В. Нетребко, И. П
 Скачать 5.4 Mb.
|
|
§2. Потенциалэлектрическогополя Краткие теоретические сведения Сила называется потенциальной, если ее работа вдоль любой замкнутой траектории равна нулю. Кулоновские силы удовлетворяют этому условию, поэтому ∫ ∫ = ′ = 0 r d E q r d F r r r r , где F r – сила, действующая на пробный заряд q′ со стороны кулоновского поля с напряженностью E r Условие потенциальности электростатического поля можно записать в виде: 0 = ⋅ ∫ dr E (2.1) Из этого равенства, на основании теоремы Стокса, следует 0 = E rot (2.2) Потенциалом ϕ электрическогополя в точке М называют работу, которую совершает поле при перемещении единичного заряда из этой точки в точку О, где договорились считать потенциал равным нулю: ∫ ⋅ = O M dr E ϕ (2.3) В силу потенциальности электростатического поля, значение этого интеграла не зависит от выбора траектории интегрирования. Выбор точки О произволен и диктуется соображениями удобства. Обычно за нуль принимают потенциал бесконечно удаленной точки. Как следует из (1.3) и (2.3), потенциал в точке М, удаленной на расстояние r от точечного заряда q , равен §2. Потенциалэлектрическогополя 26 r q 0 4 πε ϕ = (2.4) Для потенциальной силы можно ввести потенциальную энергию ϕ ⋅ ′ = q W p , где функция ϕ не зависит от величины пробного заряда. Для потенциала, как и для напряженности, справедлив принцип суперпозиции: потенциал поля, создаваемого несколькими зарядами, равен сумме потенциалов, создаваемых каждым из них в предположении, что остальные отсутствуют. Потенциал диполя на расстояниях, много больших его собственного размера, (потенциал точечногодиполя) однозначно выражается через его дипольный момент e p r ( см. Пример 2): ( ) ( ) 3 0 4 r p r M e πε ϕ ⋅ = , (2.5) где r r – вектор, соединяющий центр диполя с точкой M. Если в некотором объеме V распределен заряд с объемной плотностью ( ) r ρ , то потенциал, создаваемый этим зарядом в произвольной точке пространстваМ, определяется как ( ) ∫ = V r dV M ρ πε ϕ 0 4 1 (2.6) Напряженность электростатического поля однозначно связана с его потенциалом. При этом соотношение, обратное (2.3), имеет вид: ϕ grad E − = (2.7) Применяя эту формулу к (2.5) можно найти напряженность поля точечного диполя: ( ) 3 0 3 4 1 r p n n p E e e − ⋅ ⋅ = πε , (2.8) где n r – единичный вектор, направленный вдоль r r §2. Потенциалэлектрическогополя 27 Эквипотенциальными поверхностями называют поверхности равного потенциала. Так как компонента вектора ϕ grad , касательная к эквипотенциальной поверхности, всегда равна нулю, силовые линии поля в каждой точке направлены по нормали к соответствующей эвипотенциальной поверхности (см. Рис 2.4). Пример 2.1. Найдите работу, совершаемую силами однородного поля напряженности E над зарядом q при его перемещении из точки 1 с радиус- вектором 1 r в точку 2 с радиус-вектором 2 r по произвольной траектории. Решение . По определению работы dr F dA ⋅ = Для однородного поля E q F = , откуда ) ( 1 2 2 1 2 1 12 r r E q r d E q dr E q A v r r r r − = = ⋅ = ∫ ∫ (2.9) Пример 2.2. Найдите потенциал и напряженность электрического поля, создаваемого точечным диполем с дипольным моментом e p . Решение . Направим ось x 0 из середины отрезка, соединяющего заряды диполя, от отрицательного заряда к положительному. Положение точкиМ пространства будем описывать радиус-вектором r . Использовав обозначения, приведенные на рис.2.1, получим ( ) − + + − − + − ⋅ = − = r r r r q r r q M 0 0 4 1 1 4 πε πε ϕ , (2.10) где ( ) 4 / 2 / 2 2 2 l l r r r + ⋅ − = + и ( ) 4 / 2 / 2 2 2 l l r r r + ⋅ + = − Рис.2.1 §2. Потенциалэлектрическогополя 28 При l r >> выражение (2.10) упрощается, так как ( ) ( ) r l r r r 2 / ⋅ − ≈ + и ( ) ( ) r l r r r 2 / ⋅ + ≈ − : ( ) ( ) ( ) 3 0 3 0 4 4 r p r r l r q M e πε πε ϕ ⋅ = ⋅ = (2.11) Здесь l q p e ⋅ = дипольный момент диполя. Напряженность поля по известному потенциалу найдем согласно (2.7). Применяя к (2.11) формулы векторного анализа (см. Приложение ) получим: ( ) 3 0 3 0 4 0 3 4 1 4 4 3 r p n n p r p n r x p E e e e e − ⋅ ⋅ = − = πε πε πε (2.12) Пример 2.3. Определите силу, действующую на точечный диполь с дипольным моментом e p в неоднородном электрическом поле ( ) r E Решение . Рассмотрим диполь малого, но конечного размера (см. рис.2.1). Проекция силы, действующей на диполь, на ось x 0 равна ( ) ( ) [ ] 0 , 0 , 2 / 0 , 0 , 2 / l E l E q F x x x − − = Раскладывая в ряд Тейлора напряженность поля в окрестности начала координат, получим ( ) ( ) x e x x x E p E l q l x E q F ∇ ⋅ = ∇ ⋅ = ∂ ∂ = , где z k y j x i ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ Аналогично выводятся соотношения для ( ) y e y E p F ∇ ⋅ = и ( ) z e z E p F ∇ ⋅ = Полученные скалярные равенства можно объединить в одно векторное ( ) E p F e ∇ ⋅ = (2.13) Пример 2.4. Найдите энергию взаимодействия W двух диполей, находящихся на расстоянии i l r >> ( − i l размер − i го диполя) друг от друга. Дипольные моменты диполей 1 p и 2 p . §2. Потенциалэлектрическогополя 29 Решение . Энергия взаимодействия двух диполей - это дополнительная энергия, которая появляется у диполя в поле, создаваемом другим диполем. Для диполя 2 p она равна (рис.2.2) ( ) B A q W ϕ ϕ − = 2 2 , где потенциал ϕ, создаваемый диполем 1 p , задается выражением (2.11). Подставляя его в 2 W , получаем ( ) ( ) − = − − + + 3 1 3 1 0 2 2 4 r p r r p r q W πε Учтем, что 2 2 l r r + = + и 2 2 l r r − = − , и разложим 2 W в ряд по малому параметру r l 2 Отбрасывая в разложении члены порядка 3 2 r l , получаем ( ) ( )( ) ( )( ) − ⋅ = − − = − + 5 2 1 3 2 1 0 5 2 1 0 2 3 1 0 2 2 3 4 1 4 3 4 r p r p r r p p r l r p r q r p r r q W πε πε πε (2.14) Пример 2.5. В условии примера 4 из первого параграфа определите потенциал в произвольной точке Мна перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из его центра. Используя найденное выражение для потенциала, найдите напряженность электрического поля в точке М. Решение . Так же как и в примере 4 из первого параграфа введем координаты точки ( ) z M , 0 , 0 и точечный заряд на кольце (точка N на кольце характеризуется углом ψ , отсчитываемым от оси x 0 , которому даем приращение ψ d ) ( см. рис.1.8). Потенциал заряда dq в точке Мравен Рис.2.2 §2. Потенциалэлектрическогополя 30 ( ) 2 2 0 2 2 0 4 2 4 z a d Q z a dq d + = + = πε ψ π πε ϕ Интегрируя по ψ от 0 до π 2 , окончательно получаем 2 2 0 4 z a Q + = πε ϕ (2.15) Используя (2.7), находим напряженность на оси кольца ( ) 2 / 3 2 2 0 4 z a z Q z E z + ⋅ = ∂ ∂ − = πε ϕ , что совпадает с выражением (1.10), полученным ранее в параграфе 1. Пример 2.6. Диск радиусом a заряжен с поверхностной плотностью σ . Найдите потенциал в произвольной точке на оси диска, перпендикулярной к его плоскости. Решение . Разобьем диск на кольца радиусом ρ и толщиной ρ d . На таком кольце находится заряд ρ πρ σ d dq ⋅ = 2 Потенциал на оси такого кольца найден ранее в примере 5 данного параграфа и задается выражением (2.15) ( ) ρ ρ ρ ε σ ρ πε ϕ d z z dq z d ⋅ + = + = 2 2 0 2 2 0 2 4 Интегрируя это выражение по ρ от 0 до a получим ( ) − + = + = ∫ z z a d z z a 2 2 0 0 2 2 0 2 2 ε σ ρ ρ ρ ε σ ϕ (2.16) При ∞ → z выражение (2.16) принимает вид ( ) z Q z a z 0 0 2 4 4 πε ε σ ϕ = → , то есть совпадает с полем точечного заряда 2 a Q πσ = §2. Потенциалэлектрическогополя 31 Пример 2.7. Шар радиусом R равномерно заряжен по объему с объемной плотностью заряда ρ Определите потенциал в произвольной точке вне и внутри шара. Решение . Для определения потенциала воспользуемся соотношением (2.3), в котором потенциал бесконечно удаленной точки примем равным нулю. Напряженность поля определяется соотношениями (1.12) и (1.13), полученными в примере 6 первого параграфа: ( ) r Q r R r dr R r d E r r r 0 0 3 2 0 3 4 3 3 πε ε ρ ε ρ ϕ = = = = ∫ ∫ ∞ ∞ при R r > , ( ) − + = − = + = ∫ 2 2 0 0 2 0 2 0 0 2 1 2 1 1 4 6 2 3 3 R r R Q r R rdr R r R r πε ε ρ ε ρ ε ρ ε ρ ϕ при R r ≤ Здесь r - расстояние от рассматриваемой точки пространства до центра шара, а − Q заряд, заключенный в шаре. Пример 2.8. На рис.2.3 приведена картина силовых линий некоторого поля. Нарисуйте несколько эквипотенциальных поверхностей и укажите, в каком направлении потенциал возрастает. Решение . Силовые линии всегда перпендикулярны эквипотен- циальным поверхностям. Две из них показаны на рис.2.4. Определим, какой из потенциалов 1 ϕ или 2 ϕ больше. Согласно Рис.2.3 Рис.2.4 §2. Потенциалэлектрическогополя 32 (2.3) ∫ ⋅ = − L dr E 2 1 ϕ ϕ , где траекторию L выберем совпадающей с одной из силовых линий. Если 1 ϕ и 2 ϕ мало отличаются, то расстояние между эквипотенциальными поверхностями мало и кривую L с хорошей точностью можно заменить прямой, а поле однородным, получим 0 2 1 > = − El ϕ ϕ Пример 2.9. Два разноименных точечных заряда, величины которых равны 1 q и 2 q − , расположены на расстоянии d друг от друга. Докажите, что поверхность нулевого потенциала есть сфера. Определите радиус R этой сферы и расстояние b от ее центра до меньшего по абсолютной величине заряда. Решение . Пусть для определенности 1 2 q q < . Согласно условию задачи направление вдоль прямой, соединяющей заряды, является выделенным. Направим ось x 0 вдоль нее. В силу симметрии оси y 0 и z 0 равноправны: любая эквипотенциальная поверхность есть поверхность вращения вокруг оси x 0 , поэтому достаточно найти линию пересечения эквипотенциальной поверхности с плоскостью y x 0 ( см. рис.2.5а). Выберем произвольную точку ( ) y x M , на этой плоскости. Потенциал в этой точке согласно принципу суперпозиции равен ( ) ( ) 2 2 0 2 2 2 0 1 4 4 y b x q y d b x q + − − + − − = πε πε ϕ Поверхность нулевого потенциала 0 = ϕ удовлетворяет уравнению ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 y b x q q y d b x + − = + − − Рис.2.5а §2. Потенциалэлектрическогополя 33 Возведя это равенство в квадрат, получим ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 d b x d b x q q y q q = − + − − + − Поделив это уравнение слева и справа на − 1 2 2 1 q q и введя обозначения , 1 2 2 1 2 − = q q d f 1 2 2 1 − = q q d c , получим ( ) ( ) f b x c b x y = − + − + 2 2 2 Прибавив справа и слева 2 c , окончательно найдем искомое уравнение окружности ( ) 2 2 2 R c b x y = + − + Здесь радиус окружности 2 2 2 1 2 2 q q q dq R − = (2.17) А так как центр окружности совпадает с точкойО, то 1 2 2 1 − = = q q d c b (2.18) §2. Потенциалэлектрическогополя 34 На рис.2.5б показана картина силовых линий и эквипотенциальных поверхностей для двух не равных по модулю разноименных зарядов. Таким образом, поверхность нулевого потенциала является сферой, охватывающей меньший по величине заряд. Центр сферы лежит вне отрезка, соединяющего заряды. Пример 2.10. На сфере радиусом R распределен заряд с поверхностной плотностью θ σ σ cos 0 = , где θ - угол, составляемый радиусом-вектором, проведенным в произвольную точку сферы с осью z 0 . Найдите напряженность в произвольной точке вне и внутри сферы. Решение . Распределение заряда по поверхности сферы с заданной в условии задачи поверхностной плотностью можно получить, заменив сферу двумя Рис.2.5б а б Рис.2.6 §2. Потенциалэлектрическогополя 35 шарами радиусом R , заряженными с однородной объемной плотностью ρ + и ρ − и сдвинутыми относительно заданной сферы вдоль оси z 0 на очень малое расстояние a ( R a << ) вверх и вниз соответственно, как показано на рис.2.6. Действительно, в объеме, задаваемом углами θ θ θ d + ÷ , между этими шарами находится заряд (см. рис.2.6а) θ θ θ π ρ cos 2 sin 2 a Rd R dq ⋅ ⋅ ⋅ = Этот заряд будет распределен по поверхности площади θ θ π Rd R dS ⋅ = sin 2 , откуда θ σ θ ρ σ cos cos 2 0 = = a Здесь обозначено ρ σ a 2 0 = Поле вне сферы, создаваемое двумя шарами, будет совпадать с полем диполя, имеющего дипольный момент 0 3 3 3 4 3 4 2 σ π π ρ R R a p e = = и помещенного в центр сферы, как показано на рис.2.6б. Поле диполя подробно рассмотрено в примере 2 настоящего параграфа. На рис.2.7 показана произвольная точка М внутри сферы, описываемая координатами r и ψ . Поле + E , создаваемое положительными зарядами шара с центром в точке А, будет направлено по радиусу этого шара и определяться только зарядами внутри сферы радиусом + r . Соответственно поле − E , создаваемое отрицательными зарядами шара с центром в точке В, будет направлено по радиусу этого шара и определяться только зарядами внутри сферы радиусом − r ( см.(1.13)): 0 2 0 3 4 ε ρ πε + + + + = = r r q E , Рис.2.7 §2. Потенциалэлектрическогополя 36 0 2 0 3 4 ε ρ πε − − − − = = r r q E Найдем векторную сумму этих полей, для чего просуммируем их проекции: 0 cos 3 cos 3 0 0 = − = + = − + ψ ε ρ ψ ε ρ r r E E E x x x , ( ) ( ) a a r a r E E E z z z 2 3 sin 3 sin 3 0 0 0 ⋅ − = + − − = + = − + ε ρ ψ ε ρ ψ ε ρ Учитывая, что a ρ σ 2 0 = , окончательно получим, что поле внутри сферы однородно, направлено противоположно оси z 0 , а его напряженность равна по абсолютной величине 0 0 3 ε σ = E (2.19) Задание для самостоятельной работы 2.1. Определите работу силы электрического поля, создаваемого зарядом q , над зарядом ' q при перемещении заряда ' q из точки 1 с радиус-вектором 1 r в точку 2 с радиус-вектором 2 r по траекториям, изображенным на рис.2.8 а - 2.8 в. §2. Потенциалэлектрическогополя 37 2.2. Одномерная модель ионного кристалла представляет собой бесконечную линейную цепочку чередующихся по знаку и одинаковых по модулю зарядов (ионов). Расстояние между соседними зарядами одинаково вдоль всей цепочки и равно a , модуль заряда равен q . Найдите потенциал ϕ , создаваемый всеми остальными зарядами в точке, где находится положительный заряд. 2.3. Два точечных заряда q + и q − расположены в точках ( ) ( ) 0 , 0 , 2 / , 0 , 0 , 2 / a M a N − соответственно. Какую работу совершат силы поля, создаваемого этими зарядами, при удалении заряда ' q из начала координат на бесконечность? Как изменится ответ, если оба заряда одинаковы и равны q + ? 2.4. Диполь с диполь- ным моментом e p помещен в однородное электрическое поле напряженности E Найдите потенциальную а б в Рис.2.8 Рис.2.9 §2. Потенциалэлектрическогополя 38 энергию диполя W , момент сил M и силу F , действующие на диполь в случае его ориентации, показанной на рис.2.9. 2.5. Найдите энергию W взаимодействия двух диполей с дипольными моментами p 1 и p 2 при их взаимном расположении, показанном на рис.2.10. 2.6. Диполь с дипольным моментом p e находится в однородном электрическом поле с напряженностью E. Диполь отпускают без начальной скорости из положения, показанного на рис.2.9а. Найдите угловую скорость диполя ω при прохождении им положения, показанного на рис.2.9б, и его угловое ускорение β в начальный момент времени. Масса каждого заряда m , расстояние между зарядами l 2.7. Точечный положительный заряд q находится в начале координат. Диполь с моментом e p находится в точке с радиус-вектором r . При какой ориентации диполя энергия его взаимодействия с зарядом: а) максимальна, б) минимальна, в) равна нулю. 2.8. Найдите распределение модуля напряженности электрического поля точечного диполя на сфере радиусом R с центром в точке, где находится диполь. Дипольный момент диполя равен p e Рис.2.10 §2. Потенциалэлектрическогополя 39 2.9. Найдите потенциал и напряженность поля в центре полусферы радиуса R , заряженной с постоянной поверхностной плотностью σ . Указание: для расчета напряженности воспользоваться формулой (2.7). 2.10. Шарик радиусом см r 1 = заряжен до потенциала В 3000 = ϕ Сколько электронов n нужно отнять от шарика для такой электризации? На сколько при этом уменьшится масса шарика? Масса электрона кг m 31 10 1 , 9 − ⋅ = , заряд электрона Кл e 19 10 6 , 1 − ⋅ = 2.11. Даны потенциалы 3 2 1 , , ϕ ϕ ϕ и 4 ϕ в четырех смежных вершинах малого кубика с ребром a (рис 2.11). Как можно приближенно определить напряженность поля в точке 4? 2.12. Найдите силу взаимодействия F между точечным зарядом q и точечным диполем, если расстояние между зарядом и диполем равно d , а дипольный момент e p направлен вдоль соединяющей их прямой. 2.13. Два тонких бесконечно длинных проводника, разноименно заряженных с одинаковой линейной плотностью заряда, расположены параллельно на некотором расстоянии друг от друга. Докажите, что эквипотенциальные поверхности такой системы проводников суть круговые цилиндры и определите расстояние l между проводниками, если расстояние между осями двух таких цилиндров равно a 2 , а их радиусы одинаковы и равны R . рис.2.11 §2. Потенциалэлектрическогополя 40 2.14. Может ли существовать в вакууме электростатическое поле, вектор напряженности которого E во всем объеме поля одинаково направлен, но по величине изменяется, например, по линейному закону, если переходить от точки к точке по нормальному к полю направлению (рис.2.12). 2.15. Диэлектрический диск радиусом R заряжен равномерно с поверхностной плотностью заряда σ. Найдите потенциал на краю диска. Рис.2.12 |