результат можно представить в векторном виде: внутри проводника ( ) R ≤ ≤ ρ 0 [ ] ρ r r r , 2 1 j H = , вне проводника [ ] 2 2 , 2 1 r R j H ρ r r r = , Рис.8.2 §8. Магнитноеполеввеществе 150 где j r - плотность тока ( ) 2 / R I j π = , ρ r - радиус-вектор, проведенный в точку М из произвольной точки на оси провода, r – расстояние от точки М до оси проводника. Пример 8.4. На тороидальный сердечник из однородного магнетика с магнитной проницаемостью µ намотано N витков провода. В сердечнике сделан зазор, ширина которого d мала по сравнению с линейным размером сечения тора. Найдите напряженность и индукцию магнитного поля в сердечнике и в зазоре. Решение . Из условия (8.9) равенства нормальных составляющих векторов B r на границе раздела сред следует, что индукция магнитного поля одинакова в сердечнике и в зазоре. Если пренебречь рассеянием силовых линий вблизи краев зазора, их можно считать концентрическими окружностями с центром на оси сердечника. (рис. 8.3). На расстоянии r от оси напряженности поля в сердечнике и в зазоре соответственно равны ( ) µ µ 0 r B H c r r = и ( ) 0 µ r B H з r r = . Теорема о циркуляции, примененная к силовой линии радиусом r внутри катушки, дает: ( )( ) ( ) d r B d r r B IN 0 0 2 µ π µ µ + − = , откуда ( ) ( ) d r IN r B 1 2 0 − + = µ π µ µ , (8.13) ( ) d r IN H c 1 2 − + = µ π , ( ) d r IN H з 1 2 − + = µ π µ При ( ) r d << −1 µ можно приблизительно считать r IN H c π 2 ≈ . Это приближение даже при малой Рис.8.3 §8. Магнитноеполеввеществе 151 величине зазора не всегда оправдано в случае больших значений µ. Если d r µ << , то d IN H c µ ≈ , d IN H з = , d IN B 0 µ ≈ Пример 8.5. Шар радиусом R из однородного магнетика с магнитной проницаемостью µ вносится в однородное магнитное поле с индукцией 0 B r Найдите индукцию магнитного поля внутри и вне шара. Решениее . В отсутствие токов проводимости 0 rot = H r , а поскольку H B r r µ µ 0 = и µ не зависит от координат, то и 0 rot = B r . Это дает возможность искать поле и вне, и внутри шара в виде суперпозиции известных решений, удовлетворяющих этому уравнению и уравнению 0 div = B r . Попробуем найти решение этой задачи в виде суммы однородного поля 1 B r и поля магнитного диполя m p r , т.е. ( ) − + = 3 5 0 1 3 4 r p r r r p B B m m r r r r r v π µ , причем векторы В 1 и p m различны для внутренней (i) и внешней (e) областей: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − + = 3 5 0 1 3 4 r p r r r p B B i m i m i i r r r r r v π µ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − + = 3 5 0 1 3 4 r p r r r p B B e m e m e e r r r r r v π µ Четыре неизвестных вектора ( ) ( ) ( ) ( ) i m e m e e p p B B , , , 1 1 r r вне и внутри шара найдем из условий на границе шара (8.9) и на бесконечности, а также из условия ограниченности поля в центре шара. Из последнего условия следует, что ( ) 0 = i m p r и поэтому поле ( ) i B r внутри шара однородно: ( ) ( ) i i B B 1 r r = . Так как при ∞ → r поле однородно по условию, то ( ) 0 1 B B e r r = , и для решения задачи осталось подобрать вектора ( ) i B 1 r и ( ) e m p r . Тогда будет: ( ) ( ) i i B B 1 r r = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − + = 3 5 0 0 3 4 r p r r r p B B e m e m e e r r r r r v π µ §8. Магнитноеполеввеществе 152 На границе шара из условия непрерывности тангенциальных составляющих вектора H r следует, что ( ) ( ) i e m B R p B τ τ τ µ π µ 1 3 0 0 1 4 = − . Так как это условие должно выполняться в любой точке поверхности шара, то ( ) ( ) i e m B B R p τ τ τ µ π µ 1 0 3 0 1 4 − = (8.14) Второе уравнение, связывающее неизвестные векторы ( ) e m p r и ( ) i B 1 r получим из условия непрерывности нормальных составляющих векторов ( ) e B r и ( ) i B r на границе шара. Так как ( ) r r r r r p r r r p m m r r r r r r 3 5 = есть составляющая вектора 3 r p m r вдоль r r , то ( ) 3 5 r p r r r p m m r r r r − есть составляющая, перпендикулярная r r , и потому равенство нормальных составляющих (после сокращения на косинус угла между радиус-вектором и направлением внешнего поля 0 B r ) приводит к соотношению: ( ) ( ) 3 0 0 1 2 4 R p B B e m i π µ + = и, соответственно, в векторном виде: ( ) ( ) 3 0 0 1 2 4 R p B B e m i r r r π µ + = (8.15) Решая систему (8.14), (8.15), получаем: ( ) 0 2 3 B B i r r + = µ µ , 0 3 0 2 1 4 B R p m r r + − = µ µ µ π Окончательно: ( ) ( ) − + − + = 3 0 5 0 0 3 2 1 r B r r r B B B e r r r r r r µ µ ; ( ) 0 2 3 B B i r r + = µ µ Внутри шара поле однородно и сонаправлено с внешним полем и при µ>1 сильнее поля 0 B r . Вне шара поле есть суперпозиция первоначального поля §8. Магнитноеполеввеществе 153 0 B r и поля магнитного диполя, помещенного в центре шара и обладающего моментом 0 3 0 2 1 4 B R p m r r + − = µ µ µ π Замечание. Решение этой задачи может быть получено на основании аналогии между задачами электростатики и магнитостатики при отсутствии токов. С этой целью воспользуемся решением примера 8 из параграфа 4, заменив вектор D r на B r и ε на µ (формулы (4.33) и (4.36)). Пример 8.6. Бесконечный прямолинейный тонкий провод с током I расположен параллельно плоской границе раздела двух сред с магнитными проницаемостями µ 1 и µ 2 на некотором расстоянии a от границы в первой среде. Определите магнитное поле в обеих средах вблизи границы. Решение . Для решения этой задачи применим метод, аналогичный методу изображений в электростатике. Заменим задачу расчета поля B r в неоднородной среде аналогичной задачей в вакууме. В первой среде поле B r подчиняется такому же уравнению, как и поле тока I 1 µ в вакууме. Во второй среде 0 rot 2 = B r . При расчете поля в первой среде можно добавить любые источники поля во вторую среду и наоборот, с целью обеспечить выполнение условий на границе: 2 2 1 1 µ µ τ τ B B = ; 2 1 n n B B = . Для расчета поля в первой среде добавим ток I β во вторую среду вдоль линии зеркального отражения исходного провода относительно границы раздела, а при расчете поля во второй среде исходный ток заменим на ток I γ (рис.8.4). Тогда поле 1 B r есть суперпозиция полей токов I 1 µ (в первой среде) и I β Рис.8.4 §8. Магнитноеполеввеществе 154 (во второй среде), а поле 2 B r создается током I γ (в первой среде). В силу того, что величина B пропорциональна току, из граничных условияй следует: 2 1 1 µ γ µ β µ = − , γ β µ = + 1 . Откуда получаем: ( ) 2 1 1 2 1 µ µ µ µ µ β + − = ; 2 1 2 1 2 µ µ µ µ γ + = . Таким образом, поле в первой среде совпадает с полем в вакууме, созданным током I I 1 1 µ = , текущим по исходному проводу, и током ( ) I I 2 1 1 2 1 2 µ µ µ µ µ + − = , текущим по его зеркальному отражению. Поле во второй среде совпадает с полем, созданным током I I 2 1 2 1 3 2 µ µ µ µ + = , текущим по исходному проводу в вакууме. Если 1 2 µ µ >> (вторая среда – ферромагнетик), I I I 2 1 2 µ = = ; "зеркальный" ток течет в том же направлении, что и исходный. В общем случае ток I 3 совпадает по направлению с исходным, а направление I 2 зависит от знака разности ( ) 1 2 µ µ − . Таким образом, поле, соответствующее исходной задаче, может быть создано в вакууме (или однородной среде) системой токов, заменяющих собой действительное распределение молекулярных токов в средах. Вычисление поля в любой точке теперь может быть произведено по формуле Био-Савара или по формуле поля прямого тока с использованием принципа суперпозиции, и не вызывает трудностей. Найдем поле во второй среде вблизи границы на расстояниих от проекции провода. Согасно (7.5 ) индукция в точкех будет ( ) ( ) I a x I r x B 2 2 2 1 2 1 0 0 2 2 + + = = µ µ π µ µ µ γ π µ , а ее проекции на касательное направление и нормаль равны ( ) ( ) I a x a B 2 2 2 1 2 1 0 2 + + = µ µ π µ µ µ τ , ( ) ( ) I a x x B n 2 2 2 1 2 1 0 2 + + = µ µ π µ µ µ . Согласно условиям для границ раздела, n n B B 2 1 = , τ τ µ µ 2 2 1 1 B B = , откуда окончательно: §8. Магнитноеполеввеществе 155 ( ) ( ) I a x x B B n n 2 2 2 1 2 1 0 2 1 + + = = µ µ π µ µ µ , ( ) ( ) I a x a B 2 2 2 1 2 2 1 0 1 + + = µ µ π µ µ µ τ , ( ) ( ) I a x a B 2 2 2 1 2 1 0 2 + + = µ µ π µ µ µ τ Пример 8.7. Намагниченность J r длинного тонкого магнита в виде цилиндра длиной 2l и радиусом r однородна и направлена вдоль оси (рис.8.5). Оцените магнитную индукцию B A в точке A вблизи центра торца и B C около середины цилиндра. Решение . Поскольку токи проводимости отсутствуют, поле создается исключительно молекулярными токами. Так как J r не зависит от координат, 0 rot = J r и, следовательно, объемных молекулярных токов нет. Такой случай соответствует поверхностному току, обтекающему магнит по его боковой поверхности. Граничные условия на этой поверхности требуют: I пов =J, причем ток направлен по окружностям перпендикулярно оси цилиндра. Вокруг магнита возникает такое же поле B r , как и в вакууме вокруг цилиндра, обтекаемого поверхностным током с линейной плотностью J. Эта задача аналогична расчету поля длинного соленоида, поэтому воспользуемся результатамипримера 7.4.. Как следует из (7.21), вне цилиндра вблизи центра его торца (In 0 =J, β 1 = π/2,β 2 =0), 2 0 J B A µ = Если бы цилиндр был бесконечно длинным, поле вне цилиндра отсутствовало бы, поэтому поле вблизи точки C такое же, какое создают в пустоте два полубесконечных соленоида с направлением тока, противоположным i пов , и дополняющих цилиндр до бесконечного. Так как по условию l>>r, для оценки поля в точке C можно воспользоваться прежним выражением (7.21), пренебрегая различием между полем в этой Рис.8.5 §8. Магнитноеполеввеществе 156 точке и на оси соленоида. Полагая в последней формуле β 2 =r/l<<1, β 1 =0, получим: 2 2 0 2 l r J B C µ ≈ Задачи и вопросы для самостоятельного решения 8.1. Кабель состоит из двух коаксиальных цилиндров: центрального сплошного радиуса R 1 и окружающего его полого цилиндра (оболочки) радиуса R 2 . По внутреннему цилиндру параллельно его оси течет ток I, равномерно распределенный по его сечению, а по внешнему - ток такой же величины, направленный в противоположную сторону, распределенный равномерно по поверхности (коаксиальный кабель). Найдите величину напряженности магнитного поля H как функцию расстояния ρ от оси. 8.2. Определите напряженность магнитного поля H внутри бесконечной круглой цилиндрической полости, сделанной в бесконечном цилиндрическом проводе, по которому течет ток плотности j, равномерно распределенный по сечению провода. Расстояние между осями провода и полости равно a. 8.3. Тороидальный сердечник составлен из двух половинок, сделанных из различных ферромагнитных материалов с магнитными проницаемостями µ 1 и µ 2 . Общая длина сердечников, включая два небольших зазора величиной d , равна L. По обмотке сердечника, имеющей N витков, течет ток I. Определите величину поля B в зазоре. Рассеянием магнитного поля в зазоре пренебречь. 8.4. По бесконечно длинному прямолинейному проводнику, лежащему в плоскости раздела двух непроводящих сред, течет ток I. Определите индукцию магнитного поля в произвольной точке пространства. Магнитные проницаемости сред равны µ 1 и µ 2 8.5. На плоской границе раздела двух сред с магнитными проницаемостями µ 1 и µ 2 помещен контур с током. Определите напряженность и индукцию §8. Магнитноеполеввеществе 157 магнитного поля во всем пространстве, если известно, что в вакууме этот контур создает поле с напряженностью ( ) r H r r 0 8.6. В однородное магнитное поле с индукцией 0 B r помещен шарик радиусом R 1 из материала с магнитной проницаемостью µ. Внутри шарика сделана сферическая концентрическая полость радиусом R 2 . Найдите индукцию магнитного поля внутри полости. 8.7. Длинный прямой провод с током I расположен параллельно плоской границе массивного тела, сделанного из магнитного материала с проницаемостью µ, на расстоянии h от нее. Найдите силу, с которой притягивается к телу единичный отрезок провода. 8.8. По бесконечному прямолинейному цилиндрическому проводу радиусом R , сделанному из магнитного материала с проницаемостью µ, течет ток I, равномерно распределенный пo сечению проводника. Найдите индукцию магнитного поля B v как функцию расстояния от оси провода. 8.9. Цилиндрический стержень длиной l и радиусом r (l>>r), сделанный из магнетика с магнитной проницаемостью µ, помещен во внешнее однородное магнитное поле с индукцией 0 B r , направленной вдоль стержня (рис.8.6). Найдите индукцию магнитного поля в центре цилиндра (в т.О). 8.10. Тонкий диск радиусом r и высотой l (l<<r), сделанный из магнетика с магнитной проницаемостью µ , помещен во внешнее однородное магнитное поле с индукцией 0 B r , направленной перпендикулярно Рис.8.6 Рис.8.7 §8. Магнитноеполеввеществе 158 плоскости диска (рис.8.7). Найдите индукцию магнитного поля в центре диска (т.О). 8.11. Намагниченность J r постоянного магнита в виде короткого цилиндра высотой hи радиусом R (h<<R) однородна и направлена вдоль оси цилиндра. Найдите магнитную индукцию внутри и вне цилиндра вблизи центра основания (т.О). 8.12. Магнит в виде тонкого стержня длиной l и радиусом r<<l намагничен продольно, так что его намагниченность возрастает линейно от нуля до максимального значения J m на противоположном торце. Найдите индукцию магнитного поля в воздухе вблизи центра торца с наибольшей намагниченностью. 8.13. Длинный тонкий цилиндрический стержень из магнетика с магнитной проницаемостью µ заряжен по поверхности и вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω. Найдите индукцию и напряженность магнитного поля внутри стержня вдали от его концов. Длина стержня L, радиус R, заряд Q. 8.14. Постоянный магнит в виде тонкого диска радиусом R намагничен однородно (рис.8.8). Вектор намагниченности J r перпендикулярен плоскости диска. Найдите напряженность магнитного поля внутри диска вблизи его центра, если толщина диска h 8.15. Постоянный ток I течет вдоль длинного однородного цилиндрического провода. Провод сделан из парамагнетика с магнитной восприимчивостью χ. Найдите индукцию магнитного поля внутри и вне провода на расстоянии r от его оси. Рис.8.8 |