В. Нетребко, И. П
 Скачать 5.4 Mb.
|
|
§4. Уравненияэлектростатики Краткие теоретические сведения Уравнение Пуассона.Основные законы электростатики, записанные в дифференциальном виде, представляют частный случай системы уравненийМаксвелла (см. раздел 11), и включают дифференциальную форму теоремыГаусса ρ = D div (4.1) исвойствопотенциальностиэлектростатическогополя 0 = E rot (4.2) В уравнениях (4.1), (4.2) векторы D и E не являются независимыми, а однозначно связаны так называемым материальнымуравнением, которое для изотропного диэлектрика имеет вид E D 0 εε = , (4.3) где ε - его диэлектрическая проницаемость. Свойство потенциальности поля (4.2) позволяет ввести потенциал ϕ: ϕ grad E − = (4.4) Подставляя ϕ εε grad D 0 − = в (4.1) и считая среду однородной ( ε не зависит от координат), получаем уравнениеПуассона для потенциала: 0 εε ρ ϕ − = ∆ (4.5) Это уравнение позволяет вычислить потенциал в произвольной точке некоторой области V , если в этой области задано распределение объемной плотности заряда ( ) r ρ , а также заданы граничные условия, например §4. Уравненияэлектростатики 60 значение потенциала на поверхности S , ограничивающей рассматриваемую область. Условия на границах раздела двух сред.Как следует из уравнений (4.1), (4.2), на границе двух сред векторы D и E удовлетворяют условиям: σ = − 2 1 n n D D , 2 1 τ τ E E = (4.6) Здесь индекс n означает проекцию вектора на нормаль к границе раздела, − τ проекцию на любое касательное направление, а индексы 1 и 2 относятся к первой и второй средам соответственно. Нормаль n к границе раздела проводится из второй среды в первую, σ обозначает поверхностную плотность свободных зарядов, находящихся на границе. Если заменить второй диэлектрик проводником, в котором поле 0 2 = E , граничные условия (4.6) преобразуются к виду σ = n D , 0 = τ E (4.7) Метод изображений.Суть метода состоит в замене источников поля более удобными для расчета и обеспечивающими в заданной области V такое же поле, что и в исходной задаче. Внутри области V распределение Рис.4.1 §4. Уравненияэлектростатики 61 61 зарядов должно остаться прежним, также неизменным должен быть потенциал на границе S области V . Тогда независимо от распределения зарядов вне области V , поле E внутри нее будет тем же в силу единственности решения задачи о потенциале (рис.4.1) и однозначной связи между E и ϕ . Пример 4.1. Воспользовавшись первой формулой Грина, докажите возможность приведенной в методе изображений замены поля одной совокупности зарядов полем другой. Решение . Пусть ( ) M u и ( ) M v дважды дифференцируемые в области V функции. Формулу Грина представим в виде ( ) ds n v u dV gradv gradu v u V S ∫ ∫ ∂ ∂ = ⋅ + ∆ , (4.8) где n - внешняя нормаль к поверхности S . Положим ϕ = = v u ( ϕ - потенциал электростатического поля) и рассмотрим сначала простейший случай, когда объемная плотность заряда в области V равна нулю. Тогда 0 = ∆ ϕ и, так как ϕ grad E − = , из (4.8) получим ∫ ∫ ∫ = ∂ ∂ = V S S ds E ds n dV E ϕ ϕ ϕ 2 (4.9) Припишем индекс 1 величинам E и ϕ , относящимся к исходной задаче, а 2 - величинам задачи с измененными источниками. Положив в (4.8) 2 1 ϕ ϕ − = = v u , с помощью приведенных выше рассуждений получим ( ) ( ) ∫ ∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ − = − V S ds n n dV E E 2 1 2 1 2 2 1 ϕ ϕ ϕ ϕ §4. Уравненияэлектростатики 62 Из этого соотношения видно, что замена исходной задачи возможна ( ) V в E E 2 1 ≡ , если удастся изменить заряды вне области V так, чтобы выполнялось условие ( ) ∫ = ∂ ∂ − ∂ ∂ − S ds n n 0 2 1 2 1 ϕ ϕ ϕ ϕ (4.10) При выборе в качестве поверхности S эквипотенциальной поверхности, имеющей для обеих совокупностей зарядов один и тот же потенциал, условие (4.10) выполняется автоматически. Если область V содержит заряженные проводники, то объемы, ограниченные ими, должны быть исключены из V , поскольку на поверхности проводников нормальная проекция вектора D терпит разрыв (см.(4.7)). В этом случае интеграл в правой части (4.9) вычисляется по поверхностям S и i S ( ,... 2 , 1 = i ), где i S - поверхность − i го проводника. Учитывая, что на поверхности проводников потенциал остается постоянным, или i i S ϕ ϕ = , имеем ∫ ∫ ∫ − = − = − = i i i S i i i S n i S q ds ds D ds E 0 0 1 0 1 εε ϕ σ εε ϕ εε ϕ ϕ С учетом сказанного условие (4.10) принимает вид ( ) ( )( ) 0 1 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 = − − + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∑ ∫ = i i i i i S q q dS n n ϕ ϕ εε ϕ ϕ ϕ ϕ (4.11) Так как в области V конфигурации заряженных проводников в обеих задачах одинаковы, второе слагаемое в (4.11) также обращается в ноль. Пример 4.2. Найдите распределение пространственных зарядов, создающее в вакууме поле с потенциалом §4. Уравненияэлектростатики 63 63 ( ) ( ) − − − = 0 , 1 1 2 2 r R b R r a r ϕ если R r R r > ≤ (4.12) Решение . Потенциал поля обладает сферической симметрией, поэтому целесообразно выбрать сферическую систему координат, поместив начало отсчета в точку 0 = r . При 0 → r потенциал имеет особенность: ( ) r a r → ϕ Для того чтобы вычленить ее из потенциала, представим ( ) r ϕ в виде ( ) ( ) r r a r 1 ϕ ϕ + = , где ( ) r 1 ϕ - всюду непрерывная функция ( ) ( ) − − − − = r a r R b R a r 2 2 1 ϕ , если R r R r > ≤ (4.13) Особенность потенциала (4.12) в окрестности 0 = r того же типа, что и особенность поля точечного заряда, помещенного в эту точку. Из формулы для потенциала точечного заряда имеем r a r q = 0 4 πε . Откуда a q 0 4 πε = (4.14) Согласно (4.7) на заряженных поверхностях нормальная составляющая вектора D терпит разрыв. Используя соотношения (4.3) и (4.4), а также симметрию задачи, находим , 1 1 dr d n E r ϕ − = 1 1 D n D r = , где r r n r / = и − − = 2 0 0 1 2 r a r b D ε ε , если R r R r > < (4.15) Откуда §4. Уравненияэлектростатики 64 ( ) ( ) 0 2 2 lim lim ε σ + − = − = − + → → bR R a r D r D R r R r (4.16) Объемную плотность заряда можно найти, используя уравнение (4.5), которое в сферической системе координат для поля, зависящего только от r , принимает вид 0 1 2 2 1 1 ε ρ ϕ ϕ − = = ∆ dr d r dr d r Подставляя сюда 1 ϕ из (4.13), получаем выражение для объемной плотности заряда: − = 0 6 0 ε ρ b , если R r R r > < (4.17) Итак, потенциал (4.12) создается следующей конфигурацией зарядов: а) точечным зарядом q (4.14), расположенным в точке 0 = r ; б) равномерно заряженной сферой радиусом R с поверхностной плотностью заряда σ (4.16); в) равномерно заряженным по объему шаром радиусом R с объемной плотностью ρ (4.17). Распределение потенциала (4.12) позволяет утверждать, что полный заряд системы равен нулю. Действительно, при R r > согласно (4.4) поле отсутствует и 0 = D . Используя теорему Гаусса для сферы радиуса R r > с центром в точке 0 = r , получим, что заряд внутри сферы равен нулю. Если 3 2R a b = , то, как видно из (4.16), плотность поверхностного заряда равна нулю, и точечный заряд q компенсируется объемным зарядом шара. §4. Уравненияэлектростатики 65 65 Пример 4.3. Точечный заряд q расположен на расстоянии h от бесконечной проводящей заземленной плоскости. Найдите силу F , действующую на заряд, и поверхностную плотность σ индуцированного на плоскости заряда. Решение . Воспользуемся методом электростатических изображений. В качестве области V , в которой поля заданной и модельной конфигураций зарядов будут совпадать, выберем полупространство 0 > z , где ось z 0 направим перпендикулярно плоскости проводника через заряд q (см. рис.4.1а), а на плоскости выберем полярную систему координат ( ψ ρ, ). Так как поле точечного заряда убывает с возрастанием расстояния от него, то модуль плотности заряда, индуцированного им на плоскости, будет убывать с ростом ρ . Уберем плоскость с наведенным на ней зарядом и подберем вне V (в полупространстве 0 < z ) систему зарядов такую, чтобы потенциал плоскости был равен нулю. Нетрудно убедиться в том, что поместив заряд q − в точку на оси z 0 с координатой h z − = (отражение заряда q плоскостью 0 = z ), получим, что потенциал плоскости симметрии 0 = z равен нулю (см. рис.4.1б). Следовательно, поле 1 E исходной задачи для 0 > z эквивалентно полю 2 E , создаваемому зарядом q и отраженным зарядом q − С учетом сказанного сила взаимодействия заряда q с плоскостью равна силе взаимодействия между зарядом q и его «отражением» q − : 2 0 2 16 h q F πε = и является силой притяжения, а потенциал поля в произвольной точке области V ( ) ( ) 2 2 0 2 2 0 2 1 4 4 z h q z h q + + − − + = = ρ πε ρ πε ϕ ϕ Для определения поверхностной плотности наведенного на плоскости заряда воспользуемся граничными условиями (4.7) и связью между потенциалом и напряженностью поля (4.4): §4. Уравненияэлектростатики 66 ( ) ( ) 2 / 3 2 2 1 0 2 0 h qh z z D n + − = = ∂ ∂ − = = ρ π ϕ ε ρ σ Для определения суммарного заряда, индуцированного на плоскости, следует подсчитать интеграл ( ) ( ) ∫ ∫ ∞ ∞ − = + − = ⋅ = 0 0 2 / 3 2 2 2 2 2 q h d qh d Q ρ ρ ρ πρ ρ σ Пример 4.4. Точечный заряд q находится на расстоянии a ( ) R a > от центра проводящей сферы радиусом R . Заряд сферы равен Q . Найдите силу, действующую на заряд q . Решение . Воспользуемся методом электростатических изображений. В качестве области V выберем пространство вне сферы, содержащее заряд q . Внутри проводящей сферы 0 = E , а потенциал остается постоянным и равным потенциалу центра сферы 0 ϕ , который согласно принципу суперпозиции равен ∫ ∫ + = + = + = R Q a q ds R a q R ds a q 0 0 0 0 0 4 1 1 4 1 4 4 πε σ πε πε σ πε ϕ Здесь σ − поверхностная плотность заряда Q, неравномерно распределенного по сфере. Уберем теперь заряженную сферу и подберем систему зарядов вне V (внутри сферы) так, чтобы потенциал на ее поверхности сохранил прежнее значение. Эту задачу решим в два этапа. На первом этапе выберем заряд ' q так, чтобы потенциал сферы стал равен нулю. Для этого можно воспользоваться решением примера 9 Рис.4.2 §4. Уравненияэлектростатики 67 67 параграфа 2: для двух точечных зарядов q и ' q поверхностью нулевого потенциала является сфера, центр которой лежит на прямой, соединяющей заряды. Допустим, что искомый заряд ' q находится на расстоянии x от центра сферы, тогда из условия 0 = = B A ϕ ϕ (см. рис.4.2) имеем 0 ' 4 1 0 = − + − = x R q R a q A πε ϕ и 0 ' 4 1 0 = + + + = x R q R a q B πε ϕ (4.18) Решая систему уравнений (4.18), определяем ' q и x a R q q − = ' , a R x 2 = (4.19) На втором этапе подберем заряд '' q так, чтобы потенциал сферы принял значение потенциала исходной задачи. Очевидно, что заряд '' q следует поместить в центр сферы. Учитывая, что суммарный вклад в потенциал сферы зарядов q и ' q равен нулю, получим + = = R Q a q R q 0 0 0 4 1 4 '' πε πε ϕ Откуда a R q Q q + = ' ' (4.20) Таким образом поле E исходной задачи в области V эквивалентно полю, создаваемому зарядами ' , q q и ' ' q . Сила, действующая на заряд q , согласно принципу суперпозиции равна ( ) + − = 2 2 0 '' ' 4 a q x a q q F πε Подставляя выражения для ' , q x и '' q , полученные выше, окончательно находим §4. Уравненияэлектростатики 68 ( ) ( ) − − − = 2 2 2 2 2 3 2 0 2 2 4 R a a R a R q Q a q F πε (4.21) Анализ полученного результата удобнее провести, представив (4.21) в виде ( ) − = ξ πε f q Q a q F 2 0 2 4 Здесь a R = ξ и ( ) ( ) 2 2 2 3 1 2 ξ ξ ξ ξ − − = f Так как 1 0 < < ξ , то ( ) 0 > ξ f и функция ( ) ξ f монотонно возрастает, причем ( ) ∞ < < ξ f 0 Если заряды q и Q разноименные, то 0 < F при любом ξ , то есть заряд q притягивается к сфере. Если заряды q и Q одноименные, то уравнение ( ) q Q f = ξ имеет единственное решение 0 ξ , определяющее положение 0 a a = заряда q ( 0 0 ξ R a = ), при котором 0 = F . Если 0 a a > ( 0 ξ ξ < ), то 0 > F , то есть заряд q отталкивается от сферы; при 0 a a < ( 0 ξ ξ > ) 0 < F и заряд 1 q притягивается к одноименно заряженной проводящей сфере. Таким образом, положение равновесия заряда 0 a a = является неустойчивым. В частном случае, когда заряды q и Q одинаковы, корень уравнения ( ) 1 1 2 2 2 2 3 = − − ξ ξ ξ совпадает с соответствующим корнем уравнения ( )( ) 0 1 1 3 2 = − − − + ξ ξ ξ ξ Откуда ( ) 2 / 1 5 0 − = ξ и ( ) R R R a 618 , 1 1 0 0 0 ≈ + = = ξ ξ §4. Уравненияэлектростатики 69 69 Пример 4.5. Два однородных диэлектрика с диэлектрическими проницаемостями 1 ε и 2 ε граничат друг с другом вдоль плоскости. В некоторой точке первого диэлектрика помещен заряд q . Найдите электрическое поле в каждом из диэлектриков. Решение . Поле в среде с 1 ε определяется зарядом q и связанными зарядами, возникающими на границе диэлектриков. Покажем, что поле связанных зарядов в первом диэлектрике эквивалентно полю точечного заряда ' q , помещенного в точку ' A , симметричную A относительно плоскости раздела диэлектриков MN . Представим полное поле как суперпозицию полей, создаваемых зарядами q и ' q (см. рис.4.3а) + = + = 3 3 1 0 0 1 ' ' ' 4 1 ' r r q r r q E E E ε πε , где r и ' r - векторы, проведенные от зарядов q и ' q в произвольную точку В первого диэлектрика. Рис.4.3 §4. Уравненияэлектростатики 70 Поле в среде с 2 ε создают заряд q и связанные заряды на границе раздела диэлектриков. Заменим последние зарядом, помещенным в точку А. Тогда поле во втором диэлектрике будет полем точечного заряда '' q , помещенного в точку А (рис.4.3б): 3 2 0 2 ' ' 4 1 r r q E ε πε = Для определения величин зарядов ' q и '' q воспользуемся граничными условиями (4.6) для произвольной точки С на границе двух диэлектриков: 2 1 τ τ E E = , или α ε α ε α ε sin '' sin ' sin 2 1 1 q q q = + , 2 1 n n D D = , или α α α cos '' cos ' cos q q q = − Решая полученную систему уравнений, находим q q q q 2 1 2 2 1 2 1 2 ' ' , ' ε ε ε ε ε ε ε + = + − = Видим, что угол α не входит в выражение для зарядов ' q и '' q , что означает выполнение граничных условий в каждой точке плоскости MN . Подставив ' q и '' q в выражения для полей, окончательно получим + − − = 3 2 1 1 2 3 1 0 1 ' ' 4 r r r r q E ε ε ε ε ε πε , ( ) r r q E 3 2 1 0 2 2 1 ε ε πε + = §4. Уравненияэлектростатики 71 71 Пример 4.6. Стеклянная пластинка с проницаемостью 6 2 = ε внесена в однородное электрическое поле с напряженностью м В E / 10 1 = и расположена так, что угол 1 α между нормалью к пластинке и направлением внешнего поля равен 30 0 . Найдите напряженность 2 E поля в пластинке, угол 2 α , который это поле образует с нормалью к ней, а также плотность σ связанных зарядов, возникших на поверхностях пластинки. Диэлектрическая проницаемость среды вне пластинки 1 1 = ε Решение . Для тонкой пластинки в точках, достаточно удаленных от ее краев, поле можно заменить полем в бесконечном диэлектрическом слое, имеющем ту же толщину, как и пластинка. В силу симметрии оно остается однородным (см. рис.4.4). Записав граничные условия (4.6) на границе MN 2 2 1 1 sin sin α α E E = , 2 2 2 1 1 1 cos cos α ε α ε E E = , (4.22) находим 2 E и 2 α 0 1 1 2 2 74 ≈ = α ε ε α tg arctg , м В E E / 2 , 5 sin cos 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 = + = α ε α ε ε Для определения плотности связанных зарядов, возникающих на поверхностях MN и ' ' N M пластинки, заменим пластинку другой, с 1 2 = ε , а связанные заряды заменим на свободные с той же поверхностной плотностью σ . При этом поле в пространстве между плоскостями MN и Рис.4.4 §4. Уравненияэлектростатики 72 ' ' N M не изменится. Плотность зарядов σ найдем, записав граничные условия (4.6) для полученной системы распределения зарядов ( ) σ α α ε = − 2 2 1 1 0 cos cos E E , или с учетом (4.22), 2 12 2 1 1 1 0 / 10 9 , 63 1 cos м Кл E − ⋅ ≈ − = ε ε α ε σ Пример 4.7. Проводящий шар с радиусом R , несущий заряд Q , находится на границе раздела двух диэлектриков, совпадающей с одной из плоскостей симметрии шара ( см. рис.4.5). Диэлектрические проницаемости диэлектриков равны 1 ε и 2 ε соответственно. Определите напряженность электрического поля в произвольной точке пространства вокруг шара. Решение . Напряженность электрического поля определяется как свободными зарядами, находящимися на поверхности шара, так и связанными, находящимися вокруг него на его поверхности и, возможно, на границе раздела диэлектриков. Шар по условию задачи является проводящим, поэтому заряд Q распределен по его поверхности и поле внутри него отсутствует, то есть 0 = E . Такое поле создает заряд, равномерно распределенный по поверхности сферы. В силу теоремы существования и единственности решения уравнения Пуассона (4.5) можно утверждать, что совокупность свободных и связанных зарядов будет распределена по сфере радиусом R равномерно, а поле вне шара будет совпадать с полем точечного заряда ' Q , помещенного в его центр (см. пример 5 из параграфа 1). Следовательно поле E в произвольной точке вне сферы будет направлено по ее радиусу. Рис.4.5 §4. Уравненияэлектростатики 73 73 Воспользуемся этим фактом и граничными условиями (4.7) для двух точек на поверхности шара, одна из которых находится в первом диэлектрике, в другая -- во втором 1 0 0 1 σ ε ε = E , 2 0 0 2 σ ε ε = E (4.23) Здесь 1 σ и 2 σ -- плотности распределения свободных зарядов на верхней, находящейся в среде с 1 ε , и нижней полусферах соответственно, 0 E -- поле на поверхности сферы. Граничные условия на границе раздела двух диэлектриков при этом выполняются автоматически. Заметим, что последнее возможно в силу того, что граница раздела делит шар на две полусферы, при этом силовые линиии поля лежат в плоскости раздела сред. Из (4.23) следует, что заряд Q распределится по полусферам в следующей пропорции 2 1 2 1 2 1 ε ε σ σ = = Q Q , Q Q Q = + 2 1 , или Q Q i i 2 1 ε ε ε + = Поле в произвольной точке на поверхности шара, с одной стороны, равно 2 0 0 4 ' R Q E πε = , где ' Q -- сумма заряда Q и связанных зарядов на всей поверхности шара, а с другой, согласно (4.23) ( ) 0 2 1 2 0 1 2 1 0 1 1 0 2 2 ε ε ε π ε ε π ε ε σ + = = = R Q R Q E Сравнивая выражения для 0 E , находим 2 1 2 ' ε ε + = Q Q и поле в произвольной точке вокруг шара ( ) 2 2 1 0 2 0 2 4 ' r Q r Q E ε ε πε πε + = = , (4.24) §4. Уравненияэлектростатики 74 где − r расстояние от центра шара до точки, в которой ищется напряженность поля. Пример 4.8. Шар радиусом R , вырезанный из однородного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε , помещают в однородное электрическое поле напряженности 0 E Найдите распределение напряженности и потенциала в пространстве внутри и вокруг шара. Решение . Все пространство разделим на две области: 1 V -- внутри шара, 2 V -- вне шара. Потенциал и напряженность поля в области 1 V будем обозначать индексом 1, а в области 2 V -- индексом 2. Так как свободных зарядов ни внутри, ни вне шара нет, то потенциал как внутри, так и снаружи шара подчиняется уравнению Лапласа 0 = ∆ i ϕ ( 2 , 1 = i ), которое следует из уравнения Пуассона (4.5), если 0 ≡ ρ Так как граница шара - сфера, то удобно воспользоваться сферической системой координат. Запишем уравнение Лапласа в этой системе координат: 0 sin 1 sin sin 1 1 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ψ ϕ θ θ ϕ θ θ θ ϕ r r r r (4.25) Отметим, что в силу симметрии потенциалы i ϕ не зависят от угла ψ . §4. Уравненияэлектростатики 75 75 Простейшими решениями уравнения (4.25), не зависящими от угла ψ , являются функции θ cos Ar и 2 cos r B θ (см.[1]), где A и B -- постоянные. Для потенциала электростатического поля получаем выражение ( ) + = 2 cos , r B r A r i i i θ θ ϕ (4.26) Внутри шара свободные заряды отсутствуют и поле во всех точках внутри шара ограничено и поэтому 0 1 = B Используя соотношение (4.4) в сферической системе координат (единичные вектора ψ θ e e e r , , показаны на рис.4.6) ψ ϕ θ θ ϕ ϕ ψ ϑ ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = sin 1 , 1 , r E r E r E r , найдем напряженность электрического поля внутри и вне шара: в области 1 V : 0 , sin , cos 1 1 1 1 1 = = − = ψ θ θ θ E A E A E r , (4.27) и в области 2 V : 0 , sin , cos 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 = + = + − = ψ θ θ θ E r B A E r B A E r . (4.28) Из условия, что на бесконечности поле однородно и равно 0 E следует, что ( ) θ θ cos cos 0 2 2 E A r E r = − = ∞ → , Рис.4.6 §4. Уравненияэлектростатики 76 или 0 2 E A − = Постоянные 1 A и 2 B найдем, записав граничные условия (4.6) на границе шара ( ) ( ) ( ) ( ) θ θ θ θ ε θ θ , , , , , 2 1 2 1 R E R E R E R E r r = = , откуда следует 3 2 0 1 1 3 2 0 , 2 R B E A A R B E + − = − = + ε (4.29) Решение системы уравнений (4.29) имеет вид 0 3 2 0 1 2 1 , 2 3 E R B E A ε ε ε + − = + − = (4.30) Поэтому окончательно потенциал в области 1 V равен ϑ ε ϕ cos 2 3 0 1 r E + − = , (4.31) и напряженность поля 0 , sin 2 3 , cos 2 3 1 0 1 0 1 = + − = + = ψ θ θ ε θ ε E E E E E r . (4.32) Видим, что поле внутри шара является однородным , направлено вдоль 0 E , и равно по абсолютной величине 2 3 0 + = ε E E v v , 2 3 0 + = ε ε D D v v (4.33) В области 2 V потенциал равен θ ε ε ϕ cos 2 1 2 3 0 2 − + − = r r R E , (4.34) §4. Уравненияэлектростатики 77 77 и представляется суммой потенциала внешнего поля и потенциала точечного диполя с моментом 0 3 0 2 1 4 E R p e r r + − = ε ε ε π , (4.35) помещенного в центре шара. Вне шара напряженность поля равна 0 , sin 1 2 1 , cos 2 1 2 1 2 3 3 0 2 3 3 0 2 = − + − = + − + = ψ θ θ ε ε θ ε ε E r R E E r R E E r , или в векторной форме: ( ) 3 3 0 5 0 0 2 3 2 1 R r E r r r E E E − + − + = v v v v v v ε ε , ( ) 3 3 0 5 0 0 2 3 2 1 R r D r r r D D D − + − + = v v v v v v ε ε (4.36) Пример 4.9. Найдите распределение потенциала и напряженности электрического поля вокруг проводящей сферы радиусом R , внесенной в однородное электрическое поле напряженности 0 E Решение . Повторяя рассуждения, проведенные в предыдущем примере, видим, что потенциал в области 2 V (вне сферы) также задается выражением (4.26), а напряженность поля -- выражением (4.28). Константа 2 A определяется из условия однородности поля на бесконечности: 0 2 E A − = Для определения постоянной 2 B воспользуемся вместо граничных условий на границе диэлектрика (4.6), граничными условиями (4.7) на границе проводника ( ) 0 , 2 = θ θ R E , или 3 0 2 R E B = §4. Уравненияэлектростатики 78 Подставляя найденные значения 2 A и 2 B в (4.26) и (4.28), окончательно получаем ( ) − = r r R E r 2 3 0 2 cos , θ θ ϕ (4.37) Как видим, потенциал поля в окрестности шара представляется в виде суммы потенциала внешнего поля и диполя с моментом 0 3 0 4 E R p e ε π = , (4.38) помещенного в центр сферы. Компоненты поля в этой области будут: 0 , 1 sin , 2 1 cos 2 3 3 0 2 3 3 0 2 = − = + = ψ θ θ θ E r R E E r R E E r . (4.39) Первое граничное условие (4.7) позволяет определить плотность зарядов, индуцированных на поверхности сферы ( ) θ ε θ ε σ cos 3 , 0 0 2 0 E R E r = = , что совпадает с выражением, найденным другим способом в примере 7 параграфа 3. Задание для самостоятельной работы 4.1. Внутри сферической незаряженной проводящей оболочки радиусом R помещен точечный заряд q . Расстояние от заряда до центра оболочки равно a . Найдите силу F , действующую на заряд. 4.2. Два одинаковых точечных заряда q находятся на расстоянии a друг от друга. Посередине между ними расположен заземленный металлический шар радиусом R . Найдите силу, действующую на каждый из этих зарядов. §4. Уравненияэлектростатики 79 79 4.3. На расстоянии a от бесконечной проводящей заземленной плоскости расположен точечный диполь. Найдите силу, действующую на диполь. Дипольный момент e p а) параллелен плоскости; б) перпендикулярен к плоскости. 4.4. Проводящая незаряженная сфера радиусом R помещена в поле точечного заряда q , расположенного на расстоянии a от центра сферы. Найдите поверхностную плотность заряда, индуцированного на сфере. 4.5. Точечный заряд q находится на расстоянии a от центра металлического шара радиусом R . Найдите работу A , которую надо затратить, чтобы точечный заряд удалить в бесконечность. Рассмотреть два случая: 1) шар заземлен; 2) шар изолирован, а полный заряд его равен нулю. 4.6. Найти силу, действующую на точечный заряд q , помещенный на биссектрисе прямого двугранного угла между двумя заземленными проводящими полуплоскостями (см. рис.4.7). Расстояние между зарядом q и вершиной двугранного угла О равно d . 4.7. На бесконечной плоской поверхности проводника имеется сферический бугор CMD радиусом R , центр которого лежит на той же плоскости (см. рис.4.8). На оси симметрии системы на перпендикуляре к поверхности MN вне проводника на расстоянии a от центра сферы расположен точечный заряд q . Найдите потенциал во всем пространстве. Рис.4.7 Рис.4.8 §4. Уравненияэлектростатики 80 4.8. Точечный заряд q находится на расстоянии d от центра незаряженного проводящего шара радиуса R . Шар заземляют с помощью проволоки. Какой заряд q′ протечет по проволоке? 4.9. Проводящая сфера радиусом R имеет заряд Q . В сфере имеется малое отверстие (см. рис.4.9). Как будет меняться потенциал сферы, если точечный заряд q перемещать из бесконечности через отверстие внутрь шара? 4.10. Потенциал электрического поля в некоторой области зависит только от координаты x : C x + − = 2 2 α ϕ Какова будет напряженность поля в этой области? При каком распределении зарядов получится такое поле? 4.11. Какая сила действует на точечный заряд q , находящийся вблизи плоской границы раздела двух диэлектриков на расстоянии d от границы раздела? Заряд находится в среде с диэлектрической проницаемостью 1 ε . Диэлектрическая проницаемость второй среды 2 ε . Рис.4.9 §4. Уравненияэлектростатики 81 81 4.12. Бесконечная пластина из изотропного диэлектрика помещена в перпендикулярное электрическое поле напряженностью E (см. рис.4.10). Толщина пластины a , диэлектрическая проницаемость изменяется линейно от значения 1 ε на левой границе до 2 ε на правой границе. Вне пластины 1 = ε Найдите объемную плотность ρ связанных зарядов как функцию x . Определите численное значение ρ в середине пластины, если 2 1 = ε , 4 2 = ε , см a 1 = , м кВ E / 3 0 = 4.13. Внутри шара радиусом R=10 см из однородного изотропного диэлектрика с 5 = ε создано однородное электрическое поле с напряженностью м В E / 100 = . Найдите максимальную поверхностную плотность max σ связанных зарядов и суммарный положительный связанный заряд, распределенный по поверхности полусферы. 4.14. Палочка из сегнетоэлектрика, обладающая остаточной поляризацией P , направленной вдоль оси палочки, подвешена за середину в горизонтальном положении на тонкой неупругой нити. Определите частоту ω малых колебаний, которые палочка будет совершать в однородном горизонтально направленном поле с напряженностью E , настолько слабом, что оно не оказывает существенного влияния на поляризацию палочки. Длина палочки l , а ее плотность ρ. 4.15. Определите силу, действующую на единицу длины заряженной с линейной плотностью κ нити со стороны поверхностных зарядов, индуцированных ею на границе раздела двух диэлектриков с Рис.4.10 §4. Уравненияэлектростатики 82 проницаемостью 1 ε и 2 ε . Нить параллельна границе раздела и находится от нее на расстоянии d . Диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится нить, 1 ε . 4.16. Диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε заполняет полупространство. На расстоянии L от плоской границы диэлектрика в вакууме находится точечный заряд q . Найдите распределение связанного заряда σ по поверхности диэлектрика, суммарный поверхностный заряд Q и силу F , действующую на заряд q . 4.17. В области, ограниченной заземленной металлической оболочкой, находится заряд. Определить а)есть ли электрическое поле вне оболочки; б) будет ли действовать электрическая сила на другой заряд, помещенный вблизи наружной поверхности оболочки. 4.18. Найдите распределение зарядов, создающих в вакууме следующее распределение потенциала: ( ) + − = R a R ar r a r 2 3 2 3 2 ϕ , если R r R r < ≥ Здесь r – расстояние от начала координат. 4.19. Найдите распределение зарядов, создающих в вакууме следующее распределение потенциала: ( ) − + = R R r r a r 2 3 2 1 0 3 2 ϕ , если R r R r < ≥ Здесь r – расстояние от начала координат. §4. Уравненияэлектростатики 83 83 4.20. Найдите распределение зарядов, создающих в вакууме следующее распределение потенциала: ( ) ( ) − = 3 3 0 r R a r ϕ , если R r R r < ≥ Здесь r – расстояние от начала координат. 4.21. Найдите распределение зарядов, создающих в вакууме следующее распределение потенциала: ( ) − = 3 2 1 0 R r r a r ϕ , если R r R r < ≥ Здесь r – расстояние от начала координат. 4.22. Найдите распределение зарядов, создающих в вакууме следующее распределение потенциала: ( ) ( ) ar r b r − = exp ϕ Здесь r – расстояние от начала координат. 4.23. Найдите напряженность электрического поля в пространстве между двумя проводящими сферами с радиусами 1 R и 2 R ( 2 1 R R < ), заполненном двумя однородными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями 1 ε и 2 ε (рис.4.11). Диэлектрики граничат между собой вдоль поверхности конуса с вершиной в центре О. Телесный угол конуса , заполненного первым диэлектриком, равен 1 Ω , а заполненным вторым диэлектриком - 2 Ω ( π 4 2 1 = Ω + Ω ). Заряд на внутренней сфере равен Q , а на внешней Q − Рис.4.11 |