В. Нетребко, И. П
 Скачать 5.4 Mb.
|
|
§5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя Краткие теоретические сведения Электроемкость.Потенциал проводника, удаленного от других проводников на расстояние, значительно большее его собственных размеров ( такой проводник называют уединенным), пропорционален его заряду Q и может быть представлен как C Q = ϕ (5.1) Коэффициент пропорциональности С называют емкостью уединенногопроводника. Она зависит от формы проводника, его размера и свойств окружающей среды. Например, емкость шара радиуса R, погруженного в однородный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε, равна R C 0 4 πεε = (5.2) Конденсаторомназывают пару проводников, расстояние между которыми много меньше расстояния до остальных тел. При этом проводники называют обкладками конденсатора. Если на одну обкладку поместить заряд +Q, а на другую обкладку заряд -Q, то между ними будет существовать разность потенциалов, или напряжение, U, пропорциональное заряду каждой из обкладок: C Q U = (5.3) КоэффициентС в этой формуле называют емкостьюконденсатора. Емкость конденсатора не зависит ни от U, ни от Q, а определяется формой и расположением проводников, составляющих конденсатор, и свойствами среды между ними. В случаях, когда влиянием окружающих тел нельзя пренебречь, систему проводников нельзя рассматривать как конденсатор, §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 85 однако ее можно свести к системе конденсаторов, соединенных определенным образом. Плоским называют конденсатор, состоящий из двух параллельных одинаковых проводящих пластин площадью S , разделенных диэлектриком. Расстояние между пластинами d считается много меньше линейного размера пластины.Емкость плоского конденсатора равна d S C 0 εε = , (5.4) где ε - диэлектрическая проницаемость среды, находящейся между обкладками. Последовательное и параллельное соединение конденсаторов показано на рис.5.1. Емкость параллельно соединенных конденсаторов равна n C C C C + + + = 2 1 (5.5) Эквивалентная емкостьпоследовательно соединенных конденсаторов находится по правилу: n C C C C 1 1 1 1 2 1 + + + = (5.6) Энергия электрического поля.Для того, чтобы зарядить конденсатор, его обкладки присоединяют к источнику напряжения. Каждый такой источник характеризуется электродвижущей силойили сокращенноЭДС, равной работе источника по перемещению единичного заряда с одной обкладки конденсатора на другую. Соответственно, в процессе зарядки конденсатора источник совершает работу Q A ∆ = ε , (5.7) Рис.5.1 §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 86 где ε - ЭДС источника, а Q ∆ - изменение зарядов обкладок. При этом разность потенциалов между обкладками становится равной ЭДС источника, то есть ε = U В процессе зарядки конденсатора заряды перемещаются в направлении, противоположном полю, силы которого совершают отрицательную работу (энергия поля увеличивается). Если отключить конденсатор от источника напряжения и соединить обкладки проводником, то конденсатор будет разряжаться, направление перемещения зарядов между обкладками изменится на противоположное и работа электростатических сил станет положительной. По определению, энергия W заряженногоконденсатора равна работе, которую совершают электростатические силы при полном переносе заряда с одной обкладки на другую в процессе разрядки конденсатора, и равна 2 2 2 2 2 CU C Q UQ W = = = (5.8) Энергия конденсатора заключена в его электрическом поле. Энергия произвольной системы заряженных тел также может быть интерпретирована как энергия создаваемого ими электрического поля. Объемная плотностьэнергии электрического поля dV dW w = при этом равна D E w 2 1 = , (5.9) или в силу (4.3) 2 0 2 1 E w εε = (5.10) Энергия системы заряженных проводников может быть найдена путем интегрирования выражения (5.9) по всему объему, занимаемому полем. В результате для энергии системы N заряженных проводящих тел получим ∑ = = N i i i Q W 1 2 1 ϕ , (5.11) §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 87 где i Q -- заряд − i го проводника и − i ϕ его потенциал. Выражение (5.11) обобщает формулу (5.8) на случай произвольного числа тел. Пример 5.1. Плоский конденсатор имеет емкость пФ C 600 0 = Насколько она изменится, если ввести между обкладками параллельно им медный лист, толщина которого равна 4 / 1 = α расстояния между обкладками? Будет ли влиять на результат положение листа? Решение . На проводнике появляются наведенные заряды Q + и Q − ( см. рис.5.2) такие, что поле внутри проводника обращается в ноль. При этом напряженность поля между обкладками конденсатора, но вне медного листа, не изменяется и остается равной S Q E 0 0 ε ε σ = = Разность потенциалов между обкладками конденсатора уменьшится: ( ) ( ) S Qd d d E U 0 1 ε α α − = − = Откуда согласно (5.3) емкость конденсатора увеличивается: ( ) пФ C d S U Q C 800 1 1 0 0 = − = − = = α α ε (5.12) Величина емкости не зависит от положения пластинки внутри конденсатора. Рис.5.2 §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 88 Полученный результат можно использовать при расчете емкости конденсатора, частично заполненного диэлектриком, как показано на рис.5.3а. Введем в конденсатор по границе диэлектрика металлическую пластинку пренебрежимо малой по сравнению с расстоянием между обкладками толщины. Согласно (5.11) емкость конденсатора не изменится. Расслаивая введенную пластинку на две, получим батарею из двух последовательно соединенных конденсаторов (рис.5.3б), емкость которой находится по формуле (5.6). Пример 5.2. Металлический шар радиусом 1 R окружен шаровым слоем диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε толщиной d и помещен концентрично в металлической сфере с внутренним радиусом 2 R . Определите емкость C такого конденсатора. Решение . Поместим на внутреннюю сферу заряд Q + , а на внешнюю -- ( Q − ) и найдем разность потенциалов между обкладками. По теореме Гаусса напряженность в произвольной точке между обкладками: = 2 0 2 0 4 4 r Q r Q E πε ε πε , если 2 1 1 1 R r d R d R r R < < + + < < Разность потенциалов между обкладками согласно (2.3) найдем интегрированием: рис.5.3 §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 89 ( ) ∫ ∫ ∫ + + + − + − + = + = = d R R R d R R R d R R R d R Q r dr Q r dr Q Edr U 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 0 2 0 2 0 1 1 1 1 4 4 4 ε ε πε πε ε πε Емкость C согласно (5.3) будет равна ( ) ( ) [ ] ( ) + − − + = + − − + = d R d R R R d R R dR d R R R d R R R C 2 2 1 1 1 1 0 2 1 2 1 1 2 1 0 1 4 4 ε ε πε ε ε πε (5.13) Устремляя ∞ → 2 R , от (5.13) переходим к емкости шара радиусом 1 R , окруженного сферическим слоем диэлектрика толщиной d Полагая в (5.13) 1 2 R R d − = , получим выражение для емкости сферического конденсатора ( ) 1 2 2 1 0 4 R R R R C − = ε πε (5.14) Устремляя ∞ → 2 R , от (5.14) перейдем к емкости уединенной сферы, задаваемой (5.2). Пример 5.3. Плоский конденсатор состоит из двух пластин, находящихся друг от друга на расстоянии мм d 5 , 0 = Как изменится емкость конденсатора, если его поместить в изолированную металлическую коробку, стенки которой находятся на расстоянии мм d 25 , 0 1 = от пластин ( см. рис.5.4). Неоднородностью поля у краев конденсатора при расчетах пренебречь. Рис.5.4 §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 90 Решение . На стенках коробки появятся наведенные заряды, так как кусок АВ коробки попадает в краевое поле конденсатора. Коробка в целом не несет заряда, поэтому наведенные заряды равны по величине и противоположны по знаку ( см. рис.5.5). Напряженность поля, создаваемая зарядами ' Q и - ' Q , а также Q и - Q , равна S Q E 0 ' ' ε = , S Q E 0 ε = Величина наведенных зарядов должна быть такой, чтобы разность потенциалов между пластинами АС и BD равнялась нулю ( ) [ ] 0 ' 2 ' 1 2 ' 1 0 1 = − − = + − = − d Q d Q Qd S d d E Ed BD AC ε ϕ ϕ , откуда 1 2 ' d d d Q Q + = Найдем измененную разность потенциалов между обкладками конденсатора ( ) 1 0 1 0 2 2 ' d d S d d Q d S Q Q U + = − = ε ε и измененную емкость ( ) 0 1 1 0 1 1 0 2 2 2 2 2 C d d d C dd d d S C = + = + = ε (5.15) Если ∞ → 1 d , то (5.15) переходит в (5.4). Рис.5.5 Рис.5.6 §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 91 Заметим, что конденсатор с учетом влияния коробки может быть представлен эквивалентной схемой, показанной на рис. 5.6. Исходя из этой схемы, можно решить задачу, пользуясь правилами вычисления емкости параллельного и последовательного соединений конденсаторов. Пример 5.4. Определите приближенно емкость конденсатора, образованного двумя одинаковыми шарами радиусом R , находящимися на большом (по сравнению с R ) расстоянии a . Все остальные тела далеки от шаров. Решение . Потенциал каждого шара определяется его собственным зарядом, распределенным по его поверхности, и зарядом второго шара, который в силу его удаленности можно считать сосредоточенным в центре. Так как потенциал проводящего шара совпадает с потенциалом его центра, то шар, заряженный зарядом Q + , имеет потенциал a Q R Q 0 0 4 4 πε πε ϕ − ≅ + , а второй соответственно R Q a Q 0 0 4 4 πε πε ϕ − ≅ − Разность потенциалов между шарами равна a Q R Q U 0 0 2 2 πε πε ϕ ϕ − = − = − + Откуда согласно (5.3) 1 0 1 1 2 − − = a R C πε При ∞ → a емкость приближенно будет равна R 0 2 πε §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 92 Пример 5.5. Два конденсатора 1 C и 2 C , показанные на рис.5.7, заряжаются следующим образом. Сначала замыкают и размыкают ключ К 1 , затем замыкают ключ К 2 Определите разность потенциалов 1 U и 2 U на конденсаторах, если ЭДС батарей 1 ε и 2 ε Решение . При замыкании ключа К 1 заряжается только конденсатор 1 C , причем напряжение на нем совпадает с ЭДС первой батареи 1 ε Размыкание ключа К 1 ничего не изменит в схеме. После замыкания ключа К 2 на конденсаторах появятся заряды 1 q и 2 q ( см. рис.5.8). При этом так как заряд на проводнике В измениться не может, то 1 1 2 1 C q q ε = − , а разность потенциалов между проводниками А и D равна 2 ε : 2 2 2 1 1 ε = + C q C q Решая полученную систему алгебраических уравнений, находим заряды на конденсаторах 2 1 1 1 2 2 1 1 C C C C C q + + = ε ε , ( ) 1 2 2 1 2 1 2 ε ε − + = C C C C q Искомые напряжения на них находим согласно (5.3): Рис.5.7 Рис.5.8 §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 93 2 1 1 1 2 2 1 C C C C U + + = ε ε , ( ) 1 2 2 1 1 2 ε ε − + = C C C U Пример 5.6. Между обкладками плоского конденсатора с размером пластин a х b находится диэлектрическая пластинка, толщина которой практически равна расстоянию между пластинами l , заполняющая пространство между пластинами лишь частично, как показано на рис.5.9. Разность потенциалов между пластинами конденсатора равна U . Диэлектрическая проницаемость материала, из которого изготовлена пластинка, равна ε . Найдите силу, которая будет действовать на пластинку и втягивать ее в конденсатор. Решение . Провести детальное исследование силы очень трудно, так как она связана с неоднородностями поля вблизи концов диэлектрика и пластин. Однако ее можно найти, используя энергетические соображения. Для этого найдем сначала зависимость емкости конденсатора от длины помещенной в него части пластины. Конденсатор, показанный на рис.5.9, можно представить как параллельное соединение двух конденсаторов: первый с площадью пластин ax S = 1 , заполненный диэлектриком, и второй с площадью пластин ( ) x b a S − = 2 без диэлектрика. При параллельном соединении емкости складываются, поэтому с учетом (5.5) находим ( ) ) 1 ( ) ( 0 0 0 − + = − + = ε ε ε ε x l a C x b x l a x C (5.16) где С 0 – емкость пустого конденсатора. Допустим пластинка диэлектрика переместилась внутрь конденсатора на расстояние dx , при этом искомая сила электрического поля совершила работу Fdx A = За счет каких источников энергии Рис.5.9 §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 94 совершена эта работа? Возможны два различных варианта расчета работы. В первом случае конденсатор отключен от источника. При этом сохраняется заряд конденсатора, а разность потенциалов изменяется. Работа совершается только за счет энергии конденсатора, то есть ( ) ( ) dx l a U dx l a C Q dC C Q C dW Fdx 1 2 1 2 ) 2 ( 0 2 0 2 2 2 − = − = ∂ ∂ − = − = ε ε ε ε , (5.17) откуда находим силу, действующую на пластинку: ( ) 1 2 2 0 − = ε ε l aU F (5.18) При продолжении процесса напряжение на конденсаторе, а вместе с ним и действующая на пластинку сила будут изменяться, однако соотношение (5.18) остается в силе. При другом подходе напряжение на обкладках конденсатора, который постоянно подключен к источнику, поддерживается постоянным. При смещении пластины в цепи источника протекает ток, и он совершает работу A 1 = UdQ=U 2 dC. Одновременно энергия конденсатора возрастает (а не убывает, как в предыдущем случае) на величину A 2 = ½U 2 dC. Таким образом, Fdx = A1-A2 = ½U 2 dC, откуда, поскольку по-прежнему dx l a dC ) 1 ( 0 − = ε ε , получим выражение (5.18) для силы, втягивающей пластинку в зазор между обкладками конденсатора. Теперь,однако, эта сила не изменяется при перемещении пластины. Пример 5.7. Вычислите энергию поля заряженного шара радиусом R в вакууме, если заряд шара Q равномерно распределен по его объему. Как изменится результат, если заряд будет равномерно распределен по поверхности шара? Диэлектрическая проницаемость материала шара - ε. Решение . Так как поле вне шара не зависит от того, распределен заряд равномерно по объему шара, или по его поверхности, то начнем с нахождения энергии этой части поля. Используя выражение (5.10) для плотности энергии поля, получим §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 95 ( ) ∫ ∞ = R dr r r E W 2 2 0 0 4 2 1 π ε Напряженность электрического поля для заданного в условии задачи распределения зарядов задается формулой (3.9). Подставляя ее в предыдущую формулу, получим 0 5 2 2 0 6 2 0 9 2 9 2 ε πρ ε πρ R r dr R W R = = ∫ ∞ Напомним, что заряд шара 3 3 4 R Q π ρ = , поэтому энергию поля вне шара можно переписать в виде R Q W π ε 0 2 0 8 = Заряженный по объему шар будет иметь дополнительную энергию, заключенную в поле внутри шара. Используя полученное ранее выражение для поля внутри шара, имеем ( ) ε εε πρ εε πρ π εε 5 45 2 9 2 4 2 1 0 0 0 5 2 4 0 2 0 2 2 0 W R dr r dr r r E W R R ∫ ∫ = = = = Полная энергия шара, равномерно заряженного по объему, равна + = ε 5 1 1 0 1 W W §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 96 Пример 5.8. Два проводящие шара с радиусами R и r расположены так, что расстояние между их центрами равно a На них находятся заряды Q и q соответственно ( см. рис.5.10). В предположении, что R r << , оцените энергию взаимодействия между ними. Решение . Энергия взаимодействия между заряженными проводниками равна разности между энергиями поля для шаров, находящихся на расстоянии a , и шаров, удаленных друг от друга на очень большое по сравнению с радиусами шаров расстояние. Последняя энергия равна энергии поля двух уединенных шаров + = + = r q R Q C q C Q W 2 2 0 1 2 2 0 8 1 2 2 πε (5.19) Энергия шаров, находящихся на произвольном расстоянии друг от друга, равна 2 2 q Q q Q W ϕ ϕ + = , (5.20) где Q ϕ и q ϕ -- потенциалы шаров радиусом R и r соответственно. По условию задачи R r << , поэтому при определении Q ϕ малый шар радиусом r можно заменить точечным зарядом q , помещенным в его центр. Внутри проводящего шара 0 = E и его потенциал равен потенциалу центра, который согласно принципу суперпозиции равен + = R Q a q Q 0 4 1 πε ϕ (5.21) Потенциал малого шара q ϕ определяется распределенным на нем зарядом q , а также зарядом на поверхности большой сферы. Последний в Рис.5.10 §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 97 присутствии малого заряженного шара распределен по поверхности неравномерно. В примере 4 четвертого параграфа было показано, что поле, создаваемое неравномерно распределенным по поверхности большего шара зарядом Q , эквивалентно полю двух точечных зарядов ' q и ' ' q , расположенных на прямой, соединяющей центры сфер: заряд ' ' q в центре сферы радиуса R , а ' q -- на расстоянии a R / 2 от центра большего шара. Итак, потенциал q ϕ определяется тремя зарядами: ' , q q и ' ' q и равен + − + = a q a R a q r q q ' ' / ' 4 1 2 0 πε ϕ Заряды ' q и ' ' q были найдены ранее и задаются выражениями (4.19) и (4.20). Подставляя их в q ϕ , получаем ( ) − − + = 2 2 2 3 0 4 1 R a a qR a Q r q q πε ϕ (5.22) Подставляя выражения (5.21) и (5.22) в (5.20), находим W ( ) − − + + = 2 2 2 3 2 2 2 0 2 2 2 4 1 R a a R q a r q R Q W πε (5.23) Энергию взаимодействия 0 W W W вз − = получим, вычитая из (5.23) выражение (5.19) ( ) − − = 2 2 2 3 0 2 8 R a a R q a Q q W вз πε (5.24) Пример 5.9. Два проводящие шара с радиусами R и r расположены так, что расстояние между их центрами равно a . На первом находится заряд Q , а второй не заряжен. В предположении, что R r << оцените энергию взаимодействия между ними. §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 98 Решение . Энергия взаимодействия между описанными в условии задачи, но заряженными шарами была найдена в предыдущем примере и задается выражением (5.24). Видим, что если заряд q равен нулю, то она также равна нулю. Однако при выводе выражения (5.24) не учитывалось, что заряд q на шаре радиусом r также, как и на второй сфере, распределен неравномерно. Учет неравномерности распределения зарядов по сферам дает малую поправку в (5.24), которая не обращается в ноль при 0 = q Найдем ее. Будем предполагать, что в пределах малого шара поле, создаваемое большим, можно считать однородным. В примере 7 из параграфа 3 было показано, что на проводящем шаре в однородном электрическом поле напряженностью E появляется наведенный заряд, поле которого за пределами этого шара эквивалентно полю диполя с дипольным моментом E r p e 3 0 4 πε = , помещенного в центр шара, и определяется выражением (2.8). В центре большого шара этот диполь создает дополнительный потенциал 2 3 2 0 4 a Er a p e = = ∆ πε ϕ , где 2 0 4 a Q E πε = -- напряженность поля, создаваемого зарядом Q в центре шара радиусом r . Окончательно 3 0 4 ≈ ∆ a r a Q πε ϕ Это малое изменение потенциала большого шара, обусловленное зарядами, наведенными на малом шаре радиусом r , и определяет энергию взаимодействия заряженного и незаряженного шаров 3 0 2 8 2 = ∆ = a r a Q Q W св πε ϕ (5.25) Задачи для самостоятельной работы §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 99 5.1. Определите емкость уединенного шарового проводника радиусом R 1 , окруженного прилегающим к нему шаровым слоем однородного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε. Внешний радиус слоя – R 2 5.2. Сферический конденсатор, состоящий из двух концентрических проводящих сфер с радиусами 1 R и 2 R ( 2 R > 1 R ), заряжен до напряжения U. Насколько изменится энергия электрического поля, если заземлить внутреннюю сферу? 5.3. Как изменится емкость помещенного в коробку конденсатора (см. Пример 3), если коробку соединить с одной из пластин? 5.4. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого линейно меняется в перпендикулярном обкладкам направлении от значения 1 ε у одной пластины до значения 1 2 ε ε < у другой. Расстояние между пластинами d , площадь каждой из них равна S . Найдите емкость конденсатора. 5.5. Радиусы внутренней и внешней обкладок цилиндрического конденсатора увеличили вдвое, сохранив заряды на обкладках. Изменились ли: а)напряжение на конденсаторе; б)напряженность электрического поля вблизи внутренней обкладки конденсатора? 5.6. Сферический конденсатор с радиусами обкладок a и b ( a b > ) заполнен диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого зависит от расстояния r до центра конденсатора по закону r a a ε ε = Найдите емкость конденсатора и энергию, запасенную в нем, если разность потенциалов обкладок равна U . §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 100 5.7. Радиусы проводов, образующих двупроводную линию, равны r Расстояние между осями симметрии проводников -- a . Найдите емкость единицы длины линии 0 C при условии r a >> . 5.8. Найдите напряженность электрического поля в длинном цилиндрическом конденсаторе, пространство между обкладками которого заполнено однородными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями 1 ε и 2 ε ( см. рис.5.11). Диэлектрики граничат между собой вдоль плоскостей, пересекающихся на оси цилиндра О. Двугранные углы, образуемые ими в диэлектриках, равны соответственно 1 ψ и 2 ψ ( ) π ψ ψ 2 2 1 = + Длина конденсатора равна l , а заряд на внутренней обкладке Q Найдите также емкость конденсатора, если радиусы цилиндрических обкладок равны 1 R и 2 R ( 2 1 R R < ). 5.9. Батарея, состоящая из n последовательно соединенных одинаковых конденсаторов, заряжена и отключена от источника постоянной ЭДС. Один конденсатор в результате утечки разрядился. Как изменились: а) электроемкость батареи; б) напряжение на ней? Рис.5.11 §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 101 5.10. Батарея из четырех конденсаторов включена один раз по схеме а), а другой раз по схеме б) (рис.5.12). 1) В каком случае емкость батареи будет больше, если все конденсаторы имеют одинаковую емкость? 2) Если емкости конденсаторов различны, то какому соотношению они должны удовлетворять, чтобы при переключении со схемы а) на схему б) емкость батареи не менялась? 5.11. Сравните электроемкости системы одинаковых конденсаторов, изображенной на рис.5.13 при а) разомкнутом; б) замкнутом ключе К. 5.12. Батарея из трех последовательно соединенных конденсаторов присоединена к источнику постоянной ЭДС. Какой конденсатор обладает наибольшей электрической энергией, если , 1 C C = C C 2 2 = и C C 3 3 = ? 5.13. Конденсатор, заполненный жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε , зарядили, затратив на это энергию 1 W . Затем конденсатор отсоединили от источника, слили из него диэлектрик и разрядили. Какая энергия 2 W выделилась при разрядке? Рис.5.12 Рис.5.13 §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 102 5.14. Три проводящих шара с радиусами см R 10 1 = , см R 20 2 = и см R 30 3 = и потенциалами В 450 1 = ϕ , В 300 2 = ϕ и В 150 3 = ϕ соответственно находятся далеко друг от друга. Какое количество тепла Q выделится, если их соединить тонкими проволочками? Емкостью проволочек пренебречь. 5.15. Внутри плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоянием между ними d находится пластина из диэлектрика, целиком заполняющая пространство между пластинами конденсатора. Диэлектрическая проницаемость пластины равна ε . На какую величину W ∆ изменится энергия конденсатора, если удалить пластину? Какую механическую работу A нужно при этом затратить? Решите задачу при двух условиях: 1) конденсатор все время подсоединен к батарее с ЭДС, равной ε; 2) конденсатор был первоначально подсоединен к той же батарее, а затем отключен, и только после этого пластина была удалена. 5.16. На обкладках плоского конденсатора находятся заряды q + и q − . Площадь обкладок S . Какая работа A будет совершена силами поля при сближении обкладок с расстояния 0 d до расстояния d ? 5.17. Плоский конденсатор, пластины которого имеют площадь S и расположены на расстоянии d друг от друга, заполнен твердым диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε ( рис.5.14). Конденсатор подсоединен к батарее с ЭДС равной ε. Одну из пластин конденсатора отодвигают так, что образуется воздушный зазор. На какое расстояние x была отодвинута пластина, если при этом произведена работа A ? Рис.5.14 §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 103 5.18. Точечный заряд q находится в диэлектрической среде с диэлектрической проницаемостью ε Найдите энергию поля, заключенного внутри концентрического с зарядом шарового слоя, радиусы внешней и внутренней поверхностей которого равны b и a соответственно. 5.19. Заряд q распределен по металлической сфере радиусом R. Сфера окружена шаровым слоем диэлектрика толщиной R. Чему равна полная энергия электрического поля, создаваемого зарядом во всем пространстве, если диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна ε? 5.20. Первоначально заряд Кл q 10 10 − = распределяется равномерно по объему, ограниченному проводящей сферой радиуса см r 1 = . Затем вследствие взаимного отталкивания заряды переходят на поверхность сферы. Какую работу A совершают при этом электрические силы? 5.21. Одна обкладка плоского воздушного конденсатора приближается к другой, проходя путь s . Считая, что начальные расстояния d между обкладками и начальные заряды конденсатора одинаковы, найдите отношение работы силы притяжения обкладок в двух случаях: 1)конденсатор все время подсоединен к источнику постоянной ЭДС; 2) конденсатор заряжен и от источника ЭДС отключен. 5.22. Цилиндрический конденсатор с радиусами обкладок R и R 4 заполнен однородным диэлектриком. Конденсатор заряжен. Мысленно разделим пространство между обкладками конденсатора на две области цилиндрической поверхностью радиуса R 2 , коаксиальной с поверхностями цилиндрического конденсатора. Найдите отношение α энергий электрического поля в двух областях. 5.23. Найдите емкость сферического конденсатора, пространство между обкладками которого заполнено однородными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями 1 ε и 2 ε (см. рис.4.11) Диэлектрики §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 104 граничат между собой вдоль поверхности конуса с вершиной в центре О. Телесный угол конуса , заполненного первым диэлектриком, равен 1 Ω , а заполненным вторым диэлектриком - 2 Ω ( π 4 2 1 = Ω + Ω ). Радиусы шаровых обкладок равны 1 R и 2 R ( 2 1 R R < ). 5.24. Конденсатор переменной емкости состоит из двух неподвижных металлических пластин, расположенных на расстоянии d друг от друга, и подвижной диэлектрической пластины, которая может поворачиваться и входить в зазор между металлическими пластинами (рис.5.15). Все пластины имеют форму полукруга радиуса R , причем зазоры между диэлектрической пластиной и пластинами конденсатора пренебрежимо малы по сравнению с d . Пренебрегая краевыми эффектами, найти момент сил M , действующих на диэлектрическую пластину. Напряжение на конденсаторе поддерживается равным U, диэлектрическая проницаемость подвижной пластины равна ε Рис.5.15 |