В. Нетребко, И. П
 Скачать 5.4 Mb.
|
|
3. 0 div rot a = r ; 0 rot grad ϕ = ; div grad ϕ ϕ = ∆ ; ( ) grad grad grad ϕ ψ ψ ϕ ϕ ψ ⋅ = + ; ( ) ( ) , div a grad a div a ϕ ϕ ϕ = + r r r ; [ ] ( ) , rot a rota a ϕ ϕ ϕ = − ∇ r r r ; ( ) ( , ) div grad grad grad ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ = ∆ + ; ( ) ( ) ( ) 3 ( ) div r r r r r ϕ ϕ ϕ ′ ⋅ = + r ; Приложение 315 ( ) ( ) [ , ] , , div a b b rot a a rotb = − r r r r r r ; ( ) ( ) [ , ] , , rot a b b a a b a divb b diva = ∇ − ∇ + − r r r r r r r r r r r r ; ( ) ( ) ( ) , [ , ] [ , ] , , grad a b b rot a a rotb a b b a = + + ∇ + ∇ r r r r r r r r r r r r ; rot rot a a grad div a = −∆ + r r r 4. Если r − r радиус-вектор, то: 3 div r = r ; 0 rot r = r ; r grad r r = r ; 3 1 r grad r r = − r ; 2 r div r r = r ; 3 0 r div r = r ; ( ) [ ,[ , ]] 2 , div p r a p a = r r r r r ; ( ) ( ) 3 3 5 , , 3 p r p r r p grad r r r = − r r r r r r ; [ ] ( ) ( ) 3 3 5 3 , , 3 , p r p r p r r p rot grad r r r r = − = − r r r r r r r r ( ) ( ) ( ) 3 3 5 , , 1 , 3 a r a r r grad grad a r r r r = − r r r r r r r ; ( ) , grad p r p = r r r ; ( ) ( ) r grad f r f r r ′ = r ; [ ] ( ), 0 grad f r r = r ; [ ] [ ] ( ) , ( ) 2 ( ) ,[ , ] f r rot p f r r f r p r p r r ′ = + r r r r r r ; [ ] , 2 rot p r p = r r r ; ( ) [ ] , ( ) ( ) r p rot p f r f r r ′ = r r r ; ( ) [ ] 2 , n n rot p r n r r p − = r r r ; ( ) [ ] , r p rot p r r = r r r ; Приложение 316 [ ] 3 , p r p rot r r = r r r ; ( ) [ ] , rot f a f rot a grad f a = + r r r ; ( ) ( ) 0 rot f r r ⋅ = r ; 5. Интегральныетеоремы 5.1. ФормулаОстроградского-Гаусса: S V a dS diva dV = ∫∫ ∫∫∫ r r r , где S − кусочно-гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая объем V , векторное поле a r непрерывно дифференцируемо в области V S + , n − r внешняя нормаль к поверхности S , ( ) n adS a n dS a dS = = r r r r Частныеслучаи: S V dS dV n ϕ ϕ ∂ = ∆ ∂ ∫∫ ∫∫∫ , ( , ) S V V dS dV dV n ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ∂ = ∆ + ∇ ∇ ∂ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ r r , ϕ − дважды непрерывно дифференцируемая функция в области V S + Следствия: S V n dS dV ϕ ϕ = ∇ ∫∫ ∫∫∫ r ; [ ] , l S dl n dS ϕ ϕ = ∇ ∫ ∫∫ r r 5.2. Формула Стокса. Если векторное поле a r непрерывно дифференцируемо в односвязной области D , а S − произвольная кусочно-гладкая поверхность в D , ограниченная контуром L, то ( , ) L S a dl rot a dS = ∫ ∫∫ r r r r , где n − r единичный вектор положительной нормали к S , т.е. той, из конца которой обход по контуру L виден совершающимся против часовой стрелки. Приложение 317 5.3. ФормулыГрина: 1) на плоскости: ( ) S L dS dl n n ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ ϕ ψ ∂ ∂ ∆ − ∆ = − ∂ ∂ ∫∫ ∫ , где n − r внешняя нормаль к гладкому контуру L , ограничивающему конечную область S ; 2) в пространстве: ( ) V S dV dS n ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ∂ ∆ + ∇ ∇ = ∂ ∫∫∫ ∫∫ , ( ) V S dV dS n n ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ ϕ ψ ∂ ∂ ∆ − ∆ = − ∂ ∂ ∫∫∫ ∫∫ , где n − r внешняя нормаль к поверхности S , ограничивающей объем V , ϕ и ψ − дважды дифференцируемые в области V S + функции. 5.4. ( ) ( ) ( ) r r V S V dV dS dV grad r r grad r r r r r r r ρ ρ ρ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = − + ′ ′ ′ − − − ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ r r r r r r r r r r ; при 1 ρ ≡ : S V dS dV grad r r r r ′ ′ = − ′ ′ − − ∫∫ ∫∫∫ r r r r r 6. Векторное поле называется потенциальнымв некоторой области, если работа его не зависит от формы траектории, принадлежащей этой области, а зависит только от положения начальной и конечной точек. Необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля a r в односвязной области может быть записано в одной из форм: 1) циркуляция по любому замкнутому контуру в этой области равна нулю; 2) существует скалярная функция координат ϕ такая, что a grad ϕ = r ( ϕ называется потенциалом векторного поля a r ); 3) 0 rot a = r . Приложение 318 Векторное поле называется соленоидальным, если 0 div a = r . Для соленоидального поля существует векторныйпотенциал: такое поле c , что a rot c = r r Любое векторное поле можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального: a b c = + r r r , где 0 rot b = r и 0 div c = r , причем b r определяется с точностью до градиента некоторой функции, а c – с точностью до ротора некоторого векторного поля. Решение уравнения Пуассона f ϕ ∆ = , 0 ϕ ∞ = : 1 ( ) ( ) 4 f r r dV r r ϕ π ′ ′ = − ′ − ∫ r r Решение волнового уравнения 2 2 2 1 f c t ϕ ϕ ∂ ∆ − = ∂ , 0 ϕ ∞ = (с=const): 2 12 1 ( , ) ( , ) 4 f r t r t dV r ϕ π ′ ′ = ∫ , где c r t t 12 ' − = 7. Частовстречающиесяинтегралы. 2 2 0 0 1 arctg 2 dx x a a a x a π ∞ ∞ = = + ∫ ; ( ) 2 2 2 2 ln dx x x a x a = + ± ± ∫ ; ( ) 3 / 2 2 2 2 2 2 1 dx x a x a x a = + + ∫ ; ( ) 3 / 2 2 2 2 2 1 x dx x a x a = − + + ∫ ; ( ) ( ) ( ) 1 2 2 / 2 2 2 1 1 2 2 n n n dt I n a z a z az n a z azt − − − = = − − + − + − ∫ Приложение 319 Декартовасистемакоординат ( , , ) x y z x x y y z z a a e a e a e = + + r r r r Элементдуги 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) dl dx dy dz = + + ЭлементобъемаdV dx dy dz = Единичныевекторывдолькоординатныхлиний x e i = r r , y e j = r r , z e k = r r Градиентскалярногополя f f f grad f i j k x y z ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ r r r Дивергенциявекторногополя y x z a a a div a x y z ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ r ОператорЛапласаf div grad f ∆ = 2 2 2 2 2 2 f f f f x y z ∂ ∂ ∂ ∆ = + + ∂ ∂ ∂ НекоторыечастныерешенияуравненияЛапласа 0 f ∆ = : 1 2 3 2 2 2 1 2 3 , 0 k x k y k z f e k k k + + = + + = ; 2 3 2 2 2 3 ( ) , 0 k y k z f a bx e k k + = + + = ; ( )( )( ) f a bx c dy m nz = + + + x y z i j k rot a x y z a a a ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ r r r r Элементарнаяработавекторногополя ( ) A a dl ∆ = v v x y z A a dx a dy a dz = + + Потоквекторногополя ( ) ∫∫ ∫∫ = = = Φ S S dS n a S d a , x y z S a dydz a dxdz a dxdy = + + ∫∫ = ( cos cos cos ) x y z S a a a dS α β γ + + ∫∫ Приложение 320 Цилиндрическаясистемакоординат ( , , ) z ρ ϕ z z a a e a e a e ρ ρ ϕ ϕ = + + r r r r ; cos , sin , x y z z ρ ϕ ρ ϕ = = = Элемент дуги 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) dl d d dz ρ ρ ϕ = + + Элемент объема dV d d dz ρ ρ ϕ = Единичныевекторывдолькоординатныхлиний cos sin , sin cos , z e i j e i j e k ρ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + = − + = r r r r r r r r Градиент скалярного поля 1 z f f f grad f e e e z ρ ϕ ρ ρ ϕ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ r r r Дивергенциявекторногополя 1 1 ( ) z a a div a a z ϕ ρ ρ ρ ρ ρ ϕ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ r ОператорЛапласа 2 2 2 2 2 1 1 ( ) f f f f z ρ ρ ρ ρ ρ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ НекоторыечастныерешенияуравненияЛапласа 0 f ∆ = : ln f R ρ (полезаряженнойнити) 1 1 z z e e e rot a z a a a ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ r r r r Элементарнаяработавекторногополя ( ) A a dl ∆ = v v z A a d a d a dz ρ ϕ ρ ρ ϕ ∆ = + + Потоквекторногополя ( ) ∫∫ ∫∫ = = = Φ S S dS n a S d a , z S a d dz a d dz a d d ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕ = + + ∫∫ Приложение 321 Сферическая системакоординат ( , , ) r ϑ ϕ r r a a e a e a e ϕ ϕ ϑ ϑ = + + r r r r ; sin cos , sin sin , cos x r y r z r ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ = = = Элементдуги 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) sin ( ) dl dr r d r d ϑ ϑ ϕ = + + Элементобъема 2 sin dV r dr d d ϑ ϑ ϕ = Единичныевекторывдолькоординатныхлиний cos sin sin sin cos r e i j k ϕ ϑ ϕ ϑ ϑ = + + r r r r , cos cos sin cos sin e i j k ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ ϑ = + − r r r r , sin cos e i j ϕ ϕ ϕ = − + r r r Градиентскалярногополя 1 1 sin r f f f grad f e e e r r r ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ r r r Дивергенциявекторногополя 2 2 1 1 1 ( ) ( sin ) sin sin r a div a r a a r r r r ϕ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϕ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ r ОператорЛапласа 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) (sin ) sin sin f f f f r r r r r r ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ НекоторыечастныерешенияуравненияЛапласа 0 f ∆ = : 1 f r (полеточечногозаряда); 3 2 ( ; ) cos p r p f r r ϑ = r r (поледиполя); cos f pr pz ϑ = (однородноеполе) 2 1 1 1 sin sin sin r r e e e r r r rot a r a r a r a ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ ϑ ϑ ϕ ϑ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ r r r r Элементарнаяработавекторногополя ( ) A adl ∆ = v v sin r A a dr a r d ra d ϕ ϑ ϑ ϕ ϑ ∆ = + + Потоквекторногополя ( ) ∫∫ ∫∫ = = = Φ S S dS n a S d a , 2 sin sin r S r a d d ra drd r a drd ϕ ϑ ϑ ϕ ϑ ϑ ϑ ϕ = + + ∫∫ Литература 322 Литература 1. С.Г. Калашников. Электричество. М.: Наука, 1985. 2. А.Н. Матвеев. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа", 1986. 3. И. В. Савельев. Курс общей физики. Том II. Электричество. М.: Наука, 1964. 4. З. Парселл. Электричество и магнетизм. М.: Наука, 1971. 5. И.Е. Тамм. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976. 6. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория поля. М.: Наука, 1973. 7. Л.И. Антонов, Л.Г. Деденко, А.Н. Матвеев. Методика решения задач по электричеству. М.: Изд-во МГУ, 1982. 8. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин. Сборник задач по электродинамике. М: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 9. С.М. Козел, В.Г. Лейман, Г.Р. Локшин, В.А. Овчинкин, Э.В. Прут. Сборник задач по общему курсу физики. Ч.2. Электричество и магнетизм. Оптика. М: Изд-во МФТИ, 2000. 10. Сборник задач по общему курсу физики. Электричество и магнетизм. под ред. И.А. Яковлева. М: Наука, 1977. 11. Е.И. Бабаджан, В.И. Гервидс, В.М. Дубовик, Э.А. Нерсесов. Сборник качественных вопросов и задач по общей физике. М: Наука, 1990. 12. Н.Н. Взоров, О.И. Замша, И.Е. Иродов, И.В. Савельев. Сборник задач по общей физике. М: Наука, 1968. 13. Фейнмановские лекции по физике. Задачи и упражнения с ответами и решениями. М: Мир, 1978. |