В. Нетребко, И. П
 Скачать 5.4 Mb.
|
|
§9. Магнитныйпоток. Индуктивность. Энергиямагнитногополя. Краткие теоретические сведения Магнитный поток.Для описания многих электромагнитных явлений удобно ввести понятие магнитногопотока, пронизывающего замкнутый контур. Он определяется следующим образом: ∫ = Φ S S d B , ( dS n S d = ) (9.1) где S – поверхность, опирающаяся на рассматриваемый контур, а B – магнитная индукция в соответствующей точке этой поверхности. Из свойства соленоидальности магнитного поля следует, что величина магнитного потока не зависит от выбора поверхности, по которой ведется интегрирование. Для некоторых контуров (типа соленоида с замкнутыми концами) опирающаяся на контур поверхность является самопересекающейся. В таком случае удобно разбить контур на отдельные витки и представить (9.1) в виде ∑ ∫ = = Φ N i S i 1 S d B , (9.2) где N – общее количество витков, а S i – площадь i-го витка. Если распределение магнитной индукции в плоскости каждого из витков одинаково, то все интегралы в сумме (9.2) равны, и формула для расчета магнитного потока упрощается: ∫ = Φ i S N S d B (9.3) §9. Магнитныйпоток. Индуктивность 160 Рассмотрим два замкнутых проводящих контура. Пусть по первому контуру течет ток силы I 1 , создавая магнитное поле в окружающем контур пространстве. Как следует из формулы Био-Савара-Лапласа (7.4), индукция этого поля пропорциональна I 1 Соответственно, магнитный поток через второй контур будет также пропорционален I 1 Коэффициент пропорциональности межу силой тока в первом контуре I 1 и магнитным потоком через второй контур Φ 2 , создаваемым этим током, называется коэффициентомвзаимнойиндукции этих контуров L 12 : 1 2 12 I L Φ = (9.4) Замечательным свойством коэффициентов взаимной индукции является их симметрия: 21 12 L L = (9.5) Магнитный поток через проводящий контур может создаваться током, протекающим по этому же контуру. Как и в случае двух контуров, этот магнитный поток пропорционален силе тока в контуре. Коэффициент пропорциональности межу силой тока в замкнутом контуре I и магнитным потоком через этот контур Φ, создаваемым этим током, называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью этого контура L: I L Φ = (9.6) Как и электрическое поле, магнитное поле является материальным объектом, в котором сосредоточена определенная энергия. Например, соленоид ( равно как и любой другой проводящий контур), по которому протекает ток, создает магнитное поле с полной энергией , 2 1 2 2 Φ = = I LI W M (9.7) §9. Магнитный поток . Индуктивность . 161 где L – индуктивность соленоида , I – сила протекающего по нему тока , а Ф – магнитный поток , создаваемый током I в обмотке Последняя формула легко обобщается на случай двух ( или нескольких ) контуров Для двух индуктивно связанных катушек с токами I 1 и I 2 2 2 2 2 1 12 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 ) ( 2 1 I L I I L I L I I W M + + = Φ + Φ = , (9.8) где L 1 , L 2 , и L 12 -- индуктивности и коэффициент взаимной индукции обмоток , а Ф 1 , Ф 2 – потоки , создаваемые в контурах всеми токами ( включая и собственный ). Объемная плотность энергии магнитного поля в каждой точке пространства равна H B 2 1 = M w , (9.9) где B – магнитная индукция , а H – напряженность магнитного поля в этой точке Последняя формула справедлива не только для поля , создаваемого катушками с током , но и для произвольного магнитного поля В системе СИ магнитный поток измеряется в веберах ( Вб ), а коэффициент взаимной индукции и индуктивность – в генри ( Гн ). Работа по перемещению проводника с током При перемещении проводника с током в магнитном поле совершается определенная работа Элементарная работа силы Ампера при малом перемещении r d элемента проводника l d с током I в постоянном магнитном поле с индукцией B равна [ ] ( ) r d B l d I A ; ; = δ , (9.10) или , по правилам преобразования смешанного произведения , [ ] ( ) ( ) Φ = = = Id S d B I l d r d B I A ; ; ; δ (9.11) §9. Магнитный поток . Индуктивность 162 Здесь S d вектор площадки , которую прочерчивает элемент l d при малом перемещении r d , а Φ d -- магнитный поток сквозь эту площадку Аналогичным будет выражение для работы силы Ампера при конечном перемещении замкнутого контура с током : ∆Φ = I A , (9.12) где ∆Φ - изменение магнитного потока через контур Пример 9.1. Найдите индуктивность соленоида , состоящего из N =500 витков , равномерно намотанных на поверхность цилиндрического сердечника , изготовленного из материала с магнитной проницаемостью µ=500. Длина соленоида l =31,4 см , а площадь его поперечного сечения S =10 см 2 Неоднородностью магнитного поля вблизи торцов сердечника пренебречь Решение . Согласно определению (9.6) для нахождения индуктивности проводящего контура мы должны задать некоторое значение силы тока в нем и рассчитать возникающий в этом случае магнитный поток через контур Пусть по соленоиду течет ток силы I Тогда , в соответствии с решением задачи (8. Пр .2), индукция магнитного поля внутри соленоида вдали от его концов равна I l N 0 B µµ = , (9.13) §9. Магнитныйпоток. Индуктивность . 163 где вектор B направлен вдоль оси соленоида в соответствии с правилом буравчика . ( Рис 9.1). Строго говоря , эта формула справедлива лишь для бесконечного соленоида , и она дает адекватный результат только в случае , когда длина соленоида достаточно велика ( это следует из анализа решения задачи (8. Пр .2). Допустим , что это условие выполнено , поэтому будем считать магнитное поле в соленоиде однородным , а его индукцию – полностью определяющейся формулой (9.13). Однородность магнитного поля внутри соленоида позволяет для нахождения магнитного потока воспользоваться формулой (9.3): IS l N ds I l N N Bds N S d B N i i i S S S 2 0 0 µµ µµ = = = = Φ ∫ ∫ ∫ (9.14) Здесь мы учли , что при интегрировании по площади витка соленоида вектор нормали к элементарной площадке S d всегда сонаправлен с вектором B Поделив полученное выражение на силу тока I , находим индуктивность соленоида : l S N L 2 0 µµ = (9.15) Подстановка в это выражение численных данных из условия задачи дает результат L ≅0,5 Гн Пример 9.2. Найдите индуктивность катушки , намотанной на тороид прямоугольного сечения Внешний радиус тороида равен R 2 =5,4 см , внутренний – R 1 =2 см , высота тороида равна h =3 см , а магнитная проницаемость его Рис.9.1 §9. Магнитныйпоток. Индуктивность 164 материала – µ=200. Катушка содержит N =100 витков , равномерно распределенных по поверхности тороида Решение . Принцип решения этой задачи полностью повторяет принцип решения предыдущей Пусть по катушке течет ток силы I. Тогда , в соответствии с решением задачи (8. Пр 1), величина индукции магнитного поля внутри тороида равна r NI r B π µµ 2 ) ( 0 = , (9.16) где r – расстояние от оси тороида до точки , где рассматривается индукция магнитного поля При этом силовые линии магнитной индукции образуют окружности , центры которых лежат на оси тороида , т е в пределах любого витка катушки поле B направлено параллельно нормали к элементарной площадке , лежащей в плоскости произвольного витка катушки ( рис . 9.2). Таким образом , распределение магнитной индукции в плоскости каждого из витков и ориентация вектора B относительно плоскости витка одинаковы Поэтому для нахождения магнитного потока , пронизывающего катушку , можно пользоваться формулой (9.3): ln 2 2 2 ds B 1 2 2 0 0 0 0 2 1 = = = = = = Φ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ R R Ih N r dr dz I N N r ds I N N Bds N N R R h S S S i i i π µµ π µµ π µµ (9.17) Рис.9.2 §9. Магнитныйпоток. Индуктивность . 165 Поделив полученное выражение на силу тока I, окончательно найдем индуктивность катушки: 1 2 2 0 ln 2 R R h N L π µµ = (9.18) Подстановка в это выражение численных данных из условия задачи дает результат L ≅12 мГн. Пример 9.3. На один сердечник намотаны две катушки, индуктивности которых соответственно равны L 1 и L 2 Найдите коэффициент взаимной индукции катушек. Решение . Согласно определению (9.4), для нахождения коэффициента взаимной индукции катушек мы должны задать некоторое значение силы тока в первой катушке, I 1 , и рассчитать возникающий в этом случае магнитный поток через вторую катушку, Φ 2 Поскольку катушки намотаны на один сердечник, они могут отличаться только количеством витков, а магнитное поле внутри каждой из катушек одинаково. Как видно из решений примеров 1 и 2 этого раздела, индуктивность катушки пропорциональна квадрату количества витков, поэтому 2 1 2 1 2 = N N L L , (9.19) где N 1 и N 2 – количество витков в первой и второй катушке, соответственно. Из формулы (9.3) следует, что при любых значениях токов в катушках отношение магнитных потоков сквозь них равно отношению числа витков: 1 2 1 2 N N = Φ Φ (9.20) §9. Магнитный поток . Индуктивность 166 Теперь можно найти магнитный поток через вторую катушку, связанный с протеканием тока в первой: 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 L L I L L I L N N I L N N = = = Φ = Φ (9.21) Поделив полученное выражение на силу тока I 1 , окончательно найдем коэффициент взаимной индукции катушек: 2 1 1 2 12 L L J L = Φ = (9.22) Пример 9.4. Найдите коэффициент взаимной индукции между бесконечным прямым проводом и замкнутым контуром в виде равнобедренного прямоугольного треугольника с высотой h =10 см, лежащим в одной плоскости с проводом (рис. 9.3). Решение . Согласно определению (9.4), для нахождения коэффициента взаимной индукции между двумя проводниками, мы должны задать некоторое значение силы тока в первом ( например, в прямом проводе) и рассчитать возникающий в этом случае магнитный поток через второй (треугольный контур). Пусть по проводу течет ток силы I 1 Тогда, в соответствии с (7.5) индукция магнитного поля, создаваемого этим током в плоскости треугольного контура, равна x I x π µ 2 ) ( B 1 0 = , (9.23) где x – расстояние от оси провода до точки, в которой рассматривается индукция магнитного поля. Рис.9.3 §9. Магнитный поток . Индуктивность . 167 Магнитный поток через контур по определению (9.1): π µ π µ h I dx I xdx x B dy x B dx ds B h h h x x S S 1 0 0 1 0 0 0 2 2 2 ) ( 2 ) ( ds B = = = = = = = Φ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − (9.24) Поделив полученное выражение на силу тока I 1 , окончательно найдем коэффициент взаимной индукции проводников: π µ h I L 0 1 2 12 = Φ = (9.25) Подстановка в это выражение численных данных из условия задачи дает результат L =0,04 мкГн. Пример 9.5. Найдите энергию магнитного поля, сосредоточенного в единице длины бесконечного прямого коаксиального кабеля, по которому протекает ток I =10 А. Радиус внутренней жилы кабеля – R 1 =0,5 мм, а радиус оплетки – R 2 =1 см. Считать, что плотность тока внутри жилы постоянна. Толщиной оплетки пренебречь, а магнитную проницаемость и проводящей, и диэлектрической части кабеля считать равной единице. Решение . В соответствии с решением задачи 8.1, напряженность магнитного поля, создаваемого коаксиальным кабелем с током I , равна ≥ ≤ ≤ ≤ = , , 0 , 2 , 2 ) ( 2 2 1 1 2 1 R r R r R r I R r R Ir r H π π (9.26) §9. Магнитный поток . Индуктивность 168 где r – расстояние от оси кабеля до точки , в которой рассматривается магнитное поле ( рис .9.4). В соответствии с формулой (9.9), объемная плотность энергии этого магнитного поля равна 2 0 2 1 H B 2 1 H w M µ = = (9.27) Таким образом , для вычисления полной энергии магнитного поля в отрезке кабеля длины l необходимо проинтегрировать последнее выражение в плоском слое V 0 , охватывающем этот отрезок , причем симметрия задачи подсказывает использование цилиндрических координат : ( ) + = + = + = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ 1 2 2 0 1 2 4 1 4 1 2 0 0 4 1 3 2 2 0 2 0 2 0 0 0 ln 4 1 16 ln 4 1 4 2 2 2 ) ( 2 1 2 1 1 0 R R lI R R R R lI r dr dr R r I l r H rdr d dz dV w W R R R l V M M π µ π µ π µ π µ ϕ π (9.28) Относя эту энергию к длине рассматриваемого отрезка кабеля и подставляя в получившуюся формулу численные данные из условия задачи, получаем: + = 1 2 2 0 ln 4 1 16 R R I dl dW M π µ ≅32,5 мкДж/м. (9.29) Пример 9.6. Постоянный магнит в виде стержня вставлен в длинный соленоид так, что длина находящейся в катушке части стержня намного больше диаметра катушки. Сила тока в обмотке – I, число витков на единицу длины – n, площадь Рис.9.4 §9. Магнитныйпоток. Индуктивность . 169 сечения стержня – S. Намагниченность стержня J считать однородной и направленной вдоль оси соленоида, а ее величину – не зависящей от внешнего поля. Найдите силу, с которой стержень втягивается в соленоид. Решение . Сила взаимодействия между катушкой с током и магнитом возникает за счет областей неоднородного поля вблизи концов катушки и стержня, поэтому рассчитать ее непосредственно по формуле Ампера затруднительно. Воспользуемся энергетическим подходом. При малом смещении стержня на величину ∆ x совершается работа δ А=F ∆ x. С другой стороны, работа при смещении контура с током в магнитном поле равна δ А=I ∆ Ф, где ∆ Ф – изменение магнитного потока через катушку при смещении стержня. Поэтому F= I ∆ Ф/ ∆ x. Изменение потока через катушку при малом смещении сердечника легко находится. Действительно, при смещении сердечника вглубь соленоида область однородного поля в части катушки с сердечником удлинится на величину ∆x, а вне сердечника – уменьшится на такую же величину (рис. 9.5). Эти области сцеплены с числом витков ∆Ν =n ∆ x, поэтому изменение потока будет ∆ Ф=(B 2 -B 1 )sn ∆ x, (9.30) где В 2 – индукция поля в сердечнике внутри катушки, а В 1 – в соленоиде вдали от конца сердечника. Как следует из рассмотренного ранее примера, (8 Пр.2) В 2 = µ 0 ( Н+J), В 1 = µ 0 Н, Н=In. Поэтому окончательно, ∆ Ф= µ 0 J sn ∆ x. (9.31) Отсюда следует: Рис.9.5 §9. Магнитныйпоток. Индуктивность 170 F =I µ 0 J sn. (9.32) Заметим, что вектор J может быть направлен как в ту же сторону, что и Н, так и в противоположную (в зависимости от того, каким концом магнит вставлен в соленоид). В последнем случае J следует считать отрицательным, и магнит будет выталкиваться из катушки. Задание для самостоятельной работы 9.1. Найдите индуктивность катушки, намотанной на тороид прямоугольного сечения, состоящей из двух одинаковых частей, одна из которых сделана из ферромагнетика с магнитной проницаемостью µ 1 =400, а другая – из материала c µ 2 =100. Внешний радиус тороида равен R 2 =10,8 см, внутренний – R 1 =4 см, а высота тороида равна h=6 см. Катушка содержит N=400 витков, равномерно распределенных по поверхности тороида. Неоднородностью магнитного поля вблизи стыка частей сердечника пренебречь. 9.2. Найдите индуктивность отрезка двухпроводной линии длины l=1 м. Радиусы проводников a=0,5 мм, много меньше расстояния d между ними (d=1 см). 9.3. Найдите индуктивность отрезка коаксиального кабеля длины l=1 м. Радиус внутреннего провода – R 1 =0,5 мм, а радиус оплетки – R 2 =1 см. 9.4. Однослойная, достаточно длинная катушка разделена на две секции. Индуктивности секций равны соответственно L 1 и L 2 . 1). Чему равна индуктивность всей катушки? 2). Найдите полное число витков катушки, если первая секция содержит N 1 витков. 9.5. Вдоль оси тороида прямоугольного сечения, на который равномерно намотана катушка, содержащая N=500 витков, проходит бесконечный прямой §9. Магнитныйпоток. Индуктивность . 171 провод. Внешний радиус тороида равен R 2 =10,8 см, внутренний – R 1 =4 см, высота тороида равна h=6 см, а магнитная проницаемость его материала – µ=1000. Найдите коэффициент взаимной индукции между катушкой и проводом. 9.6. На длинный соленоид с плотностью намотки n=10 3 витков на единицу длины и площадью витка s =10 см 2 надета короткая катушка большего диаметра, содержащая N=20витков. Найдите коэффициент их взаимной индукции. 9.7. Найдите индуктивность катушки, намотанной на тороид прямоугольного сечения с зазором, ширина которого много меньше радиусов сердечника. Внешний радиус тороида равен R 2 =5,4 см, внутренний – R 1 =2 см, высота тороида равна h=3 см, ширина зазора ∆=1 мм, а магнитная проницаемость материала – µ=200. Катушка содержит N=100 витков, равномерно распределенных по поверхности тороида. 9.8. Внутрь длинного соленоида с плотностью намотки n витков на единицу длины помещена короткая катушка с площадью витка s, содержащая N витков. Найдите коэффициент взаимной индукции обмоток, если оси соленоида и катушки образуют угол α 9.9. Внутрь длинного соленоида длиной l, содержащего N витков c площадью сечения S, помещен короткий ферромагнитный сердечник длиной d<<l c магнитной проницаемостью µ>>1. Найдите индуктивность соленоида. 9.10. В стальном цилиндре с высотой h=20 см и радиусом основания R=6 см просверлено соосное отверстие радиусом r=3 мм. Внутри отверстия вдоль оси цилиндра проходит бесконечный прямой провод, по которому протекает ток §9. Магнитныйпоток. Индуктивность 172 J=100 А. Найдите энергию магнитного поля, сосредоточенного в материале цилиндра, если магнитная проницаемость стали µ=1000. 9.11. Найдите энергию магнитного поля, сосредоточенного в катушке, намотанной на тороид прямоугольного сечения, по которой протекает ток I=10 А. Внешний радиус тороида равен R 2 =5,4 см, внутренний – R 1 =2 см, высота тороида равна h=3 см, а магнитная проницаемость его материала – µ=500. Катушка содержит N=100 витков, равномерно распределенных по поверхности тороида. 9.12. Прямой провод проходит вдоль оси соленоида с плотностью витков n 0 =10 см -1 По проводу и по соленоиду текут постоянные токи одинаковой силы. Площадь сечения провода – S 1 =0,1 см 2 , а площадь витка соленоида – S 2 =10 см 2 Определите – во сколько раз энергия магнитного поля, создаваемого внутри соленоида самим соленоидом превышает энергию магнитного поля, создаваемого внутри соленоида проводом. При расчетах воспользоваться условием S 1 <<S 2 9.13. Конденсатор емкостью С=1 мкФ, заряженный до напряжения U 0 =12 В, соединен с катушкой индуктивностью L=10 мГн, через ключ ( рис. 9.6). Каково может быть максимальное значение силы тока в этой цепи после замыкания ключа? 9.14. Два длинных соленоида различных диаметров вдвинуты друг в друга так, что длина области их перекрытия значительно превышает их диаметры. Токи в обмотках равны I 1 =2 А, I 2 =5 А, плотности намотки составляют n 1 = n 2 =10 3 Рис.9.6 §9. Магнитныйпоток. Индуктивность . 173 витков на метр, радиус меньшей катушки r=1 см . Найдите силу взаимодействия соленоидов. 9.15. Внутри длинной катушки-соленоида индуктивностью 0 L расположен соосно другой соленоид меньших размеров, все линейные размеры которого в β раз меньше линейных размеров большого соленоида (подобные катушки). Катушки соединены последовательно. Найдите индуктивность такой системы. Число витков обоих соленоидов одинаково. |